2.5.2简单的参数方程 讲义-2021-2022学年高二下学期数学沪教版（2020）选择性必修第一册

简单的参数方程 1. 参数方程的定义 在直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数，并且对于的每一个允许值，由方程组（1）所确定的点都在曲线上，那么，方程（1）就叫做曲线的参数方程．联系之间关系的变数叫做参变数，简称参数． 相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程． 2. 通过“消去参数”可以把曲线的参数方程化为普通方程； 3. 通过“选取参数”，可以把曲线的普通方程化为参数方程． 4. 常见曲线的参数方程 直线的参数方程：（为参数，）； 圆心为原点，半径为的圆的参数方程（为参数，）； 圆心为半径为的圆的参数方程（为参数，）； 椭圆的参数方程为（为参数）； [微点提醒]　直线参数方程中t的几何意义 过点M(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)，其中t表示直线上以 定点M0为起点，任意一点M(x，y)为终点的有向线段的数量．当t>0时，的方向向上；当t<0时，的方向向下；当t＝0时，M与M0重合． 根据直线的参数方程标准式中t的几何意义，有如下常用结论： 过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程是若M1，M2是l上的两点，其对应参数分别为t1，t2，则 ①|M1M2|＝|t1－t2|. ②若线段M1M2的中点M所对应的参数为t，则t＝，中点M到定点M0的距离|MM0|＝|t|＝． ③若M0为线段M1M2的中点，则t1＋t2＝0． ④|M0M1||M0M2|＝|t1t2|． 问题1． 将曲线的参数方程化为普通方程时应注意什么问题？ 答：关键是注意的取值范围． 例如参数方程(为参数)化为普通方程时需要注明的限制条件. 但也有一些问题不需另写条件，例如把参数方程(为参数)化为普通方程时，所需满足的条件则不必写出. 如果普通方程中的的取值范围与参数方程中的的取值范围相一致，则参数方程化为普通方程后，不必写出的取值范围，否则需写出的取值范围． 问题2． 参数方程与是否表示同一曲线？为什么？ 答：不一样，的取值范围不一致. 例题精讲 【例1】（1）参数方程（t为参数），化为一般方程为_______________． 【难度】★★ 【答案】 【解析】解：∵参数方程（t为参数），∴消去参数，得：， 整理，得一般方程为：. 故答案为：. （2）在直角坐标系中,已知曲线的参数方程是 (是参数),则曲线的普通方程是__________. 【难度】★★ 【答案】 【解析】由题： 所以. 故答案为： （3）已知椭圆的参数方程为则该椭圆的长轴长为_________. 【难度】★★ 【答案】6 【解析】因为椭圆的参数方程为所以,所以该椭圆的长轴长为. 故答案为：6 【例2】已知点在曲线，（为参数）上，则的取值范围为_____________. 【难度】★★★ 【答案】 【解析】曲线的参数方程为（为参数）， ，，将两个方程平方相加， ，它在直角坐标系中表示圆心在半径为的圆. 又的几何意义是表示原点与圆上一点连线的斜率， 画出图象，如图： 当过原点的直线与圆相切时，设切线的斜率为，切线方程为： 联立与圆的方程：，消掉 可得，直线与圆相切，可得，解得 当过原点的直线与圆相切时，切线的斜率是， 的取值范围为.故答案为：. 【例3】已知点,曲线C:(为参数),若Q是曲线C上的动点,则线段的中点M到直线l:(t为参数)距离的最小值为______. 【难度】★★★ 【答案】 【解析】由题意可知曲线:(为参数),是曲线上的动点,设,又点,则线段的中点为,直线:(t为参数)的普通方程为:,则点到直线的距离为,令,则可化简为,当时取到最小值,所以点到直线的距离的最小值为. 故答案为: 直线参数方程中t的几何意义 【例4】在直角坐标系中，直线（为参数）与曲线（为参数）相交于不同的两点，. （1）当时，求直线与曲线的普通方程； （2）若，其中，求直线的倾斜角. 【答案】(1) ；；(2) 或 【分析】 （1）直接化曲线C的参数方程为普通方程，将α代入l的参数方程，再化为普通方程. （2）将l的参数方程代入C的普通方程，利用此时t的几何意义及根与系数的关系得|MA|•|MB|，,然后求得tanα即可． 【详解】 （1）当时直线的普通方程为：；曲线的普通方程为； （2）将直线代入得 所以直线的倾斜角为或 【点睛】 本题考查参数方程化普通方程，考查直线方程中此时t的几何意义的应用，是中档题． 巩固训练 1、已知直线的方程为，则下列各式是的参数方程的是（ ） A． B． C． D． 【难度】★★★ 【答案】D 【解析】A.参数方程可化简为，故A不正确； B.参数方程可化简为，故B不正确； C.参数方程可化简为，故C不正确； D.参数方程可化简为，故D正确.故选：D. 2、参数方程为 (0≤t≤5)的曲线