专题一 第2讲 基本初等函数、函数与方程【题型突破】讲义-2026届高三数学二轮复习（新高考通用）

专题一　函数与导数 第2讲　基本初等函数、函数与方程 【真题再现●明考向】 1．在选择、填空题中基本初等函数的图象、性质是高考考查的重点，利用函数性质比较大小是常见题型． 2．函数的零点有关的题目，常结合函数的性质综合考查，注意该知识点易命制成多选题，也可以函数实际应用呈现． 【考情分析●明方向】 1．(2025·新课标全国Ⅰ卷)若实数x，y，z满足2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z，则x，y，z的大小关系不可能是(　　) A．x>y>z B．x>z>y C．y>x>z D．y>z>x 2．(2025·天津高考)函数f(x)＝0.3x－的零点所在区间是(　　) A．(0，0.3) B．(0.3，0.5) C．(0.5，1) D．(1，2) 3．(2021·新高考全国Ⅱ卷)已知a＝log52，b＝log83，c＝，则下列判断正确的是(　　) A．c<b<a B．b<a<c C．a<c<b D．a<b<c 4．(2021·天津高考)设a＝log20.3，b＝log0.4，c＝0.40.3，则a、b、c的大小关系为(　　) A．a<b<c B．c<a<b C．b<c<a D．a<c<b 5．(2022·浙江卷)已知2a＝5，log83＝b，则4a－3b＝(　　) A．25 B．5 C． D． 6．(2021·全国甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lg V．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(≈1.259)(　　) A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6 7．(2022·全国甲卷)已知9m＝10，a＝10m－11，b＝8m－9，则(　　) A．a>0>b B． a>b>0 C． b>a>0 D． b>0>a 8．(多选)(2023·新课标全国Ⅰ卷)噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lg，其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 10 60～90 混合动力汽车 10 50～60 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则(　　) A．p1≥p2 B． p2>10p3 C．p3＝100p0 D． p1≤100p2 【考点突破●提能力】 考点一　基本初等函数的图象与性质 【核心知识】 1．一般幂函数的图象特征 (1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1，1)． (2)当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸． (3)当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数． (4)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称． (5)在第一象限作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列． 2．指数函数y＝ax(a>0，a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，a≠1)互为反函数，其图象关于y＝x对称，它们的图象和性质分0<a<1，a>1两种情况，着重关注两函数图象的异同． 3．常见的几个结论 (1)已知a>0且a≠1，则ab>1⇔(a－1)b>0，0<ab<1⇔(a－1)b<0， (2)已知a>0且a≠1，b>0， 则logab>0⇔(a－1)(b－1)>0，logab<0⇔(a－1)(b－1)<0， (3)指数型函数y＝k·amx＋n＋p(a>0且a≠1)的图象经过定点. (4)对数型函数y＝k·loga(mx＋n)＋p(a>0且a≠1)的图象经过定点. 【方法技巧】 (1)对数函数与指数函数的单调性都取决于其底数的取值，当底数a的值不确定时，要注意分a>1和0<a<1两种情况讨论：当a>1时，两函数在定义域内都为增函数；当0<a<1时，两函数在定义域内都为减函数． (2)基本初等函数的图象和性质是统一的，在解题中可相互转化． 【典例研析】 幂函数、指数函数、对数函数的图象 1．(1)(2025·南充模拟)函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能为(　　) A．f(x)＝ B．f(x)＝ C．f(x)＝ D．f(x)＝ (2)(2025·福州模拟)若函数f(x)＝xa，x∈(0，＋∞)的图象如图所示，则函数g(x)＝loga x＋loga(2－x)的图象大致为(　　) 　　　 A　　　　　　B　　　　　　C　　　　　　D (3)(2025·长沙校级模拟)函数y＝(2x＋2－x)·ln|x|的图象大致为(　　) 　　　 A　　　　　　　B　　　　　　C　　　　　　　D 幂函数、指数函数、对数函数的性质 2．(1)(2025·青海西宁二模)已知函数f(x)＝ex2－ax在区间(－2，－1)上单调递减，则实数a的取值范围是(　　) A．[0，＋∞) B．[－2，＋∞) C．(－∞，0] D．(－∞，－2] (2)(2025·辽宁模拟预测)已知函数f(x)＝则不等式f(x)≤1的解集为(　　) A．[0，2] B．[0，1] C．(－∞，2] D．(－∞，1] (3)(2025·武功县校级二模)下列不等式成立的是(　　) A．0.40.3＜0.40.9 B．log2.33＜log2.32 C．log0.50.2＞0.50.2 D．log52＞0.50.2 【跟踪训练】 1．(1)(2025·天河区模拟)函数f(x)＝的图象大致为(　　) 　　　 A　　　　　B　　　　　　C　　　　　D (2)(2025·河南模拟预测)已知a＝log0.30.07，b＝20.7，c＝60.2，则(　　) A．a>b>c B．b>c>a C．c>b>a D．a>c>b (3)(2025·山东济南一模)已知函数f(x)＝则f(2x)＋f(x－3)>0的解集是(　　) A．(－∞，1) B．(1，＋∞) C．(－∞，－3) D．(－3，＋∞) 考点二　函数的零点和方程 【核心知识】 函数的零点与方程的解 (1)函数零点的概念 对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． (2)函数零点与方程实数解的关系 方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点． (3)函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解． (4)函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象的交点的横坐标． 【方法技巧】 1．判断函数零点个数的方法 (1)利用零点存在性定理判断法． (2)代数法：求方程f(x)＝0的实数根． (3)几何法：对于不易求根的方程，将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，利用函数的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解．在利用函数性质时，可用求导的方法判断函数的单调性． 2．利用函数零点的情况求参数值(或取值范围)的三种方法 【典例研析】 3．(1)(2025·滁州模拟)函数f(x)＝所有零点之和为(　　) A．－4 B．－3 C．0 D．1 (2)(2025·房县校级模拟)已知函数f(x)＝若关于x的方程m－f(x)＝0有两个不同的实数根，则实数m的取值范围为(　　) A． B．∪ C． D． (3)(多选)(2025·新疆校级一模)已知函数f(x)＝g(x)＝[f(x)]2＋af(x)－1，则(　　) A．f(x)的零点个数为2 B．当a＝0时，g(x)有2个不同的零点 C．当a＜0时，g(x)有4个不同的零点 D．a＞0是g(x)有1个零点的充要条件 【跟踪训练】 2．(多选)(2025·山海关区模拟)已知函数f(x)＝ln x－＋4，函数g(x)＝|f(x)|－m(0＜m＜3)有两个零点x1，x2(x1＜x2)，则(　　) A．f(x)有1个零点 B．x1x2＞1 C．＞e2m D．x2＜ 考点三　函数的实际应用 【方法技巧】 求解函数应用问题的一般程序及关键 (1)一般程序： ⇒⇒⇒ (2)解题关键：解答这类题的关键是准确地建立相关函数关系，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答． 【典例研析】 4．(1)(2025·昆明模拟)已知某种水果的保鲜时间y(单位：小时)与温度x(单位：℃)近似满足函数关系y＝eax＋b(a，b为常数，e为自然对数底数)，若该品种水果在4 ℃时的保鲜时间为192小时，在17 ℃时的保鲜时间为96小时，则在30 ℃时，该种水果的保鲜时间约为(　　) A．12小时 B．24小时 C．36小时 D．48小时 (2)(2025·凉州区校级模拟)某班研究性小组的同学为了研究活性炭对污水中某种污染物的吸附能力，设计了一种活性炭污水净化装置．现污水中该种污染物含量为W0(单位：mg/L)，测得污水通过长度为l(单位：m)的净化装置后污染物的含量W如表： l 0 1 2 3 W W0 0.5W0 0.25W0 0.125W0 研究小组的同学根据表格数据建立了W关于l的函数模型．则与表格中数据吻合的函数模型是(　　) A．W＝W0＋0.5l B．W＝W0·log0.5(l＋1) C．W＝0.5W0l D．W＝W0·(0.5)l (3)(2025·无锡模拟)某小区准备在小区内建造一个收发室，利用其一侧已有的墙体，建造一间高3米，底面积为20平方米，且背面靠墙的长方体形状的收发室．由于收发室的背面靠墙体，无需建造费用．针对这个情况，甲公司给出了如下建造报价：屋子前面新建墙体的报价为500元每平方米，屋子左右侧面新建墙体的报价为200元每平方米，屋顶和地面以及其他共报价7 500元，设屋子的左右侧面长均为x(1≤x≤10)米． ①当屋子的左右侧面长x为多少时，屋子的建造总价最小，最小为多少？ ②现有乙公司参与竞标，其给出的建造总报价为300元，若无论左右侧面的长为多少，乙公司的报价都不超过甲公司，试求a的最大整数． 【跟踪训练】 3．(2025·南阳模拟)假设甲和乙刚开始的“日能力值”相同，之后甲通过学习，“日能力值”都在前一天的基础上进步2%，而乙疏于学习，“日能力值”都在前一天的基础上退步1%.那么，大约需要经过(　　)天，甲的“日能力值”是乙的20倍．(参考数据：lg 102≈2.008 6，lg 99≈1.995 6，lg 2≈0.301 0)(　　) A．23　　　　　　　　　 B．100　　　　　　　　　 C．150　　　　　　　　　 D．232 4．(2025·广东校级模拟)教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气．按照国家标准，教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度应不超过0.1%.经测定，刚下课时，空气中含有0.2%的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为y%，且y随时间t(单位：分钟)的变化规律可以用函数y＝0.05＋λe描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为(参考数据：ln 3≈1.1)(　　) A．11分钟 B．13分钟 C．15分钟 D．17分钟 【限时训练】（限时：120分钟） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2025·新乡二模) ＝(　　) A．16 B．8 C．32 D．16 2．(2025·海淀区一模)已知四个数a＝，b＝，c＝lg 2，d＝lg 5，其中最小的是(　　) A．a B．b C．c D．d 3．(2025·宝鸡模拟)若2a＝3＝logb3，c＝e，则实数a，b，c的大小顺序为(　　) A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．b＞a＞c 4．(2025·安化县校级三模)二手汽车价位受多方因素影响，交易市场常用年限折旧法计算车价位，即按照同款新车裸车价格，第一年汽车贬值30%，从第二年开始每年贬值10%，刚参加工作的小明打算用7万元入手一辆3～5年的二手车，根据年限折旧法，设小明可以考虑的同款新车裸车最高价位是m(m∈N)万，则m＝(　　) A．14 B．15 C．16 D．17 5．(2025·泰安模拟)已知f(x)是定义域为R的单调递增函数，且存在函数g(x)，使f(g(x))＝2x－1，若x1，x2分别为方程f(x)＋2x＝7和g(x)＋x＝4的根，则x1＋x2＝(　　) A．8 B．4 C．－4 D．－8 6．(2025·鹰潭二模)在2019年中共中央政治局第十八次集体学习中，习近平总书记提出：“把区块链作为核心技术自主创新的重要突破口”，“区块链技术”作为一种新型的信息技术，已经广泛的应用于人们的生活中．在区块链技术中，若密码的长度为128比特，则密码一共有2128种可能性，因此为了破译此密码，最多需要进行2128次运算．现在有一台机器，每秒能进行×1010次运算，假设这台机器一直正常运转，则这台机器破译长度为128比特的密码所需要的最长时间约为(参考数据：lg 2≈0.301，100.13≈1.349)(　　) A．1027×1.349秒 B．1028×1.349秒 C．1029×1.349秒 D．1030×1.349秒 7．在某次数学课上，甲、乙、丙、丁四位同学分别写下了一个命题： 甲：ln 3<ln 2； 乙：ln π<； 丙：2<12； 丁：3eln 2>4. 所写为真命题的是(　　) A．甲和乙 B．甲和丙 C．丙和丁 D．甲和丁 8．