专题一 第1讲 函数的图象与性质【题型突破】讲义-2026届高三数学二轮复习（新高考通用）

专题一　函数与导数 第1讲　函数的图象与性质 【真题再现●明考向】 1．对函数图象的考查主要有两个方面：一是识图，二是用图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决有关函数性质的问题． 2．求函数零点所在的区间、零点的个数及参数的取值范围是高考的常见题型，主要以选填题的形式出现． 【考情分析●明方向】 1．(2025·新课标全国Ⅰ卷)设f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数，当2≤x≤3时，f(x)＝5－2x，则f＝(　　) A．－　　　　　　　　　 B．－　　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　 D． 【答案】　A 【解析】　由题知f(x)＝f(－x)，f(x＋2)＝f(x)对一切x∈R成立，于是f＝f＝f＝5－2×＝－.故选A． 2．(多选)(2024·新课标全国Ⅱ卷)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝(x2－3)ex＋2，则(　　) A．f(0)＝0 B．当x<0时，f(x)＝－(x2－3)e－x－2 C．f(x)≥2当且仅当x≥ D．x＝－1是f(x)的极大值点 【答案】　ABD 【解析】　因为f(x)是定义在R上奇函数，则f(0)＝0，故A正确；当x<0时，－x>0，则f(x)＝－f(－x)＝－{[(－x)2－3]e－x＋2}＝－(x2－3)e－x－2，故B正确；f(－1)＝－(1－3)e－2＝2(e－1)>2，故C错误；当x<0时，f(x)＝(3－x2)e－x－2，则f′(x)＝－(3－x2)e－x－2xe－x＝(x2－2x－3)e－x，令f′(x)＝0，解得x＝－1或3(舍去)，当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0，此时f(x)单调递增，当x∈(－1，0)时，f′(x)<0，此时f(x)单调递减，则x＝－1是f(x)的极大值点，故D正确．故选ABD． 3．(2025·北京高考)为得到函数y＝9x的图象，只需把函数y＝3x的图象上的所有点(　　) A．横坐标变成原来的倍，纵坐标不变 B．横坐标变成原来的2倍，纵坐标不变 C．纵坐标变成原来的倍，横坐标不变 D．纵坐标变成原来的3倍，横坐标不变 【答案】　A 【解析】　因为y＝9x＝32x，所以将函数y＝3x的图象上所有点的横坐标变成原来的倍，纵坐标不变，即可得到函数y＝9x的图象，故选A． 4．(2025·天津高考)已知函数y＝f(x)的图象如图，则f(x)的解析式可能为(　　) A．f(x)＝ B．f(x)＝ C．f(x)＝ D．f(x)＝ 【答案】　D 【解析】　由题图可知函数为偶函数，而函数f(x)＝和函数f(x)＝为奇函数，故排除选项A、B；又当x∈(0，1)时1－x2>0，x2－1<0，此时f(x)＝>0，f(x)＝<0，由题图可知当x∈(0，1)时，f(x)<0，故C不符合，D符合．故选D． 5．(2024·新课标全国Ⅰ卷)已知函数为f(x)＝在R上单调递增，则a取值的范围是(　　) A．(－∞，0] B．[－1，0] C．[－1，1] D．[0，＋∞) 【答案】　B 【解析】　因为f(x)在R上单调递增，且x≥0时，f(x)＝ex＋ln(x＋1)单调递增，则需满足 解得－1≤a≤0，即a的范围是[－1，0]．故选B. 6．(2024·新课标全国Ⅱ卷)设函数f(x)＝(x＋a)ln(x＋b)，若f(x)≥0，则a2＋b2的最小值为(　　) A． B． C． D．1 【答案】　C 【解析】　方法一：由题意可知：f(x)的定义域为(－b，＋∞)，令x＋a＝0解得x＝－a；令ln(x＋b)＝0解得x＝1－b；若－a≤－b，当x∈(－b，1－b)时，可知x＋a>0，ln(x＋b)<0，此时f(x)<0，不符合题意；若－b<－a<1－b，当x∈(－a，1－b)时，可知x＋a>0，ln(x＋b)<0，此时f(x)<0，不符合题意；若－a＝1－b，当x∈(－b，1－b)时，可知x＋a<0，ln(x＋b)<0，此时f(x)>0；当x∈[1－b，＋∞)时，可知x＋a≥0，ln(x＋b)≥0，此时f(x)≥0；可知若－a＝1－b，符合题意；若－a>1－b，当x∈(1－b，－a)时，可知x＋a<0，ln(x＋b)>0，此时f(x)<0，不符合题意；综上所述：－a＝1－b，即b＝a＋1，则a2＋b2＝a2＋(a＋1)2＝22＋≥，当且仅当a＝－，b＝时，等号成立，所以a2＋b2的最小值为. 方法二：由题意可知：f(x)的定义域为(－b，＋∞)，令x＋a＝0解得x＝－a；令ln(x＋b)＝0解得x＝1－b；则当x∈(－b，1－b)时，ln(x＋b)<0，故x＋a≤0，所以1－b＋a≤0；x∈(1－b，＋∞)时，ln(x＋b)>0，故x＋a≥0，所以1－b＋a≥0；故1－b＋a＝0， 则a2＋b2＝a2＋(a＋1)2＝22＋≥，当且仅当a＝－，b＝时，等号成立，所以a2＋b2的最小值为.故选C． 7．(多选)(2023·新课标全国Ⅰ卷)已知函数f(x)的定义域为R，f(xy)＝y2f(x)＋x2f(y)，则(　　) A．f(0)＝0 B．f(1)＝0 C．f(x)是偶函数 D．x＝0为f(x)的极小值点 【答案】　ABC 【解析】　方法一：因为f(xy)＝y2f(x)＋x2f(y)，令x＝y＝0，f(0)＝0f(0)＋0f(0)＝0，故A正确；令x＝y＝1，f(1)＝1×f(1)＋1×f(1)，则f(1)＝0，故B正确；令x＝y＝－1，f(1)＝f(－1)＋f(－1)＝2f(－1)，则f(－1)＝0，令y＝－1，f(－x)＝f(x)＋x2f(－1)＝f(x)，又函数f(x)的定义域为R，所以f(x)为偶函数，故C正确；不妨令f(x)＝0，显然符合题设条件，此时f(x)无极值，故D错误． 方法二：因为f(xy)＝y2f(x)＋x2f(y)．令x＝y＝0，f(0)＝0f(0)＋0f(0)＝0，故A正确；令x＝y＝1，f(1)＝1×f(1)＋1×f(1)，则f(1)＝0，故B正确；令x＝y＝－1，f(1)＝f(－1)＋f(－1)＝2f(－1)，则f(－1)＝0，令y＝－1，f(－x)＝f(x)＋x2f(－1)＝f(x)，又函数f(x)的定义域为R，所以f(x)为偶函数，故C正确；当x2y2≠0时，对f(xy)＝y2f(x)＋x2f(y)两边同时除以x2y2，得到＝＋，故可以设＝ln|x|(x≠0)，则f(x)＝当x>0时，f(x)＝x2ln x，则f ′(x)＝2xln x＋x2·＝x(2ln x＋1)，令f ′(x)<0，得0<x<e；令f ′(x)>0，得x>e；故f(x)在上单调递减，在上单调递增，因为f(x)为偶函数，所以f(x)在上单调递增，在上单调递减，显然，此时x＝0是f(x)的极大值，故D错误．故选ABC． 8．(2023·新课标全国Ⅱ卷)若f(x)＝(x＋a)ln为偶函数，则a＝(　　) A．－1 B．0 C． D．1 【答案】　B 【解析】　因为f(x) 为偶函数，则 f(1)＝f(－1)，∴(1＋a)ln＝(－1＋a)ln 3，解得a＝0，当a＝0时，f(x)＝xln，(2x－1)(2x＋1)>0，解得x>或x<－，则其定义域为或，关于原点对称．f(－x)＝(－x)ln＝(－x)ln＝(－x)ln－1＝xln＝f(x)，故此时f(x)为偶函数．故选B. 9．(2025·北京高考)关于定义域为R的函数f(x)，以下说法正确的有________. ①存在在R上单调递增的函数f(x)使得f(x)＋f(2x)＝－x恒成立； ②存在在R上单调递减的函数f(x)使得f(x)＋f(2x)＝－x恒成立； ③使得f(x)＋f(－x)＝cos x恒成立的函数f(x)存在且有无穷多个； ④使得f(x)－f(－x)＝cos x恒成立的函数f(x)存在且有无穷多个． 【答案】　②③ 【解析】　若存在R上的增函数f(x)，满足f(x)＋f(2x)＝－x，则f(0)＋f(2×0)＝－0即f(0)＝0，故x>0时，f(4x)>f(2x)>f(x)>0，故f(4x)＋f(2x)>f(x)＋f(2x)，故－2x>－x即x<0，矛盾，故①错误；取f(x)＝－x，该函数为R上的减函数且f(x)＋f(2x)＝－x，故该函数符合，故②正确；取f(x)＝cos x＋mx，m∈R，此时f(x)＋f(－x)＝cos x，由m∈R可得f(x)有无穷多个，故③正确；若存在f(x)，使得f(x)－f(－x)＝cos x，令x＝0，则0＝cos 0，但cos 0＝1，矛盾，故满足f(x)－f(－x)＝cos x的函数不存在，故④错误． 【考点突破●提能力】 考点一　函数的概念与表示 【核心知识】 1．求函数的定义域时要注意三式 分式、根式、对数式，分式中的分母不能为零，偶次根式的被开方数非负，对数的真数大于零． 2．复合函数的定义域 (1)若f(x)的定义域为[m，n]，则在f(g(x))中，m≤g(x)≤n，从中解得x的范围即为f(g(x))的定义域． (2)若f(g(x))的定义域为[m，n]，则由m≤x≤n确定的g(x)的范围即为f(x)的定义域． 3．分段函数 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数值域的并集． 【方法技巧】 1．函数定义域的求解方法 (1)给出解析式的函数，其定义域是使得解析式有意义的自变量的取值集合，构建不等式(组)求解即可． (2)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域可由a≤g(x)≤b求出． (3)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则由x∈[a，b]求得g(x)的值域即可． 2．处理分段函数问题的基本策略 (1)确定自变量的取值范围属于哪个区间，再选取相应的对应关系，离开分段区间讨论分段函数毫无意义的． (2)画出函数的图象，结合图象可将代数问题直接地分析判断出来． 【典例研析】 1．(1)(2025·扬州校级模拟)已知函数y＝f(x)的定义域为[0，1]，则函数y＝的定义域为(　　) A．[1，2] B．[－1，0] C．∪ D．∪ (2)(2025·海淀区校级模拟)已知f(x)＝的值域为R，那么实数a的取值范围是(　　) A． B． C． D． (3)(2025·上海宝山二模)已知函数f(x)＝则f(4)＝________. 【答案】　(1)C　(2)A　(3)2 【解析】　(1)因为y＝f(x)的定义域是[0，1]，所以0≤x≤1，根据抽象函数定义域求法，在函数y＝中，解得－1≤x≤0且x≠－，则定义域为∪.故选C． (2)当x≥1时，函数f(x)＝log7x在[1，＋∞)上单调递增，其取值集合为[0，＋∞)，而函数f(x)的值域为R，因此函数f(x)在(－∞，1)上的取值集合包含(－∞，0)，当1－2a＝0时，函数f(x)＝(1－2a)x＋5a在(－∞，1)上的值为常数，不符合要求，当1－2a＜0时，函数f(x)在(－∞，1)上单调递减，取值集合是(1＋3a，＋∞)，不符合要求，于是得1－2a＞0，函数f(x)在(－∞，1)上单调递增，取值集合是(－∞，1＋3a)，则解得－≤a＜，所以实数a的取值范围是.故选A． (3)由题意可得f(4)＝f(2)＝f(0)＝02＋2＝2. 【跟踪训练】 1．(2025·辽宁大连一模)已知f(x－1)＝ex，则f(2)＝(　　) A．e　　　　　　 B．2e　　　　　　 C．e2　　　　　　 D．e3 【答案】　D 【解析】　令x－1＝t∈R，则x＝t＋1，所以f(t)＝et＋1，即f(x)＝ex＋1，则f(2)＝e3.故选D． 2．(2025·河北模拟预测)已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，∀x>0，y>0，都有f(xy)＝f(x)＋f(y)，且f＝－1，则f(64)＝(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】　A 【解析】　因为f＝f＋f，f＝－1，所以f＝－，又f(1)＝f(1)＋f(1)，有f(1)＝0，又由f(1)＝f＋f(2)，有f(2)＝，故f(4)＝2f(2)＝1，f(64)＝2f(8)＝2[f(2)＋f(4)]＝3.故选A． 3．(2025·山西模拟)已知函数y＝f(2x－1)的定义域是[－1，3]，则y＝的定义域是(　　) A．(－2，5] B．(－2，3] C．[－1，3] D．[－2，5] 【答案】　A 【解析】　由函数y＝f(2x－1)的定义域是[－1，3]，得－3≤2x－1≤5，因此在函数y＝中，解得－2＜x≤5.所以函数y＝的定义域为(－2，5]．故选A． 考点二　函数的图象 【核心知识】 1．作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换． 2．利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点． 【方法技巧】 1．识图的三种常用方法 (1)抓住函数的性质，定性分析： ①由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置； ②由函数的单调性，判断图象的变化趋势； ③由函数的奇偶性，判断图象的对称性； ④由函数的周期性，判断图象的循环往复． (2)抓住函数的特征，定量计算： 从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题． (3)根据实际背景、图形判断函数图象的方法： ①根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象(定量分析)； ②根据自变量取不同值时函数值的变化、增减速度等判断函数图象(定性分析)． 2．由图象确定函数解析式的方法 (1)根据已知或作出的函数图象，从最高点、最低点，分析函数的最值； (2)从图象的对称性，分析函数的奇偶性； (3)从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性； (4)从图象与x轴的交点情况，分析函数的零点． 【典例研析】 2．(1)(2025·天津校级模拟)若函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可能为(　　) A．f(x)＝ B．f(x)＝ C．f(x)＝ D．f(x)＝ (2)(2025·河北区一模)函数f(x)＝(2－x－2x)·cos x的图象大致为(　　) 　 A　　　　　　　　　B 　 C　　　　　　　　　D (3)(2024·广东佛山二模)如图，△OAB是边长为2的正三角形，记△OAB位于直线x＝t(0≤t≤2)左侧的图形的面积为f(t)．则函数y＝f(t)的大致图象是(　　) 　　　 A　　　　　　　B　　　　　　　C　　　　　　　D (4)(2025·安顺模拟)函数f(x)＝的部分图象如图(粗实曲线)，则a＝(　　) A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】　(1)D　(2)C　(3)A　(4)B 【解析】　(1)由函数图象可得，f(x)为偶函数，图象关于y轴对称，排除选项A，因为f(0)＜0，排除选项B；对于C，当x≥0时，f(x)＝＝x－1，图象为一条射线，不符合题意；对于D，函数定义域为R，f(－x)＝＝f(x)，即f(x)为偶函数，又f(0)＝－3＜0，符合题意，D正确．故选D． (2)因为f(－x)＝(2x－2－x)cos(－x)＝－(2－x－2x)cos x＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，图象关于原点对称，故A、B错误；又由f(2)＝(2－2－22)·cos 2＝－·cos 2＞0，故D错误，C正确．故选C． (3)依题意，当0<t≤1时，可得直角三角形的两条直角边分别为t，t，从而可以求得f(t)＝t·t＝，当1<t≤2时，阴影部分可以看作大三角形减去一个小三角形，可求得f(t)＝－＝－t2＋2t－，所以f(t)＝从而可知选项A的图象满足题意． (4)根据题意，函数f(x)＝，则有x2＋bx＋c≠0，由函数图象可知，函数定义域为{x|x≠－1且x≠3}，故方程x2＋bx＋c＝0的解为x＝－1，x＝3，则有即解可得又由函数图象经过点(0，－2)，即f(0)＝＝－2，变形可得a＝6.故选B. 【跟踪训练】 4．(2025·新疆校级一模)函数f(x)＝的部分图象大致为(　　) 　　　 A　　　　　　B　　　　　　C　　　　　　D 【答案】　D 【解析】　根据题意，f(x)＝＝，其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f(－x)＝＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，排除B项；又由f(1)＝＞0，排除C项；当x→＋∞时，f(x)→＋∞，排除A项． 5. (2025·辽宁二模)函数f(x)的部分图象大致如图所示，则f(x)的解析式可能是(　　) A．f(x)＝　　　　　　　　　　　 B．f(x)＝ C．f(x)＝ D．f(x)＝ 【答案】　B 【解析】　根据题意，用排除法分析：对于A，f(x)＝，当x→＋∞时，f(x)→0，A错误；对于C，f(x)＝，当x→＋∞时，f(x)→0，C错误；对于D，f(x)＝，f(1)＝＝＞1，D错误．故选B. 6．(2025·玉溪二模)已知函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)·g(x)的图象可能是(　　) 　　　 A　　　　　　　B　　　　　　C　　　　　　　D 【答案】　B 【解析】　由f(x)的图象可知当x＜0时，函数值先正后负，而此时g(x)的函数值一直为正值，故f(x)·g(x)的函数值应该是先正后负，当x＞0时，f(x)的函数值先负后正，而g(x)的函数值一直为负，故f(x)·g(x)的函数值应该是先正后负，故选B. 考点三　函数的性质 【核心知识】 1．函数的奇偶性 (1)定义：若函数的定义域关于原点对称，则有：f(x)是偶函数⇔f(－x)＝f(x)＝f(|x|)； f(x)是奇函数⇔f(－x)＝－f(x)． (2)判断方法：定义法、图象法、奇偶函数性质法(如奇函数×奇函数是偶函数)． 2．函数单调性判断方法：定义法、图象法、导数法．复合函数的单调性牢记“同增异减”． 3．奇函数在其图象关于原点对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在其图象关于原点对称的单调区间内有相反的单调性，即“奇同偶反”． 4．函数的周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． (3)常见结论：若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a；若f(x＋a)＝，则T＝2a；若f(x＋a)＝－，则T＝2a. 5．函数的对称性 (1)①若函数y＝f(x)关于直线x＝a对称，则f(a－x)＝f(a＋x)； ②若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x)，则函数关于点(a，0)对称． (2)两个函数图象的对称 ①函数y＝f(x)与y＝f(－x)关于y轴对称； ②函数y＝f(x)与y＝－f(x)关于x轴对称； ③函数y＝f(x)与y＝－f(－x)关于原点对称． (3)对称性的3个常用结论 ①若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称． ②若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称． ③若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称． 【方法技巧】 1．函数单调性应用问题的常见类型和解题策略 (1)比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间，然后利用函数单调性解决； (2)在求解抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”脱掉，将其转化为具体的不等式求解，此时应特别注意函数的定义域； (3)利用单调性求解最值问题，应先确定函数的单调性，然后再由单调性求解； (4)利用单调性求参数时，通常把参数视为已知数，根据函数的图象和单调性定义，确定函数的单调区间，将其转化到同一单调区间比较求参数． 2．利用奇偶性及周期性的解题策略 利用函数奇偶性求值，先利用周期性将所求的函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内，代入解析式即可求出函数值．当函数既具有奇偶性又具有对称性时，先利用周期性和对称性确定函数的周期，再利用奇偶性和周期性进行变换，将所求得函数值的自变量转化到已知函数的定义域内求解． 【典例研析】 3．(1)(多选)(2025·汉中模拟)若函数f(x)＝x，则(　　) A．f()＝ B．f(x)的最小值为0 C．f(x)是奇函数 D．f(x)的定义域为(－∞，－1]∪[1，＋∞) (2)(2025·黑龙江二模)已知函数f(x)＝(其中a＞0且a≠1)，若对∀x1，x2∈R，x1≠x2，都有＞2，则实数a的取值范围为(　　) A．[6，8]　　　　 B．[2，6]　　　　 C．　　　　 D． (3)(多选)(2025·芙蓉区校级模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋1)＝f(3－x)，当0≤x≤2时，f(x)＝2x＋x－1，则下列结论正确的是(　　) A．f(x)的图象关于直线x＝－2对称 B．f(x)＝f(x＋4) C．当x∈[－2，0]时，f(x)的值域是[－5，0] D．当x∈[10，12]时，f(x)＝212－x－x＋11 (4)(多选)(2025·南岗区校级一模)已知函数y＝f(2x＋1)的图象关于点(1，0)对称，函数y＝f(x＋1)的图象关于直线x＝1对称，则下列说法正确的为(　　) A．4是f(x)的一个周期 B．f(x)是偶函数 C．f(k)＝1 D．f(1＋x)＋f(1－x)＝0 【答案】　(1)ACD　(2)A　(3)ABD　(4)ABD 【解析】　(1)根据题意，函数f(x)＝x，对于D，必有x2－1≥0，解可得x≤－1或x≥1，即函数的定义域为(－∞，－1]∪[1，＋∞)，故D正确；对于A，f()＝×＝，故A正确；对于B，因为f(－2)＜0，所以f(x)的最小值不是0，故B错误；对于C，因为f(－x)＝－x＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，故C正确．故选ACD． (2)不妨设x1＜x2，由＞2，得f(x2)－2x2＞f(x1)－2x1，令g(x)＝f(x)－2x，则g(x)在R上单调递增，因为g(x)＝ 所以解得6≤a≤8，所以a的取值范围是[6，8]．故选A． (3)因为f(x＋1)＝f(3－x)，则f(x)关于直线x＝2对称，则f(－x)＝f(x＋4)，因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，则f(－x)＝f(x)，则f(x)＝f(x＋4)，则B正确，则f(－x)＝f(x)＝f(x－4)，则f(x)的图象关于直线x＝－2对称，故A正确；对C，因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，则当x∈[－2，0]时，f(x)的值域与x∈[－2，0]时值域相同，当0≤x≤2时，f(x)＝2x＋x－1，显然其为增函数，则f(x)的值域为[f(0)，f(2)]，即[0，5]，故C错误；对D，当x∈[－2，0]时，－x∈[0，2]，则f(x)＝f(－x)＝2－x－x－1，当x∈[10，12]时，x－12∈[－2，0]，根据f(x)的周期为4，则f(x)＝f(x－12)＝212－x－x＋11，故D正确．故选ABD． (4)已知函数y＝f(2x＋1)的图象关于点(1，0)对称，函数y＝f(x＋1)的图象关于直线x＝1对称，所以f(2x＋1)＋f[2(2－x)＋1]＝0，即f(2x＋1)＋f(5－2x)＝0，用x代换上式中的2x可得f(x＋1)＋f(5－x)＝0，所以f(x)关于点(3，0)对称，又因为函数y＝f(x＋1)的图象关于直线x＝1对称，所以函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，即f(x＋1)＝f(3－x)，又f(x＋1)＋f(5－x)＝0，所以f(3－x)＋f(5－x)＝0，所以f[3－(3－x)]＋f[5－(3－x)]＝0，所以f(2＋x)＝－f(x)，所以f(4＋x)＝－f(2＋x)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为4，故A正确；因为f(x)＝－f(2＋x)，所以f(－x)＝－f(2－x)，因为函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以f(x＋2)＝f(2－x)，所以f(x)＝f(－x)，所以f(x)是偶函数，故B正确；因为f(x)关于点(3，0)对称，f(2)＋f(4)＝0，因为f(2＋x)＝－f(x)，令x＝1可得f(1)＝－f(3)，又f(x)关于直线x＝2对称，所以f(1)＝f(3)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0，所以f(k)＝4×506＋1＝f(1)＝0，故C不正确；因为f(2＋x)＝－f(x)，所以f(1＋x)＝－f(x－1)，即f(1＋x)＋f(1－x)＝0，故D正确．故选ABD． 【跟踪训练】 7．(2025·沧州模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f(x)＝ex，那么f(ln 3)的值为(　　) A．　　　　 B．－3　　　　 C．3　　　　 D．－ 【答案】　D 【解析】　根据题意，ln 3＞ln 1＝0，又由f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(ln 3)＝－f＝－e＝－，故选D． 8．(多选)(2025·华安县校级模拟)定义在R上的偶函数f(x)，满足f(x＋2)－f(x)＝f(1)，则(　　) A．f(1)＝0 B．f(1－x)＋f(1＋x)＝0 C．f(1＋2x)＝f(1－2x) D．f(i)＝10 【答案】　AC 【解析】　∵f(x)为定义在R上的偶函数，∴f(－x)＝f(x)，又f(x＋2)－f(x)＝f(1)，∴当x＝－1时，有f(1)－f(－1)＝f(1)，即f(－1)＝f(1)＝0，A正确；∴原条件化为f(x＋2)－f(x)＝0，即f(x＋2)＝f(x)，①.∴f(x)是以2为周期的周期函数．在①中，令x＝0，得f(2)＝f(0)，但不能确定f(0)是否为0，∴f[1－(－1)]＋f[1＋(－1)]不一定为0，即f(1－x)＋f(1＋x)＝0不一定成立，B错误；在①中，用－x替换x，得f(2－x)＝f(－x)＝f(x)，∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴f(1＋2x)＝f(1－2x)，C正确；∵f(1)＝f(3)＝f(5)＝…＝f(19)＝0，f(0)＝f(2)＝f(4)＝…＝f(20)，但f(2)的值无法确定，∴f(i)的值不确定，D错误．故选AC． 【限时训练】（限时：120分钟） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2025·余姚市校级模拟)下列各组函数是同一函数的是(　　) A．f(x)＝x2与g(x)＝(x＋1)2 B．f(x)＝与g(x)＝x C．f(x)＝与g(x)＝ D．f(x)＝·与g(x)＝ 【答案】　C 【解析】　对于A，f(x)＝x2，x∈R，g(x)＝(x＋1)2，x∈R，两函数的对应关系不同，不是同一函数；对于B，f(x)＝＝－x，x∈(－∞，0]，g(x)＝x，x∈(－∞，0]，两函数的对应关系不同，不是同一函数；对于C，f(x)＝＝1，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，g(x)＝＝1，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，两函数的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；对于D，f(x)＝·，x∈[3，＋∞)，g(x)＝，x∈(－∞，－3]∪[3，＋∞)，两函数的定义域不同，不是同一函数．故选C． 2．(2025·保山校级二模)已知函数f(x)＝2＋ln(ex＋a)是偶函数，则a＝(　　) A．　　 B．　　 C．0　 　 D．1 【答案】　D 【解析】　因为函数f(x)＝2＋ln(ex＋a)是偶函数，可得f(x)＝f(－x)，所以2＋ln(ex＋a)＝2＋ln(e－x＋a)，整理得x＝ln＝ln＝x＋ln，恒成立，所以ln＝0，可得ex(1－a)＝1－a，易得a＝1.故选D． 3．(2025·丰城市校级模拟)已知函数f(x)＝则不等式f(a2－1)＞f(3)的解集为(　　) A．(－2，2) B．(0，＋∞) C．(－∞，0) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞) 【答案】　A 【解析】　函数y＝在(－∞，0)上单调递减，y＝在[0，＋∞)上单调递减，且＝，所以f(x)在定义域R上单调递减，因为f(a2－1)＞f(3)，所以a2－1＜3，解得－2＜a＜2.故选A． 4．(2025·永州模拟)已知f(x)＝(x>0)，则f(x)的最小值是(　　) A．2　　 B．3　 C．4 D．5 【答案】　D 【解析】　令t＝x＋1(x>0)，所以x＝t－1(t>1)．所以f(x)＝(x>0)转化为y＝(t>1)，即y＝＝t＋＋1(t>1)，又函数y＝t＋＋1在(1，2)上单调递减，在区间(2，＋∞)上单调递增，所以当t＝2时，y取到最小值，最小值为5；即当x＝1时，f(x)取到最小值，最小值为5.故选D． 5．(2025·临潼区二模)函数y＝的图象大致为(　　) 　　　 A　　　　　B　　　　　　C　　　　　D 【答案】　A 【解析】　函数定义域为R，f(－x)＝＝－f(x)，即f(x)为奇函数，排除选项C；因为f(1)＝＞0，排除选项D；当x＞0时，f(x)＞0，x→＋∞时，y＝x3比y＝2x的增长速度慢，即x→＋∞时，f(x)→0，排除选项B.故选A． 6．(2025·云南一模)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x>0时，f(x)＝x2－x＋1.若f(x)≥x＋b对任意的x∈R恒成立，则实数b的取值范围是(　　) A．(－∞，－1] B． C．(－∞，0] D． 【答案】　C 【解析】　当x>0时，f(x)＝x2－x＋1≥x＋b对任意的x>0恒成立，令x2－x＋1＝x＋b，所以x2－2x＋1－b＝0，令Δ＝4－4＝0，则b＝0，故当b＝0时，直线y＝x与f(x)＝x2－x＋1相切，此时f(x)＝x2－x＋1≥x＋b对任意的x>0恒成立，结合图象以及f(x)是偶函数，可知y＝x的图象往右平移即可满足f(x)≥x＋b对任意的x>0恒成立，所以b≤0，故选C． 7．(2025·重庆二模)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x＋2)＝f(x－2)．若f(1)＝2，则f(k)＝(　　) A．－2 B．0 C．2 D．4 【答案】　C 【解析】　因为f(x＋2)＝f(x－2)，可得f(x＋4)＝f(x)，可知函数f(x)的一个周期为4，又因为f(x)是定义在R上的奇函数，则f(0)＝0，则f(x＋4)＝f(x)＝－f(－x)，即f(x＋4)＋f(－x)＝0，令x＝－1，可得f(3)＋f(1)＝0；令x＝－2，可得f(2)＋f(2)＝0，即f(2)＝0，则f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝0，所以(k)＝f(1)＋f(2)＋2×0＝2＋0＋0＝2.故选C． 8．(2025·江西南昌二模)已知函数f(x)满足f(x－y)f(y)＝2f(x)，f(x)≠0且f(1)＝4，则f(2－x)＋f(x)的最小值为(　　) A．4 B．2 C．8 D．4 【答案】　C 【解析】　令y＝0可得f(x)f(0)＝2f(x)，因为f(x)≠0，则f(0)＝2，令x＝2，y＝1可得f(1)f(1)＝2f(2)＝16，解得f(2)＝8，令x＝2可得f(2－y)f(y)＝2f(2)＝16，即f(2－x)f(x)＝16，令x＝2y可得2f(2y)＝f(y)f(y)，所以f(x)＝2>0，所以f(2－x)>0，f(x)>0，由基本不等式可得f(2－x)＋f(x)≥2＝2＝8，当且仅当f(x)＝f(2－x)＝4时，等号成立，当x＝1时，等号成立，所以 f(2－x)＋f(x)的最小值为8.故选C． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．(2025·虹口区二模)下列函数中为偶函数的是(　　) A．y＝ B．y＝x－2 C．y＝sin D．y＝tan(x＋π) 【答案】　BC 【解析】　对于A，y＝的定义域为[0，＋∞)，是非奇非偶函数，不满足题意；对于B，y＝x－2是定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，满足题意；对于C，y＝sin＝cos x，是定义域R上的偶函数，满足题意；对于D，y＝tan(x＋π)＝tan x，是定义域，k∈Z上的奇函数，不满足题意．故选BC． 10．(2025·吉林延边一模)设f(x)是R上的奇函数，且对∀x∈R都有f(2－x)＝f(x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝x2，则下列说法正确的是(　　) A．f(x)的最大值是1，最小值是0 B．当3≤x≤4时，f(x)＝－(x－4)2 C．点(1，0)是函数f(x)的对称中心 D．f(x)在区间(3，5)上是增函数 【答案】　BD 【解析】　因为f(x)是R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，又对∀x∈R都有f(2－x)＝f(x)，所以f(x)的图象关于x＝1对称，因为f(2－x)＝－f(－x)，即f(2＋x)＝－f(x)，所以f(4＋x)＝f(x)，所以是周期为4的周期函数，又当x∈[0，1]时，f(x)＝x2单调递增，所以f(x)在[－1，0]上单调递增，则f(x)在[－1，1]上单调递增，由f(x)的图象关于x＝1对称，得f(x)在[1，3]上单调递增，所以f(x)在[－1，3]上的最大值是f(1)＝1，最小值是f(－1)＝－f(1)＝－1，故A错误；当3≤x≤4时，0≤4－x≤1，则f(x)＝－f(－x)＝－f(4－x)＝－(4－x)2，故B正确；由对∀x∈R都有f(2－x)＝f(x)，得f(x)的图象关于x＝1对称，故C错误；由f(x)在[－1，1]上单调递增，且周期为4，则f(x)在区间(3，5)上是增函数，故D正确．故选BD． 11．(2025·河南信阳二模)下列说法中不正确的是(　　) A．已知f(2x)的定义域为(1，3)，则g(x)＝的定义域为(4，6) B．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f(x)＝x(x＋1)，则f(x)的解析式为f(x)＝x2－|x| C．函数y＝的单调递减区间是[2，＋∞) D．“－3<k<0”是“不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x恒成立”的充要条件 【答案】　ACD 【解析】　对于A，由解得－1<x<3且x≠2，所以g(x)＝的定义域为(－1，2)∪(2，3)，错误；对于B，当x>0时，所以－x<0，由偶函数性质可得f(x)＝f(－x)＝－x(－x＋1)，所以f(x)＝即f(x)＝x2－|x|，正确；对于C，当x＝6时，5＋4x－x2＝5＋24－36<0，此时y＝无意义，错误；对于D，当k＝0时，2kx2＋kx－<0即为－<0恒成立，错误；故选ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．(2025·利津县校级模拟)函数f(x)＝＋log3x的定义域为 ________. 【答案】　(0，1) 【解析】　由题意知，令解得0＜x＜1， 所以函数f(x)的定义域为(0，1)． 13．(2025·安徽模拟)函数y＝＋(x＞1)的值域为 ________. 【答案】　 【解析】　根据题意，函数y＝＋(x＞1)，因为f(x)＝与g(x)＝在(1，＋∞)上均为减函数，且当x→＋∞时，→0，→0，f(1)＝，g(1)＝1，故0＜y＜＋1＝，则y＝＋(x＞1)的值域为. 14．(2025·焦作校级一模)若函数f(x)＝的最小值为f(0)，则实数m的取值范围为 ________. 【答案】　[－1，0] 【解析】　又因为当x＞0时，函数f(x)＝x＋＋m≥2＋m＝m＋2，当且仅当x＝1时等号成立；如果最小值为f(0)可得f(0)≤m＋2，所以1≤m＋2，解得m≥－1；当x≤0时，函数f(x)＝x2＋mx＋1关于直线x＝－对称，如果最小值为f(0)，可知－≥0，所以m≤0.综上可知，实数m的取值范围为[－1，0]． 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题一　函数与导数 第1讲　函数的图象与性质 【真题再现●明考向】 1．对函数图象的考查主要有两个方面：一是识图，二是用图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决有关函数性质的问题． 2．求函数零点所在的区间、零点的个数及参数的取值范围是高考的常见题型，主要以选填题的形式出现． 【考情分析●明方向】 1．(2025·新课标全国Ⅰ卷)设f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数，当2≤x≤3时，f(x)＝5－2x，则f＝(　　) A．－　　　　　　　　　 B．－　　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　 D． 2．(多选)(2024·新课标全国Ⅱ卷)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝(x2－3)ex＋2，则(　　) A．f(0)＝0 B．当x<0时，f(x)＝－(x2－3)e－x－2 C．f(x)≥2当且仅当x≥ D．x＝－1是f(x)的极大值点 3．(2025·北京高考)为得到函数y＝9x的图象，只需把函数y＝3x的图象上的所有点(　　) A．横坐标变成原来的倍，纵坐标不变 B．横坐标变成原来的2倍，纵坐标不变 C．纵坐标变成原来的倍，横坐标不变 D．纵坐标变成原来的3倍，横坐标不变 4．(2025·天津高考)已知函数y＝f(x)的图象如图，则f(x)的解析式可能为(　　) A．f(x)＝ B．f(x)＝ C．f(x)＝ D．f(x)＝ 5．(2024·新课标全国Ⅰ卷)已知函数为f(x)＝在R上单调递增，则a取值的范围是(　　) A．(－∞，0] B．[－1，0] C．[－1，1] D．[0，＋∞) 6．(2024·新课标全国Ⅱ卷)设函数f(x)＝(x＋a)ln(x＋b)，若f(x)≥0，则a2＋b2的最小值为(　　) A． B． C． D．1 7．(多选)(2023·新课标全国Ⅰ卷)已知函数f(x)的定义域为R，f(xy)＝y2f(x)＋x2f(y)，则(　　) A．f(0)＝0 B．f(1)＝0 C．f(x)是偶函数 D．x＝0为f(x)的极小值点 8．(2023·新课标全国Ⅱ卷)若f(x)＝(x＋a)ln为偶函数，则a＝(　　) A．－1 B．0 C． D．1 9．(2025·北京高考)关于定义域为R的函数f(x)，以下说法正确的有________. ①存在在R上单调递增的函数f(x)使得f(x)＋f(2x)＝－x恒成立； ②存在在R上单调递减的函数f(x)使得f(x)＋f(2x)＝－x恒成立； ③使得f(x)＋f(－x)＝cos x恒成立的函数f(x)存在且有无穷多个； ④使得f(x)－f(－x)＝cos x恒成立的函数f(x)存在且有无穷多个． 【考点突破●提能力】 考点一　函数的概念与表示 【核心知识】 1．求函数的定义域时要注意三式 分式、根式、对数式，分式中的分母不能为零，偶次根式的被开方数非负，对数的真数大于零． 2．复合函数的定义域 (1)若f(x)的定义域为[m，n]，则在f(g(x))中，m≤g(x)≤n，从中解得x的范围即为f(g(x))的定义域． (2)若f(g(x))的定义域为[m，n]，则由m≤x≤n确定的g(x)的范围即为f(x)的定义域． 3．分段函数 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数值域的并集． 【方法技巧】 1．函数定义域的求解方法 (1)给出解析式的函数，其定义域是使得解析式有意义的自变量的取值集合，构建不等式(组)求解即可． (2)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域可由a≤g(x)≤b求出． (3)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则由x∈[a，b]求得g(x)的值域即可． 2．处理分段函数问题的基本策略 (1)确定自变量的取值范围属于哪个区间，再选取相应的对应关系，离开分段区间讨论分段函数毫无意义的． (2)画出函数的图象，结合图象可将代数问题直接地分析判断出来． 【典例研析】 1．(1)(2025·扬州校级模拟)已知函数y＝f(x)的定义域为[0，1]，则函数y＝的定义域为(　　) A．[1，2] B．[－1，0] C．∪ D．∪ (2)(2025·海淀区校级模拟)已知f(x)＝的值域为R，那么实数a的取值范围是(　　) A． B． C． D． (3)(2025·上海宝山二模)已知函数f(x)＝则f(4)＝________. 【跟踪训练】 1．(2025·辽宁大连一模)已知f(x－1)＝ex，则f(2)＝(　　) A．e　　　　　　 B．2e　　　　　　 C．e2　　　　　　 D．e3 2．(2025·河北模拟预测)已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，∀x>0，y>0，都有f(xy)＝f(x)＋f(y)，且f＝－1，则f(64)＝(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 3．(2025·山西模拟)已知函数y＝f(2x－1)的定义域是[－1，3]，则y＝的定义域是(　　) A．(－2，5] B．(－2，3] C．[－1，3] D．[－2，5] 考点二　函数的图象 【核心知识】 1．作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换． 2．利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点． 【方法技巧】 1．识图的三种常用方法 (1)抓住函数的性质，定性分析： ①由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置； ②由函数的单调性，判断图象的变化趋势； ③由函数的奇偶性，判断图象的对称性； ④由函数的周期性，判断图象的循环往复． (2)抓住函数的特征，定量计算： 从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题． (3)根据实际背景、图形判断函数图象的方法： ①根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图象(定量分析)； ②根据自变量取不同值时函数值的变化、增减速度等判断函数图象(定性分析)． 2．由图象确定函数解析式的方法 (1)根据已知或作出的函数图象，从最高点、最低点，分析函数的最值； (2)从图象的对称性，分析函数的奇偶性； (3)从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性； (4)从图象与x轴的交点情况，分析函数的零点． 【典例研析】 2．(1)(2025·天津校级模拟)若函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可能为(　　) A．f(x)＝ B．f(x)＝ C．f(x)＝ D．f(x)＝ (2)(2025·河北区一模)函数f(x)＝(2－x－2x)·cos x的图象大致为(　　) 　 A　　　　　　　　　B 　 C　　　　　　　　　D (3)(2024·广东佛山二模)如图，△OAB是边长为2的正三角形，记△OAB位于直线x＝t(0≤t≤2)左侧的图形的面积为f(t)．则函数y＝f(t)的大致图象是(　　) 　　　 A　　　　　　　B　　　　　　　C　　　　　　　D (4)(2025·安顺模拟)函数f(x)＝的部分图象如图(粗实曲线)，则a＝(　　) A．8 B．6 C．4 D．2 【跟踪训练】 4．(2025·新疆校级一模)函数f(x)＝的部分图象大致为(　　) 　　　 A　　　　　　B　　　　　　C　　　　　　D 5. (2025·辽宁二模)函数f(x)的部分图象大致如图所示，则f(x)的解析式可能是(　　) A．f(x)＝　　　　　　　　　　　 B．f(x)＝ C．f(x)＝ D．f(x)＝ 6．(2025·玉溪二模)已知函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)·g(x)的图象可能是(　　) 　　　 A　　　　　　　B　　　　　　C　　　　　　　D 考点三　函数的性质 【核心知识】 1．函数的奇偶性 (1)定义：若函数的定义域关于原点对称，则有：f(x)是偶函数⇔f(－x)＝f(x)＝f(|x|)； f(x)是奇函数⇔f(－x)＝－f(x)． (2)判断方法：定义法、图象法、奇偶函数性质法(如奇函数×奇函数是偶函数)． 2．函数单调性判断方法：定义法、图象法、导数法．复合函数的单调性牢记“同增异减”． 3．奇函数在其图象关于原点对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在其图象关于原点对称的单调区间内有相反的单调性，即“奇同偶反”． 4．函数的周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． (3)常见结论：若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a；若f(x＋a)＝，则T＝2a；若f(x＋a)＝－，则T＝2a. 5．函数的对称性 (1)①若函数y＝f(x)关于直线x＝a对称，则f(a－x)＝f(a＋x)； ②若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x)，则函数关于点(a，0)对称． (2)两个函数图象的对称 ①函数y＝f(x)与y＝f(－x)关于y轴对称； ②函数y＝f(x)与y＝－f(x)关于x轴对称； ③函数y＝f(x)与y＝－f(－x)关于原点对称． (3)对称性的3个常用结论 ①若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称． ②若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称． ③若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称． 【方法技巧】 1．函数单调性应用问题的常见类型和解题策略 (1)比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间，然后利用函数单调性解决； (2)在求解抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”脱掉，将其转化为具体的不等式求解，此时应特别注意函数的定义域； (3)利用单调性求解最值问题，应先确定函数的单调性，然后再由单调性求解； (4)利用单调性求参数时，通常把参数视为已知数，根据函数的图象和单调性定义，确定函数的单调区间，将其转化到同一单调区间比较求参数． 2．利用奇偶性及周期性的解题策略 利用函数奇偶性求值，先利用周期性将所求的函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内，代入解析式即可求出函数值．当函数既具有奇偶性又具有对称性时，先利用周期性和对称性确定函数的周期，再利用奇偶性和周期性进行变换，将所求得函数值的自变量转化到已知函数的定义域内求解． 【典例研析】 3．(1)(多选)(2025·汉中模拟)若函数f(x)＝x，则(　　) A．f()＝ B．f(x)的最小值为0 C．f(x)是奇函数 D．f(x)的定义域为(－∞，－1]∪[1，＋∞) (2)(2025·黑龙江二模)已知函数f(x)＝(其中a＞0且a≠1)，若对∀x1，x2∈R，x1≠x2，都有＞2，则实数a的取值范围为(　　) A．[6，8]　　　　 B．[2，6]　　　　 C．　　　　 D． (3)(多选)(2025·芙蓉区校级模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋1)＝f(3－x)，当0≤x≤2时，f(x)＝2x＋x－1，则下列结论正确的是(　　) A．f(x)的图象关于直线x＝－2对称 B．f(x)＝f(x＋4) C．当x∈[－2，0]时，f(x)的值域是[－5，0] D．当x∈[10，12]时，f(x)＝212－x－x＋11 (4)(多选)(2025·南岗区校级一模)已知函数y＝f(2x＋1)的图象关于点(1，0)对称，函数y＝f(x＋1)的图象关于直线x＝1对称，则下列说法正确的为(　　) A．4是f(x)的一个周期 B．f(x)是偶函数 C．f(k)＝1 D．f(1＋x)＋f(1－x)＝0 【跟踪训练】 7．(2025·沧州模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f(x)＝ex，那么f(ln 3)的值为(　　) A．　　　　 B．－3　　　　 C．3　　　　 D．－ 8．(多选)(2025·华安县校级模拟)定义在R上的偶函数f(x)，满足f(x＋2)－f(x)＝f(1)，则(　　) A．f(1)＝0 B．f(1－x)＋f(1＋x)＝0 C．f(1＋2x)＝f(1－2x) D．f(i)＝10 【限时训练】（限时：120分钟） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2025·余姚市校级模拟)下列各组函数是同一函数的是(　　) A．f(x)＝x2与g(x)＝(x＋1)2 B．f(x)＝与g(x)＝x C．f(x)＝与g(x)＝ D．f(x)＝·与g(x)＝ 2．(2025·保山校级二模)已知函数f(x)＝2＋ln(ex＋a)是偶函数，则a＝(　　) A．　　 B．　　 C．0　 　 D．1 3．(2025·丰城市校级模拟)已知函数f(x)＝则不等式f(a2－1)＞f(3)的解集为(　　) A．(－2，2) B．(0，＋∞) C．(－∞，0) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞) 4．(2025·永州模拟)已知f(x)＝(x>0)，则f(x)的最小值是(　　) A．2　　 B．3　 C．4 D．5 5．(2025·临潼区二模)函数y＝的图象大致为(　　) 　　　 A　　　　　B　　　　　　C　　　　　D 6．(2025·云南一模)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x>0时，f(x)＝x2－x＋1.若f(x)≥x＋b对任意的x∈R恒成立，则实数b的取值范围是(　　) A．(－∞，－1] B． C．(－∞，0] D． 7．(2025·重庆二模)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x＋2)＝f(x－2)．若f(1)＝2，则f(k)＝(　　) A．－2 B．0 C．2 D．4 8．(2025·江西南昌二模)已知函数f(x)满足f(x－y)f(y)＝2f(x)，f(x)≠0且f(1)＝4，则f(2－x)＋f(x)的最小值为(　　) A．4 B．2 C．8 D．4 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．(2025·虹口区二模)下列函数中为偶函数的是(　　) A．y＝ B．y＝x－2 C．y＝sin D．y＝tan(x＋π) 10．(2025·吉林延边一模)设f(x)是R上的奇函数，且对∀x∈R都有f(2－x)＝f(x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝x2，则下列说法正确的是(　　) A．f(x)的最大值是1，最小值是0 B．当3≤x≤4时，f(x)＝－(x－4)2 C．点(1，0)是函数f(x)的对称中心 D．f(x)在区间(3，5)上是增函数 11．(2025·河南信阳二模)下列说法中不正确的是(　　) A．已知f(2x)的定义域为(1，3)，则g(x)＝的定义域为(4，6) B．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f(x)＝x(x＋1)，则f(x)的解析式为f(x)＝x2－|x| C．函数y＝的单调递减区间是[2，＋∞) D．“－3<k<0”是“不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x恒成立”的充要条件 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．(2025·利津县校级模拟)函数f(x)＝＋log3x的定义域为 ________. 13．(2025·安徽模拟)函数y＝＋(x＞1)的值域为 ________. 14．(2025·焦作校级一模)若函数f(x)＝的最小值为f(0)，则实数m的取值范围为 ________. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $