精品解析：福建省福州市2025-2026学年上学期九年级适应性练习 数学（一检）

2025-2026学年第一学期福州市九年级适应性练习 数学 本练习卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，完卷时间120分钟，满分150分． 注意事项： 1．答题前，学生务必在本练习卷及答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．学生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与学生本人准考证号、姓名是否一致． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在本练习卷上答题无效． 3．作图可先使用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑． 4．结束时，学生必须将本练习卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在中国，剪纸具有广泛的群众基础，交融于各族人民的社会生活，是各种民俗活动的重要组成部分．下列剪纸图案中可以看成中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. D. 3. 将二次函数的图象向上平移个单位长度，得到的新图象的顶点坐标是（ ）． A. B. C. D. 4. 某质地均匀的骰子的个面上分别刻有到的点数，掷该骰子一次，观察向上一面的点数，则下列事件中，发生概率最小的是（ ）． A. 向上一面的点数是偶数 B. 向上一面的点数大于 C. 向上一面的点数是质数 D. 向上一面的点数是 5. 如图，在平面直角坐标系中，点P位于第一象限，且在反比例函数的图象上．过点P作x轴垂线，垂足为Q，则的面积是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 6. 如图，用放大镜从正上方观察一个三角形．当放大镜位于某一位置时，观察到的三角形的各边长度均为原三角形的3倍，则此时放大镜中观察到的三角形的面积与原三角形的面积的比值是（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 9 7. 中国传统凉亭是自然与人文交融的载体，既是游人遮阳避雨的休憩佳处，亦是园林造景的点睛之笔．如图，福州光禄吟台坐落着一座六角亭——追昔亭，该亭的基座平面可近似看作半径为的正六边形，则此正六边形的面积是（ ）． A. B. C. D. 8. 如图，在足球比赛中，从，，，四个位置向球门射门，其中，点，，，在上，点在外，点在内．设射门角度为射门位置与球门两端，所连线段的夹角，则射门角度最大的位置是（ ） A. 点处 B. 点处 C. 点处 D. 点处 9. 某市年约为万亿元，年预计达到万亿元，且年的增长率比年提高．设年的增长率为，则下列方程中符合题意的是（ ）． A. B. C. D. 10. 若二次函数的图象经过四个象限，则下列判断一定正确的是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 已知反比例函数的图象经过点，则的值是_______． 12. 若是一元二次方程的一个根，则的值为___________． 13. 如图，内接于半径为2的圆，若，则的长是_______． 14. 如图，某时钟分针长为，且该分针匀速转一周需要，则经过，该分针扫过的面积是_______． 15. 在一个不透明袋子中有个完全相同的小球，分别标记为，，，．进行摸球试验时，需要从该袋中摸球两次，每次随机摸取一个小球．甲同学按照某一规则，用下表正确地列举出了所有可能出现的结果．则该规则中，第一次摸取的小球在第二次摸球时是否仍在该袋中：_______（填“是”或“否”）． 第一次 第二次 16. 如图，在四边形中，，，，，．为线段上的一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段．若点在线段上由点向点运动时，与的交点总在线段上，则的最小值是_______． 三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程：． 18. 如图，在中，，分别是和上的点，且．若，，，求的长． 19. 已知，，为实数，且．求证：关于的方程没有实数根． 20. 如图，是的两条切线，切点分别为A，B．点C在以A，B为端点的优弧上，且不与点A，B重合，连接．若，求的大小． 21. 某校学生会计划开展一场活动，为了解本校学生对参加该活动的意愿，从该校随机调查了100位学生对该活动的参加意愿，统计结果如下表（单位：人）： 参加意愿 初中生 高中生 愿意 40 20 不愿意 20 20 （1）若从该校全体初中生中随机抽取1名学生，估计该学生愿意参加该活动的概率； （2）若该校共有初中生2400人，高中生1800人，现从该校全体学生中随机抽取1名学生，估计该学生愿意参加该活动的概率． 22. 某标准篮球场中，篮筐中心A到地面距离米．小明在篮筐正前方，且与篮筐中心水平距离为4.5米的点C处练习投篮，基本上能保持篮球被投出时，球心位于点C正上方的点D处，且米．在某一次投篮中，篮球抛出后，当球心与点C的水平距离米时，篮球到达最高点F，此时球心到地面的距离米，且点B，C，E在同一条直线上．以所在直线为x轴，取向右为正方向． （1）补全平面直角坐标系（其中，y轴取向上为正方向），并求在该坐标系下篮球球心运动轨迹对应的抛物线的解析式； （2）投篮时，若篮球在入筐过程中未与篮筐和篮板任何部位发生接触，且其球心的运动轨迹恰好经过篮筐中心A，则称此次投篮为一次“完美进球”．通过计算判断小明此次投篮是否为“完美进球”． 23. 如图，在中，是中线． （1）将绕点A顺时针旋转得到，其中E是点B的对应点，点D的对应点G恰好落在的延长线上，请用无刻度直尺与圆规作出旋转后的（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，连接，若，求的大小． 24. 【问题背景】 在日常生活中，我们有可能注意到一个很有趣问题，那就是当你闭上眼睛走路时，走的路线不是一条直线，而是一条曲线．当走的距离足够远时，就有可能像某些小说里所描述的一样，迷路的主人公在林子里走着走着又回到了原来出发的地方，这就是著名的闭眼打转问题． 经研究发现，产生这一现象的原因是由于人自身两条腿在作怪：长年累月养成的习惯，使每个人一只脚伸出的步子，要比另一只脚伸出的步子长出一段微不足道的距离，而正是这一段很小的步差，使得闭眼走路走出了个大圈子！ 【问题解决】 如图1，可将某人闭眼走路时两脚的踏线及其运动路线近似地看作三个同心圆，圆心为O，半径分别是，，（点A，C在上），且．其中，以，为半径的圆分别表示此人内脚与外脚的踏线，记内、外脚踏线间距离长为d（单位：米），以为半径的圆表示此人闭眼行走时身体重心所形成的运动路线，记长为y（单位：米）． 如图2，在闭眼行进的过程中，内脚相邻两次落点间的距离（近似为的长）定义为内脚步长，记为a（单位：米）；外脚相邻两次落点间的距离（近似为的长）定义为外脚步长，记为b（单位：米）；外脚步长与内脚步长的差定义为步差，记为x（单位：米）．内、外脚步数指整个运动过程中内、外脚各自的落地次数．由于该情境下整体行走路程较长，近似认为内、外脚的步数相同． 如图3，在正常行进过程中，每一次迈步时两脚之间距离的平均数定义为平均步长，记为l（单位：米）．在确保安全的情况下，此人闭眼行进时的平均步长与正常行进时的平均步长基本一致，故在为半径的圆上两脚各迈一次行进的距离约为内、外脚步长的平均数（可以近似地用表示平均步长l）． （1）判断与所对的圆心角大小是否相等，并说明理由； （2）求y的表达式（用含x，d，l的代数式表示）； （3）若某同学两脚踏线间距离d约为米，平均步长l约为米．若在多次试验中发现他闭眼打转的半径y不超过500米，求该同学的步差至少为多少毫米？ 25. 如图，等边三角形内接于，连接并延长交于点D．点E在上，连接并延长分别交与的延长线于点F，G，且．H为的中点，连接分别交，，于点M，P，N． （1）求证：； （2）求证：为的中位线； （3）求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期福州市九年级适应性练习 数学 本练习卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，完卷时间120分钟，满分150分． 注意事项： 1．答题前，学生务必在本练习卷及答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．学生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与学生本人准考证号、姓名是否一致． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在本练习卷上答题无效． 3．作图可先使用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑． 4．结束时，学生必须将本练习卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在中国，剪纸具有广泛的群众基础，交融于各族人民的社会生活，是各种民俗活动的重要组成部分．下列剪纸图案中可以看成中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的定义逐项分析即可得出结果，熟练掌握中心对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：A、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，不符合题意； B、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，不符合题意； C、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，不符合题意； D、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，故是中心对称图形，符合题意； 故选：D． 2. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，先利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 【详解】解：， ， 或， 所以，． 故选：C． 3. 将二次函数的图象向上平移个单位长度，得到的新图象的顶点坐标是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．根据“上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：∵二次函数的图象向上平移个单位长度， ∴新图象解析式为：， ∴新图象的顶点坐标是． 故选：B． 4. 某质地均匀的骰子的个面上分别刻有到的点数，掷该骰子一次，观察向上一面的点数，则下列事件中，发生概率最小的是（ ）． A. 向上一面的点数是偶数 B. 向上一面的点数大于 C. 向上一面的点数是质数 D. 向上一面的点数是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了可能性大小的判断，概率公式等，熟练掌握概率公式是解题的关键． 分别根据概率公式求出概率，即可判断出答案． 【详解】解：选项A中，向上一面的点数是偶数的情况有种，即，所以概率为； 选项B中，向上一面的点数大于有种，即，所以概率为； 选项C中，向上一面的点数是质数有种，即，所以概率为； 选项D中，向上一面的点数是有种，所以概率为． ∵， ∴发生概率最小的是向上一面的点数是． 故选：D． 5. 如图，在平面直角坐标系中，点P位于第一象限，且在反比例函数的图象上．过点P作x轴垂线，垂足为Q，则的面积是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数中的几何意义是解题的关键，根据反比例函数解析式，得到，结合即可得到答案． 【详解】解：反比例函数中， ∵， ∴， 故选：B． 6. 如图，用放大镜从正上方观察一个三角形．当放大镜位于某一位置时，观察到的三角形的各边长度均为原三角形的3倍，则此时放大镜中观察到的三角形的面积与原三角形的面积的比值是（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的定义，相似三角形对应边的比称为相似比，即放大镜中观察到的三角形与原三角形的相似比为，由此即可得出结果，熟练掌握相似三角形的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵当放大镜位于某一位置时，观察到的三角形的各边长度均为原三角形的3倍， ∴当用放大镜观察三角形时，得到的三角形与原三角形相似，且相似比等于放大镜放大的倍数，即放大镜中观察到的三角形与原三角形的相似比为， ∴此时放大镜中观察到的三角形的面积与原三角形的面积的比值是， 故选：D． 7. 中国传统凉亭是自然与人文交融的载体，既是游人遮阳避雨的休憩佳处，亦是园林造景的点睛之笔．如图，福州光禄吟台坐落着一座六角亭——追昔亭，该亭的基座平面可近似看作半径为的正六边形，则此正六边形的面积是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正多边形和圆，等边三角形的性质，勾股定理，熟练把正多边形的面积转化为三角形面积的倍数计算是解题的关键．正六边形的面积由个全等的边长为的等边三角形面积组成，计算一个等边三角形的面积，乘以即可． 【详解】解：如图，过点作交于点， ∵正六边形， ∴，， ∴为等边三角形． ∴，． ∵在中，，，， ∴， ∴． ∵正六边形含有全等的个正三角形， ∴． 故选：C． 8. 如图，在足球比赛中，从，，，四个位置向球门射门，其中，点，，，在上，点在外，点在内．设射门角度为射门位置与球门两端，所连线段的夹角，则射门角度最大的位置是（ ） A. 点处 B. 点处 C. 点处 D. 点处 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等，三角形外角的性质，掌握相关性质定理是解题的关键．设与圆交于，延长交圆于，连接，，则，进而由三角形外角的性质可得，，即可得到答案． 【详解】解；如图所示，设与圆交于，延长交圆于，连接，，则， ，， ，， ， 射门角度最大的位置是点处． 故选：D． 9. 某市年的约为万亿元，年预计达到万亿元，且年的增长率比年提高．设年的增长率为，则下列方程中符合题意的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 根据题意可得年的约为万亿元，那么年的约为万亿元，又根据年预计达到万亿元，列出方程即可． 【详解】解：据题意得：． 故选：A． 10. 若二次函数的图象经过四个象限，则下列判断一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质及一元二次方程根与系数的关系，将“图象经过四个象限”转化为“方程有两个异号实根”是解题的关键． 二次函数图象经过四个象限，则必须与轴有两个交点且分别位于原点两侧，即方程有两异号实根，故根的积，从而得． 【详解】解：∵二次函数图象经过四个象限， ∴方程有两个实根、，且两根异号，即， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 已知反比例函数的图象经过点，则的值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握图象上点的坐标满足函数图象解析式是本题的关键． 将代入即可求解． 【详解】解：∵ 反比例函数的图象经过点， 代入得， ∴． 故答案为：． 12. 若是一元二次方程的一个根，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的意义，解题的关键是正确掌握一元二次方程的解的意义． 首先把代入一元二次方程中，可得到即可求解． 【详解】是一元二次方程的一个根， ， ． 故答案为：． 13. 如图，内接于半径为2的圆，若，则的长是_______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，由圆周角定理得出为直径，即，即可得出结果，熟练掌握圆周角定理是解此题的关键． 【详解】解：∵内接于半径为2的圆，且， ∴为直径，即， 故答案为：． 14. 如图，某时钟的分针长为，且该分针匀速转一周需要，则经过，该分针扫过的面积是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求扇形面积．求出分针的旋转度数，再根据扇形面积公式解答即可． 【详解】解：根据题意得：分针旋转了：， 所以该分针扫过的面积是． 故答案为：． 15. 在一个不透明的袋子中有个完全相同的小球，分别标记为，，，．进行摸球试验时，需要从该袋中摸球两次，每次随机摸取一个小球．甲同学按照某一规则，用下表正确地列举出了所有可能出现的结果．则该规则中，第一次摸取的小球在第二次摸球时是否仍在该袋中：_______（填“是”或“否”）． 第一次 第二次 【答案】否 【解析】 【分析】本题主要考查列表法，熟练掌握列表法是解题的关键． 表格中只列举了两次摸球结果不同的情况，缺失两次结果相同的情况，表明第一次摸球后小球未放回袋中． 【详解】解：由表格可知，所有列举的结果均为第一次和第二次摸到不同小球，即不存在如等相同小球的组合，这说明第一次摸球后小球被取出并未放回，因此第二次摸球时袋中不包含第一次摸出的小球． 故答案为：否． 16. 如图，在四边形中，，，，，．为线段上的一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段．若点在线段上由点向点运动时，与的交点总在线段上，则的最小值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，相似的判定和性质，二次函数的最值问题等，熟练掌握所有知识点是解题的关键． 先设与交于，根据旋转的性质证明，设，，根据相似的性质和二次函数最值得出的最大值，最后根据与的交点总在线段上，求出的取值范围即可解题． 【详解】解：设与交于， ∵线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵在和中， ， ∴， ∴， 设，， ， ， ∵， ∴的最大值为：． ∵与的交点总在线段上， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用配方法解一元二次方程即可，选择合适方法进行计算是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴，． 18. 如图，在中，，分别是和上的点，且．若，，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质， 熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．由，推出，再根据相似的性质即可求得． 【详解】解：∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵，，， ∴，即． 19. 已知，，为实数，且．求证：关于的方程没有实数根． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根是解题的关键．根据可得，，，再根据一元二次方程根的判别式判断即可． 【详解】证明：， ，，， 关于的方程为一元二次方程． ， ， ，即， 关于的方程没有实数根． 20. 如图，是的两条切线，切点分别为A，B．点C在以A，B为端点的优弧上，且不与点A，B重合，连接．若，求的大小． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质和圆周角定理，熟练掌握切线的性质和圆周角定理是解题的关键． 连接，根据切线的性质得到，再根据四边形的内角和定理，即可得到的度数． 【详解】解：连接． 是的两条切线， ，， ． ，四边形的内角和为， 在四边形中，． ， ， ． 21. 某校学生会计划开展一场活动，为了解本校学生对参加该活动的意愿，从该校随机调查了100位学生对该活动的参加意愿，统计结果如下表（单位：人）： 参加意愿 初中生 高中生 愿意 40 20 不愿意 20 20 （1）若从该校全体初中生中随机抽取1名学生，估计该学生愿意参加该活动的概率； （2）若该校共有初中生2400人，高中生1800人，现从该校全体学生中随机抽取1名学生，估计该学生愿意参加该活动的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了频率估计概率，概率公式． （1）利用概率公式求解即可； （2）分别求得该校初中生和高中生中愿意参加该活动的人数，再利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：由表格数据可知，随机调查的初中生共有人， 其中，愿意参加该活动的有40人， 若从该校全体初中生中随机抽取1位， 由频率估计概率可得，这位初中生愿意参加该活动的概率约为； 【小问2详解】 解：由样本估计总体得， 该校初中生中愿意参加该活动的有人， 该校高中生中愿意参加该活动的有人． 若从该中学的全体学生中随机抽取1位学生， 由频率估计概率可得， 这位学生愿意参加该活动的概率约为． 22. 某标准篮球场中，篮筐中心A到地面的距离米．小明在篮筐正前方，且与篮筐中心水平距离为4.5米的点C处练习投篮，基本上能保持篮球被投出时，球心位于点C正上方的点D处，且米．在某一次投篮中，篮球抛出后，当球心与点C的水平距离米时，篮球到达最高点F，此时球心到地面的距离米，且点B，C，E在同一条直线上．以所在直线为x轴，取向右为正方向． （1）补全平面直角坐标系（其中，y轴取向上为正方向），并求在该坐标系下篮球球心运动轨迹对应的抛物线的解析式； （2）投篮时，若篮球在入筐过程中未与篮筐和篮板任何部位发生接触，且其球心的运动轨迹恰好经过篮筐中心A，则称此次投篮为一次“完美进球”．通过计算判断小明此次投篮是否为“完美进球”． 【答案】（1） （2）小明此次投篮不是“完美进球” 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，正确求出二次函数的解析式是解此题的关键． （1）以射线方向为y轴正方向建立平面直角坐标系，由题意可得该抛物线顶点坐标为，则设该抛物线的解析式为，再结合题意得出该抛物线经过点．将代入，得，求出的值即可得出结果； （2）由题意可得点A的坐标是．将代入，求出的值，比较即可得出结果． 【小问1详解】 解：如图所示，以射线方向为y轴正方向建立平面直角坐标系． 当球心与点C的水平距离米时，篮球到达最高点F，此时球心到地面的距离米， 该抛物线的顶点坐标为， ∴设该抛物线的解析式为， 篮球被投出时，球心位于点C正上方的点D处，且米， 该抛物线经过点． 将代入，得， 解得， 该抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：小明在篮筐正前方，且与篮筐中心水平距离为4.5米的点C处练习投篮，且篮筐中心A到地面的距离米， ∴点A的坐标是． 将代入，得， ∴该抛物线不经过点A， 故小明此次投篮不是“完美进球”． 23. 如图，在中，是中线． （1）将绕点A顺时针旋转得到，其中E是点B的对应点，点D的对应点G恰好落在的延长线上，请用无刻度直尺与圆规作出旋转后的（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，连接，若，求的大小． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）以点为圆心，为半径作弧交的延长线于点，以点为圆心，为半径作弧，再以点为圆心，为半径作弧交前弧于点，连接并延长交于点，连接和，则即为所作； （2）利用旋转的性质求得，结合，利用等腰三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求作的三角形． ； 【小问2详解】 解：连接． 绕点A顺时针旋转得到， ， ． 为的中线，点D的对应点G恰好在的延长线上， ，G为的中点， ． ， ， ， 即为的中线， ， ． 【点睛】本题考查了尺规作图，等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，直角三角形斜边中线的性质．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 24. 【问题背景】 在日常生活中，我们有可能注意到一个很有趣的问题，那就是当你闭上眼睛走路时，走的路线不是一条直线，而是一条曲线．当走的距离足够远时，就有可能像某些小说里所描述的一样，迷路的主人公在林子里走着走着又回到了原来出发的地方，这就是著名的闭眼打转问题． 经研究发现，产生这一现象的原因是由于人自身两条腿在作怪：长年累月养成的习惯，使每个人一只脚伸出的步子，要比另一只脚伸出的步子长出一段微不足道的距离，而正是这一段很小的步差，使得闭眼走路走出了个大圈子！ 【问题解决】 如图1，可将某人闭眼走路时两脚的踏线及其运动路线近似地看作三个同心圆，圆心为O，半径分别是，，（点A，C在上），且．其中，以，为半径的圆分别表示此人内脚与外脚的踏线，记内、外脚踏线间距离长为d（单位：米），以为半径的圆表示此人闭眼行走时身体重心所形成的运动路线，记长为y（单位：米）． 如图2，在闭眼行进的过程中，内脚相邻两次落点间的距离（近似为的长）定义为内脚步长，记为a（单位：米）；外脚相邻两次落点间的距离（近似为的长）定义为外脚步长，记为b（单位：米）；外脚步长与内脚步长的差定义为步差，记为x（单位：米）．内、外脚步数指整个运动过程中内、外脚各自的落地次数．由于该情境下整体行走路程较长，近似认为内、外脚的步数相同． 如图3，在正常行进过程中，每一次迈步时两脚之间距离的平均数定义为平均步长，记为l（单位：米）．在确保安全的情况下，此人闭眼行进时的平均步长与正常行进时的平均步长基本一致，故在为半径的圆上两脚各迈一次行进的距离约为内、外脚步长的平均数（可以近似地用表示平均步长l）． （1）判断与所对的圆心角大小是否相等，并说明理由； （2）求y的表达式（用含x，d，l的代数式表示）； （3）若某同学两脚踏线间距离d约为米，平均步长l约为米．若在多次试验中发现他闭眼打转的半径y不超过500米，求该同学的步差至少为多少毫米？ 【答案】（1）与所对圆心角相等，理由见解析 （2） （3）步长至少为毫米 【解析】 【分析】本题主要考查了圆心角定理，反比例函数的应用，正确理解题意是关键． （1）设闭眼走一圈内、外脚的步数为n，则所对的圆心角是，所对的圆心角是，即得答案； （2）先求出闭眼绕行一圈，内脚步数为，外脚步数为，根据内、外脚的步数相同列方程，并化解得到，再根据，，即可求得答案； （3）当，时，，令，可求得，再根据反比例函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：与所对的圆心角大小相等； 理由如下：当整体行走路程较长时，近似认为内、外脚的步数相同， 不妨设闭眼走一圈内、外脚的步数为n， 则所对的圆心角是，所对的圆心角是， 与所对的圆心角大小相等； 【小问2详解】 解：，，，且点A，C在OB上， 内脚踏线的半径，外脚踏线的半径， 闭眼绕行一圈，内脚步数为，外脚步数为， 内、外脚的步数相同， ， 化简得， 即， ，， ， 即； 【小问3详解】 解：，， ， ，， ， 当时，得， 解得， 对于函数，当时，x越大，y越小， 米毫米， 若该同学闭眼打转的半径y不超过500米，则他的步长至少为毫米． 25. 如图，等边三角形内接于，连接并延长交于点D．点E在上，连接并延长分别交与的延长线于点F，G，且．H为的中点，连接分别交，，于点M，P，N． （1）求证：； （2）求证：为的中位线； （3）求的值． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据圆内接三角形，可得点O在垂直平分线上，再利用等边三角形的性质可得，进行角度转换得到，即可解答； （2）得到，从而推出，根据平行线分线段成比例即可解答； （3）连接，推出，，，设，，根据圆周角定理得到，，推出，得，即可得到，即可解答． 【小问1详解】 证明： 等边三角形内接于， ，，点O在的垂直平分线上， ， 平分， 即， ，，， ， ； 【小问2详解】 解：为的中点， ， ． ， 垂直平分BD， ，． ， ， ， ． ， ，， 即M，N分别为，中点， 为的中位线； 【小问3详解】 解：如图，连接， ， ， 为等边三角形， ， ，，， ，，， 设，， ， ， ，， ，， ， ， ， 整理得， 解得， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，熟练利用相关性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $