精品解析：湖南省岳阳市汨罗市第二中学2025-2026学年高一上学期1月月考数学试题

2026年1月高一数学月考试题 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 化简得（ ） A. B. C. D. 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则“”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 那么方程的一个近似解（误差不超过0.02）为 （　　） A. 1.437 5 B. 1.375 C. 1.25 D. 1.422 6. ，下列说法不正确的是（　　） A. 是偶函数 B. 有最小值，没有最大值 C. 有4个零点 D. 在和单调递减 7. 已知定义在上的单调函数满足．若对，使得成立，则的最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 8. 已知函数，若当时，，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题5分，共15分） 9. 已知函数的对应关系如下表所示，函数的图象是如图所示的曲线，若，则的值可能为（ ） 0 1 2 3 4 0 2 1 2 0 3 1 A. B. 0 C. 2 D. 4 10. 已知下列函数中，最小正周期为的是（    ） A. B. C. D. 11. 已知，函数，若恒成立，则（ ） A. 的最小值为9 B. 的最小值为2 C. 的最小值为 D. 的最小值为 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知函数的图象关于点对称，则的值为__________. 13. 若命题“对任意，函数的值恒小于”为假命题，则的取值范围为______． 14. 给出定义：若 （其中为整数），则叫做离实数最近的整数，记作，即.已知. （1）_____； （2）若方程恰有5个实数根，则实数的取值范围是_____. 四、解答题（共80分） 15. 已知函数，最小正周期是． （1）求函数在的单调递减区间； （2）解不等式 16. 已知． （1）的对称轴方程； （2）的单调递增区间； （3）若方程在上有解，求实数m的取值范围． 17. 为积极响应上级号召，坚定“四个自信”中的文化自信，某市电视台于2021年年初开通了“优秀传统文化”视频号，并组织专业团队运营，由于内容丰富多彩，该视频号受到广大群众的喜爱，关注度也逐年增加，以2021年作为第1年，运营团队在每年年底利用数据监测系统对该视频号本年度的观看人次统计如下表： 第年 1 2 3 4 观看人次（十万） 35 40 58 67 为了描述年数与第年该视频号观看人次（单位：十万）的关系，现有以下三种模型供选择：①；②；③. （1）由于视频号初创，监测系统对2021年的数据统计不准确，导致该组数据不宜使用，请从①②③中选出一个合适的模型，并求相应的函数解析式，并根据这个模型预测2028年的观看人次能否超过80（单位：十万）； （2）为更好的运营视频号，吸引更多的观看者，2025年年初，运营团队加大投入，引进了最新数据监测系统，经该系统分析，2021年的观看人次修正为28（单位：十万），2024年的观看人次修正为85（单位：十万） （i）根据修正后的数据，请从①②③中选择合适的模型，并求相应的函数解析式； （ii）按上级规定，“优秀传统文化”类视频号当年观看人次超过200（单位：十万），其运营团队可被评为“优秀文化传播集体”荣誉称号，根据（i）中所求函数模型，试估计该视频号运营团队最快到哪一年就能被评为“优秀文化传播集体”？（参考数据：，，.） 18. 已知函数的最小正周期为． （1）求函数的对称轴、对称中心； （2）已知函数，若，，使得，求实数m的取值范围． 19. 已知两个函数，，，若对任意的，存在唯一的，使得成立，则称为的“友好函数”. （1）判断函数，是否为，的“友好函数”，并说明理由； （2）若函数，是，的“友好函数”，求的最小值； （3）已知函数，，，，若是的“友好函数”，且也是的“友好函数”，求实数的值及的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年1月高一数学月考试题 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】确定函数定义域和值域确定集合，再由交集运算即可求解. 【详解】由， ， 所以， 故选：C 2. 化简得（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据诱导公式及同角三角函数基本关系化简可得结果. 【详解】因为 . 又因为2为第二象限角，所以，. 所以. 故选：C 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】要使有意义，需满足，求解即可. 【详解】要使有意义，需满足，即，解得， 故选：A. 4. 已知，则“”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】 解不等式，求出的充要条件，与对比，即可求解. 【详解】， “”是“”的必要不充分条件. 故选:B. 【点睛】本题考查充分必要条件，等价转化是解题的关键，属于基础题. 5. 那么方程的一个近似解（误差不超过0.02）为 （　　） A. 1.437 5 B. 1.375 C. 1.25 D. 1.422 【答案】D 【解析】 【分析】根据二分法直接判断即可得解． 【详解】设近似解为， 由零点存在性定理及二分法计算数据： 因为，，所以， 又，所以， 又，所以， 又，所以， 又，所以， 因为 且，， 所以可取近似解． 故选：D 6. ，下列说法不正确的是（　　） A. 是偶函数 B. 有最小值，没有最大值 C. 有4个零点 D. 在和单调递减 【答案】C 【解析】 【分析】根据偶函数的定义判断A，根据函数的单调性判断BD，令求出的值，判断C. 【详解】函数的定义域为， 对于A：，所以是偶函数，故A正确； 对于B、D：当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在上有最小值，无最大值； 又是偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减， 在上有最小值，无最大值； 所以有最小值，没有最大值，故B、D正确； 对于C：令，所以，即，所以， 所以有2个零点，故C错误； 故选：C 7. 已知定义在上的单调函数满足．若对，使得成立，则的最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得，为常数，则，从而（c），可求得及的解析式，由条件可知，利用的单调性求解即可． 【详解】，且在上单调， ，为常数，， ，， 在上单调递增， 对，，使得成立， ， 又当时，， 当时，，则， ，，又，． 故选：C． 8. 已知函数，若当时，，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】当时， ，得，令，得，再利用对勾函数的单调性求解． 【详解】当时， ， 得， 得， 得， 得， 由，得，， 得，又 得， 令，得， 由对勾函数知，在上递增，得， 故， 得或， 故选：A 二、多选题（每题5分，共15分） 9. 已知函数的对应关系如下表所示，函数的图象是如图所示的曲线，若，则的值可能为（ ） 0 1 2 3 4 0 2 1 2 0 3 1 A. B. 0 C. 2 D. 4 【答案】BD 【解析】 【分析】根据函数的定义，结合函数表格与函数图象，运用枚举法逐一判断即可. 【详解】对于A：当时，，不符合题意，故A错误； 对于B：当时，，符合题意，故B正确； 对于C：当时，，不符合题意，故C错误； 对于D：当时，，符合题意，故D正确， 故选：BD. 10. 已知下列函数中，最小正周期为的是（    ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，画函数的图象，根据图象判断结论，对于B，根据结合图象平移判断结论，对于C，结合周期的定义举反例判断即可，对于D，根据，结合余弦型函数周期公式求周期可判断. 【详解】画的图象，如图， 由图可知函数的最小正周期为，故A正确； 对于B，由于， 所以函数的图象可由函数的图象向右平移个单位得到， 结合选项A可得函数周期为，故B正确； 对于C，设，则，， 所以，故C错误； 对于D，对于函数，当时，， 当时，， 所以，其最小正周期为，故D错误. 故选：AB 11. 已知，函数，若恒成立，则（ ） A. 的最小值为9 B. 的最小值为2 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据函数，的单调性，条件可转化为共零点，由此可得。结合基本不等式判断各选项. 【详解】因为​单调递增，​单调递增，​恒成立， 所以​与​零点相等， 令可得， 令可得 所以函数的零点为，函数的零点为， 所以​ 对于A选项：​， 可知​， 故​，所以​， 当且仅当​，即​取等号，所以A正确； 对于B选项：​，可知​，即​，显然​， 所以​， 当且仅当​时等号成立，故B错误； 对于C选项：由​可知​，易知​，​， 故​， 所以​， 故​，当且仅当​，即​取等号，所以C正确； 对于D选项：由​可知，​， 由A选项可知​，所以​，当且仅当​取最小值​，所以D错误. 故选：AC. 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知函数的图象关于点对称，则的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦函数的对称性结合整体思想求解即可. 【详解】因为函数的图象关于点对称， 所以， 所以，所以， 又，所以. 故答案为：. 13. 若命题“对任意，函数的值恒小于”为假命题，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】将问题转化为存在量词命题为真，进而借助单调性求出最大值即可. 【详解】依题意，，函数的值不小于， 而正弦函数和正切函数在区间上都单调递增， 则函数在上单调递增，当时，，则， 所以的取值范围为. 故答案为： 14. 给出定义：若 （其中为整数），则叫做离实数最近的整数，记作，即.已知. （1）_____； （2）若方程恰有5个实数根，则实数的取值范围是_____. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由定义即可求解第一空，结合新定义，画出函数图像，构造不等式求解即可解决第二空； 【详解】因为， 所以， 所以； ， 画出的图象， 要使方程恰有5个实数根， 结合图像可知，，解得. 故答案为：； 四、解答题（共80分） 15. 已知函数，最小正周期是． （1）求函数在的单调递减区间； （2）解不等式 【答案】（1）和 （2） 【解析】 【分析】（1）先由周期确定,把看成一个整体结合三角函数性质求出递减区间即可； （2）等价于结合正弦函数的图像与性质求解不等式即可. 【小问1详解】 因为，最小正周期是，所以，即，所以， 所以函数的单调递减区间为解得， 当时；当时， 又因为，所以函数在的单调递减区间为和. 【小问2详解】 因为,所以,即,所以, 由正弦函数的图像可知,解得, 因此不等式的解集为 16. 已知． （1）的对称轴方程； （2）的单调递增区间； （3）若方程在上有解，求实数m的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由，结合正弦型函数性质求对称轴即可； （2）根据正弦型函数的单调性求函数增区间； （3）问题化为与的图象有交点，根据正弦型函数的区间值域得，即可求范围. 【小问1详解】 由题设， 令，得， 所以函数对称轴方程为； 【小问2详解】 由，则单调增区间为的单调减区间， 令，则， 所以的单调增区间为； 【小问3详解】 方程在上有解，等价于与的图象有交点． 由，则，即， 所以，故的取值范围为． 17. 为积极响应上级号召，坚定“四个自信”中的文化自信，某市电视台于2021年年初开通了“优秀传统文化”视频号，并组织专业团队运营，由于内容丰富多彩，该视频号受到广大群众的喜爱，关注度也逐年增加，以2021年作为第1年，运营团队在每年年底利用数据监测系统对该视频号本年度的观看人次统计如下表： 第年 1 2 3 4 观看人次（十万） 35 40 58 67 为了描述年数与第年该视频号观看人次（单位：十万）的关系，现有以下三种模型供选择：①；②；③. （1）由于视频号初创，监测系统对2021年的数据统计不准确，导致该组数据不宜使用，请从①②③中选出一个合适的模型，并求相应的函数解析式，并根据这个模型预测2028年的观看人次能否超过80（单位：十万）； （2）为更好的运营视频号，吸引更多的观看者，2025年年初，运营团队加大投入，引进了最新数据监测系统，经该系统分析，2021年的观看人次修正为28（单位：十万），2024年的观看人次修正为85（单位：十万） （i）根据修正后的数据，请从①②③中选择合适的模型，并求相应的函数解析式； （ii）按上级规定，“优秀传统文化”类视频号当年观看人次超过200（单位：十万），其运营团队可被评为“优秀文化传播集体”荣誉称号，根据（i）中所求函数模型，试估计该视频号运营团队最快到哪一年就能被评为“优秀文化传播集体”？（参考数据：，，.） 【答案】（1）选择模型①，，2028年 （2）（i）选择模型②，；（ii）2027年 【解析】 【分析】（1）选择模型①，将点的坐标代入解析式，求出解析式，将代入求值即可下结论； （2）（i）选择模型②，利用待定系数法求出解析式即可；（ii）由题意建立不等式，结合对数的运算性质计算即可下结论. 【小问1详解】 由题意，选择模型①， 将，分别代入①式可得： ，解得，， 所以，也满足该式. 当时，， 即按该模型预测，该视频号2028年的观看人次达到80.5（单位：十万人）， 所以2028年该视频号观看人次能超过80（单位：十万人）. 【小问2详解】 （i）由题意，选择模型②， 将，分别代入②式可得：，解得，， 所以，，均满足该式. （ii）该视频号观看人次超过200（单位：十万人）， 即不等式，所以， 不等式两边同时取常用对数得，， 所以， 即按（i）中求得的函数模型变化，估计最快到2027年， 该视频号运营团队能被评为“优秀文化传播集体”. 18. 已知函数的最小正周期为． （1）求函数的对称轴、对称中心； （2）已知函数，若，，使得，求实数m的取值范围． 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦型函数的最小正周期公式，结合正弦型函数的对称性进行求解即可； （2）根据同角的三角函数关系式，结合换元法、二次函数的性质、正弦型函数的最值性质、存在性和任意性的定义进行求解即可. 【小问1详解】 由题意可知，故，即， 令. 令. 所以函数的对称轴为、对称中心为； 【小问2详解】 令，由得： ，，该函数的图象的对称轴， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 则函数的最小值为，最大值为， 即函数，即， 当时，， 所以，即. 当时，，不合题意舍去， 当时，， 由题意得，即，解得， 当时，， 由题意得，即，解得， 综上可得：. 19. 已知两个函数，，，若对任意的，存在唯一的，使得成立，则称为的“友好函数”. （1）判断函数，是否为，的“友好函数”，并说明理由； （2）若函数，是，的“友好函数”，求的最小值； （3）已知函数，，，，若是的“友好函数”，且也是的“友好函数”，求实数的值及的最大值. 【答案】（1） ，不是，的“友好函数”，理由如下： 取，因为，所以不存在，使得， 所以，不是，的“友好函数”； （2） ； （3） ，的最大值为1. 【解析】 【分析】（1）根据“友好函数”的定义判断即可； （2）根据定义，问题化为函数的值域是函数值域的子集，即可求参数范围，进而确定最小值； （3）由函数新定义及已知，的值域与值域相同（且值域中的数值一一对应），利用正弦型函数性质求的值域，再讨论参数k研究值域，即可得参数范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意，对任意，存在唯一使成立， 即，所以函数的值域是函数值域的子集. 因为，，所以，其值域为， 而在上单调递增，故值域为， 从而，即，所以； 【小问3详解】 当是的“友好函数”时， 由题意，对任意的，存在唯一的，使成立， 即，则的值域是值域的子集. 当是的“友好函数”时， 由题意，对任意的，存在唯一的使成立， 即，则的值域是值域的子集. 所以的值域与值域相同（且值域中的数值一一对应）. 当是的“友好函数”时，因为， 若存在使得，则不存在，使得， 所以当时，，所以， 因为在上单调递减，所以， ①当时，，不符合要求； ②当时，，， 因为，所以，不符合要求； ③当时，，， 若，则在上单调递减， 从而在上单调递增，故， 从而时，， 因为的值域与值域相同，所以， 即，所以，又在上单调递增， 所以当时，的最大值为1. 若，则在上单调递减，在上单调递增， 此时值域与值域中的数值不可能一一对应，不符合要求. 综上：，的最大值为1. 【点睛】关键点点睛：第三问，将问题化为的值域与值域相同（且值域中的数值一一对应）为关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $