8.1四边形（题型专练）数学新教材青岛版八年级下册

8.1四边形 题型一   四边形的不稳定性 1.下列图形具有稳定性的是 A. B. C. D. 2.下列图形中，不具有稳定性的是（ ） A. B. C. D. 3.学校、工厂、企业等单位的大门都是收缩性大门，这种门的门体可以伸缩自由移动，以此来控制门的大小．这种方法应用的数学知识是    A. 三角形的稳定形 B. 四边形的不稳定性 C. 勾股定理 D. 黄金分割 4.下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是（ ） A. 屋顶支撑架 B. 自行车脚架 C. 伸缩门 D. 旧门钉木条 题型二   与四边形有关的简单计算与证明 1．（24-25七年级下·全国·期中）如图，已知，连接、、，在上取一点，使，连接，若．求证：． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在四边形ABCD中，E是边BC上一点，且，．试说明：． 3.如图，梯形 中，，∠B=60°，求∠A的度数。 4.如图，梯形 的对角线交于点 ， ．若_________，则 ． 从① ，② ，③ 这三个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由． 5.如图，在直角梯形中，，是上的一点，且，连接、，  求证：    6.已知：如图四边形AEBC中，，是边的中线，，，垂足为求证： 7．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）如图，在四边形中，连接、．已知，，求证：． 题型一   四边形中的面积问题 1．（25-26八年级上·河北张家口·月考）如图，是的平分线，，垂足为．若，，，则的长是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（25-26八年级上·吉林四平·期末）如图，在四边形中，，，下列结论正确的是（　　）    A． B． C． D． 3.如图，在四边形 中， ，点 为 的中点， ， ，则 _________． 4.如图，四边形 中， ，垂足是E，若线段 ，则S四边形ABCD=_________． 5．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在梯形中，，E是的中点，平分，下列说法：①；②；③；④，其中正确的是 填序号 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，在四边形中，，与相交于点．求证：． 题型二 证明线三条段之间的数量关系 1．（25-26八年级上·上海虹口·期末）如图，在四边形中，，过点作于，于且． (1)求证：平分； (2)求证：． 2．（25-26八年级上·河南周口·月考）如图，在四边形中，，O为的中点，且平分． 求证：AC=AB+CD． 3.如图，在四边形中，，点为对角线上一点，，且求证： 题型一   四边形几何探究题 1．（25-26八年级上·云南昭通·期末）已知，在四边形中，，，分别是直线，上的点． (1)如图（），若，，，则线段之间的数量关系，下列三个关系式中： ，， 正确的是___________．（只填序号） (2)如图（），若，点，点分别在线段，的延长线上，且满足，试探究线段之间的数量关系． (3)如图（），若不变，点在线段的延长线上，点在线段的延长线上，若，试探究与的数量关系． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.1四边形 题型一   四边形的不稳定性 1.下列图形具有稳定性的是 A. B. C. D. 【答案】D; 【解析】解：、图中含有四边形，不具有稳定性，不符合题意；  、图中含有四边形，不具有稳定性，不符合题意；  、图中含有四边形，不具有稳定性，不符合题意；  、图中都是三角形，具有稳定性，符合题意；  故选：  根据三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性逐项判断即可．  此题主要考查了三角形的稳定性，熟知三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性是解答该题的关键． 2.下列图形中，不具有稳定性的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C; 【解析】 本题考查三角形的稳定性，三角形具有稳定性，由此即可判断． 解：因为三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性， 所以选项A，B，D中的图形都是有若干个三角形构成，具有稳定性，不符合题意； 选项C中的图形是由一个四边形和一个三角形构成，四边形不具有稳定性，符合题意． 故答案为：C． 3.学校、工厂、企业等单位的大门都是收缩性大门，这种门的门体可以伸缩自由移动，以此来控制门的大小．这种方法应用的数学知识是    A. 三角形的稳定形 B. 四边形的不稳定性 C. 勾股定理 D. 黄金分割 【答案】B; 【解析】 由题意可知收缩大门可以伸缩自由移动，这是根据四边形的不稳定性． 【详解】由题意可知收缩大门可以伸缩自由移动，这是根据四边形的不稳定性． 故选： 4.下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是（ ） A. 屋顶支撑架 B. 自行车脚架 C. 伸缩门 D. 旧门钉木条 【答案】C; 【解析】 本题考查了三角形的稳定性在实际生活中的应用，利用三角形的稳定性进行解答即可，解题的关键是分析能否在同平面内组成三角形． 解：C选项中伸缩门是利用了四边形的不稳定性，A、B、D选项中都是利用了三角形的稳定性， 故选：C． 题型二   与四边形有关的简单计算与证明 1．（24-25七年级下·全国·期中）如图，已知，连接、、，在上取一点，使，连接，若．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据平行线的性质得出，进而利用证明与全等解答即可． 【详解】证明：∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在四边形ABCD中，E是边BC上一点，且，．试说明：． 【答案】见解析 【分析】先利用平角的定义和三角形内角和定理，推导出；再结合已知的边和角，证明与全等，从而得到． 【详解】解：∵，， ∴． 在和中， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定（AAS），掌握通过角的关系推导相等角，结合AAS判定三角形全等是解题的关键． 3.如图，梯形 中，，∠B=60°，求∠A的度数。 【答案】120°; 【解析】∵ ， ∴∠A+∠B=180° ∴∠B=180°－∠A=120° 4.如图，梯形 的对角线交于点 ， ．若_________，则 ． 从① ，② ，③ 这三个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由． 【答案】①（答案不唯一）; 【解析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，由边的关系与角的关系得到三角形全等是解决本题的关键． 选择①：根据平行线的性质，即“两直线平行，内错角相等”可得 ，再由角边角的证明方法即可证明 与 全等，由此可得结论； 选择②：根据平行线的性质，即“两直线平行，内错角相等”可得 ，再由角角边的证明方法即可证明 与 全等，由此可得结论． 【详解】 解：选择① ， ∵ ， ∴ ， ∵ ，且 ， 在 与 中， 由 ， ∴ ≌ ， ∴ ； 故答案为：① ． 选择② ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， 在 与 中， 由 ， ∴ ≌ ， ∴ ． 故答案为：② ． 5.如图，在直角梯形中，，是上的一点，且，连接、，  求证：    【解析】证明：在和中，  ，    由得，  ，  ，  ，  ，    此题重点考查全等三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余等知识，证明，进而推导出是解答该题的关键． 6.已知：如图四边形AEBC中，，是边的中线，，，垂足为求证： 【解析】证明：，是边的中线，，  ，  ，  在和中，  ，  ，    此题重点考查等腰三角形的“三线合一”、全等三角形的判定与性质等知识，推导出，进而证明是解答该题的关键． 7．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）如图，在四边形中，连接、．已知，，求证：． 【答案】见详解 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握三边对应相等的两个三角形全等和全等三角形的性质是解题的关键． 由三边对应相等的两个三角形全等证明，再根据全等三角形的对应角相等即可证明． 【详解】证明：在和中 ， ， ∴． 题型一   四边形中的面积问题 1．（25-26八年级上·河北张家口·月考）如图，是的平分线，，垂足为．若，，，则的长是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的性质，掌握该性质是解题的关键． 过点作交于点，由角平分线的性质，可得，根据面积的计算关系，可求出的长． 【详解】解：过点作交于点，如下图所示： ∵，， ∴， ∴， ∵是的平分线，，， ∴， ∴， 故选C． 2．（25-26八年级上·吉林四平·期末）如图，在四边形中，，，下列结论正确的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形的面积，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 根据题意证得，根据全等三角形的性质得到，进而得到，计算四边形的面积，由此判断即可． 【详解】解：在和中， 四边形的面积为， 综上所述，选项B正确，选项D错误，无法判断A，C选项， 故选：B． 3.如图，在四边形 中， ，点 为 的中点， ， ，则 _________． 【答案】2; 【解析】 本题考查的是全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，如图，延长 到K， 使 ，连接 ，过 作 交 延长线于 ，再证明 ，再利用割补法可得答案． 【详解】 解：如图，延长 到K， 使 ，连接 ，过 作 交 延长线于点 ， ∴ ； ∵点 为 的中点， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ； 故答案为： ． 4.如图，四边形 中， ，垂足是E，若线段 ，则S四边形ABCD=_________． 【答案】16; 【解析】 过A点作AF⊥CD交CD的延长线于F点，由AE⊥BC，AF⊥CF，∠C=90°可得四边形AECF为矩形，则∠2+∠3=90°，而∠BAD=90°，根据等角的余角相等得∠1=∠2，加上∠AEB=∠AFD=90°和AB=AD，根据全等三角形的判定可得△ABE≌△ADF，由全等三角形的性质有AE=AF=４，S△ABE=S△ADF，则S四边形ABCD=S正方形AECF，然后根据正方形的面积公式计算即可． 【详解】 过A点作AF⊥CD交CD的延长线于F点，如图， ∵AE⊥BC，AF⊥CF， ∴∠AEC=∠CFA=90°， 而∠C=90°， ∴四边形AECF为矩形， ∴∠2+∠3=90°， 又∵∠BAD=90°， ∴∠1=∠2， 在△ABE和△ADF中 ， ∴△ABE≌△ADF， ∴AE=AF=4，S△ABE=S△ADF， ∴四边形AECF是边长为5的正方形， ∴S四边形ABCD=S正方形AECF=42=16． 【点睛】 本题考查了全等三角形的性质和判定，矩形的性质和判定，正方形的性质和判定的应用，做出辅助线构造出全等三角形是解此题的关键． 5．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在梯形中，，E是的中点，平分，下列说法：①；②；③；④，其中正确的是 填序号 【答案】②④/④② 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线及掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．过点E作于点F，证明，得到，，，再证明，得到，，由此判断③错误；根据判断②正确；根据全等三角形的性质及，得到，由此判断④正确；题中无条件证明，故①错误． 【详解】解：过点E作于点F，则， ∵E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 故③错误； ∵， ∴，即， ∴， 故②正确； ∵，，， ∴，即， 故④正确； 题中无条件证明， 故①错误； 正确的有②④． 故答案为：②④． 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，在四边形中，，与相交于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】先过作的高，利用得到这两条高相等；再结合同底的条件，证明与面积相等；最后减去它们的公共部分的面积，即可得到与的面积相等． 【详解】证明：如图，过点作于点，过点作于点． ， ． ，． ， ， ． 【点睛】本题考查了三角形面积与平行线间距离的性质，掌握同底等高的三角形面积相等，通过减去公共部分面积推导目标三角形面积相等是解题的关键． 题型二 证明线三条段之间的数量关系 1．（25-26八年级上·上海虹口·期末）如图，在四边形中，，过点作于，于且． (1)求证：平分； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，角平分线的判定定理，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据直角三角形全等的判定定理证明，得到，再由角平分线的判定定理即可证明； （2）根据直角三角形全等的判定定理证明，得到，再由线段的和差即可证明． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵在和中， ， ∴（直角三角形全等的判定定理）， ∴， ∵，， ∴平分． （2）证明：∵在和中， ， ∴（直角三角形全等的判定定理）， ∴， ∵ ∴． 2．（25-26八年级上·河南周口·月考）如图，在四边形中，，O为的中点，且平分． 求证：AC=AB+CD． 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，角平分线的判定定理，全等的性质和综合等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 【详解】（1）证明：如图，过点O作于E． ∵∠B=90°，平分， ∴． ∵O为的中点， ∴． ∴． 又∵∠D=90°， ∴平分． （2）由（1）得， 在和中， ∵，， ∴． ∴． 同理可得， ∴． ∴AC=AE+CE=AB+CD． 3.如图，在四边形中，，点为对角线上一点，，且求证： 【解析】解：在四边形中，，点为对角线上一点，  ，  在和中，  ，  ，  ，  ，    题型一   四边形几何探究题 1．（25-26八年级上·云南昭通·期末）已知，在四边形中，，，分别是直线，上的点． (1)如图（），若，，，则线段之间的数量关系，下列三个关系式中： ，， 正确的是___________．（只填序号） (2)如图（），若，点，点分别在线段，的延长线上，且满足，试探究线段之间的数量关系． (3)如图（），若不变，点在线段的延长线上，点在线段的延长线上，若，试探究与的数量关系． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，同角的补角相等，周角定义，掌握知识点的应用及正确添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． （）延长到点，使，连接，可判定，进而得出，，再判定，可得结论； （）对于图，在上截取，连接，先判定，进而得出，，再判定，可得结论； （）如图，在延长线上取一点，使得，连接，先判定，进而得出，，再判定，得出，又，所以，所以，即，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图（），延长到点，使，连接， 在和中， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故选：； （2）解：，理由如下： 如图（），在上截取，连接， ，， ， 在和中， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 即； （3）解：结论：，理由： 如图，在延长线上取一点，使得，连接， ，， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 即， ． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www zxxk.com 8.1四边形 基础达标题 题型一四边形的不稳定性 1.【答案】D 2.【答案】C 3.【答案】B 4.【答案】C 题型二与四边形有关的简单计算与证明 1. 【详解】证明：AB∥CD, ∴∠ABD=∠EDC, 在△ABD与△EDC中， ∠1=∠2 ∠ABD=∠EDC, DE=AB △ABD≌△EDC（AAS), .BD=CD 2. 【详解】解：：∠B=∠AED=∠C,LB+∠BAE+LAEB=LAEB+∠ .∠BAE=∠CED. 在△ABE和△ECD中， ∠BAE=∠CED, ∠B=∠C, BE=CD, :.△ABE≌AECD(AAS), .AE ED 3. 【解析】：ADBC, ∴.∠A+∠B=1809 1/8 上好每一堂课 ● AED+∠CED=180°， 命学科网·上好课 www zxx k ∴.∠B=180°-∠A=120° 4. 【详解】 解：选择①0A=OC, AD BC, ∠DAO=∠BCO OA=OC,且∠A0D=∠B0C, 在△DA0与△BC0中， I∠DAO=∠BCO 由 0A=0C ∠AOD=∠BOC △DAO≌△BC0, AD=CB; 故答案为：①0A=0C. 选择②∠ABC=∠CDA, AD‖BC, ∠DAO=∠BCO, ∠ABC=∠CDA, 在△ADC与△CBA中， I∠DAO=∠BCO 由 ∠ABC=∠CDA AC=CA △ADC≌△CBA, .AD=CB 故答案为：② ∠ABC=∠CDA: 5. 【解析】证明：（1)在Rt△ADE和Rt△BEC中， (DE=EC, LAE=BC ·Rt△ADE≌Rt△BEC(HL (②)由(1)得Rt△ADE≌Rt△BEC' ·∠AED=∠BCE, :∠B=90°， ·∠AED+∠BEC=∠BCE+∠BEC=90。, ·∠DEC=180°-（∠AED+∠BEC=90°， :DE⊥CE. 2/8 com 澂系一每并丁 函学科网·上好课 www zxxk.com 6. 【解析】证明：：AB=AC,AD是BC边的中线，∠AEB=90°， ·AD⊥BC, ·∠ADB=∠AEB=90°， 在Rt△ABD和Rt△ABE中， (AB-AB, DB-EB ·Rt△ABD兰Rt△ABE(HL)' AD =AE. 【详解】证明：在△ABD和△BAC中 「AD=BC BD=AC, AB=BA △ABD≌△BAC(SSS), ∴∠ACB=LBDA. B 能力提升题 题型一四边形中的面积问题 1.【答案】C 2.【答案】B 3.【答案】2 4.【答案】16 5.【答案】②④ 6 【详解】证明：如图，过点A作AE⊥BC于点E,过点D作DF⊥BC 3/8 上好每一堂课 于点F. 函学科网·上好课 www zxxk.com ADI BC, E :AE DF. S.ABC= 2)BCAE,Sc子 .S.ABC=S.BDC S.ABC -S.BOC S.BDC -S.BOC S.AOB=ScoD· 题型二证明线三条段之间的数量关系 1. 【详解】(1)证明：“CE1AB,CF⊥AD, ∴∠BEC=LF=90°， :在Rt△CDF和Rt△CBE中， CD=CB DF=BE ∴.RtACDF≌RtACBE(直角三角形全等的判定定理)， .CF =CE, :CE⊥AB,CF⊥AD, .AC平分∠DAB. (2)证明：：在Rt△ACF和RtAACE中， AC=AC CF=CE ∴.Rt△ACF≌Rt△ACE(直角三角形全等的判定定理)， .AF AE, .BE=DF :AB+AD AE BE AF-DF=AE +BE AE BE 2AE. 2. 【详解】(1)证明：如图，过点O作OE⊥AC于E. 4/8 系一母拼丁 命学科网·上好课 :∠B=90°，A0平分∠BAC, ∴.OB=0E. :O为BD的中点， .0B=0D .OE =OD 又：∠D=90°， .CO平分∠ACD, (2)由(1)得0B=0E=0D, 在RtAOBA和RtAOEA中， .OB=OE,OA=OA, .RtAOBAS≌RtAOEA HL. .AB=AE 同理可得Rt△OCE≌RtAOCD(HL, :CD =CE ∴.AC=AE+CE=AB+CD 3. 【解析】解：：在四边形ABCD中， ·∠ADB=∠EBC, 在△ADB和△EBC中， ∠A=∠BEC AD-BE ∠ADB=∠EBC ·△ADB≌△EBC(ASA)' ·BC=BD, ·AD十DE=BE十DE=BD, www .zxxk.com 上好每一堂课 AD//BC,点E为对角线BD上一点， 5/8 面学科网·上好课 ·AD+DE=BC 拓展培优题 题型一四边形的几何探究题 1. 【详解】(1)解：如图(1)，延长CB到点G,使BG=DF, B F D 图(1) 在△ABG和△ADF中， BA=DA ∠ABG=∠ADF BG=DF △ABG≌△ADF(SAS, ,∠BAG=∠DAF,AF=AG, ∠FAG=∠DAB, 1 :∠EAF=2DAB, ∠EAF=∠FAG, LEAF=∠EAG, 在△AEF和△AEG中， AE=AE ∠EAF=∠EAG, AF=AG .△AEF≌AAEG(SAS), .EF =EG BE BG 6/8 上好每一堂课 连接AG, 丽学科网·上好课 www .zxxk.com .EF=BE+DF, 故选：①； (2)解：EF=DF-BE,理由如下： 如图(2)，在DF上截取DG=BE,连接AG, D G :∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠ABE=180°， 图(2) ∠ABE=∠D, 在△ADG和△ABE中， DG=BE ∠D=∠ABE AD=AB △ADG≌△ABE(SAS, ,∠DAG=∠EAB,AE=AG, .∠EAG=∠BAD, :∠FAE=∠BAD, 2 .∠FAE= ∠EAG, 2 ∠EAF=∠GAF, 在△EAF和△GAF中， AF=AF ∠EAF=∠GAF, AE=AG .AEAF≌△GAF(SAS), :EF =FG, DF=FG+DG, :DF EF BE 7/8 盖系一母丝丁 高学科网·上好课 即EF=DF-BE; (3)解：结论：∠EAF=180-∠DAB,理由： 如图3，在DC延长线上取一点G,使得DG=BE,连接AG, A :∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+ 图(3) ∠ADG=LABE, 在△ABE和△ADG中， AB=AD ∠ABE=∠ADG, BE=DG .△ABE≌△ADG(SAS), .AG=AE,∠DAG=∠BAE, .EF =BE +DF,DG=BE :EF DG+DF FG, 在△AEF和△AGF中， AF=AF AE=AG. EF=GF △AEF≌△AGF(SSS, .∠FAE=∠FAG, :∠FAE+∠EAG+∠GAF=360°， :2∠FAE+∠GAB+∠BAE)=360°， 2∠FAE+∠GAB+∠DAG)=360°， 即2∠EAF+∠DAB=360°， :∠EAF=180°-1∠BAD. 2 8/8 上好每一堂课 ∠ABE=180°，