第04讲 两条直线的位置关系（知识详解+13典例分析+习题巩固）2025-2026学年北师大版七年级数学下册同步讲义与测试

第04讲 两条直线的位置关系（知识详解+13典例分析+习题巩固） 【知识点01】相交线与平行线 1. 在同一平面内, 两条直线的位置关系有相交和平行两种.判断两直线相交的依据 2. 相交线 若两条直线只有一个公共点, 我们称这两条直线为相交线.如图2.1-1，直线AB与CD相交于点O. 3. 平行线 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.无公共交点 如图2.1-2，直线AB与直线CD平行. 注意：平行线是指“两条直线”, 而不是两条线段或射线. 线段或射线平行是指它们所在的直线平行. 【知识点02】对顶角 1. 定义 在图2.1 -3中，直线AB与CD相交于点O，∠1与∠2有公共顶点O，它们的两边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角叫作对顶角. 特别提醒：对顶角是成对出现的，指两个角之间的位置关系，一个角的对顶角只有一个. 2. 性质 对顶角相等. 特别提醒：(1)两个角互为对顶角，它们一定相等； (2)相等的两个角不一定是对顶角. 【知识点03】补角和余角 1.补角 一般地，如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角. 数学语言：若∠1＋∠2＝180°，就说∠1是∠2的补角或∠1与∠2互为补角，如图2.1-5 所示. 2. 余角 如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角 . 数学语言：若∠3＋∠4＝90°，就说∠3是∠4的余角或∠3与∠4互为余角，如图2.1-6所示. 3. 一个角的补角(或余角)可以有多个，但它们的度数是相等的. 互补、互余是指具有一定数量关系的两个角，一个角或三个及三个以上的角之间不存在互补或互余的关系，如∠1＋∠2＋∠3＝90°，但不能说这三个角互余. 【知识点04】补角、余角的性质 1. 性质 同角(或等角)的补角相等，同角(或等角)的余角 相等. 2. 示例 (1)如果∠1＋∠2＝180°，∠1＋∠3＝180°，那么∠2＝∠3； (2)如果∠1＋∠2＝90°，∠3＋∠4＝90°，且∠1＝∠3，那么∠2＝∠4. 【知识点05】垂直的定义及垂线的画法 1. 定义 两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足. 特别解读：垂直的定义具有双重作用，已知直角得线垂直，已知线垂直得直角. 2.表示符号 通常用符号“⊥”表示两条直线互相垂直. 直线AB与直线CD垂直，记作“AB⊥CD”，读作“AB 垂直于CD”. 3. 垂线的画法 经过一点(已知直线上或直线外)，画已知直线的垂线的步骤如下表： 步骤 内容 示图 一落 让三角尺的一条直角边落在已知直线上，使其与已知直线重合 过点P作直线l的垂线 二移 沿已知直线移动三角尺，使其另一条直角边经过已知点 三画 沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线 【知识点06】垂线的性质 1. 垂线的性质 (1)性质1：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. (2)性质2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短. 2. 点到直线的距离 如图2.1 -12，过点A作直 线l的垂线，垂足为B，线段AB的长度叫作点A到直线l的距离. 垂线段与点到直线的距离的区别：垂线段是一条线段，而点到直线的距离是一个数量，是垂线段的长度. 【题型一】平面内两直线的位置关系 例1．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列图片中，不包含平行线的是（   ） A．双杠B．电梯扶手 C．彩虹 D．拉直的电线 【答案】C 【知识点】平面内两直线的位置关系 【分析】本题主要考查了平行线，解题关键是熟练掌握平行线的定义． 根据平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，观察各个选项中的图形，进行判断即可． 【详解】解：A、双杠的两根横杠在同一平面内且永不相交，是平行线，不符合题意； B、电梯扶手在同一平面内且永不相交，是平行线，不符合题意； C、彩虹是弧形的，并不是直线，不满足平行线是直线的条件，所以不包含平行线，符合题意； D、拉直的电线在同一平面内且永不相交，是平行线，不符合题意； 故选：C． 变式1．（23-24七年级下·新疆和田·期中）在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有 和 两种． 【答案】 平行 相交 【知识点】平面内两直线的位置关系 【分析】本题考查平面内两直线的位置关系，在同一平面内，不重合的两条直线要么平行，要么相交，熟记相关结论即可求解． 【详解】解：在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有平行和相交， 故答案为：平行，相交． 变式2．（2023七年级下·全国·课后作业）如图，这些图案中有一些平行条纹请你设计一些类似图案，并把你的设计与同学们交流一下． 【答案】答案见解析（答案不唯一） 【知识点】平面内两直线的位置关系 【分析】只要设计的图案中有平行线即可，答案不唯一． 【详解】解：如下图： 【点睛】本题考查的是带有平行条纹的图案设计，根据平行的定义画图是解题关键． 【题型二】立体图形中平行的棱 例2．（24-25七年级·全国·课后作业）如图，在长方体中，下列各棱与棱平行的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】立体图形中平行的棱 【分析】在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线，由此即可得到答案． 【详解】解：A中的棱与棱相交，故A不符合题意； B、C中的棱与棱异面，故B、C不符合题意； D、棱与棱平行，故D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查平行线，认识立体图形，关键是掌握平行线的定义． 变式1．（2024七年级下·全国·专题练习）如图、的直线与既不相交也不平行，为什么会出现这样的情况？与同学们讨论一下．    【答案】见解析 【知识点】立体图形中平行的棱 【分析】此题考查平行线的意义，注意前提条件，是在同一平面内．利用平行的定义：在同一平面内，不相交（也不重合）的两条直线叫做平行线平行线，由此探讨得出答案即可． 【详解】解：如图的直线与既不相交也不平行，因为直线与不在同一个平面内．    【题型三】相交线 例3．（23-24七年级上·福建厦门·期末）根据语句“直线l与线段AB的延长线交于点C”画出的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】相交线 【分析】本题主要考查了相交线以，两条直线交于一点，我们称这两条直线为相交线．根据语句“直线l与线段AB的延长线交于点C″进行判断，即可得出结论． 【详解】解：根据语句“直线l与线段AB的延长线交于点C”画出的图形是： 故选：C． 变式1．（2023七年级下·河北秦皇岛·期中）如图，用几何语言叙述图的含义是 ． 【答案】线段AB和直线c相交于点P 【知识点】相交线 【分析】本题主要考查了几何语言运用，掌握数学术语比较重要．利用几何语言叙述． 【详解】解：图中有线段，直线c,它们相交于点P；用几何语言叙述图的含义是：线段和直线c相交于点P． 故答案为：线段和直线c相交于点P． 变式2．（2022七年级下·全国·课后作业）过一点画2条直线，如果只考虑小于的角，那么可以形成多少个角？ 【答案】4个 【知识点】相交线 【分析】根据直线相交的特点解答． 【详解】解：两条直线相交可以形成4个角． 【点睛】此题考查直线相交所形成的角，正确理解题意，有空间想象能力是解题的关键． 【题型四】对顶角的定义 例4．（24-25七年级下·广东湛江·月考）下列各图中，和互为对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】对顶角的定义 【分析】本题主要考查对顶角的概念及识别，掌握对顶角的概念，图形结合分析是解题的关键．根据对顶角的概念“一个角的两边分别是另一个角的反向延长线”即可求解． 【详解】解：A：没有公共顶点，不是对顶角，故A错误，不符合题意； B：的两边不是两边的延长线，不是对顶角，故B错误，不符合题意； C：根据概念可知和互为对顶角，故C正确，符合题意； D：的两边不是两边的延长线，不是对顶角，故D错误，不符合题意； 故选：C． 变式1．（23-24七年级下·四川成都·月考）若条直线两两相交于不同的点时，可形成 对对顶角． 【答案】 【知识点】对顶角的定义 【分析】本题考查了对顶角的定义，熟记对顶角的概念是解题的关键．根据对顶角的概念即可求解． 【详解】解：若三条直线两两相交，最多有3个交点，对对顶角； 四条直线两两相交，最多有个交点，对对顶角； ， 条直线两两相交于不同的点时，可形成对对顶角； 故答案为：． 变式2．（2023七年级下·全国·课后作业）下列各图中，和是不是对顶角？ 【答案】（2）是，（1）（3）（4）不是． 【知识点】对顶角的定义 【分析】根据对顶角定义：有公共顶点且两条边都互为反向延长线的两个角称为对顶角，判断即可． 【详解】(1)∠1和∠2没有公共顶点，所以不是对顶角； (2)∠1和∠2有公共顶点且两条边都互为反向延长线，所以是对顶角； (3)∠1和∠2有公共顶点，但是两条边不互为反向延长线，所以不是对顶角； (4)∠1和∠2没有公共顶点，所以不是对顶角． 答：（2）是，（1）（3）（4）不是． 【点睛】本题主要考查对顶角定义，属于基础题，熟练掌握对顶角定义是解题关键． 【题型五】对顶角相等 例5．（2024·广东·模拟预测）如图，直线，相交于点O．若，则的度数是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】对顶角相等 【分析】本题主要考查了对顶角相等，熟练掌握对顶角的性质，是解题的关键． 根据对顶角相等，得出即可． 【详解】解：∵直线，相交于点O，， ∴， 故选：B． 变式1．（24-25七年级下·全国·期中）如图，直线与交于点，若，则 ． 【答案】 【知识点】对顶角相等 【分析】本题考查了对顶角的性质，根据对顶角相等即可求解，掌握对顶角的性质是解题的关键． 【详解】解：∵直线与交于点， ∴和是对顶角， ∴， 故答案为：． 变式2．（2023七年级下·全国·课后作业）如图，直线a，b，c两两相交，，求的度数． 【答案】 【知识点】对顶角相等 【分析】本题主要考查了对顶角相等的性质，根据已知条件求出是解题的关键． 根据对顶角相等求出，再求出，然后根据对顶角相等解答即可． 【详解】解：由对顶角相等可得， ， ， (对顶角相等)． 【题型六】求一个角的余角 例6．（2024·广东·模拟预测）已知与互余，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求一个角的余角 【分析】本题考查求一个角的余角，根据互余的定义，两个角的和为，直接计算即可得出结果． 【详解】解：与互余， ， ， ， 故选：B． 变式1．（24-25七年级下·广东清远·期中）若与互余，，则 ． 【答案】/度 【知识点】求一个角的余角 【分析】本题考查了互余的定义，由题意得，然后把代入即可求解，掌握互余的定义是解题的关键． 【详解】解：∵与互余， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 变式2．（22-23七年级下·陕西渭南·期中）如图，已知直线，相交于点，．    (1)写出的对顶角___________和余角___________； (2)若，求的度数． 【答案】(1)， (2) 【知识点】对顶角相等、求一个角的余角 【分析】（1）根据对顶角相等和余角的定义解答即可； （2）首先根据，，得出，，再利用余角的关系求得的度数． 【详解】（1）解：根据对顶角的定义：的对顶角为， ， 的余角为， 故答案为：，； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了对顶角相等的性质，余角的定义，熟记概念与性质并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键． 【题型七】求一个角的补角 例7．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如果与互补，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求一个角的补角 【分析】本题主要考查了互补的定义，解题的关键是掌握互补的定义． 利用互补的定义进行求解即可． 【详解】解：∵与互补， ∴， 故选：D． 变式1．（24-25七年级下·贵州毕节·期末）若的补角是，则的度数是 ． 【答案】 【知识点】求一个角的补角 【分析】本题主要考查补角的定义：“和为的两个角互为补角”．根据“和为的两个角互为补角”，用即可得． 【详解】解：∵的补角是， ∴， 故答案为：． 变式2．（24-25七年级下·吉林白城·期中）如图所示，直线，被直线，所截，已知与，与，与分别互补，且，试求，，的度数． 【答案】，， 【知识点】对顶角相等、求一个角的补角 【分析】本题考查了对顶角相等、求一个角的补角，熟练掌握补角的定义是解题关键．先根据对顶角相等可得，再根据补角的定义求解即可得． 【详解】解：∵， ∴由对顶角相等得：， ∵与互补， ∴； ∵与互补， ∴； ∵与互补， ∴． 【题型八】与余角、补角有关的计算 例8．（24-25七年级下·河南·月考）已知，与互补，则的余角为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】与余角、补角有关的计算 【分析】本题考查了余角与补角，解题的关键是熟记概念，余角：如果两个角的和等于（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．补角：如果两个角的和等于（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角． 根据与互补求出，再计算的余角即可． 【详解】解：∵，与互补， ∴， ∴的余角为． 故选：B． 变式1．（24-25七年级下·山西太原·月考）与互为余角，，那么的补角 ． 【答案】 【知识点】与余角、补角有关的计算 【分析】本题考查了余角和补角的定义：如果两个角的和为，则这两个角互为补角；如果两个角的和为，则这两个角互为余角． 根据余角定义求出，再根据补角定义求出的补角． 【详解】解：∵与互为余角，， ∴， ∴的补角． 故答案为：． 变式2．如图，已知和都是直角，它们有公共顶点O． (1)若，求的度数． (2)判断和的大小关系，并说明理由． (3)猜想：和有怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)相等，理由见解析 (3)，理由见解析 【知识点】与余角、补角有关的计算 【分析】（1）根据和都是直角，，可得，进而可求的度数； （2）由，，可得； （3）由，可得． 本题考查了角的大小比较，解决本题的关键是掌握余角和补角定义． 【详解】（1）解：∵和都是直角，， ∴ ∴ 答：的度数为． （2）和的大小关系是相等，理由如下： ∵和都是直角 ∴， ∴． （3）．理由如下： ∵， ∴． 【题型九】同(等)角的余(补)角相等的应用 例9．（23-24七年级下·河北唐山·期中）课堂上探究“对顶角相等”时，进行了如下推理，其括号内推理的依据为（   ） 因为， 所以（依据：      ） A．平角的定义 B．同角的余角相等 C．同角的补角相等 D．等量代换 【答案】C 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、对顶角相等 【分析】本题考查了对顶角、邻补角，余角和补角，熟练掌握补角的性质是解题的关键． 根据同角的补角相等判断即可． 【详解】解：因为， ， 所以．（依据：同角的补角相等）， 故选：C． 变式1．（24-25七年级下·宁夏银川·期中）若，，则 ． 【答案】 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用 【分析】本题主要考查了余角的性质，掌握同角的余角相等或等角的余角也相等成为解题的关键． 若，根据余角的性质可知，结合的度数即可解答． 【详解】解：∵， ∴（同角的余角相等）， ∵， ∴． 故答案为：． 变式2．（24-25七年级下·陕西西安·月考）如图，已知． (1)与是什么关系？为什么？ (2)当与满足什么关系时，与相等？为什么？ 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用 【分析】本题考查的是余角和补角的概念，若两个角的和为，则这两个角互余；若两个角的和等于，则这两个角互补． （1）根据同角的余角相等解答； （2）根据同角的余角相等解答即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴． 【题型十】垂线的定义理解 例10．（24-25七年级下·湖北十堰·期末）如图，直线相交于点，．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】对顶角相等、垂线的定义理解 【分析】本题考查了垂直的定义，对顶角的性质，由垂直得，由对顶角的性质得，即得，进而得到，即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵与是对顶角， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 变式1．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线m，直线m，B为垂足，那么点A，B，C在同一直线上的依据是 ． 【答案】在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【知识点】垂线的定义理解 【分析】本题考查的是垂线，熟知在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直是解答此题的关键． 根据“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”即可解决问题． 【详解】解：∵直线，直线，为垂足， ∴、、三点在同一直线上， 理由是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， 故答案为：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 变式2．（24-25七年级下·新疆吐鲁番·月考）如图，直线，相交于点，，，求的度数． 【答案】． 【知识点】垂线的定义理解、对顶角相等 【分析】本题考查了垂直定义，对顶角相等，由，所以，又因为，然后通过角度和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：因为， 所以， 又因为， 所以． 【题型十一】画垂线 例11．（25-26七年级下·全国·课后作业）过点向线段所在直线作垂线段，作图正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】画垂线 【分析】本题考查了作图复杂作图，垂线，注意垂线和垂线段的区别是解题关键． 根据垂线的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、所作直线过点，但不与垂直，作图错误，不符合题意； B、所作直线与垂直，但不经过点，作图错误，不符合题意； C、所作直线过点，且与垂直，但作的是垂线，不是垂线段，作图错误，不符合题意； D、所作直线是过点，且与垂直的垂线段，作图正确，符合题意． 故选：D． 变式1．如图，若，，为垂足，那么，，三点在同一直线上，其理由是 ． 【答案】在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【知识点】画垂线、垂线的定义理解 【分析】本题考查的是垂线的性质，利用在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直可得答案． 【详解】解：∵，，为垂足， ∴，，三点在同一直线上， 理由是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； 故答案为：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 变式2．（2026七年级下·全国·专题练习）在下列各图中，分别过点P画的垂线． 【答案】见解析 【知识点】画垂线 【分析】本题主要考查过一点画已知直线的垂线，熟练掌握作图方法是解题的关键．利用直角三角板即可完成作图． 【详解】解：如图所示： 【题型十二】垂线段最短 例12．（23-24七年级下·贵州黔东南·期末）如图，在直角三角形中，，，，，点M是线段上的动点，则的最小值为（  ） A． B．6 C．8 D．10 【答案】A 【知识点】垂线段最短 【分析】本题考查垂线段最短，三角形的面积，根据垂线段最短可得当时，最小，根据三角形可求出此时的长，即可解答． 【详解】解：当时，最小， 此时， ∴， ∴， 即的最小值为． 故选：A． 变式1．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在河旁边有一个村庄，现要建一个码头，为了使该村庄到码头的距离最短，码头应建在 处，其中的道理是 ． 【答案】 C 点到直线，垂线段最短 【知识点】垂线段最短 【分析】本题主要考查垂线段最短，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；此题可根据垂线段最短进行求解即可． 【详解】解：为了使该村庄到码头的距离最短，码头应建在C处，其中的道理是连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短； 故答案为垂线段最短． 变式2．（24-25七年级下·陕西咸阳·月考）如图，某自来水厂计划把河流中的水引到蓄水池C中，从河岸的何处开渠，才能使所开的渠道最短？请作出最短路线． 【答案】见解析 【知识点】垂线段最短 【分析】依据“垂线段最短”这一基本事实，确定从点到直线的最短路线是作垂线段．本题主要考查垂线段最短的性质，熟练掌握“直线外一点到直线的所有连线中，垂线段最短”是解题关键． 【详解】解：如图，从河岸的点D处开渠，才能使所开的渠道最短．理由是垂线段最短． 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 过点作于点，则从河岸的点处开渠，所开渠道最短，即为最短路线 ． 【题型十三】点到直线的距离 例13．（2026七年级下·全国·专题练习）如图，点在直线上，点，在直线上，，，，，，则下列说法正确的是（   ） A．点到直线的距离等于4 B．点到直线的距离等于4 C．点到的距离等于4 D．点到的距离等于3 【答案】B 【知识点】点到直线的距离 【分析】本题考查了点到直线的距离的定义，熟练掌握相关内容是解题的关键； 逐一分析各选项所述是否符合点到直线距离的定义． 【详解】解：A、点C到直线的距离为过点C作的垂线段即AC的长度，则点C到直线的距离为5，错误，不符合题意； B、根据定义，点A到直线的距离为AB的长4，正确，符合题意； C、根据定义，点C到AB的距离为线段BC的长为3，错误，不符合题意； D、根据定义，点B到AC的距离为：，错误，不符合题意； 故选：B． 变式1．（24-25七年级下·河北邯郸·月考）如图，，，能表示点到直线的距离的是线段 的长．    【答案】 【知识点】点到直线的距离 【分析】此题考查了点到直线的距离，正确把握相关定义是解题的关键．利用点到直线的距离的定义即可解答． 【详解】解：∵， ∴线段的长能表示点到直线的距离． 故答案为：． 变式2．（24-25七年级下·甘肃甘南·月考）如图，已知钝角三角形，． (1)画出点到的垂线段； (2)过点画的垂线． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【知识点】画垂线、点到直线的距离 【分析】本题考查了垂线段，垂线定义，掌握相关知识的应用是解题的关键． （）画出点到的垂线段； （）过点画的垂线即可． 【详解】（1）解：如图， ∴即为所求； （2）解：如图， ∴即为所求． 一、单选题 1．下列图形中，和互为对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了对顶角的识别，熟知对顶角的定义是解题的关键．根据对顶角的定义来判断，两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角． 【详解】解：根据对顶角的定义可知，只有D中属于对顶角， 故选D． 2．如图，经过点O的直线a，b，c，d中，有一条直线与直线垂直，请借助三角板判断，与直线垂直的是（    ） A．直线a B．直线b C．直线c D．直线d 【答案】B 【分析】用三角板的两条直角边中的一条与直线L重合，再另一条边直角边能与a、b、c、d中的那条边重合即可得解． 【详解】解：用三角板的两条直角边中的一条与直线l重合，再另一条边直角边能与b重合， 故选：B． 【点睛】本题主要是考查了两条直线垂直的性质，两条直线垂直其所夹的角为直角． 3．如图，直线AB、CD相交于点O，，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对顶角求得，根据，根据平角的定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选C． 【点睛】本题考查了几何图形中角度的计算，对顶角相等，平角的定义，数形结合是解题的关键． 4．若和互为余角，与互补，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查余角和补角，先根据与互补，求出，再根据和互为余角，即可求出． 【详解】解：因为与互补，， 所以， 因为和互为余角， 所以； 故选：D． 5．如图，点P是直线a外的一点，点A、B、C在直线a上，且，垂足是B，，则下列不正确的语句是（     ） A．线段的长是点C到直线的距离 B．线段的长是点到直线 的距离 C．、、 三条线段中，PB 最短 D．线段的长是点P到直线a的距离 【答案】B 【分析】本题考查了点到直线的距离，垂线段最短，掌握直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离是解题的关键． 根据点到直线的距离判断A、B、D选项；根据垂线段最短判断C选项． 【详解】解：A、线段的长是点C到直线的距离，故选项A正确，不合题意； B、应是线段的长是点到直线 的距离，而不是，故选项B不正确，符合题意； C、、、 三条线段中，垂线段最短，即最短，选项C正确，不合题意； D、线段的长是点P到直线a的距离，选项D正确，不合题意； 故选：B． 6．如图，在 的北偏东方向上，在的南偏东方向上，则下列结论： ① ；② 与 互补；③与互余，其中正确结论的个数有（  ） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 【答案】D 【分析】根据方位角的意义、互余和互补意义结合图形逐个进行判断，最后得出答案． 【详解】解：∵在 的北偏东方向上， ∴，故①正确； ∵在的南偏东方向上， ∴， ∴． ∵，， ∴． ∵与 互补， ∴与 互补，故②正确； ∵， ∴与互余，故③正确． 综上所述，正确的个数有3个， 故选：D． 【点睛】本题考查方位角的概念，互余的意义以及角度的有关计算等知识，理解方位角的意义和角度的计算是正确解答的前提． 7．已知的余角是，的补角是，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了余角与补角的定义，根据余角与补角的定义求得和是解题的关键． 先根据余角与补角的定义求得和，然后再比较即可解答． 【详解】解：∵的余角是，的补角是， ∴，， ∴． 故选C． 8．如图，O是直线上的一点，是一条射线，平分，在内，且，．下列四个结论：①；②射线平分；③图中与互余的角有2个；④图中互补的角有6对．其中结论正确的序号有（    ） A．①③④ B．②④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】由角平分线的定义可求解，易求，结合平角的定义可求解的度数，判定①；结合可求解的度数，进而可判定②；结合余角的定义可判定③；利用补角的定义可判定④ 【详解】解：平分， ， ， ， 是一条直线， ， ， ， ，故①正确； ， ， ， ， ∴射线平分，故②正确； ，，， ，， ∴图中与互余的角有2个，故③正确； ， ， ，，，， ，，，，， ∴图中互补的角有6对，故④正确， 正确的有①②③④， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了角平分线，以及补角和余角的有关计算，关键是正确计算出图中各角的度数． 9．如图，在同一平面内，，，点为反向延长线上一点（图中所有角均指小于的角）．下列结论： ①； ②； ③； ④．其中正确结论的个数有（　　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由∠AOB=∠COD=90°，根据等角的余角相等得到∠AOC=∠BOD，结合即可判断①正确；由∠AOD+∠BOC=∠AOD+∠AOC+∠AOD+∠BOD，结合即可判断②正确；由∠BOC-∠AOD=∠AOC+90°-∠AOD，而不能判断∠AOD=∠AOC，即可判断③不正确；由E、O、F三点共线得∠BOE+∠BOF=180°，而∠COE=∠BOE，从而可判断④正确． 【详解】解：∵∠AOB=∠COD=90°， ∴∠AOC=∠BOD， 而∠AOF=∠DOF， ∴180°-∠AOC-∠AOF=180°-∠BOD-∠DOF， 即∠COE=∠BOE，所以①正确； ∠AOD+∠BOC=∠AOD+∠AOC+∠AOD+∠BOD=∠COD+∠AOB =180°， 所以②正确； ∠COB-∠AOD=∠AOC+90°-∠AOD， 而，所以③不正确； ∵E、O、F三点共线， ∴∠BOE+∠BOF=180°， ∵∠COE=∠BOE， ∴∠COE+∠BOF=180°，所以④正确． 所以，正确的结论有3个． 故选：C． 【点睛】题考查了余角和补角、角度的计算、余角的性质以及角平分线的定义等知识，准确识图是解题的关键． 10．如图,、相交于点O，射线平分，下列结论中错误的是（   ） A．与互为补角 B．与互为余角 C．与互为补角 D．与为对顶角 【答案】D 【分析】本题考查了补角、余角的定义，对顶角的性质，以及角平分线和垂直的性质，解题的关键是结合图形在钝角内部）利用相关定义和性质逐一分析各选项． ​根据邻补角定义判断与的关系；结合和平分，推导与的和是否为；依据补角定义和图形中角的位置关系分析与相关角的补角关系；根据对顶角定义判断的对顶角． 【详解】解：∵、相交于点O平分，且在钝角内部，​ ∴． A、∵与组成平角，即， ∴与互为补角，此选项不符合题意； B、∵， ∴，即互为余角，此选项不符合题意； C、∵， ∴，互为补角，此选项不符合题意； D、∵的对顶角是，而非， ∴此选项符合题意． 故选：D． 二、填空题 11．在同一平面内有三条直线，如果要使其中有两条且只有两条直线平行，那么这三条直线有且只有 个交点． 【答案】2 【分析】根据同一平面内直线的位置关系得到第三条直线与另两平行直线相交，再根据直线平行和直线相交的定义即可得到交点的个数． 【详解】解：∵在同一平面内有三条直线，如果其中有两条且只有两条相互平行， ∴第三条直线与另两平行直线相交， ∴它们共有2个交点． 故答案为2． 【点睛】本题考查了直线平行的定义：同一平面内没有公共点的两条直线是平行直线．也考查了同一平面内两直线的位置关系有：平行，相交． 12．如图，已知直线、相交，，则 . 【答案】/度 【分析】本题考查了对顶角相等，掌握其性质，角度的计算是解题的关键． 根据图示可得，结合，即可求解． 【详解】解：根据题意可得， ∵， ∴， 解得，， 故答案为： ． 13．若一个角是它的余角的2倍，则这个角的补角的度数为 ． 【答案】/120度 【分析】本题考查了余角与补角，熟练掌握余角与补角的运算是解题关键．设这个角的度数为，再根据一个角是它的余角的2倍建立方程，解方程可得的值，然后根据和为的两个角互为补角求解即可得． 【详解】解：设这个角的度数为，则它的余角的度数为， ∵一个角是它的余角的2倍， ∴， 解得， ∴这个角的补角的度数为， 故答案为：． 14．如图，点A，O，B在一条直线上，，，则图中互余的角共有 对． 【答案】4 【分析】根据互为余角的两个角的和等于和等角的余角相等解答． 【详解】 解：，， ， ， ， ， 互余的角共有4对． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了余角的概念，是基础题，熟记概念并准确识图是解题的关键． 15．如图，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂直的意义，角的和差计算，熟练掌握计算是解题的关键．根据题意，得，，故，，解答即可． 【详解】解：根据题意，得，， 故， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 16．如图，射线，都在的内部，和都是直角，下列说法：①；②；③若，则；④若平分，平分，则．其中结论正确的有 个． 【答案】4 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，与角平分线有关的计算，找准角度之间的和差关系，是解题的关键．根据余角的性质即可判断①；根据即可判断②；根据，，得出，即可判断③；根据角平分线定义得出，，求出，即可判断④． 【详解】解：∵和都是直角， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴，故②正确； 若，则：， ∴，故③正确； 若平分，平分，   则：，， ∴；故④正确； 综上分析可知，正确的有4个． 故答案为：4． 17．（1）如图①，是钝角，、、是三条射线，若，平分，平分，那么的度数为 ． （2）如图②，直线、相交于点O，射线垂直于且平分．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】（1）设，根据角平分线的定义得，，再根据得，然后根据平分得，进而得，最后再根据可得出答案； （2）设，根据射线垂直于得，根据射线平分得，进而得，再根据对顶角的性质得，然后根据得，由此解出α即可得出答案． 【详解】解：（1）设， 平分， ，， ， ， ， 平分， ， ， ． 故答案为：． （2）设， ∵射线垂直于， ， ， ∵射线平分， ， ， ∵直线、相交于点O， ， 又， ， 解得：， 即． 故答案为： 【点睛】此题主要考查了角平分线的定义，垂直的定义，对顶角的性质，角的计算，准确识图，理解角平分线的定义，垂直的定义，熟练掌握对顶角的性质和角的计算是解决问题的关键． 三、解答题 18．如图所示，O是直线AB上一点，射线OC、OD在AB的两侧，且∠AOC＝∠BOD，试证明∠AOC与∠BOD是对顶角． 【答案】见解析． 【分析】利用平角定义证明C、O、D三点在一条直线上即可． 【详解】证明：∵∠AOC+∠COB＝180°(平角的定义)， 又∵∠AOC＝∠BOD(已知)， ∴∠BOD+∠COB＝180°，即∠COD＝180°． ∴C、O、D三点在一条直线上(平角的定义)， 即直线AB、CD相交于点O， ∴∠AOC与∠BOD是对顶角(对顶角的定义)． 【点睛】本题考查了对顶角的定义，平角的定义，正确的识别图形是解题的关键． 19．如图，直线，被直线所截，如果与互补，且，那么，的度数各是多少? 【答案】， 【分析】本题考查角的计算，解题的关键是掌握补角的性质，对顶角的性质，平角的性质；根据补角的性质，求出，根据对顶角的性质，根据平角的性质，求出，即可． 【详解】解：∵与互补，且， ∴， ∴， ∵和是对顶角， ∴， ∵，， ∴， ∴． 20．如图，A、O、B共线且OE平分，，请说出与之间的数量关系并试着推理说明． 【答案】，理由见解析 【分析】先根据角平分线的定义得到∠BOE=∠AOE=∠DOC=90°，即∠3+∠2=90°，∠2+∠1=90°，由此求解即可． 【详解】解：∠1=∠3，理由如下： ∵A、O、B共线且OE平分∠AOB，∠COD=90°， ∴∠BOE=∠AOE=∠DOC=90°， ∴∠3+∠2=90°，∠2+∠1=90°， ∴∠1=∠3． 【点睛】本题主要考查了同角的余角相等，角平分线的定义，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 21．如图，直线，，相交于点，，与互为余角，平分，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查的是角互余的含义，角平分线的定义，角的和差运算，熟练的利用角的和差关系进行计算是解本题的关键．由与互为余角，，可求出，进而求出，结合平分，可求出，根据对顶角相等得到，再利用角的和差关系可得答案． 【详解】解：与互为余角， ， ， ， ， 平分， ， ． 22．如图，直线AB、CD相交于点O，． (1)若∠1=∠2，则ON，CD是什么位置关系？请说明理由． (2)若，求∠BOC的度数． 【答案】(1)，见解析 (2)135° 【分析】（1）分析题意，找出ON与OD的夹角大小，即可得出结论； （2）根据角的位置关系，列出代数式，求解即可得出答案． 【详解】（1）ON⊥CD，理由如下： ∵OM⊥AB， ∴∠AOM＝∠AOC+∠1＝90°， ∵∠1＝∠2， ∴∠CON＝∠AOC+∠2＝∠AOC+∠1＝90°， ∴ON⊥CD； （2）∵∠1∠BOC，∠BOC＝∠1+∠BOM， ∴∠BOM∠BOC， ∵OM⊥AB， ∴∠BOM＝90°， ∴∠BOC＝135°． 【点睛】本题考查了余角、角的运算，解题关键是分清角的对应关系． 23．如图，将两块三角板的直角顶点重合． (1)写出以C为顶点的所有相等的角_____________________________． (2)若，求的度数． (3)猜想：与之间的数量关系为___________． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查了三角板中角度的计算，同角的余角相等，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据同角的余角相等求解即可； （2）由图得，求的度数即可； （3）根据，即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意得， ， ； （2）解：， ， ； （3）解：， ． 24．如图，，点A，B分别在射线，上，按下列要求画图，并回答问题．    (1)连接，过点O画线段的垂线，垂足为点D； (2)画出的平分线，交于点E； (3)在线段的延长线上取一点F，使得O是线段的中点； (4)若，则 （用含x的代数式表示）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4) 【分析】（1）根据题意画出线段，用三角板过点O画线段的垂线即可； （2）用量角器画出的平分线即可； （3）在线段的延长线截取即可； （4）根据角平分线定义得出，根据，得出，根据，求出即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图，点F即为所求；    （4）∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了作线段，垂线和角平分线，角平分线定义，解题的关键是数形结合，熟练掌握角平分线定义． 25．点O为直线AB上一点，将一直角三角板OMN的直角顶点放在点O处．射线OC平分∠MOB． (1)如图1，若∠AOM＝30°，求∠CON的度数； (2)在图1中，若∠AOM＝a，直接写出∠CON的度数（用含a的代数式表示）； (3)将图1中的直角三角板OMN绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，一边OM在射线OB上方，另一边ON在直线AB的下方．探究∠AOM和∠CON的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由． 【答案】(1)∠CON＝15° (2)∠CON＝a (3)∠CON＝∠AOM 【分析】（1）根据角平分线的定义和余角的性质即可得到结论； （2）根据角平分线的定义和余角的性质即可得到结论； （3）设∠AOM=a，则∠BOM=180°-a，根据角平分线的定义得到∠MOC=90°-α，根据余角的性质得到∠CON=α，于是得到结论． 【详解】（1）解：由已知得∠BOM=180°-∠AOM=150°， 又∠MON是直角，OC平分∠BOM， 所以∠CON=∠MON-∠BOM=90°-×150°=15°； （2）解：由已知得∠BOM=180°-∠AOM=180°-α， 又∠MON是直角，OC平分∠BOM， 所以∠CON=∠MON-∠BOM=90°-×（180°-α）=α； （3）解：∠AOM=2∠CON， 理由如下： 设∠AOM=，则∠BOM=180°-， ∵OC平分∠BOM， ∴∠MOC=∠BOM=（180°-）=90°-， ∵∠MON=90°， ∴∠CON=∠MON-∠MOC=90°-（90°-）=， ∴∠CON=∠AOM． 即∠AOM=2∠CON． 【点睛】本题主要考查了余角与补角，角的计算、角平分线的定义的运用，正确的理解题意是解题的关键．解题时注意方程思想的运用. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 两条直线的位置关系（知识详解+13典例分析+习题巩固） 【知识点01】相交线与平行线 1. 在同一平面内, 两条直线的位置关系有相交和平行两种.判断两直线相交的依据 2. 相交线 若两条直线只有一个公共点, 我们称这两条直线为相交线.如图2.1-1，直线AB与CD相交于点O. 3. 平行线 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.无公共交点 如图2.1-2，直线AB与直线CD平行. 注意：平行线是指“两条直线”, 而不是两条线段或射线. 线段或射线平行是指它们所在的直线平行. 【知识点02】对顶角 1. 定义 在图2.1 -3中，直线AB与CD相交于点O，∠1与∠2有公共顶点O，它们的两边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角叫作对顶角. 特别提醒：对顶角是成对出现的，指两个角之间的位置关系，一个角的对顶角只有一个. 2. 性质 对顶角相等. 特别提醒：(1)两个角互为对顶角，它们一定相等； (2)相等的两个角不一定是对顶角. 【知识点03】补角和余角 1.补角 一般地，如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角. 数学语言：若∠1＋∠2＝180°，就说∠1是∠2的补角或∠1与∠2互为补角，如图2.1-5 所示. 2. 余角 如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角 . 数学语言：若∠3＋∠4＝90°，就说∠3是∠4的余角或∠3与∠4互为余角，如图2.1-6所示. 3. 一个角的补角(或余角)可以有多个，但它们的度数是相等的. 互补、互余是指具有一定数量关系的两个角，一个角或三个及三个以上的角之间不存在互补或互余的关系，如∠1＋∠2＋∠3＝90°，但不能说这三个角互余. 【知识点04】补角、余角的性质 1. 性质 同角(或等角)的补角相等，同角(或等角)的余角 相等. 2. 示例 (1)如果∠1＋∠2＝180°，∠1＋∠3＝180°，那么∠2＝∠3； (2)如果∠1＋∠2＝90°，∠3＋∠4＝90°，且∠1＝∠3，那么∠2＝∠4. 【知识点05】垂直的定义及垂线的画法 1. 定义 两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足. 特别解读：垂直的定义具有双重作用，已知直角得线垂直，已知线垂直得直角. 2.表示符号 通常用符号“⊥”表示两条直线互相垂直. 直线AB与直线CD垂直，记作“AB⊥CD”，读作“AB 垂直于CD”. 3. 垂线的画法 经过一点(已知直线上或直线外)，画已知直线的垂线的步骤如下表： 步骤 内容 示图 一落 让三角尺的一条直角边落在已知直线上，使其与已知直线重合 过点P作直线l的垂线 二移 沿已知直线移动三角尺，使其另一条直角边经过已知点 三画 沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线 【知识点06】垂线的性质 1. 垂线的性质 (1)性质1：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. (2)性质2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短. 2. 点到直线的距离 如图2.1 -12，过点A作直 线l的垂线，垂足为B，线段AB的长度叫作点A到直线l的距离. 垂线段与点到直线的距离的区别：垂线段是一条线段，而点到直线的距离是一个数量，是垂线段的长度. 【题型一】平面内两直线的位置关系 例1．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列图片中，不包含平行线的是（   ） A．双杠B．电梯扶手 C．彩虹 D．拉直的电线 变式1．（23-24七年级下·新疆和田·期中）在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有 和 两种． 变式2．（2023七年级下·全国·课后作业）如图，这些图案中有一些平行条纹请你设计一些类似图案，并把你的设计与同学们交流一下． 【题型二】立体图形中平行的棱 例2．（24-25七年级·全国·课后作业）如图，在长方体中，下列各棱与棱平行的是（   ） A． B． C． D． 变式1．（2024七年级下·全国·专题练习）如图、的直线与既不相交也不平行，为什么会出现这样的情况？与同学们讨论一下．    【题型三】相交线 例3．（23-24七年级上·福建厦门·期末）根据语句“直线l与线段AB的延长线交于点C”画出的图形是（    ） A． B． C． D． 变式1．（2023七年级下·河北秦皇岛·期中）如图，用几何语言叙述图的含义是 ． 变式2．（2022七年级下·全国·课后作业）过一点画2条直线，如果只考虑小于的角，那么可以形成多少个角？ 【题型四】对顶角的定义 例4．（24-25七年级下·广东湛江·月考）下列各图中，和互为对顶角的是（   ） A． B． C． D． 变式1．（23-24七年级下·四川成都·月考）若条直线两两相交于不同的点时，可形成 对对顶角． 变式2．（2023七年级下·全国·课后作业）下列各图中，和是不是对顶角？ 【题型五】对顶角相等 例5．（2024·广东·模拟预测）如图，直线，相交于点O．若，则的度数是（   ）    A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·全国·期中）如图，直线与交于点，若，则 ． 变式2．（2023七年级下·全国·课后作业）如图，直线a，b，c两两相交，，求的度数． 【题型六】求一个角的余角 例6．（2024·广东·模拟预测）已知与互余，若，则（   ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·广东清远·期中）若与互余，，则 ． 变式2．（22-23七年级下·陕西渭南·期中）如图，已知直线，相交于点，．    (1)写出的对顶角___________和余角___________； (2)若，求的度数． 【题型七】求一个角的补角 例7．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如果与互补，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·贵州毕节·期末）若的补角是，则的度数是 ． 变式2．（24-25七年级下·吉林白城·期中）如图所示，直线，被直线，所截，已知与，与，与分别互补，且，试求，，的度数． 【题型八】与余角、补角有关的计算 例8．（24-25七年级下·河南·月考）已知，与互补，则的余角为（　　） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级下·山西太原·月考）与互为余角，，那么的补角 ． 变式2．如图，已知和都是直角，它们有公共顶点O． (1)若，求的度数． (2)判断和的大小关系，并说明理由． (3)猜想：和有怎样的数量关系，并说明理由． 【题型九】同(等)角的余(补)角相等的应用 例9．（23-24七年级下·河北唐山·期中）课堂上探究“对顶角相等”时，进行了如下推理，其括号内推理的依据为（   ） 因为， 所以（依据：      ） A．平角的定义 B．同角的余角相等 C．同角的补角相等 D．等量代换 变式1．（24-25七年级下·宁夏银川·期中）若，，则 ． 变式2．（24-25七年级下·陕西西安·月考）如图，已知． (1)与是什么关系？为什么？ (2)当与满足什么关系时，与相等？为什么？ 【题型十】垂线的定义理解 例10．（24-25七年级下·湖北十堰·期末）如图，直线相交于点，．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 变式1．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线m，直线m，B为垂足，那么点A，B，C在同一直线上的依据是 ． 变式2．（24-25七年级下·新疆吐鲁番·月考）如图，直线，相交于点，，，求的度数． 【题型十一】画垂线 例11．（25-26七年级下·全国·课后作业）过点向线段所在直线作垂线段，作图正确的是（   ） A． B． C． D． 变式1．如图，若，，为垂足，那么，，三点在同一直线上，其理由是 ． 变式2．（2026七年级下·全国·专题练习）在下列各图中，分别过点P画的垂线． 【题型十二】垂线段最短 例12．（23-24七年级下·贵州黔东南·期末）如图，在直角三角形中，，，，，点M是线段上的动点，则的最小值为（  ） A． B．6 C．8 D．10 变式1．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在河旁边有一个村庄，现要建一个码头，为了使该村庄到码头的距离最短，码头应建在 处，其中的道理是 ． 变式2．（24-25七年级下·陕西咸阳·月考）如图，某自来水厂计划把河流中的水引到蓄水池C中，从河岸的何处开渠，才能使所开的渠道最短？请作出最短路线． 【题型十三】点到直线的距离 例13．（2026七年级下·全国·专题练习）如图，点在直线上，点，在直线上，，，，，，则下列说法正确的是（   ） A．点到直线的距离等于4 B．点到直线的距离等于4 C．点到的距离等于4 D．点到的距离等于3 变式1．（24-25七年级下·河北邯郸·月考）如图，，，能表示点到直线的距离的是线段 的长．    变式2．（24-25七年级下·甘肃甘南·月考）如图，已知钝角三角形，． (1)画出点到的垂线段； (2)过点画的垂线． 一、单选题 1．下列图形中，和互为对顶角的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，经过点O的直线a，b，c，d中，有一条直线与直线垂直，请借助三角板判断，与直线垂直的是（    ） A．直线a B．直线b C．直线c D．直线d 3．如图，直线AB、CD相交于点O，，若，则等于（    ） A． B． C． D． 4．若和互为余角，与互补，，则等于（   ） A． B． C． D． 5．如图，点P是直线a外的一点，点A、B、C在直线a上，且，垂足是B，，则下列不正确的语句是（     ） A．线段的长是点C到直线的距离 B．线段的长是点到直线 的距离 C．、、 三条线段中，PB 最短 D．线段的长是点P到直线a的距离 6．如图，在 的北偏东方向上，在的南偏东方向上，则下列结论： ① ；② 与 互补；③与互余，其中正确结论的个数有（  ） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 7．已知的余角是，的补角是，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 8．如图，O是直线上的一点，是一条射线，平分，在内，且，．下列四个结论：①；②射线平分；③图中与互余的角有2个；④图中互补的角有6对．其中结论正确的序号有（    ） A．①③④ B．②④ C．①②③ D．①②③④ 9．如图，在同一平面内，，，点为反向延长线上一点（图中所有角均指小于的角）．下列结论： ①； ②； ③； ④．其中正确结论的个数有（　　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．如图,、相交于点O，射线平分，下列结论中错误的是（   ） A．与互为补角 B．与互为余角 C．与互为补角 D．与为对顶角 二、填空题 11．在同一平面内有三条直线，如果要使其中有两条且只有两条直线平行，那么这三条直线有且只有 个交点． 12．如图，已知直线、相交，，则 . 13．若一个角是它的余角的2倍，则这个角的补角的度数为 ． 14．如图，点A，O，B在一条直线上，，，则图中互余的角共有 对． 15．如图，，，，则 ． 16．如图，射线，都在的内部，和都是直角，下列说法：①；②；③若，则；④若平分，平分，则．其中结论正确的有 个． 17．（1）如图①，是钝角，、、是三条射线，若，平分，平分，那么的度数为 ． （2）如图②，直线、相交于点O，射线垂直于且平分．若，则的度数为 ． 三、解答题 18．如图所示，O是直线AB上一点，射线OC、OD在AB的两侧，且∠AOC＝∠BOD，试证明∠AOC与∠BOD是对顶角． 19．如图，直线，被直线所截，如果与互补，且，那么，的度数各是多少? 20．如图，A、O、B共线且OE平分，，请说出与之间的数量关系并试着推理说明． 21．如图，直线，，相交于点，，与互为余角，平分，求的度数． 22．如图，直线AB、CD相交于点O，． (1)若∠1=∠2，则ON，CD是什么位置关系？请说明理由． (2)若，求∠BOC的度数． 23．如图，将两块三角板的直角顶点重合． (1)写出以C为顶点的所有相等的角_____________________________． (2)若，求的度数． (3)猜想：与之间的数量关系为___________． 24．如图，，点A，B分别在射线，上，按下列要求画图，并回答问题．    (1)连接，过点O画线段的垂线，垂足为点D； (2)画出的平分线，交于点E； (3)在线段的延长线上取一点F，使得O是线段的中点； (4)若，则 （用含x的代数式表示）． 25．点O为直线AB上一点，将一直角三角板OMN的直角顶点放在点O处．射线OC平分∠MOB． (1)如图1，若∠AOM＝30°，求∠CON的度数； (2)在图1中，若∠AOM＝a，直接写出∠CON的度数（用含a的代数式表示）； (3)将图1中的直角三角板OMN绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，一边OM在射线OB上方，另一边ON在直线AB的下方．探究∠AOM和∠CON的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由. 1 学科网（北京）股份有限公司 $