第05讲 两角和与差的三角函数（知识清单+6题型讲解举一反三+强化训练）讲义-【满分全攻略备考系列】2025-2026学年（苏教版必修二）数学高一重难点讲义与测试

宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期末 第05讲两角和与差的三角函数 ♪ 内容预览 知识清单 知识点01：两角和与差的余弦公式 知识点02：两角和与差的正弦公式 知识点03：两角和与差的正切公式 知识点04：两角和与差的三角函数应用 题型1：两角和与差的余弦公式的应用 题型2：两角和与差的正弦公式的应用 题型讲解 题型3：两角和与差的正切公式的应用 题型4：和差角三角函数公式应用之给角求值问 (举三反三) 题 题型5：和差角三角函数公式应用之给值求值问 题型6：和差角三角函数公式应用之给值求角问 题 题 强化训练 “、 单选题(8) 二、 多选题(3) 三、填空题(3) 四、解答题(5) 知识清单 知识点1两角和与差的余弦公式 1、两角和的余弦公式：Ca+Bcos(a+B=cos a cosB-sin a sin B 2、两角差的余弦公式：Ca-B:cos(a-B)=cos&cosB+sin a sin B 3、使用注意事项： (1)公式中，B都是任意的，既可以是一个角，也可以是几个角的组合： (2)cos(-B)=cosa-c0s阝一般不成立，但在特殊情况下也可能成立。例如：当u=0°，B=60°时， c0s(0°-60)=c0s0°-c0s60°； (3)要掌握公式的逆用，如cos(a+B)cosB+sin(a+B)sinB=cos[(a+B)-B]=cosa 知识点2两角和与差的正弦公式 1、两角和的正弦公式：Sa+B:sin(a+B)=sin a cos B+cos a sin B 1 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期未 2、两角差的正弦公式：Sa-B)sin(a-B)=sin a cos B-cos a sin B 3、使用注意事项： (1)公式中的0，B都是任意角： (2)一般情况下，两角和与差的正弦公式不能按分配律展开，即sin(a±阝)≠sina±sinB; (3)注意公式的逆向运用：如sin(a+B)cos阝-cos(a+B)sin阝=sin[(a+B)-B]=sina 知识点3两角和与差的正切公式 1、两角和的正切公式：Ta+Btan(a+f)=一anc tan品 tana+tan B 2、两角差的正切公式：Ta-tan(a-B)=十tanc tan tana-tanβ 3、使用注意事项： (1)TB公式的适用范围是使公式两边有意义的角的取值范围； (2)Ta±B公式的变形：tana+tanB=tan(a+B)l-tana tanβ)，tana-tanB=tan(a-B)l+tano tanβ)； 知识点4两角和与差的三角函数应用 1、三角函数给角求值与给值求值问题 “给角求值”、“给值求值问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法 (1)关键是把“所求角”用“已知角表示 ①当“已知角有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角的和或差的形式； ②当“已知角有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角的和或差的关系 (2)常见的配角技巧：2a=(a+B)+(a-B),a=(a+B)-B, 2 2 2 2、三角函数给值求角问题 实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角 遵照以下原则：(1)已知正切函数值，选正切函数； (2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数； 岩范 选正、余弦皆可； 若角的范围是(0，π），选余弦较好： 若角的范围是 ππ 2’2 选正弦较好 2 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 888 题型讲解 题型1：两角和与差的余弦公式的应用 【例1-1】(24-25高-下江苏连云港期末)sin10°-2cos20° =() cosl0° A.3 B. 3 C.5 D.- 3 3 【答案】D 【分析】根据20°=30°-10°，利用两角和差的三角公式化简所给的式子，可得结论. 【i详解】sinl0°-2cos20°_siml0°-2c0s(30°-109 cosl0° cos10° =sim10°-2cos30°cos10°-2sin30°sin10 cosl0° sinl0°-2x 2 cos10°-2×sin10° cos10° -V3cos10° =-5, cos10° 故选：D. 【例1-2】已知0<B<a<T, sinasin B-1 10 cosa cosB= 10’则cos2a= 【答案】0 【分析】首先求出cos(a-B)、cos(a+B),再由同角三角函数的基本关系求出sin(a-β)、sin(a+B),结合 cos2a=cos[(a+B)+(a-)】求解 1 【详解】已知sina sin B= 10'cosa cosB=7 01 3 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期末 714 则cos(a-β)=cosa cos B+sina sin B=,a+ 10105' cos(a+B)-cosa cosB-sina sin B-713 Γ-101051 :0<B<a<经，0<a-B<50<a+B<a, 则sma-)=看-eosa-)-g,sna+)=-osa+=号， 则cos2a=cos(a+B)+(a-p)=cos(a+B)cos(a-B)-sin(a+β)sin(a-β) 3×44×3=0 5555 故答案为：0 【例1-3】(24-25高一下江苏南京期中)已知平面向量a=(1,2),b=(2,-2). ()若ka+1(a-2b),求实数k的值： 2诺a与a-25的夹角为0，求os0+到的值 【答案】(1)k=2 22 10 【分析】(1)由向量垂直列方程即可得实数k的值； a.a-2b (2)利用cos0 求出cos0,再由同角基本关系式得到sin0,最后三角恒等得到答案 aa-2b 【详解】(1)(ka+b小a-2b)=ka°+1-2a-h-26=0: 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考令 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 a6=2-4=-2,=5,=8;解得k=2 (2)a=(1,2),b=(2,-2), a-2b=(1,2)-2(2,-2)=(-3,6), -2=2+y=V-3'+62=35,ā(a-26=-3×1+6×2=9; aa-2b） 9 3 ∴.c0s0= la-a-2b V5×3W55 4 r0e[0,π]，∴.sin0= 51 c0s0+π 4 =cos0cosg-sin6sin”-3xV5_4x2。-2 4 4525210 【变式1-1】 (2425商-下江苏盐鼓期中)已知cose+B1-名manB-日则eowa-倒=《） 1 A B. 1 c D. 1 3 3 【答案】D 【分析】利用两角和的余弦公式求出cosa cos B,再由两角差的余弦公式计算可得. 1 C详解】因为os(a+B)=cosc--sinasinB=又sina sin) 所以coscB=, 所以oa-=auo+-位号 故选：D 5 宋老师数学图文制作室 初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 【变式12】（2425商一下江苏南京期申)若sna+sinB-号且oa+cosf=4 4 ,则cos(a-B)= 【答案】 27 /-0.84375 32 【分析】将两个式子平方得出cosa cos B以及sina sin B的表达式，即可求出答案， 【详解】由题意， sina +sinp-cos+c 1 4 “(sina+sinp)'=sin'a+2 2sinasinB+sin2'B=号 41 losa+oygf=casia+2asuop+osip-G 即 sina sinβ= 1(1-sin'a-sinB 24 cosa cos B= 1(1-cos'a-cosB, 216 cos(a-B)-cosa cos +sinasin=16 11,1 -sin2a-cos2a-sin2 B-cos2 B 6小 27 故答案为： 32 【变式13】2425高-下江苏南通月考)(D已知cosa+)=写cos(a-B)-行求andtap的值： 1 2》若u+n9-号ou-eg=来a+月的他 2 【答案】)子 (2) 8 【分析】(1)根据余弦的和差角公式的展开式，联立可得cosa cosB= 4 ,,sina sin B三二，即可很据弦切互化求解， 6 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期末 (2)根据平方和公式，结合余弦和角公式即可求解 1 cosa+β)=cosa cosβ-sina sinβ= 【详解】（①）由cosa+-写cosa-B)=可得 cos(a-B)-cosa cosB+sina sin B= cosa cos=4,sina sin B 151 15 1 故tana tan B= sina sinB=15=1 cosa cos B 4 4 15 2》由a+p-9onp-可9a+np-ea-mj-枚 2+2(sinasinB-cosacosB)= 即2-2osa+-}、解得cosa+月)- 8 题型2：两角和与差的正弦公式的应用 【例2-1】(2425高一下江苏南通月考)已知sin(a+P)=?,sim(a-B)=名，则() 3 A.tan a -3tan B=0 B.tana+3tanβ=0 C.3tana-tan B=0 D.3tana tan B=0 【答案】B 【分折】应用和装角正弦公式将愿设公式民开s得na月=分。wasinp=名进面有细分，即可得 【详解】由sna+B)=ino+=写，Smla-B)=5 sinco-os=3 3 1 所以sina cos B=。 2 cosasinB=-1 SxC⊙s B tan o cosa sinβ tanB=-3,tna+3tanB=0. 7 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 故选：B 【例2-2】(24-25高一上全国随堂练习)求值sin245°sin125°+sinl55°sin35°= 【答案】-05 【分析】先利用诱导公式将式子中的角化为锐角，再利用两角差的正弦公式化简计算 【详解】sin245°sin125°+sin155°sin35 =sin(180°+65)sin(90°+35)+sin(90°+65)sin35° =-sin65°cos35°+c0s65°sin35° =-(sin65°cos35°-cos65°sin35) =-sin(65°-359)=-月 2 故答案为：一2 【例2-3】(2425高一下江苏准安月考)设a,B为钝角，且si血a=5 ，cosB=-310 分别求cos(a+B),sin(a-B) 10 的值. 【答案】cos(a+B)= .sin(a-B)=2 2 10 【分析】利用同角公式和正余弦的两角和差公式即可求解 【解】：受u<<B<x,且na= 5,c0sB=-3V10 10 ia--na29n=es万： 10 .cos(a+B)=cosa cos B-sina sin B 6 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期未 -X 5×10-5102 sin(a-B)=sin a cos B-cosa sin B= 5010 【变式2-1】(2425高一下江苏期中) 已知ae引，后，若如a+=mB=则m的 为() A.16 B. 33 56 D. 63 65 65 C. 65 65 【答案】D 【分析】利用同角三角函数的平方关系结合sina=sin[(a+B)-B=sin(a+B)cosB-cos(a+B)sinB求解. 【详解】因为a引B 所以a+Be）, 又ma+j-多则u+pe,osa+=sme+可- 3π） 又cosB=- 所以mB=osB=长 13 sina =sin[(a+B)-B]=sin(a+B)cos B-cos(a+B)sinB, 器 故选：D. 【变式2-2】(24-25高一下-江苏南通期中)已知角a,B满足sin(a+B)=3,ama=2,则sin(a-B)=_ 4'tanB 【答案】 /0.25 9 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期未。 【分析】根据同角三角函数的基本关系及两角和的正弦公式求出sina cosB,cosa sinB,再由两角差的正弦公式计算可 得 【详解】因 ana=2,即sin co tanB cosasinB 2, sina cosB=1 又sin(a+β)=sina cos B+cosa sinβ= 4,所以 cosa sinB=1' 所以sin(a-B)=sina cosB-cosa sin B=} 故答案为： 3 变式2-3】(24-25高一下江苏淮安月考)已知Q、B均为锐角，sima三cos(a+B)=} (I)求cosa,sin(a+B)的值； (2)求sin(2a+β)，cosB的值， 【答案】0cosa-等sin(a+B) 4 13 2)sin(2a+B)=63 ’cosB=36 5 【分析】(1)先判断角α+B的象限，再根据同角三角函数的平方关系求解即可： (2)用己知角表示所求角，再根据两角和的正弦公式，两角差的余弦公式求解即可. 【详解】(1)因为0，B均为锐角，所以0<a+B<π co) 又sina=3 所以eosa=-sim2a=号，sina+)-V-cosa+何j=各 13 10 第05讲 两角和与差的三角函数 知识清单 知识点01：两角和与差的余弦公式 知识点02：两角和与差的正弦公式 知识点03：两角和与差的正切公式 知识点04：两角和与差的三角函数应用 题型讲解 （举三反三） 题型1：两角和与差的余弦公式的应用 题型2：两角和与差的正弦公式的应用 题型3：两角和与差的正切公式的应用 题型4：和差角三角函数公式应用之给角求值问题 题型5：和差角三角函数公式应用之给值求值问题 题型6：和差角三角函数公式应用之给值求角问题 强化训练 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 知识点1 两角和与差的余弦公式 1、两角和的余弦公式：: 2、两角差的余弦公式：: 3、使用注意事项： （1）公式中，都是任意的，既可以是一个角，也可以是几个角的组合； （2）一般不成立，但在特殊情况下也可能成立。例如：当，时，； （3）要掌握公式的逆用，如 知识点2 两角和与差的正弦公式 1、两角和的正弦公式：: 2、两角差的正弦公式：: 3、使用注意事项： （1）公式中的，都是任意角； （2）一般情况下，两角和与差的正弦公式不能按分配律展开，即； （3）注意公式的逆向运用：如 知识点3 两角和与差的正切公式 1、两角和的正切公式：:. 2、两角差的正切公式：:. 3、使用注意事项： （1）公式的适用范围是使公式两边有意义的角的取值范围； （2）公式的变形：； 知识点4 两角和与差的三角函数应用 1、三角函数给角求值与给值求值问题 “给角求值”、“给值求值”问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法. （1）关键是把“所求角”用“已知角”表示． ①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式； ②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系． （2）常见的配角技巧：，， ，等． 2、三角函数给值求角问题 实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角. 遵照以下原则：（1）已知正切函数值，选正切函数； （2）已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数； 若角的范围是，选正、余弦皆可； 若角的范围是，选余弦较好； 若角的范围是，选正弦较好. 题型1：两角和与差的余弦公式的应用 【例1-1】（24-25高一下·江苏连云港·期末）（   ） A． B． C． D． 【例1-2】已知，，，则 ． 【例1-3】（24-25高一下·江苏南京·期中）已知平面向量． (1)若，求实数的值； (2)若与的夹角为，求的值. 【变式1-1】（24-25高一下·江苏盐城·期中）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高一下·江苏南京·期中）若，且 ，则 . 【变式1-3】（24-25高一下·江苏南通·月考）（1）已知，求的值； （2）若，求的值. 题型2：两角和与差的正弦公式的应用 【例2-1】（24-25高一下·江苏南通·月考）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【例2-2】（24-25高一上·全国·随堂练习）求值 . 【例2-3】（24-25高一下·江苏淮安·月考）设α，β为钝角，且，，分别求的值． 【变式2-1】（24-25高一下·江苏·期中）已知，，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高一下·江苏南通·期中）已知角满足，，则 ． 【变式2-3】（24-25高一下·江苏淮安·月考）已知、均为锐角，. (1)求，的值； (2)求的值. 题型3：两角和与差的正切公式的应用 【例3-1】（24-25高一下·江苏南京·期中）已知、是关于的方程的两根，且，则的值为（ ） A． B． C． D． 【例3-2】（24-25高一下·江苏南通·月考）在中，，，则 . 【例3-3】（24-25高一下·江苏扬州·月考）计算下列各值： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 【变式3-1】（24-25高一下·江苏镇江·期末）已知满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高一下·江苏淮安·期末）在中，若，是关于的方程的两个实根，则 . 【变式3-3】（24-25高一下·江苏·月考）（1）求值：. （2）在中，已知，求角C的大小. 题型4：和差角三角函数公式应用之给角求值问题 【例4-1】（    ） A． B． C． D． 【例4-2】（24-25高一下·江苏苏州·月考）求值： ． 【例4-3】若，则 . 【变式4-1】（24-25高一下·江苏宿迁·月考）（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】 ． 【变式4-3】求 . 题型5：和差角三角函数公式应用之给值求值问题 【例5-1】（24-25高一下·江苏苏州·期中）若，，其中，则（    ） A． B． C． D． 【例5-2】（25-26高一上·江苏无锡·月考）已知，则 ． 【例5-3】已知锐角满足，. (1)求的值； (2)求的大小. 【变式5-1】（24-25高一下·江苏盐城·期中）若，其中，则＝（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25高一下·江苏南通·期中）已知，则 . 【变式5-3】（2024高一下·江苏·专题练习）已知，且，求的值. 题型6：和差角三角函数公式应用之给值求角问题 【例6-1】已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【例6-2】（24-25高一下·江苏扬州·期中）已知，，，，则的值为 . 【例6-3】（24-25高一下·江苏南通·期中）已知 (1)求的值； (2)求的值. 【变式6-1】（24-25高一下·江苏苏州·月考）已知为三角形的两个内角，，则＝（ ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25高一下·江苏苏州·月考）记三角形的内角，已知，则 ． 【变式6-3】（24-25高一下·江苏镇江·月考）已知，为锐角，，且． (1)求的值； (2)求角的值． 一、单选题 1．（24-25高一下·江苏苏州·期末）计算（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·江苏连云港·期中）已知，是方程的两根，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．已知，，，，则（    ） A． B． C． D．或 4．（24-25高一下·江苏苏州·月考）已知，均为锐角，，，则（   ） A．或 B． C． D．或 5．（24-25高一下·江苏南通·月考）已知和均为锐角，且，则（    ） A．有最小值为 B．有最大值为 C．有最小值为 D．有最大值为 6．（2024高一下·江苏·专题练习）已知为第二象限角，，则的值为（   ） A． B． C． D． 7．已知为第二象限角，且，则（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·江苏南京·月考）若，且，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高一下·江苏南通·月考）若，则下列等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一下·江苏常州·期中）计算下列各式的值，其结果为2的有（    ）. A． B． C． D． 11．（24-25高一下·江苏·月考）已知，，分别为的内角，，所对的边，，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D．， 三、填空题 12．（24-25高一下·江苏南通·月考）写出一个使得成立的的度数为 . 13．（24-25高一下·江苏盐城·期中）已知，，且，， （1） ；（2） . 14．在中，若、是的方程的两个实根，则角 . 四、解答题 15．（25-26高一上·江苏无锡·月考）（1）求的值； （2）已知是第三象限角，求的值. 16．（24-25高一下·江苏南通·月考）（1）计算：； （2）定义运算，若，，，求的值． 17．（25-26高一上·江苏无锡·月考）已知函数． (1)若，求的值； (2)若，，求的值． 18．（24-25高一下·江苏南通·月考）用高中所学知识解决下列问题：如图正方形的边长为分别为上动点，且的周长为2. (1)求的最小值； (2)试判断是否为定值，如是，求出该定值，若不是，请说明理由； 19．（25-26高一上·江苏无锡·月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，角的始边与轴的非负半轴重合，将角的终边按逆时针方向旋转，恰好与单位圆相交于点，过作轴的垂线，垂足为. (1)求的值； (2)求的值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $