对数函数型复合函数的性质综合、对数函数的实际应用专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

对数函数型复合函数的性质综合、对数函数的实际应用专项训练 对数函数型复合函数的性质综合、对数函数的实际应用专项训练 考点目录 对数函数型复合函数的性质综合 对数函数的实际应用 考点一 对数函数型复合函数的性质综合 例1．（25-26高一上·广西玉林·期末）已知函数且． (1)判断的奇偶性，并予以证明： (2)当时，求使成立的的取值集合． 例2．（25-26高一上·天津·月考）已知函数． (1)求的值； (2)判断并证明的奇偶性； (3)设函数．若对任意的，存在，使得成立，求实数的取值范围． 例3．（25-26高一上·广东佛山·月考）已知函数（且），且． (1)求的值及的定义域； (2)求关于的不等式的解集． 例4．（25-26高一上·北京东城·期末）已知函数． (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性，并给出证明； (3)令，则函数是否存在小于0的零点？请说明理由． 变式1．（25-26高一上·安徽阜阳·月考）设函数在区间上满足. (1)求实数的取值范围； (2)求函数的单调区间； (3)解不等式. 变式2．（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知函数，. (1)当时，求函数的值域； (2)如果，不等式恒成立，求实数的取值范围. 变式3．（25-26高一上·湖北荆州·月考）已知函数 (1)求的定义域，并证明是奇函数； (2)求不等式的解集； (3)若，求实数的取值范围． 变式4．（25-26高一上·甘肃天水·月考）已知函数，. (1)求的最小值； (2)若在上恒成立，求的取值范围； (3)若，，，求的取值范围. 考点二 对数函数的实际应用 例1．（25-26高一上·广东肇庆·期末）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么后物体的温度（单位：）可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数．现有的物体放在的空气中冷却，以后物体的温度是． (1)求的值（精确到）； (2)若要将物体的温度降为，求需要冷却的时间（精确到）． （参考数据：） 例2．（25-26高一上·广西桂林·期末）某小区快递柜的日均使用频次随小区入住天数增长而上升，物业统计了入住第1、2、3天的日均使用频次如下表； 入住天数 1 2 3 日均使用频次（次） 5 14 41 技术人员提出三种函数模型刻画数据：①；②；③（含的项系数均不为0）． (1)从①②③中选择最合适的函数模型（并简要说理由）； (2)运用所选模型，求日均使用频次关于入住天数的函数解析式，并预测入住第5天的日均使用频次； (3)物业制定阶梯收费规则： 若日均使用频次次（承载量80%），服务费元； 若次，服务费元（240次内按0.5元／次，超出部分按1.5元／次）． 若物业计划当单日服务费达到1000元时，启动增配快递柜预案，求最早需要在入住第几天启动该预案（参考数据：，，结果保留整数）． 例3．（25-26高一上·湖北襄阳·月考）塑料袋给我们生活带来了方便，但对环境造成了巨大危害．某品牌塑料袋自然降解后残留量与时间年之间的关系为，为初始量，为光解系数（与光照强度、湿度及氧气浓度有关），为塑料分子聚态结构系数．（参考数据：） (1)已知塑料分子聚态结构系数是光解系数的45倍，若该品牌塑料袋自然降解到残留量为初始量的20%时，大约需要多少年? (2)为了缩短降解时间，该品牌塑料袋生产商改变了塑料分子聚态结构，其他条件不变，已知2年就可降解初始量的20%．则要使残留量不超过初始量的5%，至少需要多少年? 例4．（25-26高一上·广西南宁·期末）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．六堡茶历史悠久，兴于唐宋，盛于明清，品质以“红、浓、陈、醇”四绝著称．已知某款六堡茶用的水冲泡，当茶水温度降至时饮用，口感最佳．某高一学习兴趣小组为探究在室温条件下用的水冲泡，茶水达到最佳饮用口感时的放置时间．在实验室通过做实验，每隔测量一次茶水温度，得到茶水温度与时间的部分数据如下表所示： 时间 0 1 2 3 4 5 水温 95.00 88.00 81.70 76.03 70.93 66.33 (1)给出下列三种函数模型： ①，②（，），③，（，），请根据上表中的数据，选出最符合实际的函数模型并说明理由，利用前2分钟的3组数据求出相应的函数解析式； (2)根据（1）中所求函数模型： （ⅰ）计算本次实验冲泡的六堡茶达到最佳饮用口感时所需的放置时间； （ⅱ）当茶水温度接近室温时将趋于稳定，请推测实验室的室温．（参考数据：，） 变式1．（25-26高一上·广西柳州·月考）近几年，直播平台作为一种新型的学习渠道，正逐渐获得越来越多人的关注和喜爱.某平台从2024年初建立开始，得到了很多网民的关注，会员人数逐月增加，如下表所示： 建立平台第个月 1 2 3 4 5 会员人数（万） 2 5 6.7 8 8.9 为了描述从第1个月开始会员人数随时间变化的关系.现有以下三种函数模型供选择：①，②，③. (1)选出最符合实际的函数模型，并说明理由； (2)请选取表格中合适的两组数据，求出你选择的函数模型的解析式； (3)预测第几个月会员人数会达到14万. 变式2．（25-26高一上·湖南张家界·期末）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶的类型和水的温度相关．经验表明，某种普洱茶用95度的水冲泡，等茶水温度降至60度饮用，口感最佳，某实验小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度y与时间t的部分数据如下表所示： 时间/分钟 0 1 2 3 4 5 水温/℃ 95.00 88.00 81.70 76.03 70.93 66.33 (1)给出以下三种函数模型：①；②；③，请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数，简单叙述理由，并利用表中前3组数据求出相应的解析式； (2)按（1）中所求模型，求刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.1）； (3)考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，求进行实验时的室温约为多少． 参考数据：． 变式3．（25-26高一上·山西长治·期末）某科研部门有甲乙两个小微研发项目，据前期市场调查，项目甲研发期望收益（单位：万元）与研发投入资金（单位：万元）的关系为，项目乙研发期望收益（单位：万元）与研发投入资金（单位：万元）的关系为，，且. (1)求实数的值； (2)已知该科研部门计划将27万元资金全部投资甲乙两个研发项目，试问如何分配研发资金，能够使得投资期望收益最大?并求出最大期望收益. 变式4．（25-26高一上·山东济宁·月考）按照国务院节能减排综合工作方案的通知要求，到年，某地区化学需氧量排放总量要控制在万吨，要比年下降，假设这期间每一年化学需氧量排放总量下降的百分比都相等，年后第年的化学需氧量排放总量为万吨. (1)求的解析式； (2)按此计划，到哪一年，可以将该地区的化学需氧量排放总量控制在万吨以内？（参考数据，） 2 学科网（北京）股份有限公司 $对数函数型复合函数的性质综合、对数函数的实际应用专项训练 对数函数型复合函数的性质综合、对数函数的实际应用专项训练 考点目录 对数函数型复合函数的性质综合 对数函数的实际应用 考点一 对数函数型复合函数的性质综合 例1．（25-26高一上·广西玉林·期末）已知函数且． (1)判断的奇偶性，并予以证明： (2)当时，求使成立的的取值集合． 【答案】(1)是奇函数，证明见解析； (2). 【详解】（1）函数是奇函数， 由函数，得，解得， 函数的定义域为，， 所以函数是奇函数. （2）当时，不等式，而函数是增函数， 则，解得， 所以的取值集合为. 例2．（25-26高一上·天津·月考）已知函数． (1)求的值； (2)判断并证明的奇偶性； (3)设函数．若对任意的，存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)偶函数，证明见解析 (3) 【详解】（1）由题，将代入得. （2）为偶函数. 证明：由题可知，定义域为 ，， 所以． 所以，为偶函数. （3）由题，， 令，则在上单调递增，根据对数函数的性质可知在上单调递增， 故单调递增， 又在上单调递增，在上单调递增， 所以，当时，， 因为对任意的，存在，使得， 所以对于恒成立，即恒成立. 设，则， ，当且仅当，即时，等号成立． 所以. 例3．（25-26高一上·广东佛山·月考）已知函数（且），且． (1)求的值及的定义域； (2)求关于的不等式的解集． 【答案】(1),定义域为 (2) 【详解】（1）由题意， 则，， 由得， 则定义域为. （2）由（1）得，， 即， 由于对数函数在单调递增， 则，解得或， 由于， 则关于的不等式的解集为. 例4．（25-26高一上·北京东城·期末）已知函数． (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性，并给出证明； (3)令，则函数是否存在小于0的零点？请说明理由． 【答案】(1) (2)奇函数，证明见解析. (3)不存在，证明见解析 【详解】（1）由对数函数的真数必须大于0，得， 即，解得， 所以函数的定义域为. （2）函数是奇函数， 定义域关于原点对称，， ， 因此，故是奇函数. （3）函数的定义域与的定义域相同，为， 当时，由，得，则， 当时，，，且，则， 于是，即， 因此当时，， 所以不存在小于0的零点. 变式1．（25-26高一上·安徽阜阳·月考）设函数在区间上满足. (1)求实数的取值范围； (2)求函数的单调区间； (3)解不等式. 【答案】(1)； (2)单调递减区间为； (3). 【详解】（1）当时，函数为减函数，函数为增函数， 所以函数为区间上的减函数， 所以由题意可得在区间上恒成立，所以符合题意； 当时，函数为增函数，函数为增函数， 所以函数为区间上的增函数， 所以由题意可得在区间上恒成立，不符合； 综上，； （2）由（1）可得函数为减函数， 令， 所以函数的单调递减区间为，无单调递增区间； （3）由（1）可得函数为减函数， 则令. 所以解集为. 变式2．（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知函数，. (1)当时，求函数的值域； (2)如果，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1），， 则， 令，由，得， 令，， 当，即时，； 当，即时，. 所以函数的值域为. （2）， 即， 令，由，得， 则，即， 令，则 又， 当且仅当时等号成立，从而， 所以实数的取值范围是. 变式3．（25-26高一上·湖北荆州·月考）已知函数 (1)求的定义域，并证明是奇函数； (2)求不等式的解集； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)，证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）因为所以的定义域为：， 因为， 所以，所以为奇函数． （2）， 所以， 所以，即：， 所以不等式的解集为：； （3）对于函数，令， 因为在内单调递减，在内单调递增， 所以函数在内单调递增， 而在定义域内单调递增， 所以函数在内单调递增， 由可得， 因为是奇函数，故， ，解得， 所以实数的取值范围是. 变式4．（25-26高一上·甘肃天水·月考）已知函数，. (1)求的最小值； (2)若在上恒成立，求的取值范围； (3)若，，，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）令，则，设函数，函数. 当时，取得最小值，最小值为， 因为在上单调递增，所以的最小值为. （2）由在上恒成立，得在上恒成立， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以，即，故的取值范围为. （3）若，，，则,. 令，则，设函数，在上单调递增， ，，则， 函数在上单调递增，所以. 即，，即， 由于函数在单调递增， 则， 则， 则的取值范围为. 考点二 对数函数的实际应用 例1．（25-26高一上·广东肇庆·期末）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么后物体的温度（单位：）可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数．现有的物体放在的空气中冷却，以后物体的温度是． (1)求的值（精确到）； (2)若要将物体的温度降为，求需要冷却的时间（精确到）． （参考数据：） 【答案】(1) (2)方法一：；方法二： 【详解】（1）由题意可知，， 当时，，将这些数据代入解析式得， 整理得， ， . （2）方法一：若要将物体的温度降为， 则， ， 两边同时取自然对数得， ，即， 由（1）知，代入上式得， ， 要将物体的温度降到，需要冷却的时间为 方法二：由（1）可知 ，即 ， 要将物体的温度降到，需要冷却的时间为. 例2．（25-26高一上·广西桂林·期末）某小区快递柜的日均使用频次随小区入住天数增长而上升，物业统计了入住第1、2、3天的日均使用频次如下表； 入住天数 1 2 3 日均使用频次（次） 5 14 41 技术人员提出三种函数模型刻画数据：①；②；③（含的项系数均不为0）． (1)从①②③中选择最合适的函数模型（并简要说理由）； (2)运用所选模型，求日均使用频次关于入住天数的函数解析式，并预测入住第5天的日均使用频次； (3)物业制定阶梯收费规则： 若日均使用频次次（承载量80%），服务费元； 若次，服务费元（240次内按0.5元／次，超出部分按1.5元／次）． 若物业计划当单日服务费达到1000元时，启动增配快递柜预案，求最早需要在入住第几天启动该预案（参考数据：，，结果保留整数）． 【答案】(1)选②，理由见解析； (2)，第5天的日均使用频次为365次； (3)第6天. 【详解】（1）若选①，则，可得，此时，满足； 若选②，则，可得，此时，满足； 若选③，则，无解，故不满足； 而随入住天数增加，单位增长率逐渐变大且呈非线性关系， 所以更符合指数函数的增长特征，则模型②满足题设； （2）由（1）知，函数解析式为，则时次； （3）若，则且，可得且， 若，则且，可得且， 由题意，， 要使单日服务费达到1000元，只需，则， 所以，， 所以，最早需要在入住第6天启动该预案. 例3．（25-26高一上·湖北襄阳·月考）塑料袋给我们生活带来了方便，但对环境造成了巨大危害．某品牌塑料袋自然降解后残留量与时间年之间的关系为，为初始量，为光解系数（与光照强度、湿度及氧气浓度有关），为塑料分子聚态结构系数．（参考数据：） (1)已知塑料分子聚态结构系数是光解系数的45倍，若该品牌塑料袋自然降解到残留量为初始量的20%时，大约需要多少年? (2)为了缩短降解时间，该品牌塑料袋生产商改变了塑料分子聚态结构，其他条件不变，已知2年就可降解初始量的20%．则要使残留量不超过初始量的5%，至少需要多少年? 【答案】(1)72年 (2)26年 【详解】（1）解：由塑料分子聚态结构系数是光解系数的45倍，且塑料降解到残留量为初始量的20%， 可得，所以，可得，解得． 所以该品牌塑料袋自然降解到残留量为初始量的20%时，大约需要年. （2）解：根据题意，当时，可得，即， 可得，解得，所以， 若残留量不超过初始量的5%，则，可得 两边取常用对数，可得，解得， 所以至少需要26年． 例4．（25-26高一上·广西南宁·期末）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．六堡茶历史悠久，兴于唐宋，盛于明清，品质以“红、浓、陈、醇”四绝著称．已知某款六堡茶用的水冲泡，当茶水温度降至时饮用，口感最佳．某高一学习兴趣小组为探究在室温条件下用的水冲泡，茶水达到最佳饮用口感时的放置时间．在实验室通过做实验，每隔测量一次茶水温度，得到茶水温度与时间的部分数据如下表所示： 时间 0 1 2 3 4 5 水温 95.00 88.00 81.70 76.03 70.93 66.33 (1)给出下列三种函数模型： ①，②（，），③，（，），请根据上表中的数据，选出最符合实际的函数模型并说明理由，利用前2分钟的3组数据求出相应的函数解析式； (2)根据（1）中所求函数模型： （ⅰ）计算本次实验冲泡的六堡茶达到最佳饮用口感时所需的放置时间； （ⅱ）当茶水温度接近室温时将趋于稳定，请推测实验室的室温．（参考数据：，） 【答案】(1)选模型②，理由见解析，解析式为 (2)（ⅰ）；（ⅱ）. 【详解】（1）由表格数据可知，函数单调递减且递减速度逐渐变慢， 模型③，（，）为单调递增的函数，不符合， 模型①为直线型，不符合递减速度逐渐变慢， 故模型①③不符合，选模型②， 则，解得， 所以； （2）（ⅰ）令，则， 所以， 即刚泡好的六堡茶达到最佳饮用口感的放置时间为． （ⅱ）因为当趋于无穷大时，无限接近于， 所以推测实验室室温为. 变式1．（25-26高一上·广西柳州·月考）近几年，直播平台作为一种新型的学习渠道，正逐渐获得越来越多人的关注和喜爱.某平台从2024年初建立开始，得到了很多网民的关注，会员人数逐月增加，如下表所示： 建立平台第个月 1 2 3 4 5 会员人数（万） 2 5 6.7 8 8.9 为了描述从第1个月开始会员人数随时间变化的关系.现有以下三种函数模型供选择：①，②，③. (1)选出最符合实际的函数模型，并说明理由； (2)请选取表格中合适的两组数据，求出你选择的函数模型的解析式； (3)预测第几个月会员人数会达到14万. 【答案】(1)最符合实际的函数模型是模型①，理由见解析； (2)； (3)第16个月. 【详解】（1）由给定数据表知，函数定义域为，会员人数逐月增加，增速随增大而减缓， 对于模型②，当时无意义，不符合题意； 对于模型③，会员人数增速随增大而变快，不符合题意； 对于模型①，会员人数增速随增大而减缓，符合题意， 所以最符合实际的函数模型是模型①. （2）由（1）知，选择模型①， 将表格中代入，得，解得，则， 所求函数模型的解析式为. （3）当时，，即，解得， 所以预测第16个月会员人数达到14万. 变式2．（25-26高一上·湖南张家界·期末）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶的类型和水的温度相关．经验表明，某种普洱茶用95度的水冲泡，等茶水温度降至60度饮用，口感最佳，某实验小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度y与时间t的部分数据如下表所示： 时间/分钟 0 1 2 3 4 5 水温/℃ 95.00 88.00 81.70 76.03 70.93 66.33 (1)给出以下三种函数模型：①；②；③，请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数，简单叙述理由，并利用表中前3组数据求出相应的解析式； (2)按（1）中所求模型，求刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.1）； (3)考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，求进行实验时的室温约为多少． 参考数据：． 【答案】(1)选②，理由见解析， (2)6.5分钟 (3)25℃ 【详解】（1）由所给数据可知，函数应该为减函数， 故③为增函数，不合题意； 又，不是同一常数，故①不符合题意； 故选②， 则，解得， 所以． （2）由题意，即， 所以（分钟）. 即刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间大约为6.5分钟 （3）由，即，所以进行实验时的室温约为25℃. 变式3．（25-26高一上·山西长治·期末）某科研部门有甲乙两个小微研发项目，据前期市场调查，项目甲研发期望收益（单位：万元）与研发投入资金（单位：万元）的关系为，项目乙研发期望收益（单位：万元）与研发投入资金（单位：万元）的关系为，，且. (1)求实数的值； (2)已知该科研部门计划将27万元资金全部投资甲乙两个研发项目，试问如何分配研发资金，能够使得投资期望收益最大?并求出最大期望收益. 【答案】(1) (2)项目甲研发投入资金3万元，项目乙投入24万元时，投资收益最大为30万元. 【详解】（1）由可得， 解得. （2）由（1）知， 设项目甲研发投入资金为万元，则项目乙投入万元，投资收益为， 则， 则， 由基本不等式可得，当且仅当时等式成立， 所以， 所以，当且仅当时等式成立， 所以项目甲研发投入资金3万元，项目乙投入24万元时，投资收益最大为30万元. 变式4．（25-26高一上·山东济宁·月考）按照国务院节能减排综合工作方案的通知要求，到年，某地区化学需氧量排放总量要控制在万吨，要比年下降，假设这期间每一年化学需氧量排放总量下降的百分比都相等，年后第年的化学需氧量排放总量为万吨. (1)求的解析式； (2)按此计划，到哪一年，可以将该地区的化学需氧量排放总量控制在万吨以内？（参考数据，） 【答案】(1)； (2)年. 【详解】（1）设自年起，每一年化学需氧量排放总量下降的百分比为，年化学需氧量排放总量为， 根据题意，可得，解得， 又每一年化学需氧量排放总量下降的百分比为，所以，即， 所以， 即的解析式为； （2）由（1）知，， 所以，即，即， 又，所以， 所以年后第年，即年可以将该地区的化学需氧量排放总量控制在万吨以内. 2 学科网（北京）股份有限公司 $