(2025·陕西模拟)已知函数f(x)定义为：f(x)＝若函数f(x)恰好有3个零点，则实数a的取值范围是(　　) A． B．(－1，2] C．(－3，－2) D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．(2025·廊坊校级模拟)下列不等式成立的有(　　) A．log0.30.2＞log0.20.3 B．0.30.2＞0.20.3 C．log30.2＜log20.2 D．30.2＜20.3 10．(2025·景德镇模拟)若实数log2a，log3b都是一次函数f(x)＝cx－1的零点，则下列不等关系中可能成立的是(　　) A．c＜a＜b B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．a＜b＜c 11．(2025·内乡县校级二模)Cobb－Douglas生产函数是宏观经济学和微观经济学中最常用的生产函数之一，函数的数学形式为Y＝AKαLβ(A＞0，K＞0，L＞0，0＜α＜1，0＜β＜1)．其中Y是总产出，K是资本存量，L是劳动力，A是技术参数，α，β是资本和劳动的产出弹性．当A不变时，下列说法正确的是(　　) A．若K与L均变为原来的m(m＞0)倍，且α＋β＝1，则Y变为原来的m倍 B．若K与L均变为原来的m(m＞0)倍，且αβ＝，则Y最少可变为原来的m倍 C．若K与L均变为原来的m(m＞0)倍，且α2＋β2＝，则Y最少可变为原来的m倍 D．若α，β，L均不变，则函数Y＝AKαLβ的增长速度越来越慢 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．(2025·宝山区二模)已知函数y＝ax＋1－loga(x＋2)＋1(a＞0且a≠1)的图象经过定点A，则点A的坐标为________. 13．(2025·四川校级三模)设f(x)是定义在R上的偶函数，对任意的x∈R，都有f(2－x)＝f(x＋2)，且当x∈[－2，0]时，f(x)＝x－1，若关于x的方程f(x)－loga(x＋2)＝0(a＞1)在区间(－2，6)内恰有三个不同实根，则实数a的取值范围是_______________________． 14．(2025·武汉模拟)为了响应节能减排号召，某地政府决定大规模铺设光伏太阳能板，该地区未来第x年底光伏太阳能板的保有量y(单位：万块)满足模型y＝，其中N为饱和度，y0为初始值，p为年增长率．若该地区2024年底的光伏太阳能板保有量约为20万块，以此为初始值，以后每年的增长率均为10%，饱和度为1 020万块，那么2030年底该地区光伏太阳能板的保有量约________万块． (结果四舍五入保留到整数，参考数据：e－0.5≈0.61，e－0.6≈0.55，e－0.7≈0.49) 四、解答题：每小题15分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(2025·湖北一模)小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流动成本为W(x)万元，在年产量不足8万件时，W(x)＝x2＋x(万元)．在年产量不小于8万件时，W(x)＝6x＋－38(万元)．每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完． (1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本) (2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 16．(2025·慈溪市校级模拟)已知函数f(x)＝ (1)当a＝2时，求f(x)的单调递减区间； (2)当a＝0时，函数g(x)＝f(x)－k|x2－2x|(k∈R)恰有3个不同的零点，求实数k的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题一　函数与导数 第2讲　基本初等函数、函数与方程 【真题再现●明考向】 1．在选择、填空题中基本初等函数的图象、性质是高考考查的重点，利用函数性质比较大小是常见题型． 2．函数的零点有关的题目，常结合函数的性质综合考查，注意该知识点易命制成多选题，也可以函数实际应用呈现． 【考情分析●明方向】 1．(2025·新课标全国Ⅰ卷)若实数x，y，z满足2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z，则x，y，z的大小关系不可能是(　　) A．x>y>z B．x>z>y C．y>x>z D．y>z>x 【答案】　B 【解析】　方法一：设2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝m，所以令m＝2，则x＝1，y＝3－1＝，z＝5－3＝，此时x>y>z，A有可能；令m＝5，则x＝8，y＝9，z＝1，此时y>x>z，C有可能；令m＝8，则x＝26＝64，y＝35＝243，z＝53＝125，此时y>z>x，D有可能．故选B. 方法二：设2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝m，所以x＝2m－2，y＝3m－3，z＝5m－5，根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根，作出函数y＝2x－2，y＝3x－3，y＝5x－5的图象，以上方程的根分别是函数y＝2x－2，y＝3x－3，y＝5x－5的图象与直线x＝m的交点纵坐标，如图所示．易知，随着m的变化可能出现：x>y>z，y>x>z，y>z>x，z>y>x，故选B. 2．(2025·天津高考)函数f(x)＝0.3x－的零点所在区间是(　　) A．(0，0.3) B．(0.3，0.5) C．(0.5，1) D．(1，2) 【答案】　B 【解析】　由指数函数、幂函数的单调性可知：y＝0.3x在R上单调递减，y＝在[0，＋∞)上单调递增，所以f(x)＝0.3x－在定义域上单调递减，显然f(0)＝1>0，f(0.3)＝0.30.3－0.30.5>0，f(0.5)＝0.30.5－0.50.5<0，所以根据零点存在性定理可知f(x)的零点位于(0.3，0.5)．故选B. 3．(2021·新高考全国Ⅱ卷)已知a＝log52，b＝log83，c＝，则下列判断正确的是(　　) A．c<b<a B．b<a<c C．a<c<b D．a<b<c 【答案】　C 【解析】　a＝log52<log5＝＝log82<log83＝b，即a<c<b.故选C． 4．(2021·天津高考)设a＝log20.3，b＝log0.4，c＝0.40.3，则a、b、c的大小关系为(　　) A．a<b<c B．c<a<b C．b<c<a D．a<c<b 【答案】　D 【解析】　∵a＝log20.3<log21＝0，b＝log0.4＝－log20.4>－log20.5＝1，0<c＝0.40.3<0.40＝1，∴a<c<b，故选D． 5．(2022·浙江卷)已知2a＝5，log83＝b，则4a－3b＝(　　) A．25 B．5 C． D． 【答案】　C 【解析】　因为2a＝5，b＝log83＝log23，即23b＝3，所以4a－3b＝＝＝＝.故选C． 6．(2021·全国甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lg V．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(≈1.259)(　　) A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6 【答案】　C 【解析】　在L＝5＋lg V中，L＝4.9，所以4.9＝5＋lg V，即lg V＝－0.1，解得V＝10－0.1＝＝＝≈0.8，所以其视力的小数记录法的数据约为0.8.故选C． 7．(2022·全国甲卷)已知9m＝10，a＝10m－11，b＝8m－9，则(　　) A．a>0>b B． a>b>0 C． b>a>0 D． b>0>a 【答案】　A 【解析】　由9m＝10可得m＝log9 10＝>1，而lg 9lg 11<2＝2<1＝(lg 10)2，所以>，即m>lg 11，所以a＝10m－11>10lg 11－11＝0.又lg 8lg 10<2＝2<(lg 9)2，所以>，即log89>m，所以b＝8m－9<8log89－9＝0.综上，a>0>b.故选A． 8．(多选)(2023·新课标全国Ⅰ卷)噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lg，其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 10 60～90 混合动力汽车 10 50～60 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则(　　) A．p1≥p2 B． p2>10p3 C．p3＝100p0 D． p1≤100p2 【答案】　ACD 【解析】　由题意可知：Lp1∈[60，90]，Lp2∈[50，60]，Lp3＝40，可得Lp1－Lp2＝20×lg－20×lg＝20×lg，因为Lp1≥Lp2，则Lp1－Lp2＝20×lg≥0，即lg≥0，所以≥1且p1，p2>0，可得p1≥p2，故A正确；可得Lp2－Lp3＝20×lg－20×lg＝20×lg，因为Lp2－Lp3＝Lp2－40≥10，则20×lg≥10，即lg≥，所以≥且p2，p3>0，可得p2≥p3，当且仅当Lp2＝50时，等号成立，故B错误；因为Lp3＝20×lg＝40，即lg＝2，可得＝100，即p3＝100p0，故C正确；由选项A可知：Lp1－Lp2＝20×lg，且Lp1－Lp2≤90－50＝40，则20×lg≤40，即lg≤2，可得≤100，且p1，p2>0，所以p1≤100p2，故D正确．故选ACD． 【考点突破●提能力】 考点一　基本初等函数的图象与性质 【核心知识】 1．一般幂函数的图象特征 (1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1，1)． (2)当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸． (3)当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数． (4)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称． (5)在第一象限作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列． 2．指数函数y＝ax(a>0，a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，a≠1)互为反函数，其图象关于y＝x对称，它们的图象和性质分0<a<1，a>1两种情况，着重关注两函数图象的异同． 3．常见的几个结论 (1)已知a>0且a≠1，则ab>1⇔(a－1)b>0，0<ab<1⇔(a－1)b<0， (2)已知a>0且a≠1，b>0， 则logab>0⇔(a－1)(b－1)>0，logab<0⇔(a－1)(b－1)<0， (3)指数型函数y＝k·amx＋n＋p(a>0且a≠1)的图象经过定点. (4)对数型函数y＝k·loga(mx＋n)＋p(a>0且a≠1)的图象经过定点. 【方法技巧】 (1)对数函数与指数函数的单调性都取决于其底数的取值，当底数a的值不确定时，要注意分a>1和0<a<1两种情况讨论：当a>1时，两函数在定义域内都为增函数；当0<a<1时，两函数在定义域内都为减函数． (2)基本初等函数的图象和性质是统一的，在解题中可相互转化． 【典例研析】 幂函数、指数函数、对数函数的图象 1．(1)(2025·南充模拟)函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能为(　　) A．f(x)＝ B．f(x)＝ C．f(x)＝ D．f(x)＝ (2)(2025·福州模拟)若函数f(x)＝xa，x∈(0，＋∞)的图象如图所示，则函数g(x)＝loga x＋loga(2－x)的图象大致为(　　) 　　　 A　　　　　　B　　　　　　C　　　　　　D (3)(2025·长沙校级模拟)函数y＝(2x＋2－x)·ln|x|的图象大致为(　　) 　　　 A　　　　　　　B　　　　　　C　　　　　　　D 【答案】　(1)B　(2)A　(3)B 【解析】　(1)因为函数图象关于原点对称，所以f(x)为奇函数，需满足f(－x)＝－f(x)，A选项，f(－x)＝＝＝f(x)，C选项，f(－x)＝＝＝f(x)，D选项，f(－x)＝＝＝－f(x)，故排除A、C；又对于D选项，当x＞0时，ex－e－x＞0恒成立，x2＋2＞0恒成立，所以当x＞0时，f(x)＞0恒成立，不符合图象，B选项，f(－x)＝＝＝－f(x)，x∈(0，π)时，f(x)＞0，x∈(π，2π)时，f(x)＜0，x∈(2π，3π)时，f(x)＞0，故B选项函数符合图象．故选B. (2)函数g(x)＝logax＋loga(2－x)＝loga(2x－x2)＝loga[－(x－1)2＋1]，由2x－x2＞0得，0＜x＜2，所以函数g(x)的定义域为(0，2)，由幂函数f(x)＝xa，x∈(0，＋∞)的图象可得0＜a＜1，而0＜－(x－1)2＋1≤1，则g(x)≥0恒成立，所以B、C、D错误，A正确．故选A． (3)记f(x)＝(2x＋2－x)·ln|x|，函数的定义域是{x|x≠0}，当－1＜x＜1且x≠0时，2x＋2－x＞0，ln|x|＜0，即f(x)＜0，图象在x轴下方，故A、C错误；又f(－x)＝(2－x＋2x)ln|x|＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，故D错误．故选B. 幂函数、指数函数、对数函数的性质 2．(1)(2025·青海西宁二模)已知函数f(x)＝ex2－ax在区间(－2，－1)上单调递减，则实数a的取值范围是(　　) A．[0，＋∞) B．[－2，＋∞) C．(－∞，0] D．(－∞，－2] (2)(2025·辽宁模拟预测)已知函数f(x)＝则不等式f(x)≤1的解集为(　　) A．[0，2] B．[0，1] C．(－∞，2] D．(－∞，1] (3)(2025·武功县校级二模)下列不等式成立的是(　　) A．0.40.3＜0.40.9 B．log2.33＜log2.32 C．log0.50.2＞0.50.2 D．log52＞0.50.2 【答案】　(1)B　(2)C　(3)C 【解析】　(1)因为y＝ex为R上的单调增函数，根据复合函数单调性可知，y＝x2－ax在区间(－2，－1)上单调递减，故≥－1，解得a≥－2.故选B. (2)由题意可知当x≤0时，0<2x≤1，故f(x)＝1－2x<1，满足题意；当x>0时，令log3(x＋1)≤1，即0<x＋1≤3，解得－1<x≤2，所以0<x≤2.综上，x≤2.故选C． (3)由函数f(x)＝0.4x在R上单调递减，可得0.40.3＞0.40.9，所以A错误；由函数f(x)＝log2.3x在(0，＋∞)上单调递增，可得log2.33＞log2.32，所以B错误；由log0.50.2＞log0.50.5＝1，且0.50.2＜0.50＝1，所以log0.50.2＞0.50.2，所以C正确；由log52＜log5＝，0.50.2＝＞，所以log52＜0.50.2，D错误．故选C． 【跟踪训练】 1．(1)(2025·天河区模拟)函数f(x)＝的图象大致为(　　) 　　　 A　　　　　B　　　　　　C　　　　　D (2)(2025·河南模拟预测)已知a＝log0.30.07，b＝20.7，c＝60.2，则(　　) A．a>b>c B．b>c>a C．c>b>a D．a>c>b (3)(2025·山东济南一模)已知函数f(x)＝则f(2x)＋f(x－3)>0的解集是(　　) A．(－∞，1) B．(1，＋∞) C．(－∞，－3) D．(－3，＋∞) 【答案】　(1)A　(2)A　(3)A 【解析】　(1)f(0)＝＝0，排除C、D；f(1)＝＜0，排除B.故选A． (2)由题可知b10＝(20.7)10＝27＝128，c10＝(60.2)10＝62＝36，所以b10>c10，因为b>0，c>0，所以b>c，因为y＝log0.3x在(0，＋∞)上单调递减，且0.07<0.09，所以log0.30.07>log0.30.09＝2，即a>2，因为y＝2x在R上单调递增，且0.7<1，所以20.7<21＝2，即b<2，故a>b>c.故选A． (3)当x>0时，f(x)＝1－ex，－x<0，f(－x)＝e－(－x)－1＝ex－1＝－f(x)；当x<0时，f(x)＝e－x－1，－x>0，f(－x)＝1－e－x＝－f(x)；且当x＝0时，f(x)＝0，所以f(x)为奇函数，易知f(x)为R上的递减函数，则f(2x)＋f(x－3)>0⇔f(2x)>－f(x－3)＝f(3－x)⇒2x<3－x⇒x<1，所以原不等式的解集为(－∞，1)．故选A． 考点二　函数的零点和方程 【核心知识】 函数的零点与方程的解 (1)函数零点的概念 对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． (2)函数零点与方程实数解的关系 方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点． (3)函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解． (4)函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象的交点的横坐标． 【方法技巧】 1．判断函数零点个数的方法 (1)利用零点存在性定理判断法． (2)代数法：求方程f(x)＝0的实数根． (3)几何法：对于不易求根的方程，将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，利用函数的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解．在利用函数性质时，可用求导的方法判断函数的单调性． 2．利用函数零点的情况求参数值(或取值范围)的三种方法 【典例研析】 3．(1)(2025·滁州模拟)函数f(x)＝所有零点之和为(　　) A．－4 B．－3 C．0 D．1 (2)(2025·房县校级模拟)已知函数f(x)＝若关于x的方程m－f(x)＝0有两个不同的实数根，则实数m的取值范围为(　　) A． B．∪ C． D． (3)(多选)(2025·新疆校级一模)已知函数f(x)＝g(x)＝[f(x)]2＋af(x)－1，则(　　) A．f(x)的零点个数为2 B．当a＝0时，g(x)有2个不同的零点 C．当a＜0时，g(x)有4个不同的零点 D．a＞0是g(x)有1个零点的充要条件 【答案】　(1)C　(2)C　(3)BC 【解析】　(1)f(x)＝当x≤0时，由x2＋4x＋3＝0，解得x＝－3或x＝－1；当0＜x＜4时，由cos ＝0，解得x＝1或x＝3.∴函数f(x)＝的所有零点之和为0.故选C． (2)关于x的方程m－f(x)＝0有两个不同的实数根，即y＝m与y＝f(x)有两个不同的交点，作函数y＝m与函数y＝f(x)的图象如图，结合图象知，当y＝m与y＝f(x)有两个不同的交点时，＜m≤.故选C． (3)当x＞0时，f(x)＝x＋－1≥2－1＝1，当且仅当x＝，即x＝1时取等号，当x≤0时，令f(x)＝|2x＋1－1|－1＝0，则|2x＋1－1|＝1，解得x＝0，因此f(x)的零点个数为1，故A错误；当a＝0时，由g(x)＝0，得[f(x)]2－1＝0，所以f(x)＝1或f(x)＝－1，当x≤0时，y＝2x＋1－1在(－∞，0]上单调递增，所以0＜2x＋1≤2，－1＜2x＋1－1≤1，0≤|2x＋1－1|≤1，－1≤|2x＋1－1|－1≤0，则由f(x)＝1，得x＝1；由f(x)＝－1，得x＝－1，所以g(x)有2个不同的零点，故B正确；令f(x)＝t，由g(x)＝0，得t2＋at－1＝0，Δ＝a2＋4＞0，所以方程t2＋at－1＝0有两个不等实根t1，t2(t1＜t2)，当a＜0时，由韦达定理可得t1＋t2＝－a＞0，t1t2＝－1，t2＞－t1＞0，t＞－t1t2＝1，因此t2＞1，－1＜t1＜0，函数y＝f(x)的图象，如图，直线y＝t1与y＝f(x)的图象有两个交点，则方程f(x)＝t1有两个不等的负根，直线y＝t2与y＝f(x)的图象有两个交点，则方程f(x)＝t2有两个不等的正根，因此g(x)有4个不同的零点，故C正确；当a＞0时，由选项C知，方程t2＋at－1＝0有两个不等实根t1，t2(t1＜t2)，则t1＋t2＝－a＜0，t1t2＝－1，t1＜－t2＜0，t＞－t1t2＝1，因此t1＜－1，0＜t2＜1，观察图象知，直线y＝t1、y＝t2与y＝f(x)的图象没有交点，即g(x)无零点，故D错误．故选BC． 【跟踪训练】 2．(多选)(2025·山海关区模拟)已知函数f(x)＝ln x－＋4，函数g(x)＝|f(x)|－m(0＜m＜3)有两个零点x1，x2(x1＜x2)，则(　　) A．f(x)有1个零点 B．x1x2＞1 C．＞e2m D．x2＜ 【答案】　ABD 【解析】　由题意可得函数的定义域为(0，＋∞)，又因为y＝ln x与y＝－＋4在(0，＋∞)上均为单调递增函数，所以f(x)＝ln x－＋4在(0，＋∞)上为单调递增函数，又因为f(1)＝0，所以函数f(1)只有一个零点，故A正确；令g(x)＝|f(x)|－m，则有|f(x)|＝m，即m＝，0＜m＜3，所以直线y＝m与y＝有两个交点，且交点的横坐标为x1，x2(x1＜x2)，如图所示，由此可得m＝－ln x1＋－4，m＝ln x2－＋4，所以－ln x1＋－4＝ln x2－＋4，即ln x2＋ln x1＝＋－8，即ln x2x1＝＋－8＞－8，所以ln x2x1－＋8＞0，令t＝，则有2ln t－＋8＞0，即ln t－＋4＞0，由A可知h(t)＝ln t－＋4在定义上单调递增，且h(1)＝0，所以t＞1，即＞1，所以x1x2＞1，故B正确；由题意可得m＝－ln x1＋－4，m＝ln x2－＋4，所以2m＝ln x2－ln x1＋－＝ln ＋－＞ln ，所以ln e2m＞ln ，＜e2m，故C错误；因为0＜m＜3，所以0＜3－m＜3，＞1，令g(x)＝ln x－＋4，x＞1，则g＝ln －＋4＝ln ＋，所以g－m＝－ln(3－m)＋＋ln 3，令φ(m)＝－ln(3－m)＋＋ln 3，0＜m＜3，易知φ(m)在(0，3)上单调递增，所以φ(m)＞φ(0)＝0，即g－m＞0，g＞m＝g(x2)，又因为g(x)＝ln x－＋4在(1，＋∞)上单调递增，所以x2＜，故D正确．故选ABD． 考点三　函数的实际应用 【方法技巧】 求解函数应用问题的一般程序及关键 (1)一般程序： ⇒⇒⇒ (2)解题关键：解答这类题的关键是准确地建立相关函数关系，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答． 【典例研析】 4．(1)(2025·昆明模拟)已知某种水果的保鲜时间y(单位：小时)与温度x(单位：℃)近似满足函数关系y＝eax＋b(a，b为常数，e为自然对数底数)，若该品种水果在4 ℃时的保鲜时间为192小时，在17 ℃时的保鲜时间为96小时，则在30 ℃时，该种水果的保鲜时间约为(　　) A．12小时 B．24小时 C．36小时 D．48小时 (2)(2025·凉州区校级模拟)某班研究性小组的同学为了研究活性炭对污水中某种污染物的吸附能力，设计了一种活性炭污水净化装置．现污水中该种污染物含量为W0(单位：mg/L)，测得污水通过长度为l(单位：m)的净化装置后污染物的含量W如表： l 0 1 2 3 W W0 0.5W0 0.25W0 0.125W0 研究小组的同学根据表格数据建立了W关于l的函数模型．则与表格中数据吻合的函数模型是(　　) A．W＝W0＋0.5l B．W＝W0·log0.5(l＋1) C．W＝0.5W0l D．W＝W0·(0.5)l (3)(2025·无锡模拟)某小区准备在小区内建造一个收发室，利用其一侧已有的墙体，建造一间高3米，底面积为20平方米，且背面靠墙的长方体形状的收发室．由于收发室的背面靠墙体，无需建造费用．针对这个情况，甲公司给出了如下建造报价：屋子前面新建墙体的报价为500元每平方米，屋子左右侧面新建墙体的报价为200元每平方米，屋顶和地面以及其他共报价7 500元，设屋子的左右侧面长均为x(1≤x≤10)米． ①当屋子的左右侧面长x为多少时，屋子的建造总价最小，最小为多少？ ②现有乙公司参与竞标，其给出的建造总报价为300元，若无论左右侧面的长为多少，乙公司的报价都不超过甲公司，试求a的最大整数． 【答案】　(1)D　(2)D　(3)见解析 【解析】　(1)由题意知，两式相除得，e13a＝，当x＝30时，e30a＋b＝e17a＋b·e13a＝96×＝48，即该种水果的保鲜时间约为48小时．故选D． (2)由图表中数据可知函数模型满足：第一，定义域为[0，3]；第二，在定义域单调递减且单位减少率变慢；第三，函数图象过(0，W0)．对于A，函数W＝W0＋0.5l单调递增，不符合条件；对于B，l＝0时，W＝0，函数W＝0.5W0l的图象不过(0，W0)，不符合条件；对于C，l＝0时，w＝0，函数W＝W0·log0.5(l＋1)图象不过(0，W0)，不符合条件；对于D，指数型函数W＝W0·(0.5)l满足上述条件，选项D正确．故选D． (3)①因为底面积为20平方米，屋子的左右侧面长均为x(1≤x≤10)米， 所以屋子的前面长为米， 所以屋子的建造总价f(x)＝3··500＋2×3x·200＋7 500＝＋1 200x＋7 500 ≥2＋7 500＝2×6 000＋7 500＝19 500， 当且仅当＝1 200x，即x＝5时，等号成立， 所以当屋子的左右侧面长x为5米时，屋子的建造总价最小，最小为19 500元． ②因为无论左右侧面的长为多少，乙公司的报价都不超过甲公司， 所以300≤＋1 200x＋7 500在x∈[1，10]恒成立， 化简得a(x－1)≤＋4x＋21在x∈[1，10]上恒成立， 当x＝1时，0≤35，显然成立； 当1＜x≤10时， 则有a≤＋＋＝＝4＋， 令t＝5x＋2∈(7，52]，则x＝， 所以4＋＝4＋＝4＋＝4＋， 由对勾函数的性质可知，y＝t＋－9在t∈(7，52]上单调递增， 所以y＝t＋－9∈， 所以4＋≥4＋125×＝， 所以a≤，又因为6＜＜7， 所以a的最大整数为6. 【跟踪训练】 3．(2025·南阳模拟)假设甲和乙刚开始的“日能力值”相同，之后甲通过学习，“日能力值”都在前一天的基础上进步2%，而乙疏于学习，“日能力值”都在前一天的基础上退步1%.那么，大约需要经过(　　)天，甲的“日能力值”是乙的20倍．(参考数据：lg 102≈2.008 6，lg 99≈1.995 6，lg 2≈0.301 0)(　　) A．23　　　　　　　　　 B．100　　　　　　　　　 C．150　　　　　　　　　 D．232 【答案】　B 【解析】　设甲和乙刚开始的“日能力值”为1，则n天后，甲、乙的“日能力值”分别为(1＋2%)n，(1－1%)n，依题意，＝20，即n＝20，两边取常用对数得nlg ＝lg 20，因此n＝≈≈100，所以大约需要经过100天，甲的“日能力值”是乙的20倍．故选B. 4．(2025·广东校级模拟)教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气．按照国家标准，教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度应不超过0.1%.经测定，刚下课时，空气中含有0.2%的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为y%，且y随时间t(单位：分钟)的变化规律可以用函数y＝0.05＋λe描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为(参考数据：ln 3≈1.1)(　　) A．11分钟 B．13分钟 C．15分钟 D．17分钟 【答案】　B 【解析】　由题意得，当t＝0时，y＝0.2，将其代入解析式得，0.2＝0.05＋λ，解得λ＝0.15，故解析式为y＝0.05＋0.15e，令0.05＋0.15e≤0.1，解得e≤，化简得t≥11ln 3，结合ln 3≈1.1，可得t≥12.1，所以该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为13分钟．故选B. 【限时训练】（限时：120分钟） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2025·新乡二模) ＝(　　) A．16 B．8 C．32 D．16 【答案】　A 【解析】　原式＝＝2＝24＝16.故选A． 2．(2025·海淀区一模)已知四个数a＝，b＝，c＝lg 2，d＝lg 5，其中最小的是(　　) A．a B．b C．c D．d 【答案】　C 【解析】　因为a＝，b＝，则＝a＞b，因为c＝lg 2，d＝lg 5，所以d＞＞c，因为b＝＞＝lg 2＝c，所以b＞c，即c为最小值．故选C． 3．(2025·宝鸡模拟)若2a＝3＝logb3，c＝e，则实数a，b，c的大小顺序为(　　) A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．b＞a＞c 【答案】　B 【解析】　由题意可得a＝log23，b3＝3，所以b＝3，c＝，因为对数函数y＝log2 x为(0，＋∞)上的增函数，则a＝log23＞log22＝＝c，幂函数y＝x在(0，＋∞)上为增函数，则b＝3＜＝，所以a＞c＞b.故选B. 4．(2025·安化县校级三模)二手汽车价位受多方因素影响，交易市场常用年限折旧法计算车价位，即按照同款新车裸车价格，第一年汽车贬值30%，从第二年开始每年贬值10%，刚参加工作的小明打算用7万元入手一辆3～5年的二手车，根据年限折旧法，设小明可以考虑的同款新车裸车最高价位是m(m∈N)万，则m＝(　　) A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】　B 【解析】　由题意知，列不等式为m·(1－30%)·(1－10%)5－1≤7，解得m≤≈15，所以m＝15.故选B. 5．(2025·泰安模拟)已知f(x)是定义域为R的单调递增函数，且存在函数g(x)，使f(g(x))＝2x－1，若x1，x2分别为方程f(x)＋2x＝7和g(x)＋x＝4的根，则x1＋x2＝(　　) A．8 B．4 C．－4 D．－8 【答案】　B 【解析】　由题意可得f(x1)＝7－2x1，g(x2)＝4－x2，所以f(g(x2))＝2x2－1，即f(4－x2)＝2x2－1＝7－2(4－x2)，又f(x)是定义域为R的单调递增函数，f(x1)＝7－2x1，所以4－x2＝x1，所以x1＋x2＝4.故选B. 6．(2025·鹰潭二模)在2019年中共中央政治局第十八次集体学习中，习近平总书记提出：“把区块链作为核心技术自主创新的重要突破口”，“区块链技术”作为一种新型的信息技术，已经广泛的应用于人们的生活中．在区块链技术中，若密码的长度为128比特，则密码一共有2128种可能性，因此为了破译此密码，最多需要进行2128次运算．现在有一台机器，每秒能进行×1010次运算，假设这台机器一直正常运转，则这台机器破译长度为128比特的密码所需要的最长时间约为(参考数据：lg 2≈0.301，100.13≈1.349)(　　) A．1027×1.349秒 B．1028×1.349秒 C．1029×1.349秒 D．1030×1.349秒 【答案】　B 【解析】　设所需时间为t秒，则t·×1010＝2128，则lg t＋lg 5－lg 2＋10＝128lg 2，即lg t＝130lg 2－11≈130×0.301－11＝28.13，∴t≈1028.13＝1028×100.13≈1028×1.349秒．故选B. 7．在某次数学课上，甲、乙、丙、丁四位同学分别写下了一个命题： 甲：ln 3<ln 2； 乙：ln π<； 丙：2<12； 丁：3eln 2>4. 所写为真命题的是(　　) A．甲和乙 B．甲和丙 C．丙和丁 D．甲和丁 【答案】　B 【解析】　设函数f(x)＝，x>0，则f′(x)＝，则0＜x＜e时，f′(x)＞0，x＞e时，f′(x)＜0，即函数f(x)的增区间为(0，e)，减区间为(e，＋∞)，因为<2<e，所以f()<f(2)，所以<，<ln 2，即ln 3<ln 2，故甲正确；因为<<e，所以f()<f()，即<，即<，即ln π>，故乙错误；因为4>>e，所以f(4)<f()，即＝<＝，所以ln 2<ln 12，所以2<12，故丙正确；因为>e，所以f()<f(e)，即<＝，即eln<，eln 8<4，即3eln 2<4，即丁错误．故选B. 8．(2025·陕西模拟)已知函数f(x)定义为：f(x)＝若函数f(x)恰好有3个零点，则实数a的取值范围是(　　) A． B．(－1，2] C．(－3，－2) D． 【答案】　D 【解析】　①当x≥2时，要使x≥a有意义，故a≤2；方程f(x)＝0，即为2＝x－1，平方得x2－6x＋4a＋1＝0，解得x＝3±2，显然3＋2≥2，解不等式3－2≥2，得≤a≤2；在[2，＋∞)上f(x)满足：当a＜或a＝2时，有1个零点；当≤a＜2时，有两个零点；②当x＜2时，若a＝－1，则f(x)＝|x＋1|－x－1＝函数有无穷个零点；当a≠－1时，方程f(x)＝|x－a|－x－1＝0，即|x－a|＝x＋1，解得x＝，令＜2，即a＜5，即在(－∞，2)上f(x)满足：当a＜5且a≠－1时，有1个零点；当a＝－1时，有无穷个零点；当a≥5时，没有零点．综上，当≤a＜2时，f(x)有三个零点．故选D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．(2025·廊坊校级模拟)下列不等式成立的有(　　) A．log0.30.2＞log0.20.3 B．0.30.2＞0.20.3 C．log30.2＜log20.2 D．30.2＜20.3 【答案】　AB 【解析】　log0.30.2＞log0.30.3＝1，log0.20.3＜log0.20.2＝1，故log0.30.2＞log0.20.3，A正确，因为y＝0.3x在R上单调递减，y＝x0.3在(0，＋∞)上单调递增，所以0.30.2＞0.30.3＞0.20.3，故0.30.2＞0.20.3，B正确；因为＝＝＝log23＞1，log30.2＜0，log20.2＜0，所以log30.2＞log20.2，C错误；30.2＝3，20.3＝2，因为10＝32＝9，10＝8，所以10＞10，故30.2＞20.3，D错误．故选AB. 10．(2025·景德镇模拟)若实数log2a，log3b都是一次函数f(x)＝cx－1的零点，则下列不等关系中可能成立的是(　　) A．c＜a＜b B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．a＜b＜c 【答案】　ACD 【解析】　由题意可得，clog2a＝clog3b＝1(c≠0)，即log2a＝log3b＝，解得a＝2，b＝3，在同一坐标系下作出y＝log2x，y＝log3x，y＝的图象，如图所示： 根据图象可知，当c＜0时，＜0，又因为a＝2，b＝3，则0＜b＜a＜1，当c＞0时，＞0，1＜a＜b，有c＜a＜b或a＜b＜c，故B错误；若0＜c＜1，则＞1，又因为a＝2，b＝3，所以b＞a＞2＞c，故A正确；若c＞3，则0＜＜，所以a＜b＜3＜c，故D正确；当x∈(1，＋∞)时，f(x)＝xx单调递增，因为11＜2，22＞3，所以∃c∈(1，2)，使得2＜cc＜3，所以2＜c＜3，即a＜c＜b，故C正确．故选ACD． 11．(2025·内乡县校级二模)Cobb－Douglas生产函数是宏观经济学和微观经济学中最常用的生产函数之一，函数的数学形式为Y＝AKαLβ(A＞0，K＞0，L＞0，0＜α＜1，0＜β＜1)．其中Y是总产出，K是资本存量，L是劳动力，A是技术参数，α，β是资本和劳动的产出弹性．当A不变时，下列说法正确的是(　　) A．若K与L均变为原来的m(m＞0)倍，且α＋β＝1，则Y变为原来的m倍 B．若K与L均变为原来的m(m＞0)倍，且αβ＝，则Y最少可变为原来的m倍 C．若K与L均变为原来的m(m＞0)倍，且α2＋β2＝，则Y最少可变为原来的m倍 D．若α，β，L均不变，则函数Y＝AKαLβ的增长速度越来越慢 【答案】　ABD 【解析】　若K与L均变为原来的m(m＞0)倍，则Ym＝A(mK)α(mL)β＝AKαLβmα＋β，当α＋β＝1时，Ym＝mY，故选项A正确；当αβ＝时，α＋β≥2＝1，所以Ym＝AKαLβmα＋β≥AKαLβm＝AKαLβm＝mY，当且仅当α＝β＝时，取等号，故选项B正确；当α2＋β2＝时，因为≥，所以Ym＝AKαLβmα＋β≤AKαLβm＝AKαLβm＝mY，当且仅当α＝β＝时，取等号，故选项C错误；若α，β，L均不变，Y是K的函数，且Y′(K)＝ALβαKα－1，因为0＜α＜1，所以Y′(K)＝ALβαKα－1是减函数，故选项D正确．故选ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．(2025·宝山区二模)已知函数y＝ax＋1－loga(x＋2)＋1(a＞0且a≠1)的图象经过定点A，则点A的坐标为________. 【答案】　(－1，2) 【解析】　当x＝－1时，函数y为定值，y＝1－0＋1＝2，故点A的坐标为(－1，2)． 13．(2025·四川校级三模)设f(x)是定义在R上的偶函数，对任意的x∈R，都有f(2－x)＝f(x＋2)，且当x∈[－2，0]时，f(x)＝x－1，若关于x的方程f(x)－loga(x＋2)＝0(a＞1)在区间(－2，6)内恰有三个不同实根，则实数a的取值范围是_______________________． 【答案】　(，2) 【解析】　∵对于任意的x∈R，都有f(2－x)＝f(x＋2)，∴函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，又∵当x∈[－2，0]时，f(x)＝x－1，且函数f(x)是定义在R上的偶函数，若在区间(－2，6)内关于x的方程f(x)－loga(x＋2)＝0恰有3个不同的实数解，则函数y＝f(x)与y＝loga(x＋2)在区间(－2，6)上有三个不同的交点，如图所示： 又f(－2)＝f(2)＝3，则有loga(2＋2)＜3，且loga(6＋2)＞3，解得＜a＜2，故答案为(，2)． 14．(2025·武汉模拟)为了响应节能减排号召，某地政府决定大规模铺设光伏太阳能板，该地区未来第x年底光伏太阳能板的保有量y(单位：万块)满足模型y＝，其中N为饱和度，y0为初始值，p为年增长率．若该地区2024年底的光伏太阳能板保有量约为20万块，以此为初始值，以后每年的增长率均为10%，饱和度为1 020万块，那么2030年底该地区光伏太阳能板的保有量约________万块． (结果四舍五入保留到整数，参考数据：e－0.5≈0.61，e－0.6≈0.55，e－0.7≈0.49) 【答案】　36 【解析】　根据题意，所给模型中y0＝20，N＝1 020，p＝10%＝0.1，x＝6，则2030年底该地区光伏太阳能板的保有量为y＝＝，因为e－0.6≈0.55，所以y＝≈≈36.所以2030年底该地区光伏太阳能板的保有量约36万块． 四、解答题：每小题15分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(2025·湖北一模)小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流动成本为W(x)万元，在年产量不足8万件时，W(x)＝x2＋x(万元)．在年产量不小于8万件时，W(x)＝6x＋－38(万元)．每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完． (1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本) (2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 【解析】　(1)由题意知每件商品售价为5元，故得到x万件商品销售收入为5x万元， 所以当0＜x＜8时， L(x)＝5x－(x2＋x)－3＝－x2＋4x－3， 且当x≥8时， L(x)＝5x－－3＝35－， 故L(x)＝ (2)①当0＜x＜8时，L(x)＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1， 易知当x＝2时，L(x)取得最大值L(2)＝1万元， ②当x≥8时，L(x)＝35－≤35－2＝35－20＝15， 当且仅当x＝10时，L(x)取得最大值15万元， 因为1＜15，故年产量为10万件时，所获利润最大，最大利润为15万元． 16．(2025·慈溪市校级模拟)已知函数f(x)＝ (1)当a＝2时，求f(x)的单调递减区间； (2)当a＝0时，函数g(x)＝f(x)－k|x2－2x|(k∈R)恰有3个不同的零点，求实数k的取值范围． 【解析】　(1)当a＝2时， f(x)＝＝ 由二次函数的性质得f(x)的单调递减区间为(－∞，0)． (2)由题意知，f(x)＝ 易知x＝2不是g(x)的零点． ①当x＞2时，g(x)＝x2＋1－k(x2－2x)， 令g(x)＝0，则k＝＝1＋， ②当0＜x＜2时，g(x)＝x2＋1＋k(x2－2x)， 令g(x)＝0，则－k＝＝1＋， ③当x＜0时，g(x)＝x2－1－k(x2－2x)， 令g(x)＝0，则k＝＝1＋， 设2x＋1＝t，则1＋＝1＋， 记h(t)＝1＋， 对于①，t∈(5，＋∞)，设m＝t－6＋， 任取t1，t2∈(5，＋∞)，且t1＜t2， 则m1－m2＝t1－6＋－ ＝(t1－t2)， 因为t1，t2∈(5，＋∞)， 所以1－＞0，又t1＜t2，则t1－t2＜0， 所以m1－m2＜0，即m1＜m2， 则m在(5，＋∞)上单调递增， 此时h(t)单调递减，且h(t)∈(1，＋∞)， 故当k∈(1，＋∞)时，g(x)只有1个零点； 当k∈(－∞，1]时，g(x)没有零点． 对于②，t∈(1，5)，此时h(t)在(1，)上单调递减，在(，5)上单调递增，且t＝1时，h(t)趋近－∞， h()＝，t＝5时，h(t)趋近－∞， 故当－k∈，即k∈时，g(x)有2个零点； 当－k∈，即k∈时，g(x)没有零点； 当k＝时，g(x)只有1个零点． 对于③，令2x－1＝m，则1＋＝1＋， 记φ(m)＝1＋， 因为x∈(－∞，0)，则m∈(－∞，－1)， 显然φ(m)在(－∞，－1)上单调递减， 且φ(m)∈(－∞，1)， 则k∈(－∞，1)时，g(x)有1个零点； 当k∈[1，＋∞)时，g(x)没有零点． 综上所述，k∈时，g(x)有3个零点． 学科网（北京）股份有限公司 $