第十章二元一次方程组单元综合测试卷 2025-2026学年人教版七年级数学下册

第十章二元一次方程组单元综合测试卷 一、单选题(每题3分.共计30分) 1．下列是二元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，根据二元一次方程的定义（含有两个未知数，且未知数的次数都是1的整式方程）进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、含有两个未知数，且未知数的次数都是1的整式方程，故是二元一次方程，故该选项符合题意； B、是一元一次方程，故该选项不符合题意； C、含有两个未知数，但最高次数为2，不是二元一次方程，故该选项不符合题意； D、含有三个未知数，不是二元一次方程，故该选项不符合题意； 故选：A 2．我国明代《算法统宗》一书中有这样一题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按照5尺计算）．”大意是：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺，则绳索长几尺？设竿长x尺，绳索长y尺，根据题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程组，根据用绳索去量竿，绳索比竿长5尺，将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺，列出方程组即可． 【详解】解：设竿长x尺，绳索长y尺，根据题意可列方程组为 ； 故选A． 3．利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（　　） A．要消去，可以将 B．要消去，可以将 C．要消去，可以将 D．要消去，可以将 【答案】C 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，根据加减消元法逐一排除即可，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 【详解】解：、，系数为，不能消去，不符合题意； 、，系数为，不能消去，不符合题意； 、，系数为，能消去，符合题意； 、，系数为，不能消去，不符合题意； 故选：． 4．用代入法解方程组时，将方程①代入②中，所得的方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了代入消元法解二元一次方程组，代入法解二元一次方程组的关键一步“代入消元”，通过这一步，使二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程来解答，典型地体现了数学转化思想． 将方程①代入②，然后进行消元，即可判断． 【详解】解：， 把①代入②得：， 去括号得：． 故选：C． 5．如图，三个天平的托盘中相同的物质质量相等，图（1）、（2）所示的两个天平处于平衡状态，要使第三个天平也保持平衡，则需在它的右盘中放置（   ） A．6个球 B．7个球 C．8个球 D．9个球 【答案】B 【分析】本题考查了等式的性质，本题的难点是解关于，的方程，解题的基本思想是消元． 题目中的图形实际是说明了两个相等关系：设球的质量是，小正方形的质量是，小正三角形的质量是．根据第一个天平得到：；根据第二个天平得到：，把这两个式子组成方程组，解这个关于，的方程组即可． 【详解】解：设球的质量是，小正方形的质量是，小正三角形的质量是． 根据题意得到：， 解得：， 第三图中左边是：，因而需在它的右盘中放置7个球． 故选：B． 6．如图，周长为的长方形中刚好铺满块完全相同的小长方形木块，则每块小长方形木块的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查二元一次方程组的实际运用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出个等量关系，准确地找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键．根据题意可知，本题中的相等关系是“周长为”和“小长方形的两个长等于一个长加两个宽”，列得方程组进行求解即可． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 则， 解得， 所以每块小长方形的面积为， 故选：． 7．已知x和y的方程组的解是，则x和y的方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．仿照已知方程组的解确定出所求即可． 【详解】解：方程组的解是， 方程组， 的解为，即， 故选：C． 8．若方程组的解是，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将变形为，再设-3x+1=x’，-2y=y’，列出方程组，再得其解即可． 【详解】解：将变形为, 设-3x+1=x’，-2y=y’，则原方程变形为：， 因为方程组的解是， 所以，解得：， 所以方程组的解是， 故选：A． 【点睛】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解与二元一次方程组的关系是解题的关键． 9．三元一次方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解三元一次方程组，熟练掌握消元法是解题关键． 先将第一个方程与第二个方程相加可得，将第一个方程与第三个方程相加可得，解二元一次方程组可得的值，再代入第一个方程求出的值，由此即可得． 【详解】解：， 由①②得：④， 由①③得：⑤， 由⑤④得：， 解得， 将代入④得：， 解得， 将，代入①得：， 解得， 所以方程组的解为， 故选：A． 10．已知方程组和有相同的解．则的值是（    ） A．-1 B．1 C．5 D．13 【答案】A 【分析】联立不含a与b的方程组成方程组，求出方程组的解得到x与y的值，进而求出a与b的值，代入原式计算即可求出值． 【详解】解：根据题意，则 ， 由①+②得：6x=6， 解得：x=1， 把x=1代入①得：5+2y=3， 解得：y=-1； 把x=1，y=-1代入，则， 解得：， ∴． 故选：A． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值，根据题意能联立新的方程组求解出二元一次方程的解是解题的关键． 二、填空题(每题3分.共计18分) 11．某中学七年级4班40名同学第一次为某灾区捐款，共捐款2000元，捐款情况如下表 为灾区捐款（元） 20 40 50 100 人数 10 □ □ 8 求捐款40元的有 名同学，捐款50元的有 名同学． 【答案】 10 12 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设捐款40元的人数为x，捐款50元的人数为y，根据总人数为40和总捐款为2000元，列出方程组并求解． 【详解】解：设捐款40元的人数为x，捐款50元的人数为y， 由题意，捐款20元的有10人，捐款100元的有8人，则捐款40元和50元的人数为人，即； 总捐款方程为，化简得， 解方程组得， ∴捐款40元的有10名同学，捐款50元的有12名同学， 故答案为：10，12． 12．甲、乙两个小马虎，在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程组中的b，得到方程组的解为，则原方程组正确的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组，把甲的解代入第二个方程、乙的解代入第一个方程求出的值，确定出方程组，求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 把代入原方程得， 解得： ． 故答案为：． 13．定义运算“*”，规定，其中a，b为常数，且，则 ． 【答案】10 【分析】此题考查了解二元一次方程组，代数式求值，弄清题中的新定义是解本题的关键． 根据运算定义，利用已知条件建立方程组求解参数和，再代入求值 【详解】解：，且， ∴ 解得： ， ． 故答案为：． 14．已知方程组是关于的二元一次方程组，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二元一次方程组，绝对值的意义，理解二元一次方程组的定义，熟练掌握绝对值的意义是解决问题的关键． 根据二元一次方程组的定义得，求出后进行验证，即可得出最终的值． 【详解】解：∵方程组是关于的二元一次方程组， ∴，即， 解得：， 当时，原方程组可转化为：，不符合二元一次方程组的定义，舍去； 当时，原方程组可转化为：，符合二元一次方程组的定义； 综上所述：的值为． 故答案为：． 15．现有一条长度为359mm的铜管料，把它锯成长度分别为39mm和29mm的两种不同规格的小铜管，（要求没有余料）．每锯一次损耗1mm的铜管料．为了使铜管料损耗最少，应分别锯成39mm的小铜管 段，29mm的小铜管 段． 【答案】 6 4． 【分析】本题的等量关系是截39的铜管的钢管料+截29的铜管的钢管料+据这两种钢管时损耗的钢管料=359，列出方程，求出未知数，然后将各种方案的损耗算出来，得出损耗最少的方案． 【详解】设应分别锯成39的小铜管段、29的小铜管段， 则损耗的钢管料应是， 根据题意， 得， ， ∵、都必须是正整数， ∴， 或， ∴锯成4段39的小铜管、3段29的小铜管损耗最少， 故答案为：6；4． 【点睛】本题考查了列方程解实际问题的运用，解答时关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程，注意等量关系式是解题的关键． 16．已知关于x，y的方程组的解满足，其中m，n都是实数，且．若a，b均为正整数，则所有符合条件的整数n的个数为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了解二元一次方程组，能求出是解此题的关键． 先求出方程组的解，再结合已知条件得到，然后根据a，b均为正整数最后得出答案即可． 【详解】解方程组得： ∵方程组的解满足 ∴， ∴， ∵ ∴ 整理得， ∵a，b均为正整数 ∴当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； ∴n的值为0，，，共3个． 故答案为：3． 三、解答题(每题9分.共计72分) 17．若方程组是二元一次方程组，求a的值． 【答案】或3或2或 【分析】根据二元一次方程组的定义得到或，然后解方程与不等式即可得到满足条件的a的值． 【详解】解：∵方程组是二元一次方程组， ∴或， ∴或3或2或． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义：由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组． 18．解方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，根据方程组的系数特点灵活选用恰当的方法求解是解题的关键． （1）直接利用加减消元法进行求解即可； （2）整理后，利用代入消元法进行求解即可． 【详解】（1）解： 由得， 解得， 将代入①得，， 解得， ∴原方程组的解为； （2）解：原方程组整理得，， 由①得， 将代入②得，， 解得， 将代入得，， ∴原方程组的解为． 19．解下列方程组： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了解三元一次方程组，熟练掌握解三元一次方程组的方法，是解题的关键． （1）用加减消元法解三元一次方程组即可； （2）用加减消元法解三元一次方程组即可； （3）用加减消元法解三元一次方程组即可； （4）用加减消元法解三元一次方程组即可． 【详解】（1）解：， 得：， 把代入③得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为：； （2）解：， 得：， 即， 得：， 把④代入⑤得：， 解得：， 把代入④得：， 把，代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为：； （3）解：， 得：， 解得：， 把代入②得：， 解得：， 把，代入③得：， 解得：， ∴原方程组的解为：； （4）解：， 得：， 解得：， 得：， 把代入④得：， 解得：， 把，代入②得：， 解得：， ∴原方程组的解为：． 20．已知关于、的方程组． (1)请写出方程的所有正整数解． (2)若方程组的解满足，求的值． (3)当每取一个值时，就对应一个方程，而这些方程有一个公共解，求出这个公共解． 【答案】(1)，； (2) (3) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，同解方程，二元一次方程，解二元一次方程组，解题的关键是熟练应用加减消元法． （1）确定出方程的正整数解即可； （2）已知方程与方程组第一个方程联立求出x与y的值，进而求出m的值； （3）方程变形后，确定出公共解即可． 【详解】（1）解：方程整理得， ∴当时，；当时，； ∴方程的正整数解有：，； （2）解： 联立和得，， 得，， 将代入得，， 解得， 将和代入得，， 解得； （3）解：变形得：， 令，得， ∴无论m取何值，都是方程的解， ∴公共解为． 21．定义：在解方程组时，我们可以先①＋②，得，再②－①得，最后重新组成方程组，这种解二元一次方程组的解法我们称为二元一次方程组的轮换对称解法． (1)用轮换对称解法解方程，解得 ； (2)如图，小强和小红一起搭积木，小强所搭的“小塔”高度为，小红所搭的“小树”高度为，设每块A型积木的高为，每块B型积木的高为，求与的值（写出用轮换对称解法解方程的过程）． (3) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，理解材料提示方法是解题的关键． （1）根据材料提示方法计算即可； （2）根据题意列方程组，由材料提示方法计算即可． 【详解】（1）解：， ①②得，， ∴③， ①②得，④， ∴③④得，， 解得，， 把代入③得， 故答案为：； （2）解：根据题意，得 ①＋②，得， ． ②①，得， 解方程组得． 22．对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．已知，． (1)求a，b的值； (2)若关于，的方程组的解也满足方程，求的值； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出二元一次方程组是解题的关键． （1）根据定义新运算得出关于a、b的二元一次方程组，再解方程组即可； （2）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， 解得：； （2）解：依题意得， 解得：， ∵， ∴， 解得：． 23．某果品商店进行组合销售，甲种搭配：2千克A水果，4千克B水果；乙种搭配：3千克A水果．8千克B水果，1千克C水果；丙种搭配：2千克A水果，6千克B水果，1千克C水果．已知A水果每千克2元，B水果每千克1.2元，C水果每千克10元．某天该商店销售这三种搭配水果共441.2元．其中A水果的销售额为116元，问C水果的销售额为多少元？ 【答案】C水果的销售额为150元 【分析】此题考查了三元一次方程组的应用，能够根据等量关系正确列方程组，然后运用加减法整体求得的值即可． 设该天卖出甲种、乙种、丙种水果分别是x、y、z套，根据该商店销售这三种搭配水果共441.2元．其中A水果的销售额为116元建立方程组求解． 【详解】解：设该天卖出甲种、乙种、丙种水果分别是x、y、z套． 则由题意得， 即 由得，即， 所以，共卖出C水果15千克，C水果的销售额为（元）； 答：C水果的销售额为150元． 24．如图，A，B两地由公路和铁路相连，在这条路上有一家食品厂，它到B地的距离是到A地距离的2倍．现该食品厂从A地购买原料，全部制成食品（制作过程中有损耗）卖到B地，两次运输（第一次：A地→食品厂．第二次：食品厂→B地）共支出公路运费15600元，铁路运费20600元．已知公路运费为1.5元/（ km·t），铁路运费为1元/（ km·t）． (1)该食品厂到A地、B地的距离分别是多少千米？ (2)该食品厂买进原料及卖出食品各多少吨？ (3)若该食品厂此次买进的原料每吨花费5000元，该批食品销售完后工厂共获利863800元，求卖出的食品每吨的售价（利润＝总售价－总成本－总运费）． 【答案】(1)该食品厂到A地的距离是50 km，到B地的距离是100 km． (2)该食品厂买进原料220 t，卖出食品200 t． (3)卖出的食品每吨的售价是10000元． 【分析】（1）设该食品厂到地的距离是，到B地的距离是，根据食品厂到地的距离是到地的倍且，两地间的距离为公里，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设该食品厂买进原料，卖出食品，根据两次运输（第一次：地→食品厂，第二次：食品厂→地）共支出公路运费元、铁路运费元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （3）设卖出的食品每吨售价为元，由题意：该食品厂此次买进的原料每吨花费元，要想该批食品销售完后工厂共获利元，列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设该食品厂到地的距离是，到B地的距离是． 根据题意，得 解得 故该食品厂到地的距离是，到地的距离是． （2）解：设该食品厂买进原料，卖出食品． 由题意，得 解得 故该食品厂买进原料，卖出食品． （3）解：设卖出的食品每吨售价为元． 由题意，得， 解得． 故卖出的食品每吨的售价是元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $第十章二元一次方程组单元综合测试卷 一、单选题（每题3分.共计30分）》 1.下列是二元一次方程的是() A.x-y=0 B.2x-1=x C.x-y2=2 D.2x-3y=m 2.我国明代《算法统宗》一书中有这样一题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索 子来量竿，却比竿子短一托（一托按照5尺计算）.”大意是：现有一根竿和一条绳索，如果 用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺，则绳索长几 尺？设竿长x尺，绳索长y尺，根据题意可列方程组为() x+5=y [x+5=y x=y+5 x+5=y A. B. x-5= D. 2 2x-5=y x-5=2y 2 2x+3y=-10① 3.利用加减消元法解方程组 3x-5y=-6② ，下列做法正确的是() A.要消去y,可以将①×5+②×2 B.要消去y,可以将①×5+② C.要消去y,可以将①×5+②×3 D.要消去x,可以将①×-5+②×2 y=2x-3① 4.用代入法解方程组 x-2y=82时，将方程①代入②中，所得的方程正确的是() A.x-4x-3=8B.x-4x-6=8 C.x-4x+6=8 D.x+4x-3=8 5.如图，三个天平的托盘中相同的物质质量相等，图(1)、(2)所示的两个天平处于平衡 状态，要使第三个天平也保持平衡，则需在它的右盘中放置() 8四yOAA△y&凸/四AAy △ 图(1) 图(2) 图(3) A.6个球 B.7个球 C.8个球 D.9个球 6.如图，周长为4.2m的长方形ABCD中刚好铺满6块完全相同的小长方形木块，则每块小 长方形木块的面积为() 试卷第1页，共3页 D A.0.7m2 B.0.35m2 C.0.18m D.0.09m2 7.己知x和y的方程组 (a,x+by=G的解是 x=-3 a,x+b3y=cz y=-4' 则x和y的方程组 3a,x+4b,y=G的 3ax+4b2y=c2 解是() x=-3 [x=-4 x=-1 x=-5 A. B. y=-4 y=-3 C. y=-1 D. y=-5 ax+by=G的解是 x=4 8.若方程组 ax+bay=c2 y=-2'则方程组 3a,x+2by=a-G的解是(） 3a2x+2b2y=a2-C2 5 x=-1 X= A. y=1 B.f- C 3 D y=-1 x-3 y=1 y=-1 [x+2y+z=0 9.三元一次方程组2x-y-z=1的解是（) 3x-y-z=2 x=1 x=1 x=0 [x=0 A. 1y=-2 B y=0 C.y=-1 D. 了y=1 z=3 z=1 z=0 z=-2 5x+2y=3x-2y=3 10.已知方程组 和 ax+5y=45x+by=1 有相同的解.则√ā-b的值是() A.-1 B.1 C.5 D.13 二、填空题（每题3分.共计18分） 11.某中学七年级4班40名同学第一次为某灾区捐款，共捐款2000元，捐款情况如下表 为灾区捐款（元） 20 40 50 100 人数 10 8 求捐款40元的有 名同学，捐款50元的有名同学。 12.甲、乙两个小马虎，在解方程组 ax+y=10 x+by=7 时，由于粗心，甲看错了方程组中的α，得 试卷第1页，共3页 到方程组的解为 =6'乙看错了方程组中的，得到方程组的解为 x=1 x=-1 =12' 则原方程组正 确的解是」 13.定义运算“*”，规定x*y=ax2+by,其中a,b为常数，且1*2=5,2*1=6，则 2*3= 14.已知方程组 3x-(m-3到)y=山是关于，y的二元一次方程组，则m的值为 （m+1x=-2 15.现有一条长度为359mm的铜管料，把它锯成长度分别为39mm和29mm的两种不同规 格的小铜管，（要求没有余料）.每锯一次损耗1mm的铜管料.为了使铜管料损耗最少，应 分别锯成39mm的小铜管 段，29mm的小铜管段 x-y=a x=m-1 16.已知关于x,y的方程组 的解满足 3x+y=2b y=3n+2'其中m,n都是实数，且 m-n=5.若a,b均为正整数，则所有符合条件的整数n的个数为 三、解答题（每题9分.共计72分） x+y4-2=0 17.若方程组 是二元一次方程组，求a的值. （a-3x+9y=0 18.解方程组 [2x+3y=-4 (013x-2y=7 x+1=2y (2) 2(x+1)-y=11 19.解下列方程组： [x-z=-4 (1)x+y-z=-1: z-2y=-1 [x-y-z=0 (2)x+y-3z=4 2x-5y+7z=21 3x-y=1 (3)x+y=7 2x-5y+3z=-6 试卷第1页，共3页 x-y+z=6 (4)x+y-z=0 2x-3y+8z=33 x+2y=6 20.己知关于x、y的方程组 2x-2y+mx=81 (1)请写出方程x+2y=6的所有正整数解 (2)若方程组的解满足x+y=0,求m的值。 (3)当m每取一个值时，2x-2y+x=8就对应一个方程，而这些方程有一个公共解，求出 这个公共解. 5.x+6y=1① 21.定义：在解方程组 6x+5y=10②时，我们可以先①+②，得x+y=1,再②-①得 x+y=1 x-y=9,最后重新组成方程组 x-y=9’ 这种解二元一次方程组的解法我们称为二元一次 方程组的轮换对称解法. 7x+8y=14 (1)用轮换对称解法解方程 8x+7y=1，解得： (2)如图，小强和小红一起搭积木，小强所搭的“小塔”高度为32cm,小红所搭的“小树”高度 为3lcm,设每块A型积木的高为xcm,每块B型积木的高为yCm,求x与y的值（写出用 轮换对称解法解方程的过程)。 A B B B B B A B A A 小强 小红 22.对于有理数x,y,定义新运算：x#y=ax+by,x⊕y=ax-by,其中a,b是常数.己 知1#1=1,3⊕2=8. (I)求a,b的值： xHy =4-m (2)若关于x,y的方程组 的解也满足方程x+y=3,求m的值 x⊕y=5m 23.某果品商店进行组合销售，甲种搭配：2千克A水果，4千克B水果；乙种搭配：3千 试卷第1页，共3页 克A水果.8千克B水果，1千克C水果；丙种搭配：2千克A水果，6千克B水果，1千 克C水果.已知A水果每千克2元，B水果每千克1.2元，C水果每千克10元.某天该商 店销售这三种搭配水果共441.2元.其中A水果的销售额为116元，问C水果的销售额为多 少元？ 24.如图，A,B两地由公路和铁路相连，在这条路上有一家食品厂，它到B地的距离是到 A地距离的2倍.现该食品厂从A地购买原料，全部制成食品（制作过程中有损耗）卖到B 地，两次运输（第一次：A地→食品厂.第二次：食品厂→B地)共支出公路运费15600元， 铁路运费20600元.己知公路运费为1.5元/(kmt),铁路运费为1元/(kmt). A 食品厂 B 公路20km 铁路100km 公路30km ()该食品厂到A地、B地的距离分别是多少千米？ (②)该食品厂买进原料及卖出食品各多少吨？ (3)若该食品厂此次买进的原料每吨花费5000元，该批食品销售完后工厂共获利863800元， 求卖出的食品每吨的售价（利润=总售价一总成本一总运费）. 试卷第1页，共3页