第08讲 抛物线（知识清单+7题型讲解举三反三+强化训练）讲义-【满分全攻略备考系列】2025-2026学年（沪教版选择性必修一）数学高二重难点讲义与测试

第08讲 抛物线 知识清单 知识点01：抛物线的定义 知识点02：抛物线的标准方程 知识点03：抛物线的性质 题型讲解 （举三反三） 题型1：抛物线定义的理解 题型2：根据抛物线方程求焦点或准线 题型3：抛物线的焦半径公式 题型4：抛物线中的三角形或四边形面积问题 题型5：与抛物线焦点弦有关的几何性质 题型6：抛物线中的定点、定值 题型7：抛物线的应用 强化训练 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 知识点01抛物线的定义 　　　平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线，定点F叫作抛物线的焦点，定直线l叫作抛物线的准线. 知识点02 抛物线的标准方程 标准方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) 图形 焦点坐标 准线方程 x=- x= y=- y= 开口方向 向右 向左 向上 向下 (1)p的几何意义是焦点到准线的距离. (2)准线与焦点所在坐标轴垂直，垂足与焦点关于原点对称，它们到原点的距离都等于一次项系数的绝对值的，即=. (3)抛物线的开口与x轴(或y轴)的正半轴方向相同，即焦点在x轴(或y轴)的正半轴上，标准方程的右端系数为正；开口方向与x轴(或y轴)的正半轴方向相反，即焦点在x轴(或y轴)的负半轴上，标准方程的右端系数为负. 知识点03抛物线的几何性质 标准方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 顶点 O(0，0) 对称轴 x轴 y轴 离心率 e=1 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 题型1：抛物线定义的理解 【例1-1】是定直线外的一定点，则过点且与定直线相切的圆的圆心轨迹是（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线的一支 D．抛物线 【答案】D 【分析】设动圆的圆心为，因为圆是过定点与定直线相切的，所以，由抛物线的定义，即可判断轨迹． 【详解】解：设动圆的圆心为，定直线为， 因为圆是过定点与定直线相切的， 所以， 即圆心到定点和定直线的距离相等．且在外， 由抛物线的定义可知， 的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线． 故选：D． 【例1-2】（24-25高二·上海·课堂例题）已知点，直线，若动点P到l的距离等于，则点P的轨迹是 ． 【答案】抛物线 【分析】根据题意结合抛物线的定义分析判断. 【详解】因为，可知， 且抛物线的定义：动点到定点距离等于到定直线距离， 所以点P的轨迹是抛物线. 故答案为：抛物线. 【例1-3】已知抛物线 上一点P到焦点的距离为5，则点P到x轴的距离为 ． 【答案】. 【分析】根据抛物线的方程求出准线，再由抛物线定义求解即可. 【详解】抛物线方程，则焦点坐标为，准线方程为， 由抛物线的定义可知，点P到准线的距离为5， 所以，解得：，代入， 则 所以点P到x轴的距离为． 故答案为：. 【变式1-1】抛物线上一点到焦点的距离是10，则点到轴的距离是（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】B 【分析】由抛物线的定义即可求解. 【详解】解：由题可知，抛物线的准线方程为， 因为点到焦点的距离是10，故到准线的距离是10， 则点到轴的距离是9. 故选：B. 【变式1-2】已知点在抛物线上，且点与焦点的距离为，则的值为 . 【答案】/0.125 【分析】根据抛物线定义把抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线距离，列出关于的方程，解方程即可解. 【详解】将抛物线方程转化为标准形式， 由在抛物线上且点与焦点的距离为，得 解得. 故答案为：. 【变式1-3】（24-25高二下·上海嘉定·单元测试）抛物线的焦点到准线的距离是 ． 【答案】/ 【分析】根据抛物线方程中的几何意义即可求出． 【详解】因为，所以，即焦点到准线的距离是． 故答案为：． 题型2：根据抛物线方程求焦点或准线 【例2-1】抛物线的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简抛物线方程为标准形式，然后求解焦点坐标即可 【详解】，则抛物线的标准方程为：，焦点坐标在轴上，焦点坐标为：． 故选：B 【例2-2】（25-26高二上·上海浦东新·期末）抛物线的焦点坐标为 . 【答案】/ 【分析】根据方程可知焦点在y轴正半轴上，且，即可得焦点坐标. 【详解】因为抛物线的焦点在y轴正半轴上，且，即， 所以抛物线的焦点坐标为. 故答案为：. 【例2-3】（25-26高二上·上海·期中）抛物线方程为 ，则此抛物线的焦点坐标为 ． 【答案】 【分析】利用抛物线的标准方程确定参数的值，再根据抛物线标准方程的焦点坐标公式求出焦点坐标． 【详解】， ，解得， 抛物线的焦点坐标为， 抛物线焦点坐标为． 故答案为：． 【变式2-1】在抛物线的方程中，p表示（    ） A．焦点到准线的距离 B．焦点到准线的距离的一半 C．焦点到准线的距离的2倍 D．焦点到顶点的距离 【答案】A 【分析】由抛物线的标准方程求出焦点、准线及顶点即可判断. 【详解】易知：抛物线焦点，准线，顶点，故p表示焦点到准线的距离. 故选：A. 【变式2-2】（24-25高二下·上海·期末）已知抛物线的焦点为双曲线的一个焦点，若过点，则的标准方程为 . 【答案】 【分析】根据焦点坐标和双曲线上的点可构造方程组求得结果. 【详解】的焦点，； 又双曲线过点，； 由得：或（舍），的标准方程为：. 故答案为：. 【变式2-3】（24-25高二下·上海·期中）已知拋物线，则其准线方程为 . 【答案】 【分析】根据题意，利用抛物线的几何性质，即可求解. 【详解】由抛物线的方程为，可得，解得，且抛物线的开口向下， 所以抛物线的准线方程为. 故答案为：. 题型3：抛物线的焦半径公式 【例3-1】（24-25高二下·上海·期中）抛物线的方程为，焦点为，点为上一点，且，则的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】根据焦半径公式，结合抛物线方程，直接计算即可. 【详解】对，其焦点坐标为，，解得. 故选：C. 【例3-2】（24-25高二下·上海嘉定·期末）已知抛物线上的一点P到焦点的距离为9．且点P在第一象限内，则点P的坐标为 ． 【答案】 【分析】设点，其中，根据抛物线的焦半径公式，求得，进而求得，即可的得到答案. 【详解】由抛物线，可得焦点坐标为，准线方程为， 因为点在第一象限，可设点，其中， 又因为点到焦点的距离为，可得，解得， 则，可得，所以点的坐标为. 故答案为：. 【例3-3】求抛物线上到焦点的距离等于9的点的坐标． 【答案】或 【分析】根据抛物线方程求出焦点，再根据抛物线的定义可得结果. 【详解】由，得，，焦点，准线为， 设，则，得，， 所以. 所以或. 【变式3-1】已知抛物线（）的焦点为F，点在抛物线C上，且，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】利用抛物线的定义到焦点的距离等于到准线的距离计算可得. 【详解】抛物线的准线方程为， 因为点在抛物线上，且， 所以，解得. 故选：C. 【变式3-2】（24-25高二上·上海·期末）已知抛物线 ： ，若点M横坐标为1，且到C的准线的距离为2，则 . 【答案】2 【分析】根据抛物线焦半径公式，列式计算，求出p，即可得答案. 【详解】由题意知抛物线：上一点M的横坐标为1，点M到准线的距离为2， 则，所以. 故答案为：2. 【变式3-3】（24-25高二上·上海·课后作业）若抛物线上的、两点到焦点的距离之和是5，求线段的中点的横坐标． 【答案】2 【分析】由抛物线的定义把抛物线上的点到焦点的距离之和转换为到准线的距离和，结合中点坐标公式即可求解. 【详解】不妨设、两点坐标分别为，线段中点为点，则即为所求； 由题意抛物线的准线方程为， 一方面由抛物线的定义可知， 另一方面由已知，结合两方面有，解得， 所以，即线段的中点的横坐标为2. 题型4：抛物线中的三角形或四边形面积问题 【例4-1】已知抛物线的焦点是F,点A、B、C在抛物线上,为坐标原点,若点F为△ABC的重心,△、△、△面积分别记为则的值为 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出点A、B、C三点坐标,根据F为△ABC的重心,可得三点横坐标的关系,求出的表达式，最后根据每点的横坐标、纵坐标关系即可求出答案. 【详解】设,所以有抛物线的焦点坐标为,△ABC的重心坐标为,由题意可知：,即. , 所以. 故选B 【点睛】本题考查了三角形重心坐标公式,考查了三角形面积公式,考查了数学运算能力. 【例4-2】（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，，P为C的准线上一点，则的面积为 ． 【答案】25 【分析】利用抛物线的性质，结合三角形面积公式即可解决本题. 【详解】设抛物线的焦点到准线的距离为，则由题意，是抛物线的通径，，所以. 从而P到直线l的距离也是5，所以的面积为. 故答案为：25 【例4-3】（24-25高二上·上海·期末）已知抛物线， (1)若该抛物线的焦点到准线的距离为1，求抛物线的标准方程； (2)若，O为坐标原点，斜率为2且过焦点的直线交此抛物线于A、B两点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据焦点到准线的定义可知，则方程可得. （2）先写出过焦点的直线的方程，联立抛物线求出弦长，再根据点到直线的距离求原点到直线的距离，代入面积公式即可. 【详解】（1）因为抛物线的焦点到准线的距离为1， 所以， 故抛物线的标准方程为. （2）因为， 所以抛物线方程为，焦点坐标为 又因为直线过焦点且斜率为2. 所以直线的方程为： 设两交点坐标为、 联立方程得，化简得. 、 所以 又因为到直线的距离 所以. 【变式4-1】等腰直角三角形ABO内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△ABO的面积是(　　) A．8p2 B．4p2 C．2p2 D．p2 【答案】B 【分析】设等腰直角三角形OAB的顶点A（x1，y1），B（x2，y2），利用OA=OB可求得x1=x2，进而可求得AB=4p，从而可得S△OAB． 【详解】设等腰直角三角形OAB的顶点A（x1，y1），B（x2，y2），则=2px1，=2px2， 由OA=OB得：+=+， ∴﹣+2px1﹣2px2=0，即（x1﹣x2）（x1+x2+2p）=0， ∵x1＞0，x2＞0，2p＞0， ∴x1=x2，即A，B关于x轴对称． ∴直线OA的方程为：y=xtan45°=x，由解得或， 故AB=4p， ∴S△OAB=×2p×4p=4p2． 故选B 【点睛】本题考查抛物线的简单几何性质，求得A，B关于x轴对称是关键，考查分析与运算能力，属于中档题． 【变式4-2】（24-25高二上·上海·期中）如图，已知抛物线的焦点为F，过F且斜率为1的直线交E于A，B两点，线段的中点为M，其垂直平分线交x轴于点C，轴于点N.若四边形的面积等于28，则E的方程为 . 【答案】 【分析】作出辅助线，根据直线的斜率表达出梯形的上底和下底以及高，列出方程，求出，得到抛物线方程. 【详解】易知，直线的方程为，四边形为梯形，且． 设，，，则， 所以，所以． 作轴于点，则． 因为直线的斜率为1，所以为等腰直角三角形，故，所以，， 所以四边形的面积为， 解得， 故抛物线的方程为. 故答案为：. 【变式4-3】如图，已知抛物线的焦点为F，准线与x轴的交点为M．过点F的直线与抛物线交于A、B两点．    (1)若点A在第一象限，且，求直线AB的倾斜角； (2)若点M在以线段AB为直径的圆周上，求直线AB的方程； (3)设直线AM、BM分别与y轴交于P、Q两点，记、的面积分别为、，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由定义得出，再由斜率公式得出倾斜角； （2）联立直线和抛物线方程，利用韦达定理以及得出直线AB的方程； （3）由韦达定理得出P、Q两点的纵坐标，再由面积公式得出的取值范围． 【详解】（1）设，则，解得，则. 又，所以. 所以直线AB的倾斜角为. （2）由题意得，设，所以， 又点M在以线段AB为直径的圆周上，所以① 设直线的方程为，联立得，. 所以，. 由①可得，. 因此直线的方程为. （3）设直线的方程为，联立得，. 所以. 的方程为，令，则. 同理可得. 所以 则，即的取值范围.    题型5：与抛物线焦点弦有关的几何性质 【例5-1】过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，那么|AB|＝（    ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】由抛物线的焦点弦长公式，由此计算． 【详解】因为直线AB过焦点F(1，0)，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8. 故选：B． 【例5-2】（25-26高二上·上海·期中）已知抛物线是过其焦点的一条弦，若，则直线的斜率为 【答案】 【分析】根据焦点弦长公式，即可求解. 【详解】设直线的倾斜角为，， 所以，所以，， 所以， 所以直线的斜率为. 故答案为： 【例5-3】（24-25高二上·上海·课后作业）过抛物线的焦点的倾斜角为的直线与抛物线交于两点，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据抛物线方程可写出焦点坐标和准线方程，设出直线方程并于抛物线方程联立，利用韦达定理和焦半径公式得出的表达式，化简即可给出证明. 【详解】根据题意可知，抛物线焦点，准线方程为； 直线的斜率为，所以直线方程为， 不妨设，如下图所示：    联立直线和抛物线方程，消去整理可得； 由韦达定理可得， 作垂直于准线，垂足分别为； 由焦半径公式可知； 所以 ； 即可得. 【变式5-1】若抛物线过焦点的弦被焦点分成长为m和n两部分，则m与n的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令过焦点的弦为，与抛物线交点分别为A、B，联立抛物线应用韦达定理求、，结合抛物线定义求，即可得结果. 【详解】令过焦点的弦为，与抛物线交点分别为A、B， 联立抛物线整理得：，则，， 故，， 若，， 所以，，故. 故选：C 【变式5-2】抛物线，过焦点的弦AB长为8，则AB中点M的横坐标为 . 【答案】2 【分析】利用梯形中位线定理，结合抛物线的定义，先求出弦的中点到准线的距离，最后求出弦的中点的横坐标. 【详解】抛物线的准线的方程为：，焦点为,分别过， 作，垂足为，在直角梯形中，， 由抛物线的定义可知：，因此有， 所以点的横坐标为. 故答案为：2. 【变式5-3】设AB是过抛物线焦点F的一条弦，点A，B在抛物线的准线上的射影分别是，，证明： (1)； (2)以AB为直径的圆和抛物线的准线相切． 【答案】(1)证明见详解； (2)证明见详解． 【分析】（1）依题意可得，，可证，，从而证出； （2）分别取与中点，可得，从而证得结论． 【详解】（1）如图所示： 依题意可得，所以， 又因为，所以， 故， 所以，故，所以； （2）分别取与中点，并连接， 所以为直角梯形的中位线， 由于， 所以 故以AB为直径的圆和抛物线的准线相切． 题型6：抛物线中的定点、定值 【例6-1】直线与抛物线相交于两点，则 ． 【答案】0 【分析】联立直线方程和抛物线方程利用设出，的坐标，利用根与系数之间的关系，利用数量积的坐标公式计算的大小． 【详解】解：设，，则， 由，解得或， 所以，， 所以． 故答案为：0． 【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系的应用，将直线和抛物线方程联立，利用消元法将方程转化为一元二次方程，利用根与系数之间的关系进行整体代换． 【例6-2】已知抛物线与直线相交于A、B两点． (1)求证：； (2)当的面积等于时，求k的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意，将证明转化为证即可； （2）根据题意，由利用面积建立关于k的方程，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）由方程与联立，消去后，整理得． 由题意易知，且， 设，由韦达定理，， 在抛物线上，， 则，. ∴． （2）    设直线与轴交于N，又显然，令，则，即， 又， ，且， 则，解得. 【例6-3】已知点F是抛物线的焦点，动点P在抛物线上. (1)写出抛物线的焦点坐标和准线方程； (2)设点，求的最小值： (3)设直线l与抛物线交于D，E两点，若抛物线上存在点P，使得四边形DPEF为平行四边形，证明：直线l过定点，并求出这个定点的坐标. 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析，定点. 【分析】（1）根据标准方程直接写出焦点和准线； （2）利用两点式及二次函数性质，结合抛物线的有界性求的最小值； （3）设，直线为，联立抛物线并应用韦达定理有，根据平行四边形性质有，由向量线性运算的坐标表示得到与数量关系，结合点在抛物线上求参数b，即可确定定点. 【详解】（1）根据抛物线标准方程可得：焦点，准线. （2）设，则 当时，，而，此时时； 当时，，而，此时，即P为原点时； 所以. （3）设，直线l为， ，则，所以. 因为四边形是平行四边形，所以，则 所以， 代入得：，解得，即直线过定点. 【变式6-1】已知抛物线的方程为，过其焦点F的直线交此抛物线于M、N两点，交y轴于点E，若，，则 . 【答案】 【分析】设直线的方程为，与抛物线方程联立，由，，分别表示出，利用根与系数关系即可算得答案. 【详解】由抛物线的方程为，得， 由题意可得直线的斜率存在且不等于零， 则可设直线的方程为，， 联立，消得， 则恒成立， 则，故， 由直线，令，得，则， 由，得， 所以，所以， 由，得， 所以，所以， 所以 . 故答案为：. 【变式6-2】已知抛物线：过点． （1）求抛物线的焦点到准线的距离； （2）已知点，过点的直线交抛物线于点、，直线，分别交直线于点、．求的值． 【答案】（1）；（2）1. 【解析】（1）求出后可得焦点到准线的距离. （2）设直线的方程为，，，可用的坐标表示，再联立直线的方程和抛物线的方程，利用韦达定理化简可得所求的值. 【详解】（1）因为在抛物线上，即，抛物线的焦点到准线的距离为. （2）显然直线的斜率不为0，故设直线的方程为， 由得， 由得， 设，，则，，所以. 又，， 所以直线：，：， 令，得，， 所以 ． 【点睛】思路点睛：直线与圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于或的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有或，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值问题. 【变式6-3】在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于A、B两点. (1)求证：“直线过点”是“”的充分条件； (2)请判断“直线过点”是否是“”的必要条件，并说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)不是，理由见解析 【分析】（1）设出直线的方程并与抛物线方程联立，化简写出根与系数关系，求得从而证得结论成立. （2）设出直线的方程并与抛物线方程联立，化简写出根与系数关系，由列方程，化简后作出判断. 【详解】（1）设直线的方程为， 由消去并化简得， ，设， ， 所以. （2）“直线过点”不是“”的必要条件，理由如下： 设，依题意， 当直线斜率不存在时，设直线的方程为，则， ，则， 不妨设， 则，解得或（舍去）.此时直线过. 当直线斜率存在且不为时，设直线的方程为， 由消去并化简得， ， ， 所以，， 解得或， 而，所以直线过点或， 所以“直线过点”不是“”的必要条件. 题型7：抛物线的应用 【例7-1】（24-25高二下·上海黄浦·期中）若抛物线上不同三点的横坐标的平方成等差数列，那么这三点（   ） A．到原点的距离成等差数列 B．到轴的距离成等差数列 C．到轴的距离成等差数列 D．到焦点的距离的平方成等差数列 【答案】B 【分析】先设三点的坐标，根据横坐标的平方成等差数列可得到其纵坐标也成等差数列，即可得到答案． 【详解】设这三点为，，，， 因为三点的横坐标的平方成等差数列，即，，成等差数列， 则， 三点横坐标分别代入抛物线方程得，，， 则，即， 因为三点到轴的距离为，所以三点到轴的距离成等差数列. 故选：B 【例7-2】（24-25高二下·上海宝山·期中）一辆卡车要通过跨度为8米、拱高为4米的抛物线形隧道，为了保证安全，车顶上方与抛物线的铅垂距离至少0.5米．隧道有两条车道，车辆在其中一条车道行驶，卡车宽为2.2米，车厢视为长方体，则卡车的限高为 米（精确到0.01米）. 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，求得抛物线的方程，根据题意求得限高. 【详解】建立如图所示平面直角坐标系， 设抛物线的方程为， 依题意抛物线过点，则， 所以抛物线的方程为， 车的截面为矩形， 设，则， 所以米， 即限高为米. 故答案为： 【例7-3】（24-25高二下·上海杨浦·期中）一辆卡车要通过跨度为8米，拱高为4米的抛物线形隧道，为了保证安全，车顶上方与抛物线的铅垂距离至少0.5米．隧道有两条车道，车辆在其中一条车道行驶，卡车宽为2.2米，车厢视为长方体，问卡车的限高为多少米？ 【答案】2.29米 【分析】由题意建立坐标系，求得抛物线的方程，根据卡车宽度建立方程，可得答案. 【详解】由题意建立坐标系，如下： 设抛物线的方程为，依题意抛物线过点， 则，所以抛物线的方程为，车的截面为矩形ABCD， 设，则，所以米， 即限高为2.29米． 【变式7-1】假设一水渠的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的渠口宽为2m，渠深为1.5m，水面距为0.5m，则截面图中水面宽的长度约为（    ）m.    A．1.33 B．1.63 C．1.50 D．1.75 【答案】B 【分析】以为原点，为轴，建立平面直角直角坐标系，利用点的坐标求出抛物线方程，再根据抛物线方程可求出结果. 【详解】以为原点，为轴，建立如图所示的平面直角直角坐标系： 设抛物线的标准方程为， 由题意可得，代入得，得， 故抛物线的标准方程为， 设，则， 则，， 所以截面图中水面宽的长度约为.    故选：B 【变式7-2】抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后.反射光线平行于抛物线的轴.已知抛物线，平行于轴的光线在抛物线上点处反射后经过抛物线的焦点，在抛物线上点处再次反射，又沿平行于轴方向射出，则两平行光线间的最小距离为 . 【答案】 【分析】作出图像，设，题中问题即为求的最小值，设直线，联立，用韦达定理表示即可得解. 【详解】 根据题意作出图像，如图所示，设，题中问题即为求的最小值. 设， 由，得， 所以. 所以， 当时，最小为2. 故答案为：2. 【变式7-3】图是抛物线形拱桥，设水面宽米，拱顶距离水面8米，一货船在水面上的部分横断面为一矩形CDEF．若米，那么不超过多少米才能使货船通过拱桥?    【答案】不超过6米才能使货船通过拱桥． 【分析】根据题中条件建立适当的平面直角坐标系，确定出抛物线的方程后求解问题． 【详解】如图所示，以点O为坐标原点，过点O且平行于AB的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则．    设抛物线方程为． ∵B点在抛物线上，∴， ∴，∴抛物线的方程为． 当时，，即． ∴不超过6米才能使货船通过拱桥． 一、填空题 1．（24-25高二上·上海·单元测试）抛物线的准线方程是，则实数a的值为 ． 【答案】/-0.125 【分析】对比抛物线准线方程即可列方程求解参数. 【详解】由题意，解得. 故答案为：. 2．（24-25高二下·上海·期中）准线为直线且顶点为坐标原点的抛物线的标准方程为 . 【答案】 【分析】根据准线方程即可求解. 【详解】由题意可得， 故答案为： 3．（24-25高二下·上海杨浦·期末）已知抛物线的顶点到焦点的距离为2，则 ． 【答案】4 【分析】由抛物线方程可得顶点坐标与焦点坐标，建立方程，可得答案. 【详解】由抛物线，则其顶点为，焦点，由题意可得，解得. 故答案为：. 4．（24-25高二下·上海·期中）以抛物线的焦点为圆心、且与该抛物线的准线相切的圆的方程为 . 【答案】 【分析】由抛物线方程得焦点坐标、准线方程，进一步得所求圆的半径即可得解. 【详解】因为抛物线的焦点，准线， 所求圆的圆心半径为， 所以圆的方程为. 故答案为： 5．（24-25高二下·上海普陀·期末）顶点在坐标原点，以轴为对称轴的抛物线过点则它的方程是 . 【答案】 【分析】设抛物线为，结合点在抛物线上求方程即可. 【详解】由题意，设抛物线为， ， ， 综上：抛物线方程为. 故答案为：. 6．（25-26高二上·上海嘉定·期末）已知点在抛物线上，则点到该抛物线焦点的距离为 ． 【答案】 【分析】先确定点的坐标，再根据抛物线定义求点到该抛物线焦点的距离. 【详解】由于点在抛物线上， 则，所以，则点， 由于抛物线准线方程为, 根据抛物线的定义，点到该抛物线焦点的距离等于点到准线的距离， 为, 所以点到该抛物线焦点的距离为. 7．（24-25高二下·上海青浦·期末）在平面直角坐标系中，已知双曲线是以直线为渐近线，且经过抛物线的焦点，则该双曲线的标准方程是 . 【答案】 【分析】先根据题意判断双曲线的焦点位置；再设出双曲线的方程，根据双曲线经过的点及渐近线列出方程组求解，从而可得出双曲线的方程. 【详解】抛物线的焦点为：. 因为双曲线经过点， 所以该双曲线的焦点在轴上，设该双曲线方程为：. 又因为双曲线是以直线为渐近线， 所以，解得：. 所以该双曲线方程为：. 故答案为：. 8．（23-24高二上·上海奉贤·期末）已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，双曲线C:的左顶点为A，若双曲线C的一条渐近线与直线AM垂直，则双曲线C的离心率为 . 【答案】/ 【分析】利用抛物线焦点弦公式求得，从而得的坐标，由题意得的坐标，再计算直线的斜率，根据渐近线与其垂直，得到，用离心率公式求出即可． 【详解】∵抛物线y2=2px(p>0)上一点M(1,m)到其焦点的距离为5， ∴，p=8，抛物线方程为y2=16x，m=±4. 取,双曲线的左顶点为,直线AM的斜率为， ∵该双曲线的一条渐近线与直线AM垂直， ∴，且，解得：，则：. 故答案为： 9．省级保护文物石城永宁桥位于江西省赣州市石城县高田镇永宁桥建筑风格独特，是一座楼阁式抛物线形石拱桥当石拱桥拱顶离水面时，水面宽，当水面下降时，水面的宽度为 米 【答案】 【分析】建立坐标系，设出抛物线方程为，从而可得A在抛物线上，代入可求出抛物线方程，再令，即可求解． 【详解】建利坐标系如图，设抛物线方程为且， 则根据题意可知图中坐标为， 所以，可得， 所以抛物线方程为， 令，代入方程，解得， 可得到水面两点坐标分别为 所以水面的宽度为米． 故答案为： 10．（24-25高二下·上海静安·期末）设是抛物线上一点，则点P到椭圆的左顶点的距离的最小值为 ． 【答案】 【分析】首先确定椭圆左顶点坐标，然后设建立距离平方函数化简，分析的值，即可求得. 【详解】易知椭圆左顶点，因为点在抛物线上，设， 此时， 易知当，即时，取得最小值，最小值为. 故答案为：. 11．（24-25高二下·上海金山·期中）在抛物线上点的纵坐标比横坐标大4，且点到焦点的距离为8，则 ． 【答案】或 【分析】设点，得到，根据题意，结合焦半径公式和抛物线的方程，列出方程组，求得的值. 【详解】由抛物线上点的纵坐标比横坐标大4， 设点，其中，抛物线的焦点为，则， 因为点到焦点的距离为，可得，解得或， 所以实数的值为或． 故答案为： 或． 12.（25-26高二上·上海浦东新·期中）如图，探照灯反射镜由抛物线的一部分绕对称轴旋转而成.已知灯口圆的直径为，灯的深度为40cm.将反射镜的旋转轴与镜面的交点称为反射镜的顶点.为了保证发出的光线经过反射之后平行射出，光源应安置在抛物线的焦点位置，此时光源与顶点相距 .    【答案】/ 【分析】在反射镜的轴截面上建立平面直角坐标系，利用代入法进行求解即可； 【详解】   以抛物线的顶点为原点，以旋转轴为x轴（抛物线开口方向是x轴的正方向），以1cm为单位长度， 则可设抛物线的标准方程为. 灯口圆与轴截面在第一象限内的交点A的坐标为， 代入抛物线方程得， 解得，则焦点坐标为. 故光源应安置在与顶点相距处； 故答案为： 一、单选题 13．过抛物线的焦点F的直线交该抛物线于两点，若两点的横坐标之和为3，则（    ） A．5 B． C． D．4 【答案】A 【分析】根据抛物线定义即可求出. 【详解】根据题意，设的坐标为，的坐标为， 抛物线的准线方程为， 又由在抛物线上，则，， ∴. 故选：A. 14．（24-25高二下·上海虹口·月考）过抛物线的焦点的直线与抛物线在第一象限的交点为，与抛物线准线的交点为，点在抛物线准线上的射影为，若，，则抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点、，易知点，分析可知点为线段的中点，结合中点坐标公式以及抛物线方程可得出点、的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算结合可求得的值，由此可得出抛物线的标准方程. 【详解】设点、，易知点， 因为，则为的中点，所以，， 则，，， 因为点在第一象限，则，可得，则， 所以，点、， 因为点在抛物线准线上的射影为，则点， 所以，，， 则，因为，解得， 所以，抛物线的标准方程为. 故选：A. 15．（25-26高三上·上海·月考）探照灯等很多灯具的反光镜是抛物面（其纵断面是抛物线的一部分），正是利用了抛物线的光学性质：从焦点射出的光线经抛物线反射之后沿对称轴方向射出.根据光路可逆原理，在平面直角坐标系中，已知抛物线，一条光线经过点，与轴平行射到抛物线上，经过两次反射后经过点射出，则光线从点到点经过的总路程是（    ）    A．19 B．20 C．21 D．22 【答案】B 【分析】根据抛物线的光学性质以及焦半径公式，结合抛物线定义计算可得结果. 【详解】设入射光线和反射光线与抛物线的交点分别为，显然直线过焦点， 分别从向抛物线的准线作垂线，垂足分别为，如下图所示：    由抛物线方程可知准线方程为， 再由抛物线定义可得， 因此光线从点到点经过的总路程为. 故选：B. 16．（25-26高二上·上海嘉定·期末）已知抛物线，若第一象限的点、在抛物线上，抛物线焦点为，，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，由抛物线定义可知，然后由可得答案. 【详解】设， 由题可知的斜率存在，设的斜率为． 因都在轴上方，由题意知， 由抛物线定义 则， 由弦长公式可得， 所以，解得. 故选：C． 三、解答题 17．已知抛物线：的焦点为． (1)求抛物线的焦点坐标和准线方程； (2)过焦点的直线与抛物线交于、两点，若，求线段的长． 【答案】(1)焦点坐标，准线方程为； (2)． 【分析】（1）由题意，根据所给抛物线的方程进行求解即可； （2）先根据定义求出点的横坐标，进而可得点的纵坐标，设出直线的方程，将直线的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理和焦半径公式求解即可． 【详解】（1）因为，解得， 则抛物线的焦点坐标，准线方程为； （2）不妨设，， 因为，所以， 当时，解得， 不妨令，, 此时直线的方程为， 联立，消去并整理得， 由韦达定理得， 则． 18．（24-25高二下·上海·期中）在平面直角坐标系中，一动圆经过点且与直线相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)设过点且斜率为的直线与曲线交于M、N两点，求的面积； (3)过点作两条互相垂直的直线，直线与曲线交于A、B两点，直线与曲线交于D、E两点，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先判断曲线的类型，再确定其解析式. （2）根据抛物线的焦点弦公式求弦长，点到直线的距离求高，可求出三角形的面积. （3）根据焦点弦公式分别求弦长和，再结合基本不等式和换元法求的最小值. 【详解】（1）由题意：曲线上的点到点的距离与到直线的距离相等， 所以曲线为抛物线，且为焦点，为准线，所以. 所以曲线的方程为：. （2）直线方程为：，代入， 整理得：， 由韦达定理得：. 所以. 又点到直线：的距离为：. 所以. （3）如图：    设直线：，代入抛物线得：， 整理得：. 由韦达定理：. 所以. 用代替，可得. 所以. 设，则，当且仅当时取“”. 则. 19．（25-26高二上·上海·期末）已知过抛物线：的焦点且倾斜角为的直线交于两点，是的中点，为坐标原点，若点的横坐标为3. (1)求点的纵坐标； (2)若点在的准线上，且满足，求点的坐标. 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）根据已知条件得到直线方程，与抛物线联立，结合韦达定理及中点坐标公式，求出值，得到直线方程，将点的横坐标代入直线方程即可得到纵坐标. （2）设出点坐标，得到、.联立直线方程与抛物线方程，得到一元二次方程，利用韦达定理得到两根之和与两根之积，结合得到，代入求解即可. 【详解】（1）已知抛物线：，其焦点的坐标为. 又直线的倾斜角为，所以直线的方程为. 联立，整理得. ， 设，，则，.    因为是的中点，且点的横坐标为3，所以，即，解得. 所以直线的方程为. 因为点的横坐标为3，所以点的纵坐标为2. （2）由（1）知，，所以抛物线的方程为，直线的方程为. 联立，整理得. 所以，. 所以， . 因为点在的准线上，所以可设，则，. 因为，所以，即. 展开整理得， 即，整理得，解得. 所以点的坐标为. 20．（24-25高二上·上海·期中）如图，点是东西和南北走向两条相互垂直的道路和的交点，假设一段铁路从点出发，延曲线方向向东北无限延伸，铁路上任意点到点正东0.5公里处的一车站与其到道路的距离之差均为0.5公里（道路与铁路的宽度均忽略不计）.    (1)试建立合适的直角坐标系，求铁路所在曲线的方程； (2)若在道路上位于点正东公里处有一仓库（为常数，），为铁路上任意一点，其到点的距离为，求的最小值，并求此时点到道路的距离（单位：公里）. 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）根据抛物线定义及实际情况写出曲线方程即可； （2）令，，应用两点距离公式并化简得且，讨论、求对应距离最小值及点到道路的距离. 【详解】（1）如图，以为原点，为轴正方向建坐标系，则，    由题意，，即到直线的距离， 根据抛物线的定义知，曲线的方程为. （2）由题意，令，，则 ，且， 当，即，时，，此时点到道路的距离为公里； 当，即，时，，此时点到道路的距离为公里； 21．（24-25高二下·上海徐汇·期中）如图，已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过点的直线交抛物线于两点，点在抛物线上，使得的重心在轴上，直线交轴于点，且在点的右侧．记、面积分别为、． (1)求抛物线的标准方程； (2)若直线的斜率为，求以线段为直径的圆的面积； (3)求的最小值及此时点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)最小值， 【分析】（1）根据抛物线定义可直接求出，可得抛物线的标准方程； （2）联立直线和抛物线方程并利用焦点弦公式可求得，可得圆的面积为； （3）依题意分别求得的坐标，得出的表达式并利用基本不等式可求得结果，可得此时点的坐标. 【详解】（1）依题意由焦点到准线的距离为2可知， 所以抛物线的标准方程为； （2）由（1）可知，设, 易知直线的方程为， 联立，整理可得， 所以， 因此可得， 即以线段为直径的圆直径为16，可得圆面积 （3）设，重心． 令，，则． 由于直线过，故直线方程为， 代入，得，故，即， 所以． 又由于，及重心在轴上，故， 得，． 所以直线方程为，得． 由于在焦点的右侧，故． 从而． 令，则， 可得． 当时，取得最小值，此时． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 抛物线 知识清单 知识点01：抛物线的定义 知识点02：抛物线的标准方程 知识点03：抛物线的性质 题型讲解 （举三反三） 题型1：抛物线定义的理解 题型2：根据抛物线方程求焦点或准线 题型3：抛物线的焦半径公式 题型4：抛物线中的三角形或四边形面积问题 题型5：与抛物线焦点弦有关的几何性质 题型6：抛物线中的定点、定值 题型7：抛物线的应用 强化训练 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 知识点01抛物线的定义 　　　平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线，定点F叫作抛物线的焦点，定直线l叫作抛物线的准线. 知识点02 抛物线的标准方程 标准方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) 图形 焦点坐标 准线方程 x=- x= y=- y= 开口方向 向右 向左 向上 向下 (1)p的几何意义是焦点到准线的距离. (2)准线与焦点所在坐标轴垂直，垂足与焦点关于原点对称，它们到原点的距离都等于一次项系数的绝对值的，即=. (3)抛物线的开口与x轴(或y轴)的正半轴方向相同，即焦点在x轴(或y轴)的正半轴上，标准方程的右端系数为正；开口方向与x轴(或y轴)的正半轴方向相反，即焦点在x轴(或y轴)的负半轴上，标准方程的右端系数为负. 知识点03抛物线的几何性质 标准方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 顶点 O(0，0) 对称轴 x轴 y轴 离心率 e=1 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 题型1：抛物线定义的理解 【例1-1】是定直线外的一定点，则过点且与定直线相切的圆的圆心轨迹是（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线的一支 D．抛物线 【例1-2】（24-25高二·上海·课堂例题）已知点，直线，若动点P到l的距离等于，则点P的轨迹是 ． 【例1-3】已知抛物线 上一点P到焦点的距离为5，则点P到x轴的距离为 ． 【变式1-1】抛物线上一点到焦点的距离是10，则点到轴的距离是（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 【变式1-2】已知点在抛物线上，且点与焦点的距离为，则的值为 . 【变式1-3】（24-25高二下·上海嘉定·单元测试）抛物线的焦点到准线的距离是 ． 题型2：根据抛物线方程求焦点或准线 【例2-1】抛物线的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 【例2-2】（25-26高二上·上海浦东新·期末）抛物线的焦点坐标为 . 【例2-3】（25-26高二上·上海·期中）抛物线方程为 ，则此抛物线的焦点坐标为 ． 【变式2-1】在抛物线的方程中，p表示（    ） A．焦点到准线的距离 B．焦点到准线的距离的一半 C．焦点到准线的距离的2倍 D．焦点到顶点的距离 【变式2-2】（24-25高二下·上海·期末）已知抛物线的焦点为双曲线的一个焦点，若过点，则的标准方程为 . 【变式2-3】（24-25高二下·上海·期中）已知拋物线，则其准线方程为 . 题型3：抛物线的焦半径公式 【例3-1】（24-25高二下·上海·期中）抛物线的方程为，焦点为，点为上一点，且，则的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【例3-2】（24-25高二下·上海嘉定·期末）已知抛物线上的一点P到焦点的距离为9．且点P在第一象限内，则点P的坐标为 ． 【例3-3】求抛物线上到焦点的距离等于9的点的坐标． 【变式3-1】已知抛物线（）的焦点为F，点在抛物线C上，且，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【变式3-2】（24-25高二上·上海·期末）已知抛物线 ： ，若点M横坐标为1，且到C的准线的距离为2，则 . 【变式3-3】（24-25高二上·上海·课后作业）若抛物线上的、两点到焦点的距离之和是5，求线段的中点的横坐标． 题型4：抛物线中的三角形或四边形面积问题 【例4-1】已知抛物线的焦点是F,点A、B、C在抛物线上,为坐标原点,若点F为△ABC的重心,△、△、△面积分别记为则的值为 A． B． C． D． 【例4-2】（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，，P为C的准线上一点，则的面积为 ． 【例4-3】（24-25高二上·上海·期末）已知抛物线， (1)若该抛物线的焦点到准线的距离为1，求抛物线的标准方程； (2)若，O为坐标原点，斜率为2且过焦点的直线交此抛物线于A、B两点，求的面积． 【变式4-1】等腰直角三角形ABO内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△ABO的面积是(　　) A．8p2 B．4p2 C．2p2 D．p2 【变式4-2】（24-25高二上·上海·期中）如图，已知抛物线的焦点为F，过F且斜率为1的直线交E于A，B两点，线段的中点为M，其垂直平分线交x轴于点C，轴于点N.若四边形的面积等于28，则E的方程为 . 【变式4-3】如图，已知抛物线的焦点为F，准线与x轴的交点为M．过点F的直线与抛物线交于A、B两点．    (1)若点A在第一象限，且，求直线AB的倾斜角； (2)若点M在以线段AB为直径的圆周上，求直线AB的方程； (3)设直线AM、BM分别与y轴交于P、Q两点，记、的面积分别为、，求的取值范围． 题型5：与抛物线焦点弦有关的几何性质 【例5-1】过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，那么|AB|＝（    ） A．6 B．8 C．9 D．10 【例5-2】（25-26高二上·上海·期中）已知抛物线是过其焦点的一条弦，若，则直线的斜率为 【例5-3】（24-25高二上·上海·课后作业）过抛物线的焦点的倾斜角为的直线与抛物线交于两点，求证：． 【变式5-1】若抛物线过焦点的弦被焦点分成长为m和n两部分，则m与n的关系式为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】抛物线，过焦点的弦AB长为8，则AB中点M的横坐标为 . 【变式5-3】设AB是过抛物线焦点F的一条弦，点A，B在抛物线的准线上的射影分别是，，证明： (1)； (2)以AB为直径的圆和抛物线的准线相切． 题型6：抛物线中的定点、定值 【例6-1】直线与抛物线相交于两点，则 ． 【例6-2】已知抛物线与直线相交于A、B两点． (1)求证：； (2)当的面积等于时，求k的值． 【例6-3】已知点F是抛物线的焦点，动点P在抛物线上. (1)写出抛物线的焦点坐标和准线方程； (2)设点，求的最小值： (3)设直线l与抛物线交于D，E两点，若抛物线上存在点P，使得四边形DPEF为平行四边形，证明：直线l过定点，并求出这个定点的坐标. 【变式6-1】已知抛物线的方程为，过其焦点F的直线交此抛物线于M、N两点，交y轴于点E，若，，则 . 【变式6-2】已知抛物线：过点． （1）求抛物线的焦点到准线的距离； （2）已知点，过点的直线交抛物线于点、，直线，分别交直线于点、．求的值． 【变式6-3】在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于A、B两点. (1)求证：“直线过点”是“”的充分条件； (2)请判断“直线过点”是否是“”的必要条件，并说明理由. 题型7：抛物线的应用 【例7-1】（24-25高二下·上海黄浦·期中）若抛物线上不同三点的横坐标的平方成等差数列，那么这三点（   ） A．到原点的距离成等差数列 B．到轴的距离成等差数列 C．到轴的距离成等差数列 D．到焦点的距离的平方成等差数列 【例7-2】（24-25高二下·上海宝山·期中）一辆卡车要通过跨度为8米、拱高为4米的抛物线形隧道，为了保证安全，车顶上方与抛物线的铅垂距离至少0.5米．隧道有两条车道，车辆在其中一条车道行驶，卡车宽为2.2米，车厢视为长方体，则卡车的限高为 米（精确到0.01米）. 【例7-3】（24-25高二下·上海杨浦·期中）一辆卡车要通过跨度为8米，拱高为4米的抛物线形隧道，为了保证安全，车顶上方与抛物线的铅垂距离至少0.5米．隧道有两条车道，车辆在其中一条车道行驶，卡车宽为2.2米，车厢视为长方体，问卡车的限高为多少米？ 【变式7-1】假设一水渠的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的渠口宽为2m，渠深为1.5m，水面距为0.5m，则截面图中水面宽的长度约为（    ）m.    A．1.33 B．1.63 C．1.50 D．1.75 【变式7-2】抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后.反射光线平行于抛物线的轴.已知抛物线，平行于轴的光线在抛物线上点处反射后经过抛物线的焦点，在抛物线上点处再次反射，又沿平行于轴方向射出，则两平行光线间的最小距离为 . 【变式7-3】图是抛物线形拱桥，设水面宽米，拱顶距离水面8米，一货船在水面上的部分横断面为一矩形CDEF．若米，那么不超过多少米才能使货船通过拱桥?    一、填空题 1．（24-25高二上·上海·单元测试）抛物线的准线方程是，则实数a的值为 ． 2．（24-25高二下·上海·期中）准线为直线且顶点为坐标原点的抛物线的标准方程为 . 3．（24-25高二下·上海杨浦·期末）已知抛物线的顶点到焦点的距离为2，则 ． 4．（24-25高二下·上海·期中）以抛物线的焦点为圆心、且与该抛物线的准线相切的圆的方程为 . 5．（24-25高二下·上海普陀·期末）顶点在坐标原点，以轴为对称轴的抛物线过点则它的方程是 . 6．（25-26高二上·上海嘉定·期末）已知点在抛物线上，则点到该抛物线焦点的距离为 ． 7．（24-25高二下·上海青浦·期末）在平面直角坐标系中，已知双曲线是以直线为渐近线，且经过抛物线的焦点，则该双曲线的标准方程是 . 8．（23-24高二上·上海奉贤·期末）已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，双曲线C:的左顶点为A，若双曲线C的一条渐近线与直线AM垂直，则双曲线C的离心率为 . 9．省级保护文物石城永宁桥位于江西省赣州市石城县高田镇永宁桥建筑风格独特，是一座楼阁式抛物线形石拱桥当石拱桥拱顶离水面时，水面宽，当水面下降时，水面的宽度为 米 10．（24-25高二下·上海静安·期末）设是抛物线上一点，则点P到椭圆的左顶点的距离的最小值为 ． 11．（24-25高二下·上海金山·期中）在抛物线上点的纵坐标比横坐标大4，且点到焦点的距离为8，则 ． 12.（25-26高二上·上海浦东新·期中）如图，探照灯反射镜由抛物线的一部分绕对称轴旋转而成.已知灯口圆的直径为，灯的深度为40cm.将反射镜的旋转轴与镜面的交点称为反射镜的顶点.为了保证发出的光线经过反射之后平行射出，光源应安置在抛物线的焦点位置，此时光源与顶点相距 .    一、单选题 13．过抛物线的焦点F的直线交该抛物线于两点，若两点的横坐标之和为3，则（    ） A．5 B． C． D．4 14．（24-25高二下·上海虹口·月考）过抛物线的焦点的直线与抛物线在第一象限的交点为，与抛物线准线的交点为，点在抛物线准线上的射影为，若，，则抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 15．（25-26高三上·上海·月考）探照灯等很多灯具的反光镜是抛物面（其纵断面是抛物线的一部分），正是利用了抛物线的光学性质：从焦点射出的光线经抛物线反射之后沿对称轴方向射出.根据光路可逆原理，在平面直角坐标系中，已知抛物线，一条光线经过点，与轴平行射到抛物线上，经过两次反射后经过点射出，则光线从点到点经过的总路程是（    ）    A．19 B．20 C．21 D．22 16．（25-26高二上·上海嘉定·期末）已知抛物线，若第一象限的点、在抛物线上，抛物线焦点为，，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 三、解答题 17．已知抛物线：的焦点为． (1)求抛物线的焦点坐标和准线方程； (2)过焦点的直线与抛物线交于、两点，若，求线段的长． 18．（24-25高二下·上海·期中）在平面直角坐标系中，一动圆经过点且与直线相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)设过点且斜率为的直线与曲线交于M、N两点，求的面积； (3)过点作两条互相垂直的直线，直线与曲线交于A、B两点，直线与曲线交于D、E两点，求的最小值. 19．（25-26高二上·上海·期末）已知过抛物线：的焦点且倾斜角为的直线交于两点，是的中点，为坐标原点，若点的横坐标为3. (1)求点的纵坐标； (2)若点在的准线上，且满足，求点的坐标. 20．（24-25高二上·上海·期中）如图，点是东西和南北走向两条相互垂直的道路和的交点，假设一段铁路从点出发，延曲线方向向东北无限延伸，铁路上任意点到点正东0.5公里处的一车站与其到道路的距离之差均为0.5公里（道路与铁路的宽度均忽略不计）.    (1)试建立合适的直角坐标系，求铁路所在曲线的方程； (2)若在道路上位于点正东公里处有一仓库（为常数，），为铁路上任意一点，其到点的距离为，求的最小值，并求此时点到道路的距离（单位：公里）. 21．（24-25高二下·上海徐汇·期中）如图，已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过点的直线交抛物线于两点，点在抛物线上，使得的重心在轴上，直线交轴于点，且在点的右侧．记、面积分别为、． (1)求抛物线的标准方程； (2)若直线的斜率为，求以线段为直径的圆的面积； (3)求的最小值及此时点的坐标． 1 学科网（北京）股份有限公司 $