专题1.3.1 函数的单调性与导数（高效培优讲义）高二数学湘教版选择性必修第二册

专题1.3.1 函数的单调性与导数 教学目标 1理解函数单调性与导数之间的内在联系，明确函数在某区间内的导数符号与单调性的对应关系。 2.熟练掌握利用导数求解函数单调区间的方法，能准确求解初等函数的单调区间。 3.能结合导数的几何意义，解释导数符号对函数单调性的影响。 教学重难点 1.重点： （1）掌握函数在某区间内导数的正负与函数单调性的对应关系：导数大于 0 时函数单调递增，导数小于 0 时函数单调递减。 （2）能熟练运用导数的运算法则计算函数导数，并准确求解各类初等函数的单调区间。 （3）理解利用导数研究函数单调性的本质，能将单调性问题转化为导数符号的判断问题。 2.难点： （1）深入理解导数与函数单调性关系的推导过程，从导数的几何意义（切线斜率）和瞬时变化率角度，解释为何导数符号能决定函数的增减。 （2）处理导数为 0 的特殊情况，理解 “导数等于 0 时函数在该点不增不减，不影响区间整体单调性” 的内涵。 （3）面对含参数的函数时，能根据参数的取值范围分类讨论导数的符号，进而确定函数的单调区间。 （4）实现从 “定义法判断单调性” 到 “导数法判断单调性” 的思维转变，理解导数工具的优越性和适用场景。 知识点01 函数的单调性与导数 1.函数的单调性与导数正负的关系 【即学即练】（25-26高三上·北京东城·期末）设函数，则（   ） A．是偶函数，且在区间上单调递增 B．是奇函数，且在区间上单调递增 C．是偶函数，且在区间上单调递减 D．是奇函数，且在区间上单调递减 【答案】A 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】先根据函数的奇偶性定义进行判断，然后对函数求导判断函数的单调性. 【详解】因为函数，所以. 所以是偶函数，选项B,D错误； 当时，，求导得 且等号仅在时成立，不构成区间. 所以在区间上单调递增. 综上，是偶函数，且在区间上单调递增. 故选：A. 题型01 判断函数的单调性 【典例1】（多选）（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）下列函数中，在上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】利用导数分析各函数在上的单调性，可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，对函数求导得， 当时，；当时，. 故函数在上单调递增，在上单调递减，A不符合条件； 对于B选项，对函数求导得，当时，. 故函数在上单调递增，B符合条件； 对于C选项，对函数求导得，当时，. 故函数在上单调递增，C符合条件； 对于D选项，对函数求导得对任意的恒成立， 故函数在上单调递增，D符合条件. 故选：BCD. 【变式1-1】（多选）（25-26高二上·全国·期末）下列函数在区间上不单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】对A选项，根据解析式判断函数单调性，对B，C，D选项，求导并利用导数正负判断函数单调性. 【详解】在A选项中，的定义域为，在上单调递增，在上单调递增，不满足在上单调递增， 在B选项中，因为，所以在上单调递减，不满足在上单调递增， 在C选项中，因为，所以在上单调递增， 在D选项中，因为，在区间上，，单调递减，在区间上，，单调递增，所以不满足在上单调递增. 故选：ABD. 【变式1-2】（多选）（23-24高二下·福建福州·期中）下列函数在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】根据导数判断AC的单调性，根据基本初等函数单调性判断BD. 【详解】对A，，当时，，故函数在上单调递减，故A正确； 对B，为上的减函数，故B正确； 对C，，故函数在上单调递增，故C错误； 对D，在上单调递减，故D正确. 故选：ABD 【变式1-3】（多选）（23-24高二上·重庆·期末）下列函数在定义域上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】结合选项中的函数，求得相应的导数，结合导函数的符号，即可判定函数的单调，得到答案． 【详解】对于A中，函数，可得，当时，，单调递增； 当时，，单调递减，所以A不符合题意, 对于B,函数（），可得，当时，，单调递增；故B符合， 对于C中，,则，故单调递增；故C符合， 对于D，函数，可得，当或时，，单调递增； 当时，，单调递减，所以D不符合题意； 故选：BC． 题型02 求不含参函数的单调区间 【典例2】（25-26高二上·上海·月考）已知函数，则的单调增区间为 【答案】 【知识点】求对数型复合函数的定义域、导数的运算法则、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】求出函数的定义域，利用导数求出函数的单调增区间. 【详解】由，得. 所以函数的定义域为. . 因为，所以不等式恒成立. 因为，所以恒成立，所以是增函数. 所以的单调增区间是. 【变式2-1】（25-26高二上·黑龙江牡丹江·期末）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】求导，令，解不等式求解单调区间即可. 【详解】由题意得，定义域为，， 令，解得， 故函数的单调递减区间是. 故选：C 【变式2-2】（24-25高二下·福建泉州·月考）函数的单调减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】求导，令导数小于零求解． 【详解】函数的定义域为， ， 由得，所以的单调减区间为. 故选：D. 【变式2-3】（2025·四川·模拟预测）已知函数，则的单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】求出函数的定义域，解不等式，即可得出函数的增区间. 【详解】函数的定义域为，则， 因为，由，可得， 故函数的单调递增区间为. 故选：A. 题型03 根据函数的单调性求参数 【典例3】（25-26高三上·河北石家庄·月考）已知函数. (1)若在上单调递减，求实数的取值范围； (2)若在上存在单调递减区间，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】由函数的单调区间求参数、由函数在区间上的单调性求参数 【分析】（1）函数在上单调递减，转化为恒成立，进而用分离参数法求出实数a的取值范围； （2）由在上存在单调递减区间，得到有解，用分离参数法求出实数a的取值范围． 【详解】（1），， ∵在上单调递减， ∴当时，恒成立，即恒成立， ∵，时， ∴当，即时，取最大值， ∴，又， ∴实数a的取值范围是． （2）∵在上存在单调递减区间， ∴当时，有解，即有解， ∵，时， ∴当，即时，取最小值， ∴，又， ∴实数a的取值范围是． 【变式3-1】（24-25高二下·江苏南京·期末）若函数在定义域内单调递减，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】根据给定条件，利用导数结合单调性建立恒成立的不等式求解. 【详解】函数在定义域为R，求导得， 依题意，，即恒成立，而，则， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 【变式3-2】（25-26高二上·河北沧州·期末）已知函数在定义域上不是单调函数，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】分析可知导函数的函数值既有正值又有负值，结合判别式运算求解即可. 【详解】因为， 若函数在定义域上不是单调函数， 可知导函数的函数值既有正值又有负值，则，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 【变式3-3】（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知函数在区间上存在单调递减区间，则a的取值范围为 . 【答案】 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】问题等价于在有解，再应用参变分离法解之，构造函数，只需即可. 【详解】由函数，可得， 因为函数在区间上存在单调递减区间， 即在有解，即在有解， 设，可得， 所以函数在单调递增，所以，所以. 故答案为：. 题型04 根据函数的单调区间求参数 【典例4】（24-25高二下·北京西城·期末）若函数，在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由函数的单调区间求参数、根据分段函数的单调性求参数 【分析】由题意可得在时恒成立，在时恒成立，且在时的值小于在时的最小值，从而计算即可得. 【详解】当时，， 则在时恒成立， 则与共零点， 故，解得，即， 当时，， 则在时恒成立，则， 由在区间上单调递增， 则，解得， 综上可得. 故选：B. 【变式4-1】（2025·吉林松原·模拟预测）若函数的减区间为，则的值为（    ） A．3 B．1 C． D． 【答案】A 【知识点】由函数的单调区间求参数 【分析】根据题意，求得，结合的解集为，列出方程组，即可求解. 【详解】由函数，可得， 因为函数的减区间为，即不等式的解集为， 所以，且，解得， 所以且，解得. 故选：A. 【变式4-2】（25-26高三上·贵州黔东南·期中）已知函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由函数的单调区间求参数、由函数在区间上的单调性求参数 【分析】根据在上单调递增，将问题转化为在恒成立即可求解． 【详解】， 若在上单调递增，则在恒成立， 即， 令，其对称轴为，所以的最大值为， 故只需．即． 故选：D． 【变式4-3】（2025·四川泸州·一模）若函数在单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由函数的单调区间求参数、由函数在区间上的单调性求参数 【分析】先对函数求导，根据导数的函数性质结合零点取值得出已知条件恒成立时需满足的条件，再讨论的符号得出的取值范围． 【详解】函数，求导得， 当时，，在R上单调递增，不合题意； 令，解得或， 若函数在单调递减，则在恒成立， 当时，，， 当时，，， 的取值范围为. 故选：C． 题型05 函数的图象问题 【典例5】（23-24高二下·重庆·期中）已知函数，其中e为自然对数的底数，下列四个图象中的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、函数图像的识别 【分析】根据函数值的特征排除A，利用导数说明函数的单调性，即可排除B、D. 【详解】因为，所以当时，当时，，故排除A， 又， 令，则， 因为与在上单调递增， 所以在上单调递增， 又，， 所以使得， 所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又，，， 所以当时，即，则单调递增， 当时，即，则单调递增， 且在上有解，即在上有解， 所以在上存在单调递减区间，故排除B、D. 故选：C 【变式5-1】（25-26高二上·云南昆明·期末）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】函数奇偶性的应用、函数图像的识别、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】根据函数的奇偶性和特殊值进行判断. 【详解】由题可知函数的定义域为， 因为， 所以函数为奇函数，图象关于原点对称，故排除B； 又，故排除D； 又， 所以， ， 即在上存在零点， 所以函数在内存在极值点，故排除C， 故选：A 【变式5-2】（24-25高二下·山西晋中·月考）已知是的导函数，且，则的图象不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数图像的识别、用导数判断或证明已知函数的单调性、函数极值点的辨析 【分析】根据设，分析的取值，结合函数图象可确定答案. 【详解】设， A.当，，时，， 函数为开口向下的二次函数，对称轴为轴，满足要求，A正确； B.∵时，，时，，∴. 由图象得，为开口向上的二次函数，即， 由得，故，对称轴为轴，不合要求，B错误； C.由图象可得为奇函数，且，故， ∴， 当时，恒成立，在上单调递增，满足要求，C正确； D.∵时，，∴， 由，得，， 由图象得，，的极小值点为，极大值点大于，即，故. 由得，，由得，或， ∴在上单调递增，在和上单调递减，满足要求，D正确. 故选：B. 【变式5-3】（2024·福建·模拟预测）函数在上的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数图像的识别、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】根据函数的奇偶性，求导确定单调性即可判断. 【详解】因为，所以， 所以函数为偶函数，图象关于轴对称，故排除答案CD， 又，， 设，，则，. 所以在上为增函数，又， 所以在上恒成立，即在上单调递增，故排除B. 故选：A 题型06 导函数的图象问题 【典例6】（24-25高二下·云南昆明·月考）已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（   ） A. B． C． D． 【答案】A 【知识点】函数与导函数图象之间的关系 【分析】应用导函数正负与函数单调性的关系判断B，C，再根据导函数的函数值变化得出原函数的切线斜率变换判断A，D. 【详解】从导函数的图象可以看出，图象全部在轴上方，导函数值大于0，所以原函数的图象必然单调递增，排除B，C； 且导函数的函数值在区间上递减，即原函数在区间上的切线斜率递减， 导函数的函数值在区间上递增，即原函数在区间上的切线斜率递增，D选项错误. 故选:A 【变式6-1】（24-25高二下·四川成都·期中）可导函数的导函数的图象如图所示，则下列判断正确的是（   ） A．函数在区间上单调递增 B．函数在区间上单调递减 C．函数在区间上单调递增 D．函数在区间上单调递减 【答案】C 【知识点】函数与导函数图象之间的关系、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】根据图象确定在各个区间的正负，从而得到在各个区间上的单调性，进而做出判断. 【详解】由图象可知，在上，在上， 所以在，上单调递减，在，上单调递增， 所以在，，上不单调，故A，B，D错误， 在上单调递增，故C正确. 故选：C． 【变式6-2】（24-25高二下·广东·期中）若函数的导函数为偶函数，且其导函数的图象如图所示，则下列叙述不正确的是（   ） A．在与处的瞬时增长率相同 B．可能为奇函数 C．在上不单调 D． 【答案】C 【知识点】比较函数值的大小关系、函数与导函数图象之间的关系、用导数判断或证明已知函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断 【分析】根据给定的导函数图象及性质判断A；举例说明判断B；根据导数的正负得出函数单调性，判断C；借助导数在上的单调性质确定在上的凹凸性判断D． 【详解】对于A，由函数的导函数为偶函数，得， 因此在与处的瞬时增长率相同，A正确； 对于B，函数的导函数符合给定图象，函数是奇函数，B正确； 对于C，当时，，因此在上单调递减，C错误； 对于D，当时，且函数在上单调递增，则函数在上为凹函数， 如图，在凹函数定义域内，观察图象得， 因此，即，D正确， 故选：C． 【变式6-3】（24-25高二下·江苏南通·月考）已知函数的导函数的图象如图所示，则该函数的图象可能是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】B 【知识点】函数与导函数图象之间的关系 【分析】根据导函数的正负确定原函数的单调性，即可结合图形求解. 【详解】由的图象可知：当和时，，故在单调递减， 当和时，，故在，单调递增， 故B正确， 故选：B 题型07 比较函数值的大小 【典例7】（25-26高三上·湖南·期中）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较函数值的大小关系 【分析】构造函数、，结合导数讨论两函数单调性即可得解. 【详解】令，则， 则当时，，故在上单调递减， 则，即，故， 令，则， 令，则，故在上单调递增， 则当时，，则在上单调递增， 则， 即，故，故有. 故选：A. 【变式7-1】（25-26高三上·天津和平·月考）已知函数，，若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较对数式的大小、比较函数值的大小关系 【分析】由导数知识可得在R上单调递增，然后比较三者大小关系结合单调性可得答案. 【详解】，则在R上单调递增. 又，， 注意到，则，则， 因为在R上单调递增. 所以， 即. 故选：A 【变式7-2】（24-25高二上·湖南长沙·期末）设则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较对数式的大小 【详解】根据已知条件构造函数，利用导数判断函数在区间单调递增，根据函数的单调性得不等式，可得. 【解答过程】设，（），则. 令得，所以函数在区间单调递增. 因为，所以， 即，即，所以. 故选：B. 【变式7-3】（25-26高二上·江苏南京·月考）已知，，，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较函数值的大小关系 【分析】构造函数，利用导数分析函数的单调性，可得出，，，结合函数的单调性可得出、、的大小关系. 【详解】根据式子结构，构造函数，则， 令，则，令，得， 因此在单调递增，在单调递减， 而，，， 因为，所以，即 故选：D. 题型08 解不等式问题 【典例8】（25-26高二上·河北衡水·期末）已知函数是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为 ． 【答案】 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】构造函数，利用导数及题目信息证明函数在上单调递增，所求不等式可化为，利用单调性解不等式即可求出答案. 【详解】因为且，所以， 设，则， 所以在上单调递增， 对于不等式， 整理得，即， 根据函数的单调性及其定义域得， 解得， 所以不等式的解集为． 故答案为：. 【变式8-1】（25-26高二上·黑龙江大庆·期末）已知可导函数的导函数为，若对任意的，都有，且函数为奇函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数奇偶性的应用、用导数判断或证明已知函数的单调性、构造函数、根据函数的单调性解不等式 【分析】由题意，构造函数，求出函数的导数，结合已知不等式可得在上单调递增，由函数为奇函数，可求得，然后结合函数单调性解不等式即可. 【详解】由题意，构造函数， 则， 因为对任意的，都有，所以， 所以，所以在上单调递增， 又因为是奇函数， 所以令，得，所以， 所以， 不等式等价于，即， 又在上单调递增，，所以， 所以不等式的解集为. 故选：D. 【变式8-2】（2025高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为，其导函数是，且满足，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】令并求导，结合题意可得在上单调递减，从而等价于，即，进而得出答案. 【详解】 令，，则， 因为，所以，所以在上单调递减， 所以等价于，即， 所以，即不等式的解集为． 故选：A． 【变式8-3】（24-25高二下·上海徐汇·期中）函数，的图像如图所示，设的导函数为，则的解集为 ． 【答案】 【知识点】函数与导函数图象之间的关系 【分析】先由图像分析出的正负，直接解不等式即可得到答案. 【详解】由函数的图像可知, 在区间上单调递减,在区间上单调递增，即当时, ;当时, . 因为可化为或，解得：， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 题型09 含参数函数的单调性问题 【典例9】（25-26高二·全国·假期作业）已知函数．若，讨论的单调性； 【答案】答案见解析 【知识点】导数的运算法则、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】求导函数，再因式分解得，得到两根，对两根比较大小分三种情况讨论单调性； 【详解】因为，定义域为， 所以， 当时，令，得，． （ⅰ）若，即， 则当或时，， 当时，， 则的单调递增区间为，， 单调递减区间为； （ⅱ）若，即时， 则当或时，； 当时，； 则的单调递增区间为，， 单调递减区间为； （ⅲ）若，即时，，在上单调递增． 综上所述，当时， 的单调递增区间为，， 单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为，， 单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间． 【变式9-1】（25-26高二·全国·假期作业）已知函数．讨论在上的单调性. 【答案】答案见解析 【知识点】利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】利用导函数研究函数的单调性，根据的范围对参数进行分类讨论，确定的符号，从而确定函数的单调性. 【详解】由，得， 由，得. ① 当时，，则，在上单调递增； ② 当时，，则，在上单调递减； ③ 当时，由，解得， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减. 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 【变式9-2】（25-26高二·全国·假期作业）已知函数，求函数的单调区间. 【答案】答案见解析 【知识点】利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】先确定函数定义域，求导后根据分子二次函数的判别式对参数分情况讨论导数符号，进而确定函数的单调区间. 【详解】函数的定义域为， 求导得，方程中，， 当时，，，函数在上单调递增； 当时，，方程的二根为， 当时，由根与系数的关系可知且，故两根均为负数， 因此有，由，得或；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，当时，函数的递增区间为； 当时，函数的递增区间为， 递减区间为； 当时，函数的递增区间为， 递减区间为. 【变式9-3】（25-26高二·全国·假期作业）已知函数．讨论函数的单调性. 【答案】答案见解析 【知识点】利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】求出函数的导数，对m进行分类讨论即可得结果. 【详解】已知，函数定义域为R， 可得， 当时，，所以在R上单调递减； 当时，因为是开口向上的二次函数，且， 若，即时，，所以；所以在R上单调递减； 若，即时，此时方程有两个根， 所以当或者时，，即， 当时，，即， 所以在和上为减函数， 在上为增函数； 当时，因为是开口向下的二次函数，且， 此时方程有两个根， 所以当或者时，，即， 当时，，即， 所以在和上为增函数， 在上为减函数； 综上所述，当时，函数在R上单调递减； 当时，函数在和上为减函数， 在上为增函数； 当时，函数在和上为增函数， 在上为减函数. 题型10 根据图象比较导数值的大小 【典例10】（25-26高二·全国·假期作业）若函数部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数与导函数图象之间的关系、求曲线切线的斜率（倾斜角） 【分析】结合导数的几何意义及函数的增长趋势判断即可． 【详解】由图可知，单调递增，且增长趋势越来越慢， 表示函数在处切线的斜率，表示函数在处切线的斜率， 表示点与两点连线的斜率， 由图可知 故选：D． 【变式10-1】（25-26高二上·全国·期末）已知函数的部分图象如图所示，其导函数为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数与导函数图象之间的关系、求曲线切线的斜率（倾斜角） 【分析】根据导数的几何意义判断． 【详解】由的单调性可知，，而， 又的图象在处切线的倾斜角大于在处切线的倾斜角，因此， 所以． 故选：D． 【变式10-2】（24-25高二下·辽宁·期末）已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数与导函数图象之间的关系、平均变化率 【分析】根据函数单调性以及曲线在某一点导数的几何意义即可判断. 【详解】由题可知：函数为单调递增且为上凸函数， 所以， 即. 故选：B. 【变式10-3】（24-25高二下·浙江·期中）已知可导函数的部分图象如图所示，，为函数的导函数，下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】函数与导函数图象之间的关系 【分析】由函数图象确定函数单调区间，得到的正负，再逐个判断即可. 【详解】由函数图象可知：恒成立，且， 当时，单调递减，，所以 当时，单调递增，，所以， 当时，取得极小值，所以， 所以成立，成立，故A、B一定成立； 由的几何意义为函数图象分别在处的切线斜率， 由函数图象可知，函数图象在上升越来越快，可判断，故D一定成立； 而对于的大小，由现有条件无法判断. 故选：C. 一、单选题 1．（20-21高二上·甘肃平凉·期末）设函数可导，的图象如图所示，则导函数图象可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】函数与导函数图象之间的关系 【分析】根据图象的单调性与导函数的符号之间的关系逐项分析判断. 【详解】由图象知，，的图象为增函数，则， 故排除B，D. 当时，的图象先增，后减，再增， 所以的图象先正，后负，再正，所以A正确，C错误. 故选：A 2．（25-26高二上·宁夏石嘴山·月考）已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数与导函数图象之间的关系 【分析】根据函数单调性以及曲线在某一点导数的几何意义可知. 【详解】由题可知：函数为单调递增，且在区间内为下凸函数， 所以，即. 故选：B 3．（2025高二上·全国·专题练习）已知函数的部分图象如图所示，其导函数为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角）、函数与导函数图象之间的关系 【分析】根据函数单调性和导数正负的关系，可判断，，，再根据在该点处切线倾斜角的大小，可比较，即可得出最终答案. 【详解】由的单调性可知，，而，； 又的图象在处切线的倾斜角大于在处切线的倾斜角，因此，所以； 故选：D． 4．（24-25高二下·江西·期末）若是定义在区间上的函数，其图象如图所示，设的导函数为，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数与导函数图象之间的关系 【分析】结合图象，利用导数与函数单调性间的关系，得和时，的取值范围，即可求解. 【详解】由图可知的减区间为，，增区间为， 所以当时，，当时，， 又由图知，当时，，当时，， 所以的解集为， 故选：B. 5．（24-25高二下·河南洛阳·期末）函数的图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】函数与导函数图象之间的关系 【分析】先求解出，再根据的图象分析的取值情况，由此判断出结果. 【详解】因为，所以， 由图象可知：先增后减再增，所以先为正，再为负，最后又为正，所以， 因为为的两个极值点，且，所以，所以， 又因为，所以. 由结合图象可知的一正一负两根中，正根的绝对值大于负根的绝对值， 故两根之和大于0，即. 由可知. 综上可知：，，，. 故选：C. 6．（2025高二·全国·专题练习）函数的单调增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】根据函数的导数大于0可得增区间. 【详解】因为，. 则， 由，解得，此时单调递增. 故选：B 7．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）若函数定义在上且可导，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数证明不等式、比较函数值的大小关系 【分析】先构造函数，再由已知结合导函数运算律构造函数的导函数，再根据导函数得出函数单调性列式求解. 【详解】根据可得， 可知当时，，即， 所以可知函数在上是增函数，即， 从而得， 故选：A． 8．（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知是定义在上的函数的导函数，且，则、、的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较函数值的大小关系 【分析】构造函数，其中，利用导数分析函数的单调性，即可得出、、的大小关系. 【详解】构造函数，其中，则， 所以函数在上为增函数， 因为，且，，， 因此. 故选：C. 二、多选题 9．（24-25高二下·福建泉州·月考）是定义在上的非负可导函数，且满足，对任意正数、，若，则有（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】由可以判断项，令，通过单调性可以判断C项． 【详解】，且，， ，即在上是减函数， 又，，，B、D正确， 令，则， ，在上是减函数， 由，得，故C正确. 故选：BCD 10.（24-25高二下·广西河池·月考）如果函数对定义域内的任意实数，都有，则称函数为“函数”.下列函数是内的“函数”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】令，则，可得函数在定义域内是单调递增函数，称函数为“F函数”，逐项验证可得答案． 【详解】令，则， 即函数在定义域内是单调递增函数，称函数为“F函数”． 对于A，，，， 当时，，单调递增，则函数是“F函数”．故A正确； 对于B，，，， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 不符合在定义域内是单调递增函数，则函数不是“F函数”．故B错误； 对于C，，，， 所以单调递增函数，则函数是“F函数”．故C正确； 对于D，，，， 当时，，单调递减，不符合在定义域内是单调递增函数， 则函数不是“F函数”．故D错误. 故选：AC. 11．（25-26高二上·江西·月考）已知为上的奇函数，，为的导函数，且当时，，则（   ） A．当时， B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】设，由已知得出为上奇函数，且在和上单调递减，即可判断各选项． 【详解】设，则， 当时，0，所以， 所以在上单调递减， 又为上的奇函数，所以为上的奇函数， 所以在上也单调递减， 因为，所以，， 当时，，即时，， 因为，所以，故A正确； 因为在上单调递减， 所以，即， 所以，故B正确； 因为在上单调递减， 所以，即，故C错误； 因为在上单调递减， 所以，即， 所以，故D正确， 故选：ABD． 三、填空题 12．（24-25高二下·甘肃临夏·期末）已知函数在定义域上是增函数，则实数的取值范围为 . 【答案】 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、基本不等式求和的最小值 【分析】由在恒成立求解. 【详解】函数的定义域为，因为函数在定义域上是增函数， 所以在恒成立， 所以在恒成立，所以 因为，所以. 故答案为：. 【点睛】若在是增函数，则恒成立；若在是减函数，则恒成立. 13．（23-24高二下·湖北黄冈·月考）如图所示为函数的图象，则不等式的解集为    【答案】 【知识点】函数与导函数图象之间的关系、分式不等式、根据函数的单调性解不等式 【分析】利用图象判断的单调性，进而得到的正负，最后求出不等式解集即可. 【详解】由图象得在，上单调递增，在上单调递减， 则当时，，当时，， 若，则当时，或当时，， 当，时，解得， 当，时，解得， 综上可得不等式的解集为. 故答案为： 14．（25-26高二上·云南玉溪·月考）已知函数在上单调递减，则实数a的最小整数是 . 【答案】5 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】由题意在上恒成立，再参变分离求导分析单调性求解最值即可. 【详解】由题意得的定义域为. 在上恒成立，即在上恒成立. 设，则，. 当时，， 所以在上单调递增，所以，所以， 即实数a的最小整数是5. 故答案为：5 四、解答题 15．（25-26高二上·湖南长沙·月考）已知函数在点处的切线与直线垂直. (1)求实数的值； (2)求的单调区间. 【答案】(1) (2)的递增区间为、，递减区间为 【知识点】已知切线（斜率）求参数、利用导数求函数的单调区间（不含参）、已知直线垂直求参数 【分析】（1）求导，根据两直线垂直得到切线斜率，由导数几何意义得到方程，求出； （2）求定义域，求导，得到不等式，求出单调区间. 【详解】（1）， 则， 由题意可得， 解得. （2）由，故，定义域， 则，， 由0得到，1. 故当时，，当时，，当时，， 故的递增区间为、，的递减区间为. 16.（25-26高二上·江苏南通·月考）已知函数，. (1)若曲线在处的切线与直线垂直，求的值； (2)讨论的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】已知切线（斜率）求参数、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）利用导数的几何意义得，再结合条件得，即可求解； （2）由，分和两种情况，利用导数与函数的单调性间的关系，即可求解. 【详解】（1）因为，则， 又曲线在处的切线与直线垂直，则，解得. （2）易知，又， 当时，恒成立，在上单调递增， 当时，令，得到（舍）或， 当时，，当时，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增. 17．（25-26高二上·河北衡水·期末）已知函数，且． (1)求的值； (2)讨论的单调性． 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】利用导数求函数（含参）的单调区间、已知某点处的导数值求参数或自变量 【分析】（1）求导，结合代入求解即可； （2）整理可得，分类讨论二次项系数和两根大小，利用导数分析原函数单调性. 【详解】（1）因为，则， 可得，解得. （2）由（1）可知， （i）当时，则， 令，解得；令，解得； 所以在上单调递增，在上单调递减； （ⅱ）当时，令，解得或， ①当，即时， 令，解得；令，解得或； 所以在上单调递增，在和上单调递减； ②当，即时，则，可知在上单调递减； ③当，即时，令，解得；令，解得或； 所以在上单调递增，在和上单调递减； 综上所述，当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.3.1 函数的单调性与导数 教学目标 1理解函数单调性与导数之间的内在联系，明确函数在某区间内的导数符号与单调性的对应关系。 2.熟练掌握利用导数求解函数单调区间的方法，能准确求解初等函数的单调区间。 3.能结合导数的几何意义，解释导数符号对函数单调性的影响。 教学重难点 1.重点： （1）掌握函数在某区间内导数的正负与函数单调性的对应关系：导数大于 0 时函数单调递增，导数小于 0 时函数单调递减。 （2）能熟练运用导数的运算法则计算函数导数，并准确求解各类初等函数的单调区间。 （3）理解利用导数研究函数单调性的本质，能将单调性问题转化为导数符号的判断问题。 2.难点： （1）深入理解导数与函数单调性关系的推导过程，从导数的几何意义（切线斜率）和瞬时变化率角度，解释为何导数符号能决定函数的增减。 （2）处理导数为 0 的特殊情况，理解 “导数等于 0 时函数在该点不增不减，不影响区间整体单调性” 的内涵。 （3）面对含参数的函数时，能根据参数的取值范围分类讨论导数的符号，进而确定函数的单调区间。 （4）实现从 “定义法判断单调性” 到 “导数法判断单调性” 的思维转变，理解导数工具的优越性和适用场景。 知识点01 函数的单调性与导数 1.函数的单调性与导数正负的关系 【即学即练】（25-26高三上·北京东城·期末）设函数，则（   ） A．是偶函数，且在区间上单调递增 B．是奇函数，且在区间上单调递增 C．是偶函数，且在区间上单调递减 D．是奇函数，且在区间上单调递减 题型01 判断函数的单调性 【典例1】（多选）（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）下列函数中，在上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（多选）（25-26高二上·全国·期末）下列函数在区间上不单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（多选）（23-24高二下·福建福州·期中）下列函数在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（多选）（23-24高二上·重庆·期末）下列函数在定义域上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 题型02 求不含参函数的单调区间 【典例2】（25-26高二上·上海·月考）已知函数，则的单调增区间为 【变式2-1】（25-26高二上·黑龙江牡丹江·期末）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高二下·福建泉州·月考）函数的单调减区间为（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2025·四川·模拟预测）已知函数，则的单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 题型03 根据函数的单调性求参数 【典例3】（25-26高三上·河北石家庄·月考）已知函数. (1)若在上单调递减，求实数的取值范围； (2)若在上存在单调递减区间，求实数的取值范围. 【变式3-1】（24-25高二下·江苏南京·期末）若函数在定义域内单调递减，则实数的取值范围是 ． 【变式3-2】（25-26高二上·河北沧州·期末）已知函数在定义域上不是单调函数，则实数的取值范围是 ． 【变式3-3】（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知函数在区间上存在单调递减区间，则a的取值范围为 . 题型04 根据函数的单调区间求参数 【典例4】（24-25高二下·北京西城·期末）若函数，在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2025·吉林松原·模拟预测）若函数的减区间为，则的值为（    ） A．3 B．1 C． D． 【变式4-2】（25-26高三上·贵州黔东南·期中）已知函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2025·四川泸州·一模）若函数在单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型05 函数的图象问题 【典例5】（23-24高二下·重庆·期中）已知函数，其中e为自然对数的底数，下列四个图象中的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高二上·云南昆明·期末）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25高二下·山西晋中·月考）已知是的导函数，且，则的图象不可能是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2024·福建·模拟预测）函数在上的图象大致为（   ） A． B． C． D． 题型06 导函数的图象问题 【典例6】（24-25高二下·云南昆明·月考）已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（   ） A. B． C． D． 【变式6-1】（24-25高二下·四川成都·期中）可导函数的导函数的图象如图所示，则下列判断正确的是（   ） A．函数在区间上单调递增 B．函数在区间上单调递减 C．函数在区间上单调递增 D．函数在区间上单调递减 【变式6-2】（24-25高二下·广东·期中）若函数的导函数为偶函数，且其导函数的图象如图所示，则下列叙述不正确的是（   ） A．在与处的瞬时增长率相同 B．可能为奇函数 C．在上不单调 D． 【变式6-3】（24-25高二下·江苏南通·月考）已知函数的导函数的图象如图所示，则该函数的图象可能是（    ）    A．   B．   C．   D．   题型07 比较函数值的大小 【典例7】（25-26高三上·湖南·期中）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26高三上·天津和平·月考）已知函数，，若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25高二上·湖南长沙·期末）设则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（25-26高二上·江苏南京·月考）已知，，，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 题型08 解不等式问题 【典例8】（25-26高二上·河北衡水·期末）已知函数是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为 ． 【变式8-1】（25-26高二上·黑龙江大庆·期末）已知可导函数的导函数为，若对任意的，都有，且函数为奇函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】（2025高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为，其导函数是，且满足，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式8-3】（24-25高二下·上海徐汇·期中）函数，的图像如图所示，设的导函数为，则的解集为 ． 题型09 含参数函数的单调性问题 【典例9】（25-26高二·全国·假期作业）已知函数．若，讨论的单调性； 【变式9-1】（25-26高二·全国·假期作业）已知函数．讨论在上的单调性. 【变式9-2】（25-26高二·全国·假期作业）已知函数，求函数的单调区间. 【变式9-3】（25-26高二·全国·假期作业）已知函数．讨论函数的单调性. 题型10 根据图象比较导数值的大小 【典例10】（25-26高二·全国·假期作业）若函数部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】（25-26高二上·全国·期末）已知函数的部分图象如图所示，其导函数为，则（ ） A． B． C． D． 【变式10-2】（24-25高二下·辽宁·期末）已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A． B． C． D． 【变式10-3】（24-25高二下·浙江·期中）已知可导函数的部分图象如图所示，，为函数的导函数，下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（20-21高二上·甘肃平凉·期末）设函数可导，的图象如图所示，则导函数图象可能为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·宁夏石嘴山·月考）已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A． B． C． D． 3．（2025高二上·全国·专题练习）已知函数的部分图象如图所示，其导函数为，则（ ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·江西·期末）若是定义在区间上的函数，其图象如图所示，设的导函数为，则的解集为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·河南洛阳·期末）函数的图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 6．（2025高二·全国·专题练习）函数的单调增区间为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）若函数定义在上且可导，则（   ） A． B． C． D． 8．（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知是定义在上的函数的导函数，且，则、、的大小关系为（　　） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高二下·福建泉州·月考）是定义在上的非负可导函数，且满足，对任意正数、，若，则有（   ） A． B． C． D． 10.（24-25高二下·广西河池·月考）如果函数对定义域内的任意实数，都有，则称函数为“函数”.下列函数是内的“函数”的是（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高二上·江西·月考）已知为上的奇函数，，为的导函数，且当时，，则（   ） A．当时， B． C． D． 三、填空题 12．（24-25高二下·甘肃临夏·期末）已知函数在定义域上是增函数，则实数的取值范围为 . 13．（23-24高二下·湖北黄冈·月考）如图所示为函数的图象，则不等式的解集为    14．（25-26高二上·云南玉溪·月考）已知函数在上单调递减，则实数a的最小整数是 . 四、解答题 15．（25-26高二上·湖南长沙·月考）已知函数在点处的切线与直线垂直. (1)求实数的值； (2)求的单调区间. 16.（25-26高二上·江苏南通·月考）已知函数，. (1)若曲线在处的切线与直线垂直，求的值； (2)讨论的单调性. 17．（25-26高二上·河北衡水·期末）已知函数，且． (1)求的值； (2)讨论的单调性． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $