北京市第十九中学2025-2026学年第一学期期末练习高二数学

北京市第十九中学2025—2026学年第一学期期末练习 高二数学 2026.01 本试卷共6页,100分。考试时长90分钟。考生务必将答案答在答题纸上,在试卷上 作答无效。考试结束后,将答题纸交回,试卷保留好,以备讲评。 第一部分(选择题共30分) 一、选择题共10小题,每小题3分,共30分。在每小顺列出的四个选项中,选出符合题 目要求的一项。 1.抛物线y2=4x的焦点坐标是 A.0,0) B.(0,) C.(2,0) D.(0,2) 2.已知直线1经过点A,1,2),B(0,1,0),平面a的一个法向量为n=(-2,0,4),则 A.1∥a B.1⊥a C.Ica D.1与a相交,但不垂直 3双曲线 =少=1的渐近线方程为 A)艺 B.y=+2x D.y=2x 4五行是中国古代的一种物质观,多用于哲学、中医学和占卜方面,五行指金、木、水、 火、土现将“金、木、水、火、土”排成一排,则“土、水”相邻的排法种数为 A.12 B.24 C.72 D.48 5.已知直线1过第一象限的点(m,)和(,),直线1的倾斜角为135 ,则mm的最大值为 A.9 B.4 C.3 6.如图,点N为正方形ABCD的中心, ECD为正三角形,平面ECD⊥平面BCD,M 是线段ED的中点,则 ABMC>EN,且直线BM,EN是相交直线 B.BM<EN,且直线BM,EN是相交直线 M C.BM>EN,且直线BM,EN是异面直线 D.BM<EN,且直线BM,EN是异面直线 N A 7.己知A,B,C,D,E是空间中的五个点,其中点A,B,C不共线,则“存在实数x, y,使得DE=xAB+yAC是“DE∥平面ABC”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C,充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 8.已知a=0,2,⑤),c=2a+b,若(a,c)=(6,c),以下向量中可以作为b的是 A.(4.0,4) B.(2,0,2) C.651,2) D.152) Q.已知点4A(-2,0),点B(2,0),半径为r的圆C恒过点(3,4),若存在圆心C使得 C.C丽=0,则r的取值范围是 A.22,4 B.[3.+oo]= C.[3,7刀 D.[5,+oo) 10.已知M={(xy)川y=x+t(x2-x,1≤xs2,03t≤)是平面直角坐标系中的点集设d是 M中两点间的更离的最大值,S是M表示的图形的面积则 Ad=3,S<1 B.d=3,S>1 C.d=o,>1 D.d=0,S<1 第二部分(非选择题 共70分) 二、填空题共5小题,每小题4分,共20分。 1山.学校食堂在某天中午备有5种素菜,4种辈菜,2种汤,现要配成一辈一素一汤的套 餐,则最多可以配制出 种不同的套餐 12.已知点A(-1,2,-),向量n=L,-1,3),平面a经过原点O,且与向量n垂直,则点A 到平面a的距离为 13.已知双曲线c的焦点为(-2,0)和(2,0),离心率为√互,则C的方程为 14.“阿基米德多面体”也称为半正多面体,是由边数不全相 同的正多边形为面围成的多面体,它体现了数学的对称美将 一个正方体沿交于同一项点的三条棱的中点截去一个三棱锥, 共可截去八个三棱锥,于是得到一种八个面为正三角形、六个 面为正方形的半正多面体,如图所示,已知AB=√互,则此 半正多面体的体积为 第2页,共6页 15.在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中,中国队夺得金牌,这是中国艺术 体操队在奥运会上获得的第一枚金牌.艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图 案,它可看作由抛物线C:y2=2px(p>0)绕其顶点分别逆时针旋转90 ,180 ,270后所 得三条曲线与C围成的(如图阴影区域),A,B为C与其中两条曲线的交点. 当卫=1时,给出以下结论: 1 ①开口向上的抛物线的方程为y=2: ②lAB=4: 3 ③直线x+y=(截第一象限花瓣的弦长最大值为 X ④阴影区域面积大于4: 其中所有正确结论的序号是 三、解答题共4小题,共50分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 16.(本小题10分) 已知点(2,-3)在圆C:x2+y2-8x+6y+m=0上 (I)求该圆的圆心坐标及半径长: ( )过点ML,-),斜率为-4的直线1与圆C相交于4,B两点,求弦B的长. 和一 17.(本小题12分) 如图,在直三棱柱ABC-AB,G中,AM=AC=BC=2,AC⊥BC,D,E分别是A8, C B CC的中点 D (I)求证:GD⊥平面ABBA: A E ( )求直线BD与平面ABE所成角的正弦值 C B 18.(本小题14分) 四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,平面PAB⊥平面ABCD,PA⊥AB,E 为棱PA的中点,过点B,C,E的平面交棱PD于点F (I)求证:F为PD中点; ( )若PA=AB=2,PD=3,再从条件①或条件②中选择一个作为已知,求二面角 D-CF-E的余弦值, 条件①:PC=BC 条件②:PC与平面ABCD所成角的正切值为2. E 注:如果选择多个符合要求的条件分别解答,按第一 个解答计分 19.(本小题14分) 已知椭圆E:女+少 。+京=1如>b>0)的左右顶点分别为4,4,离心率为 2,点T0,1), T4A,的面积为2. (I)求椭圆E的方程: ( )过点T且斜率为k的直线交椭圆E于点C,D,线段CD的垂直平分线交y轴于点 2,点Q关于直线CD的对称点为P,若四边形PCQD为正方形,求k的值北京市第十九中学2025一2026学年第一学期期末练习 高二数学答案 2026.01 选择。 1 2 3 5 6 7 8 9 10 A B C D A A B A 0 二、填空。 6而 11.40 12. 13. y 11 2 =1 14. 20 15.①②④ 三、解答。 16.(本小题10分) 已知点(2，-3)在圆C:x2+y2-8x+6y+m=0上. ()求该圆的圆心坐标及半径长： 4 ②)过点M(L,-),斜率为-。的直线1与圆C相交于A,B两点，求弦AB的长. 解 )点(2，-3)在圆C:x2+y2-8x+6y+m=0上， 22+(-3)2-16-18+m=0,…1分 解得m=21.…】分 ∴圆C的方程为(x-4)+0y+3)=4,…1分 圆心C坐标为(4，-3)，半径r=2.…2分（圆心+半径） (依题意，直线1的方程为y+1=红-1)，即4x+3y-1=0,…1分 则圆心到直线1的距离为d=16-9-_6 V@+32=5 …2分（公式+结果） …1分 ha1=2-骨=9 …分 人 17.(本小题12分) 解析 ()因为直三棱柱ABC-ABC,,所以AM上平面AB,G,1分 因为CDC平面A8C,所以AA⊥GD,…I分 因为AC=BC,所以4G=BC,因为D是AB的中点，所以GD⊥AB·1红 因为AAOA8=4,AAC平面A4B,B,A8c平面4B,B,-1分 所以CD⊥平面LABB,l分 (2)因为直三棱柱ABC-AB,C,所以CC,⊥平面ABC, AC,BCC平面ABC,所以CC⊥AC,CC L BC,因为AC⊥BC, 2C 所以CC,AC,BC两两垂直，以C为原 点，C,C8,CC为x轴、y轴、z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系。…1分 设4=2，则B(0,2,0,4(2,0,2),D,l2)-E(0,0.D 所以B丽=1，-1,2)，B距=(0，-2,1)，瓦=(2,0,1)，…(3个向量坐标都写对)1分 设平面ABE的一个法向量为示=(x,火，). [方.B正=0 [-2y+z=0 所以 即 =0 2x+z=0 ，…l分 令z=2,则x=-1,y=1 所以万=(-1,1,2)。…1分 BD-开I 所以os(0小部闪…2分（公式结果） 设直线8D与平面ABE所成角为0， 所以si血0=-os(面，-月 …1分 故直线BD与平面ABE所成角的正弦值为 18.(本小题14分) 四棱维P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，平而PAB⊥平面ABCD,PA⊥AB,E 为棱PA的中点，过点B,C,E的平面交棱PD于点F (1)求证：F为PD中点： (2)若PA=AB=2,PD=3,再从条件①或条件②中选择一个作为已知，求二面角 D-CF-E的余弦值 条件①：PC=BC E 条件②：PC与平面ABCD所成角的正切值为2 B )证明：因为底面ABCD为平行四边形， 所以AD∥BC,…1分 又ADC平面PAD,BC中平面PAD,…I分 所以BC∥平面PAD,…1分 因为BCc平面BCFE,且平面BCFE∩平面PAD=EF,I分 所以BC∥EF,…1分 又E为棱PA的中点，所以F为PD中点.…1分 (2)解：选择①： 因为平面PAB⊥平面ABCD,平面PABO平面ABCD=AB,PA⊥AB,PAC平面 PAB,所以PA⊥平面ABCD,…1分 因为AD、ACC平面ABCD,所以PA⊥AD,PA⊥AC, 所以AD=VPD2-P2=√32-22=5=BC=PC, ZA 所以AC=√PC2-PA=5-2=1, 所以AC2+AB2=BC2,即AB⊥AC,…1分 故以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， B 则C(0,1,0),D(-2,1,0),E(0,0,1),P(0,0,2). F-150, 所以cf-el-.cD=(-2.00m.f-l0. C-0 -x-5y+:=0 设平而CDF的法向角为m=(x,y,),则 2 c0 -2x0 取：=1，则x-0、y=2.所以所=(0,2,1).…1分 1 CF=0 -a--b+c=0 设平面CEF的法向为i=(a,b,c),则 ,F=0'即 -a+-b=0 2 取a=1,则b=2,c=2,所以万=(0,2,2），…1分 所以cos<m,n>= m方=4+2_2W5 …2分（公式+结果） 1m川i√5×3 5 由图可知，二面角D-CF-E为钝角，1分 所以二面角D-CF-E的余弦值为-25 …小分 选择②：因为平面PAB⊥平面ABCD,平面PABO平面ABCD=AB,PA⊥AB, PAC平面PAB, 所以PA⊥平面ABCD,…I分 所以∠ACP即为PC与平面ABCD所成角，即tan∠ACP=2, 在RtaPAC中，tm∠ACP=2=PA-2 :,所以AC=1, ACAC 因为PA⊥平面ABCD,ADC平面ABCD,所以PA⊥AD, 所以AD=√PD-PA=V3-22=√5=BC, 所以AC2+AB2=BC2,即AB⊥AC,…1分 故以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 下同选0。 19.(本小题14分) 已知腾两E号 =1和>b>0)的左右顶点分别为44·商心老为5.点T0.》. △TA4的而积为2 (1)求椭圆E的方程： (2)过点T且斜率为的直线交椭圆E于点C,D,线段CD的垂直平分线交y轴于点Q,方 卫关于直线CD的对称点为P若四边形PCQD为正方形，求k的值. (1)己知A(-a,0),A(a,0),T0.), 则△744的面积S=×2a×1=2,解得0=2.…1分 因为离心率e-=号，a=2,所以c=5.2分（离心率公式结果） 又因为a2=b+c2,a=2,c=5,所以b2=a2-c2=4-2=2.…2分（公式-结果） 所以稀圆E的方程为之+上 =1.…1分 42 (2)将直线y=:+1与椭圆x2+2y2=4联立得(22+)x2+4-2=0.…1分 △>0，…】分 -4k -2 根据韦达定理，x+五=2+'=2中 ，…1分 计算y+为=k(红+)+2=k× 4+2= 2 2k2+1 2k2+1 -2k1) 从而得到线段CD中点坐标为(2K+2K+了 …儿分 然后求线段CD垂直平分线方程：垂直平分线的斜率为- 1 1 根据点斜式可得垂直平分线方程为y2水+一太一 一2中，…1分 进而得到点Q02- 1分 最后根据四边形PCQD为正方形时QC⊥QD: 则0c-00=,%+2,为+2+）=0 1 展开得5+低+1+2X,+1+2欢 1 )=0 T2k2+1 进一步化简为（化2+1）xx2+ 2R+2xx+x)+2F+7 2k2+1 2k2+2=0…1分 将与代入得，学0 -4k 整理得(+042-1)=0，解得大=士号…1分 …15分