8.2平行四边形（题型专练）数学新教材青岛版八年级下册

8.2平行四边形 题型一 平行四边形的性质的应用   1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，对角线，交于点O，EF过点O．下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、面积转化，掌握利用平行四边形的对角线性质和全等三角形证明线段与面积关系是解题的关键． 逐一分析四个结论，结合平行四边形性质与全等三角形判定判断正误． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴，． 在中： ∴， ∴，．故①②正确． ∵，， ∴， 即，故④正确． 无法确定，故③不正确． 综上所述，正确结论的个数为． 故选：C． 2．（23-24八年级下·四川雅安·期末）如图，在平行四边形中，平分，对角线，相交于点，连接，下列结论中正确的有（   ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质，角平分线的定义，根据平行四边形的性质得出，，，，推出是等边三角形，再证明，得出，得出即可判断①④；根据，，可判断②正确，根据，，，，可判断③错误． 【详解】解：在平行四边形中， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴；， 故①、④正确； ∵， ∴， 故②正确； ∵，，， ∴， 故③错误， 正确的有3个， 故选：C． 3．如图，在中，，点在边上，以为边作，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，平行四边形的性质，掌握等腰三角形的两个底角相等，平行四边形的对角相等是解本题的关键．根据等腰三角形的性质可求，再根据平行四边形的性质可求． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴． 故选：． 4．如图，的对角线、相交于点O，且，，则的周长是（　　） A．10 B．14 C．20 D．22 【答案】B 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质，正确得出的值是解题关键． 直接利用平行四边形的性质得出，，再利用已知求出的长，进而得出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴的周长为． 5．在中，对角线相交于点O，，则边的长度x的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了平行四边形的性质，三角形三边的关系．熟练掌握平行四边形的对角线互相平分是解答本题的关键．根据平行四边形的性质，可求得与的长，然后由三角形三边关系可求得x的取值范围． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ， ， ∴边的长度x的取值范围是：，即， 故选：． 题型二平行四边形的判定的应用    1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，对角线AC，BD相交于点O，E，F是对角线AC上的两点．给出下列四个条件：①；②；③；④．其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有（    ）    A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，对角线互相平分的四边形是平行四边形，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 根据平行四边形的判定方法一一判断即可． 【详解】解：①∵四边形是平行四边形， ， 又， ∴四边形是平行四边形； 故①能判定四边形是平行四边形，不符合题意； ②时，不能证明， 故②不能判定四边形是平行四边形； ③∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴， 在和中， ， ， 又， ，即， 又， ∴四边形是平行四边形； 故③能判定四边形是平行四边形，不符合题意； ④∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴， 在和中， ， ， 又， ，即， 又， ∴四边形是平行四边形； 故④能判定四边形是平行四边形，不符合题意； 综上所述，只有②不能判定四边形是平行四边形 故选：B． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）下面给出的是四边形中，，，的度数比．其中能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．4∶3∶2∶1 B．3∶2∶3∶2 C．3∶3∶2∶2 D．3∶2∶2∶1 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的判定，运用了两组对角分别相等的四边形是平行四边形这一判定方法． 由“两组对角对边相等的四边形是平行四边形”进行判断即可． 【详解】解：∵对角相等的四边形是平行四边形， ∴能判定四边形是平行四边形的是． 故选：B． 3．（24-25八年级下·辽宁大连·月考）已知，如图，在中，过中点O的直线分别交的延长线于点E、F，连接．求证：四边形为平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，证明是解答关键．先利用四边形是平行四边形，易证，进而得到，即可证明． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在与中，， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形． 4．（24-25八年级下·广东惠州·期中）如图，和都是等边三角形，点D在边上，边上有一点F，且，连接、． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，等边三角形的判定与性质，平行线的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质，利用即可证明； （2）由全等三角形的性质和等边三角形的性质，结合，可推出，，即为等边三角形，进而得到，，推出，最后由对边相等且平行即可判定四边形为平行四边形． 【详解】（1）证明：和都是等边三角形， ，，， ，即， ； （2）证明：， ，， 又， 是等边三角形， ， ， 为等边三角形． ， 是等边三角形， ， ， ，即， ，， ， 四边形是平行四边形． 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，在四边形ABCD中，，，，，，．试判断四边形ABCD的形状，并说明理由． 【答案】四边形ABCD是平行四边形．理由见解析 【分析】根据垂直利用勾股定理即可求得的值，然后就可知道四边形的边长，即可判断四边形的形状； 本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 【详解】，，，， ， 即， 解得， ∴，，， ，， ∴四边形ABCD是平行四边形． 题型三 两平行线间的距离  1．（22-23七年级下·湖南株洲·期中）如图，已知梯形中，，和相交于点G，和相交于点H，，，则阴影部分的面积为 ． 【答案】/ 【分析】此题主要考查利用平行线的间距解决问题，三角形面积公式的综合应用，以及等底等高的两三角形面积相等，连接，由，，可得出，进一步可得出，同理：，则． 【详解】解：连接， ∵，， ∴ ∴； 同理： ∴． 故答案为：． 2．（22-23七年级下·广西南宁·月考）如图，直线，且，则直线与直线之间的距离是 ．    【答案】12 【分析】设直线与直线之间的距离是h，由题意得，，计算求解即可． 【详解】解：设直线与直线之间的距离是h， ∵ ∴HG2+GI2=HI2 ∴△HGI是Rt△ 由题意得，， ∴， ∴直线与直线之间的距离是12， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了三角形的面积，平行线间的距离，解题的关键在于根据等面积法求三角形的高． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，，E，F为上的两点，M，N为上的两点，连接，且，则与有怎样的大小关系？请说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题主要考查垂线段最短，根据垂线段最短解答即可． 【详解】解：．理由如下： 如图，过点作于点，则． 因为，所以． 4．（2024六年级下·重庆渝中·专题练习）如图，在梯形中，对角线相交于点，．，求的面积． 【答案】100 【分析】本题考查求组合图形面积的相关计算，解题关键在于明确梯形两底之间的距离处处相等并能找到三角形面积的和差关系．利用平行直线之间的距离处处相等，求出的面积，在求出的面积，根据几何关系即可求得答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ，即， ． 题型四 中位线定理的应用  1．如图，在四边形中，点是对角线的中点，点分别是边的中点，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，由题意可得是的中位线，是的中位线，得到，，即得，进而得到，据此即可求解，掌握了三角形中位线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵点是对角线的中点，点分别是边的中点， ∴是的中位线，是的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 2．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，是的中点，连接，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形中位线的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键； 根据题意可得O是的中点，利用三角形的中位线的性质即可求解． 【详解】因为四边形是平行四边形， 所以对角线、互相平分， 即O是的中点， 又是的中点， 所以是中位线， 所以， 所以． 故选：B． 3．如图，中，，，，，，求的值。 【答案】7 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，延长交于，可证得，得到，可证得是的中位线，从而得出的值，进一步可得出结果． 【详解】解：如图，延长交于， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ∴是的中位线， ， 。 题型一 折叠问题 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，将沿AC所在直线折叠，点B恰好落在BA延长线上的点处，交AD于点E．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，平行线的性质，掌握翻折前和翻折后对应角相等是解题的关键． 由平行四边形的性质可得，，再由，可得，再由折叠的性质和平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质可知，， ∵， ∴． 故选：A． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）将一张平行四边形纸片折叠成如图所示的图形，为折痕，点的对应点为．若，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了翻折的变换，掌握翻折的性质、平行四边形的性质及三角形的内角和定理是解题的关键． 由折叠的性质，得，，根据平行四边形的性质结合两直线平行同位角相等可得，再由三角形的内角和为可求出的度数，即为的度数． 【详解】解：如图，设与交于点． 由折叠的性质，得，， ． 四边形是平行四边形， ， ． 在中，， －， ． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在中，点E在边上，以为折痕，将向上翻折，使点A恰好落在边上的点F处．若的周长为8，的周长为32，则的周长为 ． 【答案】40 【分析】本题考查了平行四边形的性质及图形翻折的性质．利用平行四边形的性质和折叠的性质，分别找出、与平行四边形边长的关系，进而求出平行四边形的周长． 【详解】解：由题意知， ，， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∵由翻折得到， ∴，， ∴，， ∴， 即平行四边形的周长为40． 故答案为：40． 4．（2026八年级下·全国·专题练习）（1）如图①，的对角线，相交于点，直线过点，与，分别交于点，．求证：． （2）如图②，将沿过对角线交点的直线折叠，使点落在点处，点落在点处，交于点，与，分别交于点，．求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）利用平行四边形对角线互相平分、对边平行的性质，得到线段和角的相等关系，证明三角形全等，从而推出； （2）结合第一问的结论与折叠的性质，得到线段相等，再通过平行四边形的角的关系，证明另一组三角形全等，进而推出． 【详解】证明：（1）四边形为平行四边形， ，， ． 在和中： ， ． 证明：（2）由（1）知，． 由折叠的性质可知，，， ，． ， ， ． 在和中： ， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质与全等三角形的判定，掌握平行四边形的性质、折叠的线段与角的对应关系，及全等三角形的判定方法是解题的关键． 题型二  尺规作图与平行四边形 1．（2026·湖北·模拟预测）如图，在中，已知，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点E，连接并延长交于点F，则的长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了尺规作图，平行四边形的性质．由作法得：平分，再结合平行四边形的性质，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：由作法得：平分， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B 2．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在平行四边形中，分别以A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点和点，作直线，分别交边，于点、，连接，若的周长为，则平行四边形的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了尺规作图，作线段垂直平分线，线段垂直平分线的性质，平行四边形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质、平行四边形的性质是解答本题的关键．由作图知，垂直平分，可得 ， 通过的周长为，结合线段的等量代换可得 ，从而根据平行四边形的性质即可得解． 【详解】解：由作图知，垂直平分， ， 的周长为， ， 四边形是平行四边形， ，， 的周长为． 故选：D． 3．（25-26九年级上·四川成都·期中）如下图，在中，按如下步骤作图：①以点D为圆心，适当长为半径作弧，分别交、于E、F两点；②分别以点E、F为圆心，大于的一半长为半径作弧，两弧交于点G；③作射线交的延长线于点M．如果，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查作角平分线、平行四边形的性质，熟练掌握角平分线的定义、平行四边形的性质是解答本题的关键．由作图过程可知，为的平分线，可得．由平行四边形的性质可得，，则，进而可得，再根据可得答案． 【详解】解：由作图过程可知，为的平分线， ． 四边形为平行四边形， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 题型三 平行四边形的动点问题 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，的对角线、相交于点，，点在线段上从点出发，以每秒1个单位的速度运动，点在线段上从点出发，以每秒2个单位的速度运动．若点、同时出发，设运动时间为，当 时，四边形是平行四边形． 【答案】2 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，关键是根据平行四边形的性质得出方程解答． 根据平行四边形的性质得到，根据题意列方程即可得到结论． 【详解】解：四边形为平行四边形， ，， 四边形为平行四边形， ， ，， ， ， 当为2秒时，四边形是平行四边形． 故答案为：2． 2．（24-25九年级下·福建厦门·月考）如图，在平行四边形中，，，的平分线交于点，点是的中点，点以每秒的速度从点出发，沿向点运动；点同时以每秒的速度从点出发，沿向点运动，点运动到点时停止运动，点也同时停止运动，当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，运动的时间为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、一元一次方程的应用等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．先根据角平分线的定义和平行四边形的性质推出，进而得到，再求出点运动到点的时间为，点运动到点的时间为，然后分两种情况讨论：当时，当时，根据列方程即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， 点是的中点， ， 点运动到点的时间为，点运动到点的时间为， 当时，，，则，， 当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，， 即， 解得：， 当时，，，则，， 当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，, 即， 解得：， 综上所述，当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，运动的时间为或． 故答案为： 或． 3．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）如图，在四边形中，，E是上一点，且，P从A点出发以的速度向B点运动，同时Q从D点出发以的速度向C点运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止，设运动时间为，当以A、P、E、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值． 【答案】当以A、P、E、Q为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为或． 【分析】本题考查了平行四边形的判定，一元一次方程的应用，熟练掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是解题的关键．分点Q在的左侧和右侧两种情形，结合一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，建立等式求解即可． 【详解】解：当点Q在的左侧时，设运动时间为， 根据题意，得， ∵， ∴， ∵， ∴， 故当时，以 A、P、E、Q为顶点的四边形是平行四边形， ∴ 解得． 当点Q在的右侧时，设运动时间为， 根据题意，得， ∵， ∴， ∵， ∴， 故当时，以 A、P、E、Q为顶点的四边形是平行四边形， ∴ 解得． 则当以A、P、E、Q为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为或． 4．（24-25八年级下·广东惠州·期中）如图，在中，，，，过点作，且点在点的右侧．点从点出发沿射线方向以每秒的速度运动，同时点从点出发沿射线方向以每秒的速度运动，在线段上取点，使得，连接，设点的运动时间为秒． (1)① （用含t的式子表示）； ②若，求的长； (2)请问是否存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①；② (2)存在，或，理由见解析 【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，综合运用分类讨论，方程思想，数形结合等方法，掌握相关性质，判定等知识是解题的关键． （1）①根据动点运动的规律，线段的和、差关系即可求解；②如图所示，过点作于点，可得是等腰直角三角形，根据边的关系列含的方程，由此即可求解； （2）分类讨论，根据平行四边形的判定和性质即可求解． 【详解】（1）解：在中，，，，点以每秒的速度运动，点以每秒的速度运动，设点的运动时间为秒， ①由运动可知，， ∵在线段上取点，使得， ∴， 故答案为：； ②如图所示，过点作于点， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，解得，， ∴， ∴的长为． （2）解：存在，或，理由如下， 第一种情况，当点在线段上时，若以，，，为顶点的四边形为平行四边形，则， ∴，解得，； 第二种情况，当点在线段延长线上时，若以，，，为顶点的四边形为平行四边形，则， ∴，解得，． 综上所述，存在的值，使得以，，，为顶点的四边形为平行四边形，或． 题型四 网格中的平行四边形问题 1．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）如图是一张方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点．已知中的点A、点B、点C都在网格格点上． (1)在图中过点C作线段交于点D，使； (2)作，使与关于直线对称； (3)连接，并写出的面积________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)5 【分析】（1）利用平行四边形的性质找到的中点D，根据三角形的中线性质即可得到； （2）根据轴对称的性质作出图形即可； （3）利用割补法求解即可． 【详解】（1）解：如图，点D即为所作； （2）解：如图，即为所作； （3）解：的面积． 【点睛】本题考查了三角形的中线性质，平行四边形的性质，作轴对称图形，割补法求三角形的面积．掌握平行四边形的性质、轴对称的性质是解题关键． 2．（24-25八年级下·江西吉安·期末）如图的网格中，仅用无刻度的直尺画图． (1)如图1画出，并在边上画点F，使得平分的面积； (2)如图2，点M为与网格线的交点，画出线段，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了格点作图、平行四边形的性质等知识点，理解相关性质是解题的关键． （1）先根据格点的特点作出，再根据过对角线交点的直线平分面积即可解答； （2）根据格点的特点以及平行四边形的性质即可解答． 【详解】（1）解：如图：和点F即为所求． （2）解：如图：线段即为所求． 3．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，图1、图2均为由边长为1的小正方形组成的的方格网络，的顶点A、B、C都在小正方形的顶点之上． (1)在图1中，在下方的小正方形的顶点上找到一点，连接，使与的面积相等且 (2)在图2中，画出中边上的中线（仅用无刻度直尺在给定的网格中完成画图，保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查作图能力，正确掌握图形的特点是解题的关键： （1）根据题意要求作图即可； （2）取格点F，连接，得四边形是平行四边形，连接交于点E，即可． 【详解】（1）解：， 如图，即为所求，． （2）解：如图，即为所求． 题型五 平行四边形的性质与判定综合应用  1．（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在和中，，，，是的中线，相交于点，以下7个结论：①；②；③；④的面积等于的面积；⑤；⑥平分；⑦平分，其中正确结论的个数是（    ）    A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、角平分线的判定等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． ①证明可得，即可判断①；②由全等三角形的性质可得，再根据三角形内角和定理以及等量代换可得，即可判断②；如图：延长到H，使得，连接．证明可得，，即， 再证明可得，进而判断③；由可得，再证明可得，然后根据面积关系可判定④；⑤由可得，再根据平角的性质可得，进而得到，即，从而判定⑤； 通过假设法可判断⑥；如图：过 A 作 于 P， 于 Q，由可得、，再利用三角形的面积可得，最后根据角平分线的判定定理可判断⑦． 【详解】解：①∵， ∴，即． 在和中， ， ∴， ∴，故①正确； 如图：相交于点G，    ∵， ∴， ∵，， ∴，即，故②正确； 如图：延长到H，使得，连接． ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即④正确； ⑤设与交于 N， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即．故结论⑤正确． ⑦如图：过 A 作 于 P， 于 Q． ∵ ， ∴ ，， ∵ ， ∴ ， ∴ 平分 ，结论⑦正确． ⑥假设平分，则． ∵ 平分 ，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 但这一相等关系不一定成立，结论⑥错误． 综上，正确的结论有①②③④⑤⑦，共6个． 故选C． 2． （25-26八年级下·全国·周测） 【课本再现】在学习了平行四边形的概念后，进一步得到平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分． （1）如图①，在平行四边形中，对角线与交于点，求证：，． 【知识应用】 （2）如图②，在中，为的中点．延长到点，使得，延长到点，使得，连接，，．若，请你探究线段与线段之间的数量关系．写出你的结论，并加以证明． 【答案】（1）见解析  （2），证明见解析 【分析】（1）利用平行四边形的对边平行且相等，结合全等三角形的判定与性质证明对角线互相平分； （2）通过构造平行四边形，利用平行四边形的性质及等边三角形的判定，探究线段与的数量关系． 【详解】解：（1）四边形是平行四边形， ，， ，， ， ，． （2）如图所示，过点作交于点，连接，， ． ，， ，即， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ， ． 又， 四边形是平行四边形． 为的中点， ，，三点在一条直线上， ． 在和中， ， ， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是利用平行四边形的性质构造全等三角形，或通过构造平行四边形转化线段关系． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点，连接AE，ED，过点C作交ED的延长线于点F，连接AF． (1)求证：四边形AFCE是平行四边形． (2)若，的面积为8，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定和性质，正确理解上述知识点是解题的关键． （1）由两直线平行，内错角相等可得到，由中点的性质得到，接着通过判定，由全等三角形的性质得到，最后通过对角线互相平分的四边形为平行四边形可证四边形是平行四边形； （2）由平行四边形的性质可得，根据，结合等高的三角形的面积比等于底之比得到，由此可求出的面积． 【详解】（1）证明：， ． 是的中点， ． 在和中， ， ， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵四边形是平行四边形， ． ，的边上的高与的边上的高相等， ， ， ． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，点D在边BC所在的直线上，过点D作交AB于点E，交AC于点F． (1)当点D在边BC上时，如图①，求证：． (2)当点D在边BC的延长线上时，如图②；当点D在边BC的反向延长线上时，如图③．请分别写出图②、图③中DE，DF，AC之间的数量关系，不需要证明． (3)若，，求DF的长． 【答案】(1)见解析 (2)当点D在边BC的延长线上时，；当点D在边BC的反向延长线上时， (3)DF的长为2或10 【分析】（1）要证明，先利用两组对边分别平行判定四边形为平行四边形，得到；再结合等腰三角形的性质，推出，从而得到；最后通过线段和的关系，结合完成证明； （2）当点在延长线或反向延长线上时，仍先判定四边形为平行四边形，再结合等腰三角形性质证，通过线段的和差关系，分别推导的数量关系； （3）分三种位置情况，代入，结合（1）（2）的结论计算的长度． 【详解】（1）证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴， ∵，且， ∴． （2）解：当在延长线上时：； 当在反向延长线上时：． （3）解：情况1：在上由（1）知， 代入，得， 解得； 情况2：在延长线上由（2）知， 代入得（无解，舍去）； 情况3：在反向延长线上由（2）知， 代入得， 解得：． 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质、分类讨论思想，掌握利用平行四边形和等腰三角形的性质推导线段关系，结合分类讨论解决多位置问题是解题的关键． 题型一 最值问题 1．（25-26九年级上·陕西西安·月考）如图所示，在平行四边形中，，，P为边上一动点，以直线为对称轴将翻折得到，当最小时，线段长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查平行四边形的性质、翻折性质、圆的有关性质、全等三角形的判定与性质，得到点的运动轨迹是解答的关键． 先由折叠性质得到点在以A为圆心，6为半径的圆上运动，当点A、、D共线时，最小，如图，连接交于O，根据折叠性质得到，然后证明得到，进而可求解． 【详解】解：在平行四边形中，，，， 由折叠性质得，， ∴点在以A为圆心，6为半径的圆上运动，当点A、、D共线时，最小， 如图，连接交于O，则垂直平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 2．（21-22七年级下·山东济南·期中）如图，在中，AD为BC边上的高线，且，点M为直线BC上方的一个动点，且面积为的面积2倍，则当最小时，的度数为 °． 【答案】45 【详解】如图，作过点的直线，使得，作关于的对称点，连接，交于点，则，当三点共线时，取得最小值，过点作， ， ， ， 中，AD为BC边上的高线，面积为的面积2倍，， ， 根据平行线间的距离相等，可得， 则， 是等腰直角三角形， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的高线，等腰直角三角形的性质，平行线的距离，轴对称求线段和的最小值，掌握轴对称的性质是解题的关键． 题型二 坐标与平行四边形 1．（19-20八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知．点C在坐标平面内，若以为顶点的四边形为平行四边形，则点的坐标是 ． 【答案】或或 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，坐标与图形的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识． 根据题意分类讨论：以为平行四边形的边和对角线两种情况． 【详解】解：以为顶点的四边形为平行四边形，作图如下， 则点的坐标为或或． 故答案为：或或． 2．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图所示，四边形是平行四边形，点的坐标分别为，，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】四边形是平行四边形， ∴对角线AC与BD相互平分，设它们的交点为O. ， ∴O（,1）． ∵B（0,1） ∴, 解得：xD=3,yD=1 ∴A（3,1） 故选． 题型三平行四边形几何探究题 1． （25-26八年级上·河南开封·期中） 【基础回顾】 （1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，，求证：． 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线经过点，点，在直线上．如果，猜想，，之间的数量关系，并给予证明． 【拓展应用】 （3）在航天科技展中，小华设计了一款卫星太阳能板的展开示意图（如图3）．已知卫星主体部分为，两侧的太阳能板展开后形成两个三角形，分别为和，其中，，．为确保太阳能板能稳定展开，小华在卫星主体的边上设置了高，并延长交太阳能板连接线于点．若，，请直接写出的面积． 【答案】（1）见解析（2），证明见解析（3）21 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，平行四边形的判定和性质等内容，解题的关键是掌握以上性质，并灵活应用． （1）根据垂直得出直角三角形，根据同角的余角相等得出相等角，最后利用证明三角形全等即可； （2）根据三角形内角和定理以及平角定义得出，证明，然后利用对应边相等即可得出结论； （3）过点分别作于点，交延长线于点，连接，证明和，得出对应边相等，证明，再根据面积的和差进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴； （2）解：，证明如下： ∵， 且， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3） 过点分别作于点，交延长线于点，连接， 于点是的高， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， 同理可证：， ， ， ， 平行于， 四边形是平行四边形， ∴， ∵， ， ； ， ， ． 即． 2．（25-26八年级上·江苏无锡·期中） 【阅读】如图1，四边形中，，，，，经过点的直线将四边形分成两部分，直线与所成的角设为，将四边形的直角沿直线折叠，点落在点处，我们把这个操作过程记为． 【理解】若点与点重合，则这个操作过程为； 【尝试】 （1）若点与的中点重合，则这个操作过程为[_____，_____]； （2）若点恰为的中点（如图2），求的值； 【应用】经过操作，点落在点处，若点在四边形的边上，直线与相交于点，试画出图形并求出的值； 【答案】尝试（1），16；（2）应用：见解析，14 【分析】本题考查了翻折（折叠）变换、全等三角形、等腰直角三角形等知识点，解题关键是正确理解题目给出的变换的定义，并能正确运用折叠的性质．注意数形结合思想的应用． 尝试 （1）如图1所示，若点D恰为的中点，证明，进而得到，，可得结论； （2）如图2所示，若点D恰为的中点，作辅助线，证明，得，根据线段垂直平分线的性质可得，根据等腰三角形的性质可得，所以，则，可得结论； 应用 如图3，作辅助线，根据点B与点E关于直线l对称，知，证明四边形是平行四边形，得，，可得的值，即a的值． 【详解】解：（1）点D与的中点重合，如图1， 由折叠得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵D为的中点， ∴， 则这个操作过程为； 故答案为：，16； （2）延长，交于点N，如图2． ∵， ∴， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴根据线段垂直平分线的性质可得， ∴根据等腰三角形的性质可得． 由折叠可得， ∴， ∴； 应用 解：过点B作于点H，如图3． ∵， ∴． ∵点B与点E关于直线l对称， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． ∴a的值为14． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 8.2平行四边形 A 基础达标题 题型一平行四边形的性质的应用 1.【答案】c 2.【答案】C 3.【答案】A 4.【答案】B 5.【答案】B 题型二平行四边形的判定的应用 1.【答案】B 2.【答案】B 【详解】证明：：四边形ABCD是平行四边形， .OC=OA,BC∥AD, ∴.∠CE0=∠AF0, ∠CEO=∠AFO 在△CE0与△AFO中， ∠COE=∠AOF, OC=OA .△CEO≌AAFO(AAS, ∴.OE=OF, .四边形AECF为平行四边形 【详解】(1)证明：：△ABC和ADE都是等边三角形， ·AE=AD,AB=AC,∠EAD=LBAC=60°， :∠EAD-LBAD=∠BAC-∠BAD,即∠EAB=∠DAC, △ABE≌△4CD(SAS; (2)证明：：△ABE≌△ACD, 1/15 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 BE=DC,∠EBA=∠DCA, 又：BF=DC, :BE=BF :△ABC是等边三角形， .∠DCA=60°， ∠EBA=∠DCA=60°， △BEF为等边三角形. ∠EFB=60°，EF=BF :△ABC是等边三角形， .∠ABC=60°， ∠ABC=LEFB=60°， .EF‖BC,即EF‖DC, :EF =BF,BF=DC, :EF =DC, :四边形EFCD是平行四边形. 5. 【详解】BC=x-5,DC=x-3,BD=4,BD⊥BC, CD2-BC2=BD2, 即(x-3)2-(x-5)2=16, 解得x=8, .BC=3,DC=5,AD=3, AB=CD,AD=BC, :.四边形ABCD是平行四边形， 题型三两平行线间的距离 1【答案】2/月 2.【答案】12 3. 【详解】解：FW>EM·理由如下： 2/15 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 如图，过点F作FP⊥CD于点P,则FP=EM. F A B CN M n D 一D 因为FN>FP,所以FN>EM. 4. 【详解】解：：OE∥AB∥DC, S.B0E=S.0E=20cm,S.coE=S.DOE =30cm, S.B0c=S.B0e+S,coe=20+30=50(cm2）, DC∥AB, ∴.SAABD=S△ABC, :S.4BD-S.40B =S.4BC -S.40B,S.OD =S.BOC =50(cm2), .S.4DE=S4oE+S.oE+S.40D=20+30+50=100(cm2）. 题型四中位线定理的应用 1.【答案】D 2.【答案】B 3. 【详解】解：如图，延长BD交AC于F, A AD⊥BD, D B LADB=∠ADF=90°， 在△ABD和△AFD中， ∠BAD=∠FAD AD=AD ∠ADB=∠ADF :△ABD≌△4FD(ASA), 3/15 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :BD DF,AF=AB=4, BE=CE, ∴DE是BCF的中位线， :CF=2DE=3, .AC=AF+CF=4+3=7。 B 能力提升题 题型一折叠问题 1.【答案】A 2.【答案】409 3.【答案】40 4. 【详解】证明：(1)：四边形ABCD为平行四边形， AD∥BC,OA=OC, .∠EA0=∠FC0. 在△AOE和aCOF中： ∠EAO=∠FCO OA=OC ∠AOE=∠COF △AOE≌△COF(ASA, AE =CF 证明：(2)由(1)知，AE=CF, 由折叠的性质可知，AE=A,E,AE∥BF, A,E=CF,∠AEI+∠DEF+∠GFE=I80°. :DE∥CF, .∠DEF+∠GFE+∠CFG=180°， ,∠AEI=∠CFG. 在△AEI和△CFG中： 4/15 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∠A=∠C AE=CF ∠AEI=∠CFG △AEI≌aCFG(ASA), :EI=FG. 题型二尺规作图与平行四边形 1.【答案】B 2.【答案】D 3.【答案】3 题型三平行四边形的动点问题 1.【答案】2 2.【答案】2s或35 14 3. 【详解】解：当点Q在AE的左侧时，设运动时间为(s, 根据题意，得AP=tcm,DQ=2tcm, DE =3cm, .OE =(3-2t)cm :AB∥CD, AP∥OE, 故当AP=QE时，以A、P、E、Q为顶点的四边形是平行四边形， 1=3-21 解得1=1(s. 当点Q在AE的右侧时，设运动时间为(s, 根据题意，得AP=tcm,DQ=2tcm, DE 3cm .0E=(2t-3)cm, :AB∥CD, .AP∥OE, 5/15 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 故当AP=QE时，以A、P、E、Q为顶点的四边形是平行四边形， .1=2t-3 解得1=3(s. 则当以A、P、E、Q为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为1或3 4. 【详解】(1)解：在ABC中，∠BAC=90°，∠B=45°，BC=10cm,点P以每秒1cm的速度运动，点Q以 每秒2cm的速度运动，设点P的运动时间为t秒， ①由运动可知，CQ=2t, :在线段QC上取点E,使得QE=2cm, ∴CE=CQ-EQ=2t-2, 故答案为：21-2； ②如图所示，过点A作AM⊥BC于点M, A -D E :∠BAC=90°，∠B=45°， ∠C=45°，AB=AC, .BM =CM G.AM=BC 2*10=5, :AD∥BC, ∴.∠PAC=∠C=45°， :PE⊥BC, PE=AM=5,PE⊥AD, ∴.△APN,△CEN是等腰直角三角形， .PN=AP=t,CE=NE=5-t, CE =CO-OE =2t-2, 7 .5-1=21-2,解得，t= 3, 6/15 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B0=BC-C0=10-2x7_16 3=31 :0的长为号 (2)解：存在，t=4或1=12，理由如下， 第一种情况，当点O,E在线段BC上时，若以A,B,E,P为顶点的四边形为平行四边形，则AP=BE, .t=10-21+2,解得，1=4： 第二种情况，当点O,E在线段CB延长线上时，若以A,B,E，P为顶点的四边形为平行四边形，则 AP=BE 六t=21-2-10,解得，t=12. 综上所述，存在t的值，使得以A,B,E,P为顶点的四边形为平行四边形，t=4或t=12. 题型四网格中的平行四边形问题 1. 【详解】(1)解：如图，点D即为所作； A D B (2)解：如图，△CBE即为所作； (3)解：△4CE的面积=3x4-x3x1-x2×4-x3x1=5. 2. 【详解】(1)解：如图：口ABCD和点F即为所求 B 图1 (2)解：如图：线段MN即为所求. 7/15 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 M 图2 3. 1 【详解】(1)解：S.4Bc=×3×2=3, 如图，△BCD即为所求，S,BCn=×3×2=3=SABc 2 D (2)解：如图，AE即为所求 B 题型五平行四边形的性质与判定综合应用 1.【答案】C 2. 【详解】解：(1)：四边形ABCD是平行四边形， AD=BC,AD∥BC, .∠0AD=∠0CB,∠ODA=∠OBC, ∴△0AD≌△OCB(ASA), 0A=0C,0B=0D. (2)如图所示，过点B作BH∥AE交DE于点H,连接PH,CH, 8/15 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∠DBH=∠BAC=60°. H :AB=CE,AC=BD, :AB BD=AC +CE,AD=AE, .ADE是等边三角形， .∠D=60°，DE=DA, ∴aDBH是等边三角形， :BH=BD=DH :BH =AC. 又：BH∥AC, :四边形ABHC是平行四边形. P为BC的中点， A,P,H三点在一条直线上， ∴.AH=2AP. 在△ADH和△EDB中， AD=ED ∠D=∠D DH=DB △ADH≌△EDB(SAS), ∴.BE=AH, .BE =2AP. 3. 【详解】(1)证明：：CF AE, .∠CFD=∠AED. :D是AC的中点， :CD=AD 在CDF和ADE中， 9/15 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∠CFD=∠AED, ∠FDC=∠EDA, CD=AD, ∴△CDF≌△ADE(AAS), :DF =DE, :四边形AFCE是平行四边形. (2)解：：四边形AFCE是平行四边形， SAFCE =2S.ACE. :BC=2CE,△ACE的CE边上的高与ABC的BC边上的高相等， :2S.ACE=S.4BC SAFCE=S.ABC=8, 1 ·SCDF三4S-AcE= ×8=2. 4 4. 【详解】(1)证明：DE‖AC,DF‖AB, .四边形AEDF是平行四边形， AE DF, AB=AC, ∠B=∠C, :DE‖AC, .∠EDB=LC, ∴∠B=∠EDB, :BE DE, AB=AE+BE=DF+DE,AB=AC, .DE+DF=AC. (2)解：当D在BC延长线上时：DE-DF=AC; 当D在BC反向延长线上时：DF-DE=AC, (3)解：情况1：D在BC上由(1)知DE+DF=AC, 代入AC=6,DE=4,得4+DF=6, 解得DF=2; 1U/15 8.2平行四边形 题型一 平行四边形的性质的应用   1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，对角线，交于点O，EF过点O．下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24八年级下·四川雅安·期末）如图，在平行四边形中，平分，对角线，相交于点，连接，下列结论中正确的有（   ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，在中，，点在边上，以为边作，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，的对角线、相交于点O，且，，则的周长是（　　） A．10 B．14 C．20 D．22 5．在中，对角线相交于点O，，则边的长度x的取值范围是（  ） A． B． C． D． 题型二平行四边形的判定的应用    1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，对角线AC，BD相交于点O，E，F是对角线AC上的两点．给出下列四个条件：①；②；③；④．其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有（    ）    A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）下面给出的是四边形中，，，的度数比．其中能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．4∶3∶2∶1 B．3∶2∶3∶2 C．3∶3∶2∶2 D．3∶2∶2∶1 3．（24-25八年级下·辽宁大连·月考）已知，如图，在中，过中点O的直线分别交的延长线于点E、F，连接．求证：四边形为平行四边形． 4．（24-25八年级下·广东惠州·期中）如图，和都是等边三角形，点D在边上，边上有一点F，且，连接、． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形． 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，在四边形ABCD中，，，，，，．试判断四边形ABCD的形状，并说明理由． 题型三 两平行线间的距离  1．（22-23七年级下·湖南株洲·期中）如图，已知梯形中，，和相交于点G，和相交于点H，，，则阴影部分的面积为 ． 2．（22-23七年级下·广西南宁·月考）如图，直线，且，则直线与直线之间的距离是 ．    3．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，，E，F为上的两点，M，N为上的两点，连接，且，则与有怎样的大小关系？请说明理由． 4．（2024六年级下·重庆渝中·专题练习）如图，在梯形中，对角线相交于点，．，求的面积． 题型四 中位线定理的应用  1．如图，在四边形中，点是对角线的中点，点分别是边的中点，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，是的中点，连接，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 3．如图，中，，，，，，求的值。 题型一 折叠问题 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，将沿AC所在直线折叠，点B恰好落在BA延长线上的点处，交AD于点E．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）将一张平行四边形纸片折叠成如图所示的图形，为折痕，点的对应点为．若，，则的度数为 ． 3．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在中，点E在边上，以为折痕，将向上翻折，使点A恰好落在边上的点F处．若的周长为8，的周长为32，则的周长为 ． 4．（2026八年级下·全国·专题练习）（1）如图①，的对角线，相交于点，直线过点，与，分别交于点，．求证：． （2）如图②，将沿过对角线交点的直线折叠，使点落在点处，点落在点处，交于点，与，分别交于点，．求证：． 题型二  尺规作图与平行四边形 1．（2026·湖北·模拟预测）如图，在中，已知，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点E，连接并延长交于点F，则的长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在平行四边形中，分别以A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点和点，作直线，分别交边，于点、，连接，若的周长为，则平行四边形的周长为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·四川成都·期中）如下图，在中，按如下步骤作图：①以点D为圆心，适当长为半径作弧，分别交、于E、F两点；②分别以点E、F为圆心，大于的一半长为半径作弧，两弧交于点G；③作射线交的延长线于点M．如果，，，则的长为 ． 题型三 平行四边形的动点问题 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，的对角线、相交于点，，点在线段上从点出发，以每秒1个单位的速度运动，点在线段上从点出发，以每秒2个单位的速度运动．若点、同时出发，设运动时间为，当 时，四边形是平行四边形． 2．（24-25九年级下·福建厦门·月考）如图，在平行四边形中，，，的平分线交于点，点是的中点，点以每秒的速度从点出发，沿向点运动；点同时以每秒的速度从点出发，沿向点运动，点运动到点时停止运动，点也同时停止运动，当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，运动的时间为 ． 3．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）如图，在四边形中，，E是上一点，且，P从A点出发以的速度向B点运动，同时Q从D点出发以的速度向C点运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止，设运动时间为，当以A、P、E、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值． 4．（24-25八年级下·广东惠州·期中）如图，在中，，，，过点作，且点在点的右侧．点从点出发沿射线方向以每秒的速度运动，同时点从点出发沿射线方向以每秒的速度运动，在线段上取点，使得，连接，设点的运动时间为秒． (1)① （用含t的式子表示）； ②若，求的长； (2)请问是否存在t的值，使以A，B，E，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 题型四 网格中的平行四边形问题 1．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）如图是一张方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点．已知中的点A、点B、点C都在网格格点上． (1)在图中过点C作线段交于点D，使； (2)作，使与关于直线对称； (3)连接，并写出的面积________． 2．（24-25八年级下·江西吉安·期末）如图的网格中，仅用无刻度的直尺画图． (1)如图1画出，并在边上画点F，使得平分的面积； (2)如图2，点M为与网格线的交点，画出线段，使得． 3．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，图1、图2均为由边长为1的小正方形组成的的方格网络，的顶点A、B、C都在小正方形的顶点之上． (1)在图1中，在下方的小正方形的顶点上找到一点，连接，使与的面积相等且 (2)在图2中，画出中边上的中线（仅用无刻度直尺在给定的网格中完成画图，保留作图痕迹） 题型五 平行四边形的性质与判定综合应用  1．（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图，在和中，，，，是的中线，相交于点，以下7个结论：①；②；③；④的面积等于的面积；⑤；⑥平分；⑦平分，其中正确结论的个数是（    ）    A．4 B．5 C．6 D．7 2． 25-26八年级下·全国·周测） 【课本再现】在学习了平行四边形的概念后，进一步得到平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分． （1）如图①，在平行四边形中，对角线与交于点，求证：，． 【知识应用】 （2）如图②，在中，为的中点．延长到点，使得，延长到点，使得，连接，，．若，请你探究线段与线段之间的数量关系．写出你的结论，并加以证明． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点，连接AE，ED，过点C作交ED的延长线于点F，连接AF． (1)求证：四边形AFCE是平行四边形． (2)若，的面积为8，求的面积． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，点D在边BC所在的直线上，过点D作交AB于点E，交AC于点F． (1)当点D在边BC上时，如图①，求证：． (2)当点D在边BC的延长线上时，如图②；当点D在边BC的反向延长线上时，如图③．请分别写出图②、图③中DE，DF，AC之间的数量关系，不需要证明． (3)若，，求DF的长． 题型一 最值问题 1．（25-26九年级上·陕西西安·月考）如图所示，在平行四边形中，，，P为边上一动点，以直线为对称轴将翻折得到，当最小时，线段长为 ． 2．（21-22七年级下·山东济南·期中）如图，在中，AD为BC边上的高线，且，点M为直线BC上方的一个动点，且面积为的面积2倍，则当最小时，的度数为 °． 题型二 坐标与平行四边形 1．（19-20八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知．点C在坐标平面内，若以为顶点的四边形为平行四边形，则点的坐标是 ． 2．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图所示，四边形是平行四边形，点的坐标分别为，，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 题型三平行四边形几何探究题 1． （25-26八年级上·河南开封·期中） 【基础回顾】 （1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，，求证：． 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线经过点，点，在直线上．如果，猜想，，之间的数量关系，并给予证明． 【拓展应用】 （3）在航天科技展中，小华设计了一款卫星太阳能板的展开示意图（如图3）．已知卫星主体部分为，两侧的太阳能板展开后形成两个三角形，分别为和，其中，，．为确保太阳能板能稳定展开，小华在卫星主体的边上设置了高，并延长交太阳能板连接线于点．若，，请直接写出的面积． 2．（25-26八年级上·江苏无锡·期中） 【阅读】如图1，四边形中，，，，，经过点的直线将四边形分成两部分，直线与所成的角设为，将四边形的直角沿直线折叠，点落在点处，我们把这个操作过程记为． 【理解】若点与点重合，则这个操作过程为； 【尝试】 （1）若点与的中点重合，则这个操作过程为[_____，_____]； （2）若点恰为的中点（如图2），求的值； 【应用】经过操作，点落在点处，若点在四边形的边上，直线与相交于点，试画出图形并求出的值； 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $