专题01 坐标与函数中的选填压轴问题（专项训练）（四川成都专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

第三章 函数 专题01 坐标与函数中的选填压轴问题 目 录 刷考点 精准巩固，扫清盲区 提能力 聚焦过程，优化策略 测综合 跨界融合，挑战创新 考点一：规律探究问题 类型1：坐标中的规律探究 1．（2025·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点，，，，，…所在直线与x轴交于点，点，，，，…都在x轴上，，，，…都是等腰直角三角形，则等腰直角三角形的腰长为 ． 【答案】 【详解】过点作轴于，过点作轴于，设， ∵，，∴，∴， ∵是等腰直角三角形，∴，， ∵，∴，∴，，∴， ∵是等腰直角三角形，∴， ∵，即，∴， ∴，，∴， 同理，，， ∴，解得，，∴，…， 归纳得，，∴．故答案为：． 2．（24-25九年级上·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，正方形的位置如图所示，点的坐标为，点的坐标为．延长交轴于点，作正方形；延长交轴于点，作正方形，……，按这样的规律进行下去，正方形的面积为 ． 【答案】 【详解】解：的坐标为，点的坐标为，∴，∴， ∵正方形，正方形，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴，∴， 同理可得，，，……， 正方形的面积为，故答案为：． 3．（2025·北京·模拟预测）如图，四边形是边长为1的正方形，点，分别在x轴，y轴的负半轴上．连接，以的长为边长向右侧作正方形，点在y轴的负半轴上，点在x轴的正半轴上；连接，以的长为边长向上方作正方形，点，分别在x轴，y轴的正半轴上；…；按照这个规律进行下去，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意可得，点、、、分别在第三象限、第四象限、第一象限、第二象限的角平分线上，周期为，∵，∴点在第三象限的角平分线上， ∵四边形是边长为1的正方形，∴，∴， ∵以的长为边长向右侧作正方形，∴，∴， ∵以的长为边长向上方作正方形，∴，∴； 同理可得，，∴点的横坐标为， 纵坐标为，∴点的坐标为，故选：B． 类型2：一次函数中的规律探究 1．（2025·成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，，过点作轴的垂线交直线于点，连接，得到，过点作，交直线于点，得到，过点作⊥轴于点，过点作，交直线于点，得到，…如此下去，得到，设，，…的面积分别为，，…，依据图形所反映的规律， ． 【答案】 【详解】解：∵，，轴，∴当时，，当时，， ∴，，∴，， ∵轴，∴，∴，， ∵，∴，∴， ∴，∴，∴， ∵，设的解析式为，把代入得，∴，∴， ∵，∴设直线的解析式为，把代入，得，解得， ∴，联立，解得，∴，∴，∴， 同理可得：，； 同理：；∴ ∴；故答案为：． 2.（2025·成都·模拟预测）在平面直角坐标系中，正方形，按如图所示的方式放置、点和点分别在直线和轴上、已知，则点的坐标是 ． 【答案】 【详解】解：连接，，，分别交轴于点、、， 正方形、、， 与关于轴对称，与关于轴对称，与关于轴对称， ，，，即，，即， ，，将与的坐标代入中得： ，解得：，直线解析式为， 设，则有坐标为，代入直线解析式得：，解得：， 坐标为，即，依此类推． 故答案为：． 3．（2025·成都·一模）在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，如图所示，依次作正方形、正方形、正方形、…、正方形，使得点在直线l上，点在y轴正半轴上，则点的横坐标是 ． 【答案】 【详解】解：令，解得：，，四边形是正方形，； 当时，，；当时，，，…… 观察规律发现，，，，……，， 的横坐标是．故答案为：． 类型3：反比例函数中的规律探究 1．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，线段是直线的一部分，点是直线与轴的交点，点的纵坐标为6，曲线是双曲线的一部分，已知点的横坐标为6，由点开始不断重复“”的过程，形成一组波浪线．若点与点均在该波浪线上，分别过、两点向轴作垂线段，垂足为和两点，则四边形的面积是（   ）． A．10 B． C． D．15 【答案】B 【详解】解：当时，，，当时，即，，， 又点在反比例函数的图象上，，反比例函数的关系式为， 当时，，点，当时，，点， 由图象的平移可得，，，，，，， ，，，，，， ，，，，，， 又，，， ，，，，故选：B． 2．（2025·成都·模拟预测）如图，在轴正半轴上依次截取，过点、分别作轴的垂线，与反比例函数的图像交于、，连接、、、、，在上取一点，使得，依次类推，在上取一点，使得，连接，则构成的一系列三角形（见图中阴影部分）的面积和是 【答案】 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， 设， 过点、分别作轴的垂线，与反比例函数的图像交于、，则……，，， ，，四边形、是矩形， ，，，，，， ，，， 同理可得，，，，，…… 观察发现，，，，……，则，，阴影部分的面积 ，故答案：． 3．（2025·成都·模拟预测）如图，，，是分别以，，为直角顶点，斜边在轴正半轴上的等腰直角三角形其中顶点，，均在反比例函数的图象上，则点的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：过、、．．．分别作x轴的垂线，垂足分别为、、．．． 则， ∵三角形是等腰直角三角形，∴，∴，，∴， ∵直角顶点在反比例函数，∴，即，∴，∴， 设坐标为，则，∵在上，∴，整理得，解得， ∵，∴，，∴，∴， 设坐标为，则，∵坐标在反比例函数，∴， 即，整理得，∴， ∵，∴，，∴， 总结：，，，…则， ∴，∴，故答案为： 类型4：二次函数中的规律探究 1．（2025·河南·一模）如图，分别过点作x轴的垂线，交的图像于点，交直线于点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据题意得：，∴， ∴ ．故选：B． 2．（2025·山东济南·校考一模）在平面直角坐标系中，正方形、、……；按如图的方式放置，点、、……在直线，点、、……在x轴上．抛物线过点、，且顶点在直线上，抛物线过点、 ，且顶点在直线上，……按此规律，抛物线过点、，且顶点也在直线上，抛物线的顶点坐标为(       ) A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：对于直线，设可得，∴， ∵四边形是正方形，∴，又点在直线上，∴， 又∵，∴抛物线的对称轴为直线，∴抛物线的顶点为， 设抛物线的解析式为：，∵过点，∴，解得， ∴抛物线的解析式为；将代入中，，∴， ∵四边形是正方形，∴，∴，∴抛物线的对称轴为直线， 把代入，得，∴抛物线的顶点为， ∴设抛物线的解析式为，将点代入，可得， ∴抛物线的解析式为；∵抛物线的顶点为， 抛物线的顶点为，抛物线的顶点为，… ∴抛物线的顶点坐标为．故选：D． 3．（25-26九年级上·辽宁鞍山·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，…，都在轴正半轴上，点在二次函数图象上，以，为邻边作平行四边形，且，延长与二次函数图象交于点；以，为邻边作平行四边形，且，延长与二次函数图象交于点；…；按此规律进行下去，若的横坐标为1，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵的横坐标为1，且在图象上，∴， 则：，易得的解析式为：， 又∵∴，即： 又∵为平行四边形，∴直线解析式为：（两直线平行，其解析式的系数相等） 联立，解得：或（舍去），即， 则：，，∴， 又∵为平行四边形，∴直线解析式为：， 联立，解得：或（舍去），即， 由，，，得，，，依此类推，故选：C． 4．（24-25九年级上·湖北武汉·月考）如图，直线经过点，一组抛物线的顶点，，，…，（n为正整数），依次是直线l上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是：，，，…，（n为正整数）．若，当d为（   ）时，这组抛物线中存在顶点与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形的抛物线． A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【详解】解：∵直线经过点，∴，∴直线． ∵抛物线关于其对称轴对称，∴抛物线顶点与x轴的两个交点构成的直角三角形必是等腰直角三角形， ∴该等腰直角三角形底边（斜边）上的高为其底边的一半． ∵，∴此时构成的等腰直角三角形的斜边长小于2， ∴该等腰直角三角形底边（斜边）上的高小于1，即抛物线顶点的纵坐标小于1． ∵抛物线的顶点，，，…，（n为正整数），依次是直线l上的点， ∴，，，…，∴只有，两点满足． 当为顶点时，；当为顶点时，．故选D． 考点二：新定义问题 类型1：坐标与函数定义中的新定义问题 1．（2025·广东惠州·三模）在平面直角坐标系中，若某个函数的图象关于原点对称，则称这个函数为奇函数．据此判断下列y关于x的函数中，奇函数有（    ） ①    ②    ③    ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：①为反比例函数，图象关于原点对称，故为奇函数； ②，图象为顶点为，对称轴为轴的抛物线，关于轴对称，不关于原点对称，故不是奇函数；③，是正比例函数，图象为经过原点的直线，关于原点对称，故为奇函数； ④在图象上任取一点，则关于原点对称的点为，当时，，∴在图象上， ∴图象关于原点对称，故是奇函数，∴①、③、④是奇函数，共3个，故选：C． 2．（2025·福建福州·三模）小明发现某些函数图像上的三点满足如下性质：对于任意非零实数k，存在位于y轴同侧的A、B、C三点，使这三点“横坐标之和”与“纵坐标之积”异号．下列函数不具备该性质的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵对于任意非零实数k，存在位于轴同侧的、、三点，使这三点“横坐标之和”与“纵坐标之积”异号；∴具备该性质的函数需满足，对于任意非零实数k，函数图象经过第二象限或者第四象限，∵当时，的图象经过第一、二、三象限， 当时，的图象经过第一、二、四象限，∴选项A不符合题意； ∵当时，的图象经过第一、二象限， 当时，的图象经过第三、四象限，∴选项B不符合题意； ∵当时，的图象经过第一、三象限， 当时，的图象经过第二、四象限，∴选项C符合题意； ∵当时，的图象经过第一、二象限， 当时，的图象经过第三、四象限，∴选项D不符合题意．故选：C． 3．（2025·上海·模拟预测）定义：对于定义域为的函数，若任取在中的实数、（），都有，则称为上的“下阶梯函数”；若，则为“上阶梯函数”，二者统称“阶梯函数”．若函数是定义域为全体实数的“阶梯函数”，且的图像连续不断，则下列说法错误的是（   ） A．可以是任意的一次函数 B．若对任意实数都有，则是“上阶梯函数” C．若是“下阶梯函数”，则对任意实数、，都有 D．若存在实数、使得，则的图像与轴有且只有一个交点 【答案】B 【详解】解：根据新定义可得：为上的“下阶梯函数”，则随增大而减小；为上的“上阶梯函数”，则随增大而增大； ∵函数是定义域为全体实数的“阶梯函数”，且的图像连续不断， ∴A、可以是任意的一次函数，选项说法正确，不符合题意； B、当时，由得到，此时是“下阶梯函数”，选项说法错误，符合题意； C、若是“下阶梯函数”，则对任意实数、，都有，，则，选项说法正确，不符合题意； D、若存在实数、使得，则和中一正一负，得到的图像与轴有且只有一个交点，选项说法正确，不符合题意；故选：B． 类型2：一次函数中的新定义问题 1．（2025·安徽合肥·三模）记住是两个实数a与b的一种运算．已知，函数为正比例函数，则（   ） A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】A 【详解】解：∵为正比例函数，∴设， ∵，∴只需令中即可， 即，∴，∴， ∴要求中，令，代入得∴，故选：A． 2．（2025·四川成都·三模）在平面直角坐标系中，对于两点，，给出如下定义：以线段为边的等边三角形称为点，的“确定三角形”．如果点在以边长为的等边的边上，且轴，的中点为，点在直线上，若要使所有的，的“确定三角形”的周长都不小于，那么的取值范围为 ．    【答案】或 【详解】解：等边的边长为，，， ，，，， 过作直线于点，设直线与x轴y轴分别交于点，如图：    当时，，当时，，，，， ∵点E，F的“确定三角形”是等边三角形，∴当点与点C重合时，点E到直线的距离最短， 此时点E，F的“确定三角形”边最短，即为的长，故“确定三角形”的周长最小， 在中，，点到直线的距离为， ，或，解得或．故答案为：或． 3．（24-25九年级下·湖北武汉·期末）1765年数学家欧拉在其著作《三角形几何学》中首次提出定理：三角形三边的垂直平分线的交点，三条中线的交点以及三条高线的交点在一条直线上，这条线也被称为欧拉线．如图，已知的三个顶点分别为，，，则的欧拉线的解析式为（ ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设边上的中线为交于点， 则点的坐标分别为、， 设直线的表达式为，则，解得， 故直线的表达式为①， 由点的坐标，同理可得直线的表达式为②， 联立①②并解得故点的坐标为； 设三角形三边的垂直平分线的交点，为，则， ∴， 解得．可得． 设该三角形的欧拉线方程为，将，代入可得： ，解得：，则该三角形的欧拉线方程为，故选：C． 类型3：反比例函数中的新定义问题 1．（2025·四川成都·二模）若点的坐标满足，其中，t为常数，则称点M为“好点”．若双曲线上存在“好点”，则k的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：双曲线上存在“好点”， ，①②得：，， ，，整理得：， ，，∴当时，k最大为，此时，不满足, 当时，k最小为，．故答案为：． 2．（24-25九年级下·江苏苏州·期中）在平面直角坐标系中，我们规定对于不在坐标轴上的任意一点，把点称为点的“倒影点”，直线上有两点，，它们的倒影点,均在反比例函数的图象上，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设点，，则，， ∵，∴，即， ∵均在反比例函数图象上，∴， ∴，解得，∴，故选：D． 3．（2025·湖南湘潭·模拟预测）初中阶段我们学习了一次函数、反比例函数、二次函数等，对于函数图象，它充分展现了函数的性质和特征，值得我们认真思考与理解．我们规定：一个函数图象与轴交点的横坐标称为这个函数的零点，下列对一些函数零点的说法正确的是（   ） A．函数有零点，则 B．一次函数有一个零点 C．函数一定没有零点 D．二次函数有两个零点和4 【答案】A 【详解】解：A. 函数有零点， 当时，是二次函数， 当时，，∴ 当时，是一次函数和与轴有交点，此时，满足．故A选项正确； B. 一次函数有一个零点，故该选项不正确，不符合题意； C. 函数当时有零点，故该选项不正确，不符合题意； D. 当时， 解得： 二次函数有两个零点和，故该选项不正确，不符合题意； 故选：A． 4．（25-26九年级上·山东济南·期中）若函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且，关于轴对称，则称函数和具有“对偶关系”，此时点或点的纵坐标称为“对偶值”．下列结论：①函数与函数不具有“对偶关系”；②函数与函数的“对偶值”为6；③若函数与函数的“对偶值”为，则；④若函数与函数具有“对偶关系”，则．其中正确结论的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：①设点在上，坐标为，则点在上，坐标为， 纵坐标相等，，解得：， 存在点和，关于轴对称，具有对偶关系，故①错误； ②由①可知对偶值为6，故②正确； ③对偶值为，则点在上，纵坐标为，，解得：， 点的坐标为；点与关于轴对称，点的坐标为在上， ，解得：，故③错误； ④设点在上，点坐标为，其中， 点与关于轴对称，，在上，，即 ，即，当时，,当时，， 的取值范围为，故④正确．综上，正确结论为，共个．故选：B． 类型4：二次函数中的新定义问题 1．（2025·成都·三模）定义：抛物线（a，m，k为常数，）中存在一点使得，则称为该抛物线的“相对深度”．根据上述定义解答问题：已知抛物线的“相对深度”为6，则a的值为 ． 【答案】 【详解】解：，，， 抛物线的“相对深度”为6，，， ，，， ，解得：，故答案为：． 2．（2025·成都·一模）对于一个二次函数中存在一点，使得，则称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线“开口大小”为 ． 【答案】 【详解】解：抛物线，，， ，，，解得：或， ，，，，故答案为：． 3．（2025·湖南邵阳·三模）定义：若一个函数的图象上存在横坐标和纵坐标互为相反数的点，则称该点为这个函数图象的“相反点”．根据定义，下列说法错误的是（    ） A．为函数图象的“相反点” B．函数的图象存在两个“相反点” C．为函数的图象上唯一的“相反点” D．当时，函数的图象上无“相反点” 【答案】C 【详解】解：A选项：在函数图象上，且横坐标与纵坐标互为相反数， 为函数图象的“相反点”，故A选项正确； B选项：当时，，点在函数的图象上， 当时，，点在函数的图象上， 函数的图象存在两个“相反点”，故B选项正确； C选项：当时，，点也是函数的图象上的“相反点”， 不是函数的图象上唯一的“相反点”，故C选项错误； D选项：函数的图象上无“相反点”，则函数与直线没有交点， 则方程无解，整理得：， ，解得：， 当时，函数的图象上无“相反点”，故D选项正确．故选：C． 考点三：函数图象与几何动态问题 类型1：函数图象与动点问题 1．（2025·安徽芜湖·二模）如图，为正方形的中心，分别为的中点，，点从点出发沿方向匀速运动，同时点从点出发沿方向匀速运动，两点运动速度相等，当点运动到点时，两点同时停止运动．设点运动的路程为的面积为，则随变化的函数图象大致是（   ） A．B．C．D． 【答案】A 【详解】解：两点运动速度相等，两点的运动路程相等， 当时，点在上，点在上，如图，    ，，，故图象是正比例函数， 当时，点在上，点在上，如图，此时， 为中点，，，点到的距离为， ，图象是开口向下的抛物线， 当时，点在上，点在上，如图， 此时，， ，，， ，图象与前一段函数一样， 据此判断A正确，故选：A． 2．（2025·山东东营·中考真题）如图，在同一平面内放置的和矩形，与重合，，，，以的速度沿方向匀速运动，当点F与点C重合时停止．在运动过程中，与矩形重叠部分的面积S（）与运动时间t（s）之间的函数关系图象大致是（    ） A．B．C．D． 【答案】B 【详解】解：如图，由题意知，，，则， ∴， ①当时，∵以的速度沿方向匀速运动，∴， ∵，，，∴，即， ； ②当时，； ③当时，如图，则，同理，， ；故选：B． 3．（2025·四川绵阳·一模）如图，腰长分别为2和4的两个等腰直角三角形，开始它们在左边重合，大直角三角形固定不动，然后把小直角三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止．设小直角三角形移动的距离为x，两个三角形重叠面积为y，则y关于x的函数图象大致是（   ） A．B．C．D． 【答案】A 【详解】解：∵腰长分别为2和4的两个等腰直角三角形，开始它们在左边重合，大直角三角形固定不动，然后把小直角三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止． ①时，两个等腰直角三角形重叠面积为小的等腰直角三角形的面积，∴； ②当时，依题意，，，移动距离 则∴ ∴重叠的面积=边长为的等腰直角三角形的面积，即， 此时是开口方向向上的二次函数， ③当时，两个三角形没有重叠的部分，即重叠面积为0，故选A． 类型2：函数与几何变换问题 1．（2025·江苏南京·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知下列变换：①沿轴翻折；②沿函数的图像翻折；③绕原点按顺时针方向旋转；④绕点按顺时针方向旋转．其中，能使函数的图像经过一种变换后过点的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：令则，∴，即，令，则，即， ∵沿轴翻折，∴沿轴翻折得 设的解析式为，把，代入 得，∴，则， ∴沿轴翻折不过点，∴①不符合题意； ②令则，解得，即经过点， 令，则即经过点，连接，如图所示： ∵，，，则，， ∴，∵，∴，∴是的垂直平分线， ∴与关于直线对称，故沿函数的图像翻折过点，∴②符合题意； ③，依题意，点绕着原点按逆时针方向旋转，与轴交于点， 当点在上，则绕原点按顺时针方向旋转经过点； 当点不在上，则绕原点按顺时针方向旋转不经过点；过程如下： ∴，此时点，把代入，得 ∴不在，即绕原点按顺时针方向旋转不经过点，故③不符合题意； ∵绕点按顺时针方向旋转，且，；∴记为T点，连接， ∴，∴， 则，∴，∴是等腰直角三角形， ∴点绕点按顺时针方向旋转，与点P重合， 故函数的图像绕点按顺时针方向旋转过点，∴④符合题意．故选：B． 2．（2025·江苏苏州·二模）在平面直角坐标系中，点是轴上一点，已知点（不与点重合），将点绕点逆时针方向旋转得到点，则称点、互为和谐点，把其中一个点叫做另一个点的和谐点．如图，已知点、，点在一次函数的图象上．若在线段上存在点的和谐点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： 如图1，B、P为和谐点，设，为等腰直角三角形， 过点P作轴于H，将点绕点逆时针方向旋转得到点，，． ，，．． 在和中．，． ，解得． 在图2中，A、P为和谐点，设，为等腰直角三角形，过点P作轴于H， 将点绕点逆时针方向旋转得到点，，． ，，． ． 在和中． ，．，解得．综上所述：．故选：B． 3．（2025·江苏泰州·三模）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数上，点是图像上的一个动点，当面积最大时，点绕点顺时针旋转，其对应点的坐标为，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：延长交y轴于点A，过点N作轴于点D，过点作轴于点B，交于点C，则，∴四边形是矩形，∴， ∵点在反比例函数上，∴， ∴，∴，∴，设直线解析式为， 则，解得，∴， 设过点P平行的直线解析式为，当面积最大时，与函数相切， ∴，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴，∴， 设直线解析式为，则，解得，∴， 当时，，∴，∴，∴， ∴由旋转知，，∴，∴， ∴， ∵，∴，∴是等边三角形， ∴，∴，∴， ∵，∴，∵，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴．故答案为：． 4．（25-26九年级上·四川成都·月考）对于平面直角坐标系内的点和图形，给出如下定义：如果点绕原点顺时针旋转得到点，点落在图形上或图形围成的区域内，那么称点是图形关于原点的“伴随点”．已知点，，，如果是双曲线和线段围成的封闭区域（含边界线），点是关于原点的“伴随点”，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点A作轴，轴，垂足分别为M，N， 则，由题意得：，， ∴，∴， ∴，∴，∴， 同理，绕点逆时针旋转得到，则，， 设直线的表达式为：，代入， 得：，解得：，直线为， 设经过点的双曲线为：，代入得：， ∴经过点的双曲线为， 是双曲线和线段、围成的封闭区域（含边界线），点是关于原点的“伴随点”，把代入得，，解得， 把代入得，，解得，的取值范围是． 故答案为：． 5．（2025·湖南娄底·二模）如图，长为8的线段的两个端点A、B分别在x轴和y轴上滑动，设线段的中点C的运动轨迹为W，当的图象与W只有1个交点时， ． 【答案】 【详解】解：∵，C是中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，已知，则,∴点C的运动轨迹是以原点为圆心，半径的圆， 设直线l与x轴的交点为M，与y轴的交点为N，作于点D，如下图： 当直线l与圆只有1个交点时，直线l与圆相切，此时圆心到直线l的距离等于圆的半径， ∴，在直线中，令，则，令，则求得， ∴，∴， ∵，，∴，∴,∴， ∵，∴，∴，∴．故答案为：． 考点四：其他函数综合问题 类型1：函数交点问题 1．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）我们把、、三个数的中位数记作，直线与函数的图象有且只有2个交点，则的值为（    ） A．或或1 B．或 C．或或1 D．2或 【答案】A 【详解】解：由题意，函数y=Z|2x-2，x+1，-x+1|的图象如图所示： 直线y=2x-2与直线y= x+1交于点（3，4）， 直线y=2x-2、y=-x+1与x轴交于点（1，0），直线y= x+1与y轴交于点（0，1）， ∵y=kx+与函数y=Z|2x-2，x+1，-x+1|的图象有且只有2个交点， 当直线y=kx+经过点（3，4）时，则4=3k+，解得k=，当直线y=kx+经过点（1，0）时，k=-， 当k=1时，平行于y=x+1，与函数y=Z|2x-2，x+1，-x+1|的图象也有且仅有两个交点； ∴直线直线y=kx+与函数y=Z|2x-2，x+1，-x+1|的图象有且只有2个交点，则k的取值为或-或1． 故选：A． 2.（2025·河北唐山·三模）题目：“如图，点在同一个反比例函数的图象上，线段和线段关于直线对称，点，分别是点，的对应点．若线段与坐标轴有交点，求整数的值．”甲答：，乙答：或6，则正确的是（   ） A．只有甲答的对 B．只有乙答的对 C．两人答案合在一起才完整 D．两人答案合在一起也不完整 【答案】D 【详解】解：根据题意作出点和点关于直线的对称点：点和点．直线交轴于点，交轴于点，如图： 点和点在同一个反比例函数图象上，，即：， 解得：，点坐标为，点坐标为， 过点作直线交于点，过点作交于点， 根据点的坐标可得，点在直线上；根据点的坐标可知点在直线上， 由求解出点的坐标为，由求解出点的坐标为， 根据轴对称的性质，点是线段的中点，点是线段的中点， ，，则，，同理可得：，， 当线段与轴有交点时，，即：，解得：， 当线段与轴有交点时，，即：，解得：， ，整数的值为2，3，4，5，6．故选：D． 3．（2025·湖北·三模）平移是重要的初等变换，如：向右平移1个单位可以得到；依据上述规律，可知方程的实数根的个数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【详解】解；∵，∴，∴， ∴方程的解的个数与方程的实数解个数相同， 二次函数的图象经过一、二象限，且顶点为原点，在第一象限内y随x增大而减小，在第二象限内y随x增大而减小，反比例函数的图象经过第二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大， 当时， ，，当时， ，， ∴当时，一定存在一个x的值使得和的函数值相同， 又∵在第二象限内，中，y随x增大而增大，中，y随x增大而减小， ∴在第二象限内，两个函数只有1个交点，∴方程只有一个实数解， ∴方程只有一个实数解，故选：D． 3．（25-26九年级上·成都·月考）如图，在平面直角坐标系中，字母“M”的五个顶点坐标分别为，，，，．若反比例函数的图象与字母“M”中的线段有2个交点，则的取值范围是 ． 【答案】或 【详解】解：如图，当反比例函数，过点时，只有一个交点； 如图，当反比例函数，过点时，此时交于点B和线段，故有两个交点； ∴此时； 如图，当反比例函数，过点时，此时交于点A和线段 ，故有四个交点； 如图，当反比例函数，过点时，此时交于点D和线段， ∴此时，∴当时，只交于线段，有两个交点； 如图，当反比例函数，过点时，只有一个交点； ∴此时，∴当时，只交于线段，有两个交点； 综上所述：当时，图象与字母“M”中的线段有2个交点；当时，图象与字母“M”中的线段有2个交点．故答案为：或. 5．（2025·贵州·三模）将抛物线的图象位于直线以上的部分向下翻折，得到如图图象，若直线与此图象有四个交点，则的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：令，则，解得或2，， 平移直线知：直线位于和时，它与新图象有三个不同的公共点． ①当直线位于时，此时过点，，即． ②当直线位于时，此时与函数的图象有一个公共点， 方程，即有两个相等实根，，即． 由①②知若直线与新图象只有四个交点，的取值范围为；故选：D．    类型2：函数中的整数点问题 1．（2025·河北邯郸·三模）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．已知双曲线与两坐标轴正半轴之间区域内（不含边界）有个整点，直线与两坐标轴围成的封闭图形内（不含边界）有个整点．若，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：令，则，令，则， 则直线与x轴交于，与y轴交于， 围成三角形区域，内部整点需满足：取（整数），满足（正整数）， 逐一代入计算：时，无解；时，（1个）；时，（2个）； 时，（3个）；时，（4个）．总计． 计算双曲线区域整点数m， A、当时，满足的正整数对有： 时，（3个）；时，（1个）；时，（1个）； 总计，与不相等．不符合题意． B、当时，满足的正整数对有： 时，（4个）；时，（2个）；时，（1个）；时，（1个）； 总计，与不相等．不符合题意． C、当时，满足的正整数对有： 时，（5个）；时，（2个）；时，（1个）； 时，（1个）；时，（1个）． 总计，与相等．符合题意． D、当时，满足的正整数对有： 时，（6个）；时，（3个）； 时，（2个）；时，（1个）； 时，（1个）；时，（1个）． 总计，与不相等．不符合题意． 综上，当时，，故选：C． 2．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）规定：在平面直角坐标系中，把横、纵坐标均为奇数的点称为“奇点”．双曲线如图所示，点在双曲线的上方，过点分别作轴、轴的垂线，与双曲线交于点，当由线段，曲线，线段围成的封闭区域内（不含边界）“奇点”的个数为6时，则符合条件的最大整数的值为 ． 【答案】20 【详解】解：由题意，当由线段，曲线，线段围成的封闭区域内（不含边界）“奇点”的个数为6时，如图， 当“奇点”为时，满足题意，且此时整数的值最大，反比例函数的图象经过，∴；故答案为：20． 3．（24-25九年级上·河北张家口·期末）如图，已知点，在反比例函数的图像上，规定横、纵坐标都是整数的点为整点，则直线与反比例函数图像围成的封闭图形内部（不包括边界）有 个整点． 【答案】3 【详解】解：∵已知点，在反比例函数的图像上， ∴，解得，，∴，， 设直线的解析式为，把，分别代入， 得，解得，∴直线的解析式为， ∵规定横、纵坐标都是整数的点为整点，∴当时，则，， ∵，∴是满足条件的整点；∴当时，则，， ∵，∴是满足条件的整点；∴当时，则，， ∵，∴是满足条件的整点； ∴当时，则，，此时不存在满足条件的整点，故答案为：3． 类型3：函数中的多结论问题 1．（2025·成都·模拟预测）已知函数．下面五个结论： ①图象过点；②图象的最低点坐标为；③图象无最高点且分为两段； ④若，在图象上且，则； ⑤若，在图象上，且，则． 其中正确的结论是 ．（填写序号） 【答案】①②③⑤ 【详解】解：函数为， 将代入函数解析式，函数图象过点，①正确； 函数，令，函数可化为， 是关于t的二次函数，开口方向向上，且对称轴为直线， 当时，函数有最低点，此时，当时，， 函数图象的最低点坐标为，②正确；由②知，函数有最低点无最高点， 函数，，即函数在处取不到函数，即函数图象为两段， 图象无最高点且分为两段，③正确； 若，在图象上且，令， ，，，④错误； ，在图象上，且， ，令，则有，， 对于函数，则有，， ，，，⑤正确 正确结论是①②③⑤．故答案为：①②③⑤． 2．（2025·成都·三模）现有y是关于x的二次函数，下列结论正确的是 ．（填写正确的序号） ①当时，函数图象的顶点坐标为；②当时，函数图象总过定点； ③当时，函数图象在x轴上截得的线段的长度大于； ④若函数图象上任取不同的两点、，则当且时一定能使成立． 【答案】①②③ 【详解】解：当时，，∴其顶点坐标为，故①正确； ∵， ∴当时，解得或， 当时，；当时，；∴图象过定点和，故②正确； ∵方程的根为，，且， ∴函数图象在x轴上截得的线段的长度为，故③正确； ∵该抛物线的对称轴为直线，∴当时，， 即抛物线的开口向下，且对称轴在的右侧，∴当时，则有， 此时，故④错误．故答案为：①②③． 3．（25-26九年级上·成都·月考）抛物线（b，c是常数）经过，两点，其中．下列五个结论：①；②当时，随的增大而增大；③若抛物线过点，则；④关于x的方程有实数根；⑤若，设抛物线顶点坐标为，则．其中正确的是 （填写序号）． 【答案】 【详解】由于抛物线经过和，所以和是方程的根，即的根．根据根与系数的关系，有． 由，得，所以，故正确； 抛物线的对称轴为，由于，所以，因此当时，函数递增，故正确； 若抛物线过点，代入得，即， 又，所以，故正确； 方程即，判别式．取，则， 无实根，故错误； 若，则，顶点坐标，，， 由，得，所以，故，故正确．故答案为：． 4．（25-26九年级上·重庆·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，直线与双曲线的另一个交点为．现给出下面个结论： ①；②一定是直角三角形；③存在实数，，使得； ④对于任意的正数，都存在，使得．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①③ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 【答案】C 【详解】解：连接，令与轴，轴分别交于，， 联立，整理得，解得：，， 则，， ∴，则，∴， ∵直线与双曲线的另一个交点为C，则点与点关于原点对称，∴，故①正确； 则，∵， ∴，∴为直角三角形，故②正确； 对于直线，当时，，当时，，则， ∴为等腰直角三角形，∴，由三角形外角可知，， ∴一定不是等腰直角三角形，故③不正确； ∵，，∴ ， 由，∴，则，当时，关于的方程都有解， ∴对于任意的正数k，都存在b，使得，故④正确；综上所述，正确的有①②④．故选：C． 1．（2025·吉林长春·模拟预测）如图，已知点，，点在线段上，当点不与点、重合时，将点绕点逆时针旋转得到点，若点在反比例函数的图象上，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：点，，直线为，即， 在线段上，点不与点、重合，可设， 又点绕点逆时针旋转得到点，， 又在反比例函数上，， ，．故选：C． 2．（25-26九年级上·山东济宁·期中）如图，一段抛物线记为，它与轴交于两点，，将绕旋转得到，交轴于点，将绕旋转得到，交轴于点，照这样的规律进行下去，则抛物线的顶点坐标是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：当时，，解得，，∴点的坐标为， ∵抛物线由抛物线绕旋转得到，抛物线由抛物线绕旋转得到，， ∴抛物线的二次项系数与抛物线相同，即， 由中心对称的性质可知，，∴，， ∴抛物线的解析式为，其对称轴为直线， 当时，，∴抛物线的顶点坐标为．故选：A． 3．（2025·湖北·二模）平移是初中学习过的重要初等变换，如：抛物线向右平移两个单位可以得到抛物线．依据这个规律，则方程的根的个数共有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】C 【详解】解：∵∴∴ ∴函数与函数，都向右平移两个单位，∴交点个数与的交点个数相同， ∵，反比例函数位于一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小，列表 x … 1 2 3 … 3 1.5 1 描点，连线如图 二次函数顶点为，对称轴y轴，函数图像经过一、二象限，在第一象限，随x的增大而增大， 列表 x … 0 1 2 … … 4 1 0 1 1 … 描点连线 ∴两函数只有一个交点，∴只有一个交点，∴方程的只有一个根．故选：C． 4．（24-25九年级上·湖南怀化·期末）我们规定：横、纵坐标都是整数的点叫做整点．在平面直角坐标系中，双曲线与直线交于第一象限内的点，点在射线上，分别过点作轴、轴的垂线，交双曲线于点，将线段和函数的图像在之间的部分围成的区域（不含边界）记为区域．如果区域内恰有8个整点，那么点的横坐标的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：依题意，如图所示： 则区域W内恰有8个整点，由图可知点P只能位于A的上方如图： 如图，当P的纵坐标为7时，横坐标为，即， 结合图象可知，当时，区域内有8个整数点． 结合图象可知，当P的纵坐标大于7时，则横坐标大于， 则区域W内的整点数大于，故不符合题意，舍去； 结合图象可知，当P的纵坐标小于或等于6时，则横坐标小于或等于2， 则区域W内的整点数小于，故不符合题意，舍去；故答案为：． 5．（2025·山东泰安·二模）研究数轴我们可以发现许多重要的规律．例如：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离，线段的中点表示的数为．若，数轴上动点Q表示的数为x，点Q到点A，B的距离和为S．则下列结论正确：①；②当时，S随x的增大而增大；③S的最小值不随x的变化而变化；④线段、的中点之间的距离为．其中正确结论的序号是 ． 【答案】①②③ 【详解】解：①，正确，符合题意； ②当时，则，， ∵，∴S随x的增大而增大，故②正确，符合题意； ③当点Q位于A、B之间时，即，S有最小值，最小值为， ∴S的最小值不随x的变化而变化，故③正确，符合题意； ④的中点表示的数为，的中点表示的数为， ∴线段、的中点之间的距离为， 故④错误，不符合题意．故答案为：①②③． 1．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图为某函数的图像，当时，图像上存在个不同的点使得恒成立，则的最大值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】解：设，则……，， 即点，，……，在正比例函数上， 如图，正比例函数的图象与某函数的图象（）最多有4个交点， ∴k的最大取值为4，故选：C． 2．（2025·上海·模拟预测）定义：若在同一个三角形的三边中，一条边是另外两边的比例中项，则称该三角形是关于这条边的“边积三角形”．记的三边长为a、b、c，若且是“边积三角形”，则下列说法错误的是（   ） A．a、b、c一定满足 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．事件“是直角三角形”的概率为0 【答案】D 【详解】解：A选项：且是“边积三角形”， ，，故A选项正确，不符合题意； 设，B选项：则有，，，，， ，，是的边，， 不等式两边同时除以，可得：，移项得：，令， 则二次函数的图象开口向上，当时，可得：，解得：，， 当时，成立，又，， 当时，，，故选项正确，不符合题意； 选项：由得，， 又，∴，则，∴， ∴，即，故选项正确，不符合题意； 选项：若是直角三角形，则有， ，等号两边同时除以，得， 则有，解得由选项可知，在取值范围内， 故存在“边积三角形”是直角三角形的概率不为，故选项错误，符合题意．故选：． 3．（25-26九年级上·四川眉山·月考）我们定义一种新函数：形如（，）的函数叫做“鹊桥”函数．某数学兴趣小组画出了“鹊桥”函数：的图象（如图所示），并写出了下列结论：①图象与坐标轴的交点为，，； ②当时，函数取得最大值；③当或时，函数值随值的增大而增大； ④若在函数图象上，则也在函数图象上；⑤当直线与函数的图象有2个交点时，则的取值范围是或者．其中正确的结论有（    ） A．①②③ B．①③④ C．①③⑤ D．②③④ 【答案】C 【详解】解：对于①，，令，则，． 令，即，解得或，，，①正确，符合题意； 对于②，由图可知，函数无最大值，故②错误，不符合题意； 对于③， 函数的图象与轴的交点为，， 结合图象可知，函数图象的对称轴为直线， 当或时，函数值随值的增大而增大，故③正确，符合题意； 对于④：函数图象的对称轴为直线，而， 若在函数图象上，则不一定在函数图象上，故④错误，不符合题意； 对于⑤：如图，当直线过点时，直线与函数的图象恰好有三个交点， 把代入中得，，解得； 当直线过点时，直线与函数的图象恰好有一个交点， 把代入中得，，解得； 根据函数图象，当时，直线与函数的图象有2个交点． 当时，，， 当直线与函数的图象只有一个交点时，直线与函数恰好有三个交点， 令，整理得，，，解得， 结合图象可知，当时，直线与函数的图象有2个交点． 综上所述，当直线与函数的图象有2个交点时，的取值范围为或，故⑤正确，符合题意．综上所述，正确的结论有①③⑤．故选：C． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 函数 专题01 坐标与函数中的选填压轴问题 目 录 刷考点 精准巩固，扫清盲区 提能力 聚焦过程，优化策略 测综合 跨界融合，挑战创新 考点一：规律探究问题 类型1：坐标中的规律探究 1．（2025·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点，，，，，…所在直线与x轴交于点，点，，，，…都在x轴上，，，，…都是等腰直角三角形，则等腰直角三角形的腰长为 ． 2．（24-25九年级上·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，正方形的位置如图所示，点的坐标为，点的坐标为．延长交轴于点，作正方形；延长交轴于点，作正方形，……，按这样的规律进行下去，正方形的面积为 ． 3．（2025·北京·模拟预测）如图，四边形是边长为1的正方形，点，分别在x轴，y轴的负半轴上．连接，以的长为边长向右侧作正方形，点在y轴的负半轴上，点在x轴的正半轴上；连接，以的长为边长向上方作正方形，点，分别在x轴，y轴的正半轴上；…；按照这个规律进行下去，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 类型2：一次函数中的规律探究 1．（2025·成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，，过点作轴的垂线交直线于点，连接，得到，过点作，交直线于点，得到，过点作⊥轴于点，过点作，交直线于点，得到，…如此下去，得到，设，，…的面积分别为，，…，依据图形所反映的规律， ． 2.（2025·成都·模拟预测）在平面直角坐标系中，正方形，按如图所示的方式放置、点和点分别在直线和轴上、已知，则点的坐标是 ． 3．（2025·成都·一模）在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，如图所示，依次作正方形、正方形、正方形、…、正方形，使得点在直线l上，点在y轴正半轴上，则点的横坐标是 ． 类型3：反比例函数中的规律探究 1．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，线段是直线的一部分，点是直线与轴的交点，点的纵坐标为6，曲线是双曲线的一部分，已知点的横坐标为6，由点开始不断重复“”的过程，形成一组波浪线．若点与点均在该波浪线上，分别过、两点向轴作垂线段，垂足为和两点，则四边形的面积是（   ）． A．10 B． C． D．15 2．（2025·成都·模拟预测）如图，在轴正半轴上依次截取，过点、分别作轴的垂线，与反比例函数的图像交于、，连接、、、、，在上取一点，使得，依次类推，在上取一点，使得，连接，则构成的一系列三角形（见图中阴影部分）的面积和是 3．（2025·成都·模拟预测）如图，，，是分别以，，为直角顶点，斜边在轴正半轴上的等腰直角三角形其中顶点，，均在反比例函数的图象上，则点的坐标为 ． 类型4：二次函数中的规律探究 1．（2025·河南·一模）如图，分别过点作x轴的垂线，交的图像于点，交直线于点，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·山东济南·校考一模）在平面直角坐标系中，正方形、、……；按如图的方式放置，点、、……在直线，点、、……在x轴上．抛物线过点、，且顶点在直线上，抛物线过点、 ，且顶点在直线上，……按此规律，抛物线过点、，且顶点也在直线上，抛物线的顶点坐标为(       ) A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·辽宁鞍山·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，…，都在轴正半轴上，点在二次函数图象上，以，为邻边作平行四边形，且，延长与二次函数图象交于点；以，为邻边作平行四边形，且，延长与二次函数图象交于点；…；按此规律进行下去，若的横坐标为1，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·湖北武汉·月考）如图，直线经过点，一组抛物线的顶点，，，…，（n为正整数），依次是直线l上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是：，，，…，（n为正整数）．若，当d为（   ）时，这组抛物线中存在顶点与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形的抛物线． A． B．或 C．或 D．或 考点二：新定义问题 类型1：坐标与函数定义中的新定义问题 1．（2025·广东惠州·三模）在平面直角坐标系中，若某个函数的图象关于原点对称，则称这个函数为奇函数．据此判断下列y关于x的函数中，奇函数有（    ） ①    ②    ③    ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2025·福建福州·三模）小明发现某些函数图像上的三点满足如下性质：对于任意非零实数k，存在位于y轴同侧的A、B、C三点，使这三点“横坐标之和”与“纵坐标之积”异号．下列函数不具备该性质的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·上海·模拟预测）定义：对于定义域为的函数，若任取在中的实数、（），都有，则称为上的“下阶梯函数”；若，则为“上阶梯函数”，二者统称“阶梯函数”．若函数是定义域为全体实数的“阶梯函数”，且的图像连续不断，则下列说法错误的是（   ） A．可以是任意的一次函数 B．若对任意实数都有，则是“上阶梯函数” C．若是“下阶梯函数”，则对任意实数、，都有 D．若存在实数、使得，则的图像与轴有且只有一个交点 类型2：一次函数中的新定义问题 1．（2025·安徽合肥·三模）记住是两个实数a与b的一种运算．已知，函数为正比例函数，则（   ） A．12 B．16 C．20 D．24 2．（2025·四川成都·三模）在平面直角坐标系中，对于两点，，给出如下定义：以线段为边的等边三角形称为点，的“确定三角形”．如果点在以边长为的等边的边上，且轴，的中点为，点在直线上，若要使所有的，的“确定三角形”的周长都不小于，那么的取值范围为 ．    3．（24-25九年级下·湖北武汉·期末）1765年数学家欧拉在其著作《三角形几何学》中首次提出定理：三角形三边的垂直平分线的交点，三条中线的交点以及三条高线的交点在一条直线上，这条线也被称为欧拉线．如图，已知的三个顶点分别为，，，则的欧拉线的解析式为（ ）    A． B． C． D． 类型3：反比例函数中的新定义问题 1．（2025·四川成都·二模）若点的坐标满足，其中，t为常数，则称点M为“好点”．若双曲线上存在“好点”，则k的取值范围是 ． 2．（24-25九年级下·江苏苏州·期中）在平面直角坐标系中，我们规定对于不在坐标轴上的任意一点，把点称为点的“倒影点”，直线上有两点，，它们的倒影点,均在反比例函数的图象上，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·湖南湘潭·模拟预测）初中阶段我们学习了一次函数、反比例函数、二次函数等，对于函数图象，它充分展现了函数的性质和特征，值得我们认真思考与理解．我们规定：一个函数图象与轴交点的横坐标称为这个函数的零点，下列对一些函数零点的说法正确的是（   ） A．函数有零点，则 B．一次函数有一个零点 C．函数一定没有零点 D．二次函数有两个零点和4 4．（25-26九年级上·山东济南·期中）若函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且，关于轴对称，则称函数和具有“对偶关系”，此时点或点的纵坐标称为“对偶值”．下列结论：①函数与函数不具有“对偶关系”；②函数与函数的“对偶值”为6；③若函数与函数的“对偶值”为，则；④若函数与函数具有“对偶关系”，则．其中正确结论的个数是（    ） A． B． C． D． 类型4：二次函数中的新定义问题 1．（2025·成都·三模）定义：抛物线（a，m，k为常数，）中存在一点使得，则称为该抛物线的“相对深度”．根据上述定义解答问题：已知抛物线的“相对深度”为6，则a的值为 ． 2．（2025·成都·一模）对于一个二次函数中存在一点，使得，则称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线“开口大小”为 ． 3．（2025·湖南邵阳·三模）定义：若一个函数的图象上存在横坐标和纵坐标互为相反数的点，则称该点为这个函数图象的“相反点”．根据定义，下列说法错误的是（    ） A．为函数图象的“相反点” B．函数的图象存在两个“相反点” C．为函数的图象上唯一的“相反点” D．当时，函数的图象上无“相反点” 考点三：函数图象与几何动态问题 类型1：函数图象与动点问题 1．（2025·安徽芜湖·二模）如图，为正方形的中心，分别为的中点，，点从点出发沿方向匀速运动，同时点从点出发沿方向匀速运动，两点运动速度相等，当点运动到点时，两点同时停止运动．设点运动的路程为的面积为，则随变化的函数图象大致是（   ） A．B．C．D．  2．（2025·山东东营·中考真题）如图，在同一平面内放置的和矩形，与重合，，，，以的速度沿方向匀速运动，当点F与点C重合时停止．在运动过程中，与矩形重叠部分的面积S（）与运动时间t（s）之间的函数关系图象大致是（    ） A．B．C．D． 3．（2025·四川绵阳·一模）如图，腰长分别为2和4的两个等腰直角三角形，开始它们在左边重合，大直角三角形固定不动，然后把小直角三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止．设小直角三角形移动的距离为x，两个三角形重叠面积为y，则y关于x的函数图象大致是（   ） A．B．C．D． 类型2：函数与几何变换问题 1．（2025·江苏南京·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知下列变换：①沿轴翻折；②沿函数的图像翻折；③绕原点按顺时针方向旋转；④绕点按顺时针方向旋转．其中，能使函数的图像经过一种变换后过点的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2025·江苏苏州·二模）在平面直角坐标系中，点是轴上一点，已知点（不与点重合），将点绕点逆时针方向旋转得到点，则称点、互为和谐点，把其中一个点叫做另一个点的和谐点．如图，已知点、，点在一次函数的图象上．若在线段上存在点的和谐点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏泰州·三模）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数上，点是图像上的一个动点，当面积最大时，点绕点顺时针旋转，其对应点的坐标为，则的值为 ． 4．（25-26九年级上·四川成都·月考）对于平面直角坐标系内的点和图形，给出如下定义：如果点绕原点顺时针旋转得到点，点落在图形上或图形围成的区域内，那么称点是图形关于原点的“伴随点”．已知点，，，如果是双曲线和线段围成的封闭区域（含边界线），点是关于原点的“伴随点”，则的取值范围是 ． 5．（2025·湖南娄底·二模）如图，长为8的线段的两个端点A、B分别在x轴和y轴上滑动，设线段的中点C的运动轨迹为W，当的图象与W只有1个交点时， ． 考点四：其他函数综合问题 类型1：函数交点问题 1．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）我们把、、三个数的中位数记作，直线与函数的图象有且只有2个交点，则的值为（    ） A．或或1 B．或 C．或或1 D．2或 2.（2025·河北唐山·三模）题目：“如图，点在同一个反比例函数的图象上，线段和线段关于直线对称，点，分别是点，的对应点．若线段与坐标轴有交点，求整数的值．”甲答：，乙答：或6，则正确的是（   ） A．只有甲答的对 B．只有乙答的对 C．两人答案合在一起才完整 D．两人答案合在一起也不完整 3．（2025·湖北·三模）平移是重要的初等变换，如：向右平移1个单位可以得到；依据上述规律，可知方程的实数根的个数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．（25-26九年级上·成都·月考）如图，在平面直角坐标系中，字母“M”的五个顶点坐标分别为，，，，．若反比例函数的图象与字母“M”中的线段有2个交点，则的取值范围是 ． 5．（2025·贵州·三模）将抛物线的图象位于直线以上的部分向下翻折，得到如图图象，若直线与此图象有四个交点，则的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 类型2：函数中的整数点问题 1．（2025·河北邯郸·三模）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．已知双曲线与两坐标轴正半轴之间区域内（不含边界）有个整点，直线与两坐标轴围成的封闭图形内（不含边界）有个整点．若，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）规定：在平面直角坐标系中，把横、纵坐标均为奇数的点称为“奇点”．双曲线如图所示，点在双曲线的上方，过点分别作轴、轴的垂线，与双曲线交于点，当由线段，曲线，线段围成的封闭区域内（不含边界）“奇点”的个数为6时，则符合条件的最大整数的值为 ． 3．（24-25九年级上·河北张家口·期末）如图，已知点，在反比例函数的图像上，规定横、纵坐标都是整数的点为整点，则直线与反比例函数图像围成的封闭图形内部（不包括边界）有 个整点． 类型3：函数中的多结论问题 1．（2025·成都·模拟预测）已知函数．下面五个结论： ①图象过点；②图象的最低点坐标为；③图象无最高点且分为两段； ④若，在图象上且，则； ⑤若，在图象上，且，则． 其中正确的结论是 ．（填写序号） 2．（2025·成都·三模）现有y是关于x的二次函数，下列结论正确的是 ．（填写正确的序号） ①当时，函数图象的顶点坐标为；②当时，函数图象总过定点； ③当时，函数图象在x轴上截得的线段的长度大于； ④若函数图象上任取不同的两点、，则当且时一定能使成立． 3．（25-26九年级上·成都·月考）抛物线（b，c是常数）经过，两点，其中．下列五个结论：①；②当时，随的增大而增大；③若抛物线过点，则；④关于x的方程有实数根；⑤若，设抛物线顶点坐标为，则．其中正确的是 （填写序号）． 4．（25-26九年级上·重庆·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，直线与双曲线的另一个交点为．现给出下面个结论： ①；②一定是直角三角形；③存在实数，，使得； ④对于任意的正数，都存在，使得．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①③ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 1．（2025·吉林长春·模拟预测）如图，已知点，，点在线段上，当点不与点、重合时，将点绕点逆时针旋转得到点，若点在反比例函数的图象上，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·山东济宁·期中）如图，一段抛物线记为，它与轴交于两点，，将绕旋转得到，交轴于点，将绕旋转得到，交轴于点，照这样的规律进行下去，则抛物线的顶点坐标是（    ）． A． B． C． D． 3．（2025·湖北·二模）平移是初中学习过的重要初等变换，如：抛物线向右平移两个单位可以得到抛物线．依据这个规律，则方程的根的个数共有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 4．（24-25九年级上·湖南怀化·期末）我们规定：横、纵坐标都是整数的点叫做整点．在平面直角坐标系中，双曲线与直线交于第一象限内的点，点在射线上，分别过点作轴、轴的垂线，交双曲线于点，将线段和函数的图像在之间的部分围成的区域（不含边界）记为区域．如果区域内恰有8个整点，那么点的横坐标的取值范围是 ． 5．（2025·山东泰安·二模）研究数轴我们可以发现许多重要的规律．例如：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离，线段的中点表示的数为．若，数轴上动点Q表示的数为x，点Q到点A，B的距离和为S．则下列结论正确：①；②当时，S随x的增大而增大；③S的最小值不随x的变化而变化；④线段、的中点之间的距离为．其中正确结论的序号是 ． 1．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图为某函数的图像，当时，图像上存在个不同的点使得恒成立，则的最大值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2025·上海·模拟预测）定义：若在同一个三角形的三边中，一条边是另外两边的比例中项，则称该三角形是关于这条边的“边积三角形”．记的三边长为a、b、c，若且是“边积三角形”，则下列说法错误的是（   ） A．a、b、c一定满足 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．事件“是直角三角形”的概率为0 3．（25-26九年级上·四川眉山·月考）我们定义一种新函数：形如（，）的函数叫做“鹊桥”函数．某数学兴趣小组画出了“鹊桥”函数：的图象（如图所示），并写出了下列结论：①图象与坐标轴的交点为，，； ②当时，函数取得最大值；③当或时，函数值随值的增大而增大； ④若在函数图象上，则也在函数图象上；⑤当直线与函数的图象有2个交点时，则的取值范围是或者．其中正确的结论有（    ） A．①②③ B．①③④ C．①③⑤ D．②③④ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $