精品解析：福建省福州市平潭县平潭第一中学2025-2026学年 九年级上学期期末数学复习试卷

福建省福州市平潭一中2025-2026学年度九年级（上） 期末数学复习试卷 一、选择题：本题共10小题，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有多年的历史年月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人进行围棋人机大战截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（ ） A. B. C. D. 2. 反比例函数的图象如图所示，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 4. 将抛物线向右平移一个单位，向上平移2个单位得到抛物线　　 A. B. C. D. 5. 如图，，直线、与、、分别相交于点、、和点、、，若，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，为了测量河岸，两点的距离，在与垂直的方向上取点，测得，，那么等于（ ） A. B. C. D. 7. 如图，的弦，且于，连接，若，则的周长为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，，点在边上，点在线段上，于点，交于点，若，则长为（ ） A. B. C. D. 9. 反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点在的图象上，过点作轴于点，交的图象于点轴于点，交的图象于点．当点的横坐标逐渐变大时，四边形的面积（ ） A. 逐渐变大 B. 逐渐变小 C. 不变 D. 无法确定 10. 在平面直角坐标系中，两点，在抛物线，则下列结论中正确的是（ ） A. 当且时，则 B. 当时，则 C. 当且时，则 D. 当时，则 二、填空题：本题共6小题，共24分． 11. 如图是福州城市形象，为了估算出图案面积（含文字），兴趣小组先将图片打印在面积为的长方形纸片上，再利用计算机软件进行随机投点模拟实验，经过大量重复实验，发现点落在图案上（含文字）的频率稳定在0.35左右，据此估计在该图中，此中图案（含文字）的面积约为________平方厘米． 12. 如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若圆锥的底面圆半径是5，则圆锥的母线l为__________． 13. 如图：抛物线与直线交于两点，，则不等式的解集是______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点B在函数的图象上，点A在函数的图象上，若，，则k的值为______． 15. 实数满足，这四个数在数轴上对应的点分别为，若，，则称为的“大黄金数”，为的“小黄金数”，当时，__________． 16. 已知⊙O的半径为2，A为圆上一定点，P为圆上一动点，以AP为边作等腰Rt△APG，P点在圆上运动一周的过程中，OG的最大值为____． 三、解答题：本题共10小题，共96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 解下列方程： （1）； （2）． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若，且该方程两个实数根的差为，求的值． 19. 如图，一次函数与反比例函数图象交于，两点． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）过点A作轴，垂足为C，求的面积． 20. 紫帽山位于福建省晋江市紫帽镇，是泉州四大名山之一，主峰海拔517.8米．景区以层峦叠嶂、飞瀑流泉为特色，拥有金粟洞、古玄寺等历史遗迹，以及百处“心”字石刻等文物奇观．周边植被茂盛，生态环境良好，属休闲旅游胜地．如图是该景区停车场一处彼此相邻四个空闲车位，分别为A，B，C，D．现有甲、乙两车准备到该停车场停车，甲车先从这四个车位中随机选择一个停放，乙车再从剩下的三个车位中随机选择一个停放． （1）甲停放在C位置的概率为______； （2）请用列表或画树状图的方法求甲、乙两车停放在相邻车位的概率． 21. 如图，AB是⊙O的直径，点C，D在圆上，且四边形AOCD是平行四边形，过点D作⊙O的切线，分别交OA的延长线与OC的延长线于点E，F，连接BF. （1）求证：BF是⊙O的切线； （2）已知圆的半径为1，求EF的长. 22. 如图，在平行四边形中，过点作，垂足为，连接，为线段上一点，且． （1）求证：． （2）若，，，求的长． 23. 研学实践：如图是红军长征起点纪念碑．学校组织同学们到此进行研学活动，并设计测量该纪念碑高度的方案． 测量方案：如下图，线段表示纪念碑的高，他们在地面上点C处直立一根2米长的标杆．此时，地面上的点E、标杆的端点D与点A恰好在同一直线上，测得米；将标杆平移到点G处，此时地面上的点F、标杆的端点H与点A恰好在同一直线上，测得米，米． 数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，点F，G，E，C，B在同一直线上，请根据上述数据，求纪念碑的高的长． 24. 某水果店去年2月至5月份销售甲乙两种新鲜水果，已知甲种水果每月售价与月份x之间存在反比例函数关系如表所示． 时间x/月份 2 3 4 5 售价 /（元/千克） 12 8 6 甲种水果进价为3元/千克，销售量P（千克）与x之间满足关系式；乙种水果每月售价与月份x之间满足，对应的图象如图所示．乙种水果进价为元/千克，平均每月销售160千克． （1）求与x之间的函数关系式； （2）求与x之间的函数关系式； （3）若水果店销售水果时需要缴纳元/千克的税费，问该水果店哪个月销售甲乙两种水果获得的总利润最大，最大利润是多少？ 25. 如图，矩形中，，点P是对角线上的一个动点（不包含A、C两点），过点P作分别交射线、射线于点E、F． （1）求证：； （2）连接，若，且F为中点，求的值； （3）若，移动点P，使与相似，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福建省福州市平潭一中2025-2026学年度九年级（上） 期末数学复习试卷 一、选择题：本题共10小题，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有多年的历史年月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人进行围棋人机大战截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，原图形绕对称中心旋转度后与自身完全重合． 根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：选项A：是中心对称图形，故本选项符合题意； 选项B：不是中心对称图形，故本选项不合题意； 选项C：不是中心对称图形，故本选项不合题意； 选项D：不是中心对称图形，故本选项不合题意． 故选：A． 2. 反比例函数的图象如图所示，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的性质，掌握在中，当时，图象在第一、三象限，当时，图象在第二、四象限是解题的关键． 由反比例函数所在的象限可得到关于k的不等式，可求得答案． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴， ∴． 故选：C． 3. 已知函数的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】分情况讨论，当时，函数是一次函数，为：，此时图象和x轴有交点；当时，函数是二次函数图像与x轴有公共点，说明一元二次方程的，建立一个关于k的不等式，解不等式即可． 【详解】当时，函数是一次函数， 解析式为：， 此时图象和x轴有交点， 即满足要求； 当时，函数是二次函数图像与x轴有公共点， ∴一元二次方程的， 即：， 解得且， 综上：则k的取值范围是， 故选：C． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式和二次函数图像与x轴交点个数的关系，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．解答时注意分类讨论的思想． 4. 将抛物线向右平移一个单位，向上平移2个单位得到抛物线　　 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：将抛物线向右平移一个单位所得直线解析式为：； 再向上平移2个单位为：，即． 故选B． 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键． 5. 如图，，直线、与、、分别相交于点、、和点、、，若，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例的性质，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理得到，代入数据即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 故选：C． 6. 如图，为了测量河岸，两点的距离，在与垂直的方向上取点，测得，，那么等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意知，，则，即，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∴，即，解得，， 故选：D． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 7. 如图，的弦，且于，连接，若，则的周长为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，，，利用圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系可以求出，则有，通过勾股定理求出半径为，最后由周长公式即可求解． 【详解】连接，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴的周长为． 【点睛】此题考查了勾股定理，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键． 8. 如图，在中，，，，点在边上，点在线段上，于点，交于点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，根据相似的性质得到DC=DH是解题关键． 过点D作交于点H，根据和可得，再由，根据相似三角形的性质列出方程即可求出． 【详解】解：过点D作交于点H， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， 设，则， 又∵， ∴，即， 解得：，即， 故选：B． 9. 反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点在的图象上，过点作轴于点，交的图象于点轴于点，交的图象于点．当点的横坐标逐渐变大时，四边形的面积（ ） A. 逐渐变大 B. 逐渐变小 C. 不变 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数中k的几何意义．根据反比例函数的图象和性质，特别是根据反比例函数k的几何意义，求得与的面积相等且都等于1，即可得出正确答案． 【详解】解：由于点C和点D均在同一个反比例函数的图象上， ∴， ∴与的面积相等， ∵矩形的面积是k、而、的面积为定值1，则四边形的面积只与k有关， ∴四边形的面积不会发生变化， 故选：C． 10. 在平面直角坐标系中，两点，在抛物线，则下列结论中正确的是（ ） A. 当且时，则 B. 当时，则 C. 当且时，则 D. 当时，则 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，抛物线开口向上，顶点为，与x轴交于和，分析各选项时需结合抛物线的对称性、增减性及函数值的符号，据此进行作答即可． 【详解】解：∵ ∴抛物线的开口向上， 则对称轴为直线， 把代入，得， ∴顶点为， ∵两点，在抛物线， ∴当且时，（因时抛物线在x轴上方）， 故， 此时 故A选项的结论正确； 当时，抛物线在时递减， 故越大，越小， 即， 故B选项结论错误； 当且时，， 此时应满足或， 故C选项的结论错误； 当时，抛物线在时递增， 故越大，越大， 即， 故D选项的结论错误； 故选：A 二、填空题：本题共6小题，共24分． 11. 如图是福州城市形象，为了估算出图案面积（含文字），兴趣小组先将图片打印在面积为的长方形纸片上，再利用计算机软件进行随机投点模拟实验，经过大量重复实验，发现点落在图案上（含文字）的频率稳定在0.35左右，据此估计在该图中，此中图案（含文字）的面积约为________平方厘米． 【答案】70 【解析】 【分析】本题考查了几何概率，频率和概率之间的关系，熟练掌握用频率估计概率的方法是解题的关键．用频率和概率之间的关系解答即可． 【详解】解：∵长方形纸片的总面积为：， ∵点落在图案上（含文字）的频率稳定在0.35左右， ∴图案（含文字）的面积约为， 故答案为：70． 12. 如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若圆锥的底面圆半径是5，则圆锥的母线l为__________． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于底面周长；弧长公式为：． 先算圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的弧长，进而利用弧长公式即可求得圆锥的母线长． 【详解】解：圆锥的底面周长， 则：， 解得． 故答案为：15． 13. 如图：抛物线与直线交于两点，，则不等式的解集是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与不等式的关系，掌握二次函数图象与不等式之间的关系是解题关键． 根据图象判断函数值大小关系即可． 【详解】解：由图象可知，在点A的左侧和点B的右侧，抛物线在直线的上方， 故当或时，， 故答案为： 或． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点B在函数的图象上，点A在函数的图象上，若，，则k的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，相似三角形的判定与性质，分别过作轴的垂线，垂足分别为，证明，根据相似三角形的性质可得，进而求得，根据反比例函数的几何意义即可求得的值． 【详解】解：如图，分别过作轴的垂线，垂足分别为，     点在函数的图象上， ， ， ， 轴，轴， ， ， ， 又， ， ， 点在函数的图象上， ， （函数图象经过第二象限）， ， 故答案为：． 15. 实数满足，这四个数在数轴上对应的点分别为，若，，则称为的“大黄金数”，为的“小黄金数”，当时，__________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据已知推出，再设，则，代入列方程求出的值，即可解决问题． 【详解】解：如图 由，，得 ， 得：， ， ， ， 设，则， 由，得 ， 解得：（负数，舍去）， ，即， 故答案为：． 【点睛】本题考查了数轴上两点的距离和黄金分割的定义及一元二次方程，做好此题的关键是能正确表示数轴上两点的距离：若表示、表示，则． 16. 已知⊙O的半径为2，A为圆上一定点，P为圆上一动点，以AP为边作等腰Rt△APG，P点在圆上运动一周的过程中，OG的最大值为____． 【答案】 【解析】 【分析】连接OA，作OH⊥OA交⊙O于点H，连接AH，HC，OP．首先证明∠OAP∽△HAG，推出，由OP=2，可得HG=2，由OG≤OH+HG，推出OG≤2+2，由此即可解决问题； 【详解】解：连接OA，作OH⊥OA交⊙O于点H，连接AH，HG，OP． ∵OA=OH，∠AOH=90°， ∴AH=OA， ∴AP=PG，∠APG=90°， ∴AG=AP， ∴， ∵∠OAH=∠PAG=45°， ∴∠OAP∽△HAG， ∴． ∵OP=2， ∴HG=2． ∵OG≤OH+HG， ∴OG≤2+2， ∴OG的最大值为2+2． 故答案为：2+2． 【点睛】本题考查旋转变换，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题． 三、解答题：本题共10小题，共96分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程， （1）将方程的左边利用提公因式法进行因式分解，再解一元一次方程即可； （2）将方程的左边利用平方差进行因式分解，再解一元一次方程即可； 解题的关键是掌握解一元二次方程的方法（直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法），能根据方程的特点选择合适的方法解方程． 【小问1详解】 解：∵， ∴或， 解得：，； 【小问2详解】 ∵， ∴或， 解得：，． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若，且该方程的两个实数根的差为，求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（）根据一元二次方程根的判别式进行证明即可； （）解方程得，，由方程的两个实数根的差为，得，据此即可求解； 本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的判别式，解一元二次方程的一般方法是解题的关键． 【小问1详解】 证明：∵， ∴该方程总有两个实数根； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴或， ∴，， ∵， ∴， ∵该方程的两个实数根的差为， ∴， 解得． 19. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． （1）求反比例函数与一次函数解析式； （2）过点A作轴，垂足为C，求的面积． 【答案】（1）， （2）5 【解析】 【分析】（1）把B的坐标代入反比例函数的解析式，求出其解析式，把A的坐标代入反比例函数的解析式，求出A的坐标，把A、的坐标代入一次函数的解析式，得出方程组，求出方程组的解即可； （2）根据一次函数确定，，结合图形，计算三角形面积即可． 【小问1详解】 解：∵点）在的图像上， ∴， ∴反比例函数的解析式为：， ∴ ∴， ∵点、在图像上， ∴， 解得： ∴一次函数的解析式为：； 【小问2详解】 ∵一次函数的解析式为：， 当时，， ∴点，， ∵轴，， ∴，， ∴， 以为底，则边上的高为， ∴ 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，用待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式，三角形的面积的应用，主要培养学生分析问题和解决问题的能力，题型较好，难度适中． 20. 紫帽山位于福建省晋江市紫帽镇，是泉州四大名山之一，主峰海拔517.8米．景区以层峦叠嶂、飞瀑流泉为特色，拥有金粟洞、古玄寺等历史遗迹，以及百处“心”字石刻等文物奇观．周边植被茂盛，生态环境良好，属休闲旅游胜地．如图是该景区停车场一处彼此相邻的四个空闲车位，分别为A，B，C，D．现有甲、乙两车准备到该停车场停车，甲车先从这四个车位中随机选择一个停放，乙车再从剩下的三个车位中随机选择一个停放． （1）甲停放在C位置的概率为______； （2）请用列表或画树状图的方法求甲、乙两车停放在相邻车位的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查概率公式求概率和列表法或画树状图法求概率，掌握求概率的公式和方法是解题关键． （1）根据概率公式直接求解即可； （2）根据题意，列表或画树状图求概率即可． 【小问1详解】 解：从四个车位中随机选择一个停放，共有4种等可能的情况， ∴甲停放在C位置的概率； 【小问2详解】 解：由题意，列表如下： 甲 乙 A B C D A B，A C，A D，A B A，B C，B D，B C A，C B，C D，C D A，D B，D C，D 由表可知，共有12种等可能的结果，其中甲、乙两车停放在相邻车位的情况有6种， ∴甲、乙两车停放在相邻车位的概率． 21. 如图，AB是⊙O的直径，点C，D在圆上，且四边形AOCD是平行四边形，过点D作⊙O的切线，分别交OA的延长线与OC的延长线于点E，F，连接BF. （1）求证：BF是⊙O的切线； （2）已知圆的半径为1，求EF的长. 【答案】（1）证明见解析；（2）EF=2. 【解析】 【分析】(1)、先证明四边形AOCD是菱形，从而得到∠AOD=∠COD=60°，再根据切线的性质得∠FDO=90°，接着证明△FDO≌△FBO得到∠ODF=∠OBF=90°，然后根据切线的判定定理即可得到结论； (2)、在Rt△OBF中，利用60度的正切的定义求解． 【详解】(1)、连结OD，如图，∵四边形AOCD是平行四边形，而OA=OC， ∴四边形AOCD是菱形， ∴△OAD和△OCD都是等边三角形， ∴∠AOD=∠COD=60°， ∴∠FOB=60°， ∵EF为切线， ∴OD⊥EF， ∴∠FDO=90°，在△FDO和△FBO中， ∴△FDO≌△FBO， ∴∠ODF=∠OBF=90°， ∴OB⊥BF， ∴BF是⊙O的切线； (2)、在Rt△OBF中，∵∠FOB=60°， 而tan∠FOB=， ∴BF=1×tan60°=． ∵∠E=30°， ∴EF=2BF=2． 考点：(1)、切线的判定与性质；(2)、平行四边形的性质 22. 如图，在平行四边形中，过点作，垂足为，连接，为线段上一点，且． （1）求证：． （2）若，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用两角对应相等，证明两个三角形相似，即可得△ADF∽△DEC. （2）利用△ADF∽△DEC，可以求出线段DE的长度；然后在Rt△ADE中，利用勾股定理求出线段AE的长度. 【小问1详解】 解：证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC ∴∠ADF=∠DEC，∠ADF=∠DEC ∵ ∵∠AFD+∠AFE=180°， ∴∠AFD=∠C 在△ADF与△DEC中，∵∠AFD=∠C，∠ADF=∠DEC， ∴△ADF∽△DEC 【小问2详解】 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD=AB=8． 由（1）知△ADF∽△DEC， ∴， ∴ 在Rt△ADE中，由勾股定理得：， 所以AE的长为6． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、 平行四边形的性质和勾股定理，熟悉相关性质并能熟练应用是解题的关键． 23. 研学实践：如图是红军长征起点纪念碑．学校组织同学们到此进行研学活动，并设计测量该纪念碑高度的方案． 测量方案：如下图，线段表示纪念碑的高，他们在地面上点C处直立一根2米长的标杆．此时，地面上的点E、标杆的端点D与点A恰好在同一直线上，测得米；将标杆平移到点G处，此时地面上的点F、标杆的端点H与点A恰好在同一直线上，测得米，米． 数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，点F，G，E，C，B在同一直线上，请根据上述数据，求纪念碑的高的长． 【答案】米 【解析】 【分析】易证得，于是可得，即，又可证得，于是可得，即，进而可得，解方程即可求得的长，因而可得，据此即可求出的长． 【详解】解：根据题意可得：， 又， ， ， ， ， 根据题意可得：， 又， ， ， ， ， ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， ， ， 纪念碑的高的长为米． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的实际应用，相似三角形的判定与性质，线段的和与差，解分式方程，等式的性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 24. 某水果店去年2月至5月份销售甲乙两种新鲜水果，已知甲种水果每月售价与月份x之间存在的反比例函数关系如表所示． 时间x/月份 2 3 4 5 售价 /（元/千克） 12 8 6 甲种水果进价为3元/千克，销售量P（千克）与x之间满足关系式；乙种水果每月售价与月份x之间满足，对应的图象如图所示．乙种水果进价为元/千克，平均每月销售160千克． （1）求与x之间的函数关系式； （2）求与x之间的函数关系式； （3）若水果店销售水果时需要缴纳元/千克的税费，问该水果店哪个月销售甲乙两种水果获得的总利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1）为整数） （2），且x为整数） （3）水果店2月份销售甲乙两种水果获得的总利润最大，最大利润是720元 【解析】 【分析】（1）根据表中数据，用待定系数法求函数解析式即可； （2）根据图象用待定系数法求函数解析式即可； （3）根据总利润等于甲乙两种水果利润之和列出函数解析式，根据函数的性质求最值即可． 【小问1详解】 解：设与x之间的函数关系式为 ， 把代入解析式，则 ， 解得， ∴与x之间的函数关系式为（，x为整数）； 【小问2详解】 解：把代入，得： ，解得 ， ∴与x之间的函数关系式为，且x为整数）； 【小问3详解】 解：设甲乙两种水果获得的总利润为w，则 ， = ， 对称轴为直线 ． ∵， ∴当时，w随x的增大而减小． ∵x为整数， ∴当时，w有最大值，最大值（元）， 答：水果店2月份销售甲乙两种水果获得的总利润最大，最大利润是720元． 【点睛】本题考查反比例函数和二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求反比例函数解析式和二次函数解析式，利用二次函数的对称性质，增减性质求最值，利润和售价与进价的关系，是解题的关键． 25. 如图，矩形中，，点P是对角线上的一个动点（不包含A、C两点），过点P作分别交射线、射线于点E、F． （1）求证：； （2）连接，若，且F为中点，求的值； （3）若，移动点P，使与相似，直接写出的值． 【答案】（1）答案见解析 （2） （3）或或 【解析】 【分析】（1）矩形的性质，得到，同角的余角相等，得到，即可得证； （2）根据等边对等角，等角的余角相等，得到，得到，设交于点G，证明，得到，证明，列出比例式求解即可； （3）分，两种情况进行讨论求解． 【小问1详解】 证明： 四边形是矩形，， ，， ，， ， ； 【小问2详解】 ， ， ， ， ， 设交于点G， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 或或．理由如下： 四边形是矩形， ，，， ①当时，， P是的中点， ， ， ， 即， 设，则， ，， ， ， ； ②当时，， ， 设，， 则，， ， ， 解得， ， 由①知， ， ， ， 或或． 【点睛】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理．熟练掌握矩形的性质及相似三角形的判定和性质，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $