精品解析：广西壮族自治区北海市2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

2026届北海市初三年级摸底考试 数学 （考试时间：120分钟 满分：120分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效． 一、选择题：共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 1. 下列函数中，是关于的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的识别，根据反比例函数的定义，形如的函数是反比例函数，直接判断各选项是否符合定义即可． 【详解】解：A、不是反比例函数，不符合题意； B、不是反比例函数，不符合题意； C、不是反比例函数，不符合题意； D、是反比例函数，符合题意； 故选：D． 2. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的判断，根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程．对各选项逐一判断即可． 【详解】解：选项A：方程中含有两个未知数和，不符合“一元”条件，排除． 选项B：方程可整理为，仅含未知数，且最高次数为2，是整式方程，符合定义． 选项C：方程中含分式，不是整式方程，排除． 选项D：方程为一次方程，最高次数为1，排除． 故选：B． 3. 计算等于（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值直接计算即可． 【详解】解：． 故选：D． 4. 下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别计算的值，并判断结果与0的关系，即可得到答案． 【详解】解：A．∵， ∴没有实数根，故选项不符合题意； B．∵， ∴有两个相等实数根，故选项符合题意； C．∵， ∴有两个不相等实数根，故选项不符合题意； D．∵， ∴有两个不相等实数根，故选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，准确计算并作出判断是解题的关键． 5. 如图，线段，相交于点，，若，，，则的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】由，得出，根据相似三角形的性质列出比例式，代入数据进行计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得：， 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 6. 如图，在中， ，， ，下列三角函数表示正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理的应用，熟记在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边是解题的关键．先利用勾股定理求出的长，然后根据锐角三角函数的定义对各选项分别进行计算，再利用排除法求解即可． 【详解】解：在中， ，， ， ∴ ∴ 故选：D． 7. 如图，在中，，则的长为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据锐角三角函数的定义即可得解. 【详解】在中，． 因为， 所以． 故选A 8. 的值等于（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，根据角的余弦值即可求解 【详解】解：， 故选：A 9. 反比例函数的图象经过点，则的值是（ ） A. B. C. 15 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求反比例函数解析式，将点代入反比例函数的解析式，直接计算的值即可． 【详解】解：代入点到，得， 解得． 故选：C． 10. 某景点的参观人数逐年增加，据统计，2015年为10.8万人次，2017年为16.8万人次．设参观人次的平均年增长率为x，则（　　） A. 10.8（1+x）=16.8 B. 16.8（1﹣x）=10.8 C. 10.8（1+x）2=16.8 D. 10.8[（1+x）+（1+x）2]=16.8 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：设参观人次的平均年增长率为x，根据题意可得等量关系：10.8万人次×（1+增长率）2=16.8万人次，根据等量关系列出方程10.8（1+x）2=16.8， 故选C． 考点：由实际问题抽象出一元二次方程 11. 如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为米，则根据题意，列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把阴影部分分别移到矩形的上边和左边，可得种植面积为一个矩形，根据种植的面积为600列出方程即可． 【详解】解：如图，设小道的宽为， 则种植部分的长为，宽为 由题意得：． 故选C． 【点睛】考查一元二次方程的应用；利用平移的知识得到种植面积的形状是解决本题的突破点；得到种植面积的长与宽是解决本题的关键． 12. 古希腊艺术家发现当人的头顶至肚脐的长度（上半身的长度）与肚脐至足底的长度（下半身的长度）的比值为“黄金分割数”时，人体的身材是最优美的，一位女士身高为154cm，她上半身的长度为62cm，为了使自己的身材显得更为优美，计划选择一双合适的高跟鞋，使自己的下半身长度增加，你认为选择鞋跟高为多少厘米的高跟鞋最佳（ ） A. 4cm B. 6cm C. 8cm D. 10cm 【答案】C 【解析】 【分析】根据黄金分割的概念，列出方程直接求解即可． 【详解】解：根据题意，设她穿的高跟鞋的高度是x cm，则 ， 解得：， ∴我认为选择鞋跟高为8厘米的高跟鞋最佳； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了黄金分割的应用；关键是明确黄金分割所涉及的线段的比． 二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分． 13. 若，则＝_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据比例的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键． 14. 一元二次方程的根是______． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 通过因式分解法求解一元二次方程． 【详解】解：方程， 提取公因式，得， 因此或， 即，． 故答案为：， 15. 如图，小明从路灯下向前走了5米，发现自己在地面上的影子长DE是2米，如果小明的身高为1.6米，那么路灯离地面的高度AB是_______米． 【答案】5.6 【解析】 【分析】根据CD∥AB，得出△ECD∽△EBA，进而得出比例式求出即可． 【详解】解：由图知，DE=2米，CD=1.6米，AD=5米， ∴AE=AD+DE=5+2=7米 ∵CD∥AB， ∴△ECD∽△EBA， ，即 解得AB=5.6（米）． 故答案为5.6 【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，得出△ECD∽△EBA是解决问题的关键． 16. 如图，四边形是正方形，E是上一点，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】此题重点考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质等知识．先证明，由，得，则，即，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题：本大题共7题，共72分，解答应写出文字说明，证明过程或定算先骤． 17. （1）解方程： （2）计算： 【答案】（1）；（2）5． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，含特殊角的三角函数值． （1）利用配方法解方程即可； （2）先代入特殊角的三角函数值，再进行有理数的混合运算． 【详解】解：（1） 解得； （2）解： ． 18. 如图，，直线m，n分别与直线a，b，c交于点B，C，E和点A，D，F．已知，，，求线段的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，根据可得，代入数值求出，进而即可求解． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， ∴． 19. 某校准备开展“行走的课堂，生动的教育”研学活动，并计划从博物馆、动物园、植物园、海洋馆（依次用字母表示）中选择一处作为研学地点．为了解学生的选择意向，学校随机抽取部分学生进行调查，整理绘制了如图所示，不完整的条形统计图和扇形统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）求此次接受随机抽样调查的人数；并补全条形统计图； （2）该校共有名学生，请你估计该校有多少名学生想去海洋馆？ 【答案】（1）人；补全条形统计图如下： （2）名 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图，样本估计总体，看懂统计图是解题的关键． （）用组人数除以其百分比可求出随机抽样调查的人数，再求出组人数即可补全条形统计图； （）用乘以想去海洋馆的人数占比即可求解； 【小问1详解】 解：此次接受随机抽样调查的人数为人， ∴组人数为人， 【小问2详解】 解：（名）， 答：估计该校有名学生想去海洋馆． 20. 如图，在中，，于点D．，求BC的长． 【答案】 【解析】 【分析】先在中利用的定义可计算出的长，再利用勾股定理解答即可． 【详解】解：∵，， ∴． 在中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，勾股定理和解直角三角形，熟练运用余弦求线段长度是解题的关键． 21. 反比例函数的图象经过点， （1）求这个函数的解析式； （2）请判断点是否在这个反比例函数的图象上，并说明理由． （3）当时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） 解：不在，理由如下： 当时，， ∴点不在这个反比例函数的图象上； （3） 【解析】 【分析】本题考查了求反比例函数解析式，反比例函数的图象与性质； （1）代入到，求出的值即可； （2）代入到反比例函数解析式，求出对应的值即可判断； （3）根据反比例函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：代入到，得， 解得， ∴这个函数的解析式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵， ∴在每一个象限内随的增大而增大， 当时，；当时，； ∴当时，的取值范围为． 22. 如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．当其中一点到达终点时，另外一点也随之停止移动． （1）如果分别从同时出发，那么第几秒时，的面积等于？ （2）如果分别从同时出发，那么第几秒时，的长度等于？ 【答案】（1）第1秒 （2）第0秒或2秒 【解析】 【分析】本题考查动点问题，三角形的面积，一元二次方程的应用，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． （1）设第秒时，的面积为，得到，则，求出x的值即可； （2）设第秒时，的长度等于，由，得到，求出t的值即可． 【小问1详解】 解：设第秒时，的面积为，此时， ∵， ∴， 整理得：， 解得：或（舍去）， 第1秒时的面积等于； 【小问2详解】 解：设第秒时，的长度等于， ∵， ∴， 解得：， 第0秒或2秒时，的长度等于． 23. 如图，矩形中，分别在上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上，的对称点为交于． （1）求证：． （2）若为中点，且，求长． （3）连接，若为中点，为中点，探究与大小关系并说明理由． 【答案】（1） 证明：如图： ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵分别在上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上， ∴， ∴， ∴， ∴； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质得，由折叠得出，得出，即可证明； （2）根据矩形的性质以及线段中点，得出，根据代入数值得，进行计算，再结合，则，代入数值，得，所以； （3）由折叠性质，得直线，，是等腰三角形，则，因为为中点，为中点，所以，，所以，则，所以，则，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图： ∵四边形是矩形， ∴，， ∵为中点， ∴， 设， ∴， 在中，， 即， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：如图：延长交于一点M，连接 ∵分别在上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上， ∴直线 ， ， ∴是等腰三角形， ∴， ∵为中点， ∴设， ∴， ∵为中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 【点睛】本题考查了矩形与折叠，相似三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届北海市初三年级摸底考试 数学 （考试时间：120分钟 满分：120分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效． 一、选择题：共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 1. 下列函数中，是关于的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 计算等于（ ） A. B. 1 C. D. 4. 下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，线段，相交于点，，若，，，则的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 如图，在中， ，， ，下列三角函数表示正确的是( ) A. B. C. D. 7. 如图，在中，，则的长为（ ） A. 4 B. C. D. 8. 的值等于（ ） A. 1 B. C. D. 9. 反比例函数的图象经过点，则的值是（ ） A. B. C. 15 D. 10. 某景点的参观人数逐年增加，据统计，2015年为10.8万人次，2017年为16.8万人次．设参观人次的平均年增长率为x，则（　　） A. 10.8（1+x）=16.8 B. 16.8（1﹣x）=10.8 C. 10.8（1+x）2=16.8 D. 10.8[（1+x）+（1+x）2]=16.8 11. 如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为米，则根据题意，列方程为（ ） A. B. C. D. 12. 古希腊艺术家发现当人的头顶至肚脐的长度（上半身的长度）与肚脐至足底的长度（下半身的长度）的比值为“黄金分割数”时，人体的身材是最优美的，一位女士身高为154cm，她上半身的长度为62cm，为了使自己的身材显得更为优美，计划选择一双合适的高跟鞋，使自己的下半身长度增加，你认为选择鞋跟高为多少厘米的高跟鞋最佳（ ） A. 4cm B. 6cm C. 8cm D. 10cm 二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分． 13. 若，则＝_______． 14. 一元二次方程的根是______． 15. 如图，小明从路灯下向前走了5米，发现自己在地面上的影子长DE是2米，如果小明的身高为1.6米，那么路灯离地面的高度AB是_______米． 16. 如图，四边形是正方形，E是上一点，，，则______． 三、解答题：本大题共7题，共72分，解答应写出文字说明，证明过程或定算先骤． 17. （1）解方程： （2）计算： 18. 如图，，直线m，n分别与直线a，b，c交于点B，C，E和点A，D，F．已知，，，求线段的长． 19. 某校准备开展“行走的课堂，生动的教育”研学活动，并计划从博物馆、动物园、植物园、海洋馆（依次用字母表示）中选择一处作为研学地点．为了解学生的选择意向，学校随机抽取部分学生进行调查，整理绘制了如图所示，不完整的条形统计图和扇形统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）求此次接受随机抽样调查的人数；并补全条形统计图； （2）该校共有名学生，请你估计该校有多少名学生想去海洋馆？ 20. 如图，在中，，于点D．，求BC的长． 21. 反比例函数的图象经过点， （1）求这个函数的解析式； （2）请判断点是否在这个反比例函数的图象上，并说明理由． （3）当时，直接写出的取值范围． 22. 如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．当其中一点到达终点时，另外一点也随之停止移动． （1）如果分别从同时出发，那么第几秒时，的面积等于？ （2）如果分别从同时出发，那么第几秒时，的长度等于？ 23. 如图，矩形中，分别在上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上，的对称点为交于． （1）求证：． （2）若为中点，且，求长． （3）连接，若为中点，为中点，探究与大小关系并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $