精品解析：河北省唐山市玉田县2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题

2025～2026学年度第一学期期末考试 九年级数学试卷 注意事项： 1．本次考试试题共8页，含三道大题，时间为120分钟，满分120分； 2．答题前，请在试卷上填写好自己的姓名、班级、考号等信息； 3．作图题用2B铅笔作答，其它试题用黑色字迹签字笔在试卷上作答． 一、选择题（本大题有12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填涂在答题卡上） 1. 如图，中，，，，则的长为（ ） A. 3 B. 6 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，根据30度角所对的直角边是斜边的一半进行分析，即可作答． 【详解】解：∵，，， ∴， 故选：B． 2. 如图，若的半径为2，点O到某条直线的距离为，则这条直线可能是 （ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，一个圆的圆心到直线的距离为d，圆的半径为，则当时，直线与圆的位置关系为相离；当时，直线与圆的位置关系为相切，当时，直线与圆的位置关系为相交，据此求解即可． 【详解】解：∵的半径为2，点O到某条直线的距离为，且， ∴这条直线与相离， ∴这条直线可能是， 故选：A． 3. 方程的根是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，由题意推出，或，解方程即可求出的值，熟练掌握因式分解解一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：， ， 故选：C． 4. 若抛物线经过点，则b的值是（ ） A. B. C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质． 将点代入抛物线方程，解关于b的方程即可． 【详解】解：∵抛物线经过点， ∴， 即， 解得． 故选：D． 5. 如图，在中，，以O为圆心，长为半径作，分别交、于C、D两点，连接．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，理解题意是解决本题的关键． 先由三角形内角和定理得到，再由等边对等角即可得到的度数． 【详解】解：，， ， ， ， 故选：A． 6. 如图，点A是反比例函数的图象上一点，轴于点B，轴于点C，若矩形的面积为5，则k的值为（ ） A. B. C. 5 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根据图形面积求比例系数（解析式），根据轴于点B，轴于点C，矩形的面积为5，得，又因为点A在第四象限，故，即可作答． 【详解】解：∵点A是反比例函数的图象上一点，轴于点B，轴于点C，矩形的面积为5， ∴， ∵点A在第四象限， 故， 故选：A． 7. 某校初中三个年级进行卫生大评比，其中一个评委对初三年级20个班的成绩汇总并绘制如下表格： 平均数 众数 中位数 方差 学校规定三个年级评比要求：去掉一个最高分，去掉一个最低分进行评比，去掉后表中数据一定不发生变化的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】B 【解析】 【分析】根据中位数的定义：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，位于中间位置或中间两数的平均数可以得到去掉一个最高分和一个最低分不影响中位数． 【详解】解：去掉一个最高分和一个最低分对中位数没有影响， 故选：B． 【点睛】本题考查了统计量的选择，解题的关键是了解中位数的定义，难度不大． 8. 中华美食讲究色香味美，优雅的摆盘能让美食锦上添花．图①外围的每一个拼盘的形状都是扇形的一部分，图②是其中一个的示意图（阴影部分为拼盘）．测量得到，，，则图②所示的拼盘面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形的面积计算，根据，结合扇形面积计算公式求解即可． 【详解】解： ， 故选：D． 9. 如图，在中，直尺的一边与重合，另一边分别交于点D，E．其中点B，C，D，E处的读数分别为8，16，，已知直尺宽为2，则的边上的高为 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形相似的判定和性质，熟练掌握三角形相似的判定定理和性质定理是解题关键．过点A作于点F，交于点G．根据题意可确定，，，，即易证，得出．结合，求解即可． 【详解】解：如图，过点A作于点F，交于点G． 由题意可知，，，， ∴，， ∴． ∵， ∴，即， ∴． 故选D． 10. 如图，在A处测得点P在北偏东方向上，在B处测得点P在北偏东方向上，若米，则点P到直线距离的长为（ ） A. 米 B. 300米 C. 200米 D. 100米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，含度角的直角三角形的性质，勾股定理． 由题意得，，从而可得米，然后通过含度角的直角三角形的性质得米，再由勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，， ∴， ∴， ∴米， 在中，， ∴， ∴米， ∴（米）， ∴点到直线距离为米． 故选：A． 11. 二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，下列结论错误的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，结合图形确定a，b，c的符号和它们之间的关系是解题的关键．根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案． 【详解】解：∵抛物线与x轴有2个交点， ∴， ∴，选项A正确． ∵时，， ∴，选项B正确． 由图象可得时， ∴，选项C正确． ∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∵抛物线与y轴交点在x轴下方， ∴， ∴，选项D错误． 故选：D． 12. 如图，，为射线上一点，以点为圆心、长为半径作，当射线绕点按顺时针方向旋转与相切，则的度数为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】题目主要考查切线的性质和旋转的性质，设旋转后与相切于点，连接，则可求得，再利用角的和差可求得结果，理解题意，分两种情况分析是解题关键． 【详解】解：如图，设旋转后与相切于点，连接，设与交于点，连接， ，即， ， ∴ ∴是等边三角形， 则 又∵， ， 当点在射线上方时， ， 当点在射线下方时，同理可得 ， 故选：B． 二、填空题（本大题有4个小题，每小题3分，共12分） 13. 如图，已知四边形内接于，且，则______°． 【答案】45 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形，根据圆内接四边形对角互补，得，最后代入数值计算，即可作答． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∴， 故答案为：45． 14. 已知是的反比例函数，当时，；当时，的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，设反比例函数解析式为，利用已知条件时，，求出常数，再代入，求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵是的反比例函数， ∴设反比例函数解析式为， 当时，， ∴， 解得：， ∴反比例函数解析式为， 当时，有， 解得：， 故答案为：． 15. 苯（分子式为）的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的，随着研究的不断深入，发现如图1的一个苯分子中的6个碳原子形成了正六边形的结构，其示意图如图2所示，点O为正六边形的中心．若，则正六边形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，理解正多边形的边，圆心角的数量的特点是解题的关键． 根据正多边形的性质可得，，是等边三角形，正六边形的面积为，再运用勾股定理算出，最后把数值代入进行计算，即可求解． 【详解】解：∵是正六边形，点为中心， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，正六边形的面积为， 过点作，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 已知抛物线如图1所示，现将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象其余部分不变，得到一个新图象如图2．当直线与新图象有四个交点时，m的取值范围是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】先求出翻折部分的解析式，再根据图象确定直线与图象恰有四个公共点时m的取值范围即可． 【详解】解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为， 令，则， 解得：，， ∴，， 根据翻折变换，关于x轴的对称点为， ∴曲线所对应的函数解析式为， 当直线与图象2恰有四个公共点时，如图所示： ①当直线与x轴重合，即时与图象②有两个公共点， 所以当时与图象②有四个公共点； ②当时，直线与有三个公共点， 所以当时，直线与新图象有四个交点． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，根据题意画出图象，找出新图象与直线有四个不同公共点的条件是解题的关键． 三、解答题（本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知关于x的一元二次方程． （1）若该方程有一个根为，求方程的另一个根； （2）若该方程有两个相等的实数根，求m的值． 【答案】（1）该方程的另一个根为 （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，已知一元二次方程的根的情况求参数，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合两根之和，进行列式计算，即可作答． （2）根据该方程有两个相等的实数根，得，解得，即可作答． 【小问1详解】 解：∵关于x的一元二次方程，且方程的一个根为， ∴另一个根， ∴另一个根为， 【小问2详解】 解：∵关于x的一元二次方程，且该方程有两个相等的实数根， ∴， 解得． 18. 已知反比例函数的图像经过点． （1）求y与x之间的函数表达式； （2）在图中画出它在第四象限的图像；并指出在这个象限内，y随x的增大怎样变化？ （3）判断点是否在这个函数的图像上，说明理由． 【答案】（1） （2）函数图像如下；第四象限内，y随x的增大而增大 （3）解：点不在这个函数的图像上，理由： 将代入中，可得， ∴点不在这个函数的图像上． 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，画反比例函数的图象，以及判断反比例函数的增减性，熟知用待定系数法求反比例函数解析式是解题的关键． （1）直接把点代入，求出k的值即可； （2）用描点法画出函数图象，根据图象判断增减性即可； （3）把代入解析式，求出函数值即可判断． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图像经过点， ∴， ∴， ∴反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：列表， x … 1 2 4 … y … … 【小问3详解】 略 19. 综合与实践：测量如图（1）所示的圆口水杯的杯口直径．工具：一张宽度为的矩形硬纸板（厚度忽略不计）和刻度尺．小明的测量方法：如图（2），将硬纸板紧贴在杯口上，纸板的两个顶点，分别靠在杯口上，硬纸板的边沿与杯口的另两个交点分别为，，利用刻度尺测得的长． 小亮的测量方法：如图（3），将硬纸板紧贴在杯口上，纸板的一边与杯口相切，切点为A，另一边与杯口相交于B，C两点，利用刻度尺测得BC的长为． （1）小明认为，他所测量的的长就是杯口的直径，他用到的几何知识是：______； （2）请根据小亮的测量方法和所得数据，计算出杯口的直径． 【答案】（1）的圆周角所对的弦是直径； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据的圆周角所对的弦是直径进行解答即可； （2）设点O为圆心，连接交于点M，连接．根据为的切线得到．由得到，垂径定理得到，设的半径为，则，，在中，，得到，解得，即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵纸板的两个顶点A，B分别靠在杯口上，硬纸板的边沿与杯口的另两个交点分别为，， ∴为杯口的直径（的圆周角所对的弦是直径）， 即小明认为，他所测量的的长就是杯口的直径，他用到的几何知识是的圆周角所对的弦是直径． 故答案为：的圆周角所对的弦是直径； 【小问2详解】 解：如图，设点O为圆心，连接交于点M，连接． ∵为的切线， ∴． 又∵， ∴， ∴， 设是半径为，则，， 在中，， ∴， 解得， 所以杯口的直径为． 【点睛】此题考查了圆周角定理、勾股定理、垂径定理、切线的性质定理等知识，熟练掌握圆的性质定理是解答本题的关键． 20. 水果店购进一批葡萄，按每箱质量相等的规定分装，装箱数x（单位：箱）与每箱的质量y（单位：千克）之间的关系如表所示： 装箱数x（箱） 120 100 80 60 …… 每箱质量y（千克） 10 12 15 20 …… （1）这批水果一共有 千克； （2）用式子表示y与x的关系，y与x成什么比例关系？ （3）最终这批葡萄分装了50箱．在出售时每箱葡萄要去掉的损耗，经过粗略估计，售出的葡萄每千克可盈利5元，计算卖出一箱葡萄，可盈利多少钱？ 【答案】（1）1200 （2），y与x成反比例关系 （3）卖出一箱葡萄，可盈利108元 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用． （）根据表格信息即可求解； （）由表格可知，从而可得与的关系为，与成反比例关系； （）当时，，然后去掉损耗后乘以利润即可． 【小问1详解】 解：根据表格可知，这批水果一共有（千克）， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由表格可知， ∴，y与x成反比例关系； 【小问3详解】 解：当时，，（元）， 答：卖出一箱葡萄，可盈利108元． 21. 净觉寺位于玉田县杨家套乡，始建于唐代，是全国重点文物保护单位．在它的北院有一座千佛塔，如图1．《周髀算经》中有“偃矩以望高”的测高方法，“矩”（图2）在古代指两条边呈直角的曲尺（即图3中的，其中）．小明受到启发，利用“矩”测量千佛塔的高度．通过调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使保持水平，点A、B、D在同一直线上，，测得，，，．请通过所给数据解决问题： （1）求出仰角的度数；（参考数据：，） （2）求出千佛塔的高度． 【答案】（1）锐角的度数为； （2）千佛塔的高度为． 【解析】 【分析】本题考查了三角函数，相似三角形的判定和性质． （1）求出的值，进而根据参考数据判断即可； （2）延长交于H，则，四边形是矩形，则，，证明，得到，求出，即可求出的高度． 【小问1详解】 解：在中，， ∵ ∴锐角的度数为； 【小问2详解】 解：如图，延长交于H，则，四边形是矩形， ∴，． ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 答：千佛塔的高度为． 22. 掷实心球是中考体育考试项目之一．图1是一名男生在掷实心球，球的行进路线可近似看作抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示．掷出时，起点处高度为．当水平距离为时，实心球行进至最高点处． （1）求y关于x的函数表达式． （2）若实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于时，则该男生可得满分，请问此次投掷是否能得满分，说明理由． 【答案】（1） （2） 解：此次投掷能得满分，理由如下： 当时，， 解得或（舍） ∵， ∴此次投掷能得满分． 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的实际应用． （1）根据题意得到抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为，将点代入求解即可； （2）求出抛物线与x轴正半轴交点即可判断． 【小问1详解】 解：由题意得，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 将点代入得， 解得， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 略 23. 如图1，独轮车俗称“手推车”，又名辇、鹿车等，是交通运输工具史上的一项重要发明，至今在我国农村和一些边远地区仍然广泛使用．如图2所示为从独轮车中抽象出来的几何模型．在中，，为的直径，交于点P，作，垂足为点D． （1）求证：是的切线； （2）若，请直接写出弧的长． 【答案】（1） 证明：连接，如图 ， ， ， ， ∵ ， ， ， ， ， 又∵为半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）根据等边对等角并结合已知可得出，则可证明，再根据平行线的性质得出，最后根据切线的判定即可得证； （2）根据圆周角定理求出，证明是等边三角形，得出，在中，根据含角的直角三角形的性质求出，最后根据弧长公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，如图， ∵ ， ∵， ， ， 为等边三角形， ， 由（1）得， ， ， ， ∴弧的长． 【点睛】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，圆周角定理，弧长公式等知识，正确添加辅助线，熟练掌握知识点是解题的关键． 24. 某大学学生会在元旦前夕售卖“定制款新年祈福书签”，为校园元旦晚会筹集经费．每枚书签的制作成本为3元，根据预售情况，每天的销售量y（枚）与每枚售价x（元）之间满足一次函数关系（其中，且x为整数）． （1）若学生会销售这种书签每天获得270元的利润，求每枚书签的售价为多少元？ （2）设学生会销售这种书签每天获利w（元），请写出w与x的函数关系式； （3）直接写出当每枚书签的售价为多少元时，每天的销售利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】（1）每枚书签的售价为6元 （2） （3）售价7元时，最大利润为300元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合每枚书签的制作成本为3元，每天的销售量y（枚）与每枚售价x（元）之间满足一次函数关系，以及每天获得270元的利润，进行列方程，再解方程，即可作答． （2）结合利润等于单件利润乘数量，进行列式，即可作答． （3）运用二次函数的性质以及，且x为整数进行分析，即可作答． 【小问1详解】 解：∵每枚书签的制作成本为3元，每天的销售量y（枚）与每枚售价x（元）之间满足一次函数关系（其中，且x为整数）， ∴， ∴整理得 ∴， 解得（舍去）； ∴每枚书签的售价为6元； 【小问2详解】 解：设学生会销售这种书签每天获利w（元）， 根据题意得，； 【小问3详解】 解：由（2）得， ∵， ∴开口向下，对称轴为直线，越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越大， ∵，且x为整数， ∴当时，有最大值，为， ∴售价7元时，最大利润为300元． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度第一学期期末考试 九年级数学试卷 注意事项： 1．本次考试试题共8页，含三道大题，时间为120分钟，满分120分； 2．答题前，请在试卷上填写好自己的姓名、班级、考号等信息； 3．作图题用2B铅笔作答，其它试题用黑色字迹签字笔在试卷上作答． 一、选择题（本大题有12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填涂在答题卡上） 1. 如图，中，，，，则的长为（ ） A. 3 B. 6 C. 8 D. 9 2. 如图，若的半径为2，点O到某条直线的距离为，则这条直线可能是 （ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 3. 方程的根是(　　) A. B. C. D. 4. 若抛物线经过点，则b的值是（ ） A. B. C. 3 D. 2 5. 如图，在中，，以O为圆心，长为半径作，分别交、于C、D两点，连接．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点A是反比例函数的图象上一点，轴于点B，轴于点C，若矩形的面积为5，则k的值为（ ） A. B. C. 5 D. 10 7. 某校初中三个年级进行卫生大评比，其中一个评委对初三年级20个班的成绩汇总并绘制如下表格： 平均数 众数 中位数 方差 学校规定三个年级评比要求：去掉一个最高分，去掉一个最低分进行评比，去掉后表中数据一定不发生变化的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 8. 中华美食讲究色香味美，优雅的摆盘能让美食锦上添花．图①外围的每一个拼盘的形状都是扇形的一部分，图②是其中一个的示意图（阴影部分为拼盘）．测量得到，，，则图②所示的拼盘面积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，直尺的一边与重合，另一边分别交于点D，E．其中点B，C，D，E处的读数分别为8，16，，已知直尺宽为2，则的边上的高为 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 如图，在A处测得点P在北偏东方向上，在B处测得点P在北偏东方向上，若米，则点P到直线距离的长为（ ） A. 米 B. 300米 C. 200米 D. 100米 11. 二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，下列结论错误的是（　　） A. B. C. D. 12. 如图，，为射线上一点，以点为圆心、长为半径作，当射线绕点按顺时针方向旋转与相切，则的度数为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 二、填空题（本大题有4个小题，每小题3分，共12分） 13. 如图，已知四边形内接于，且，则______°． 14. 已知是的反比例函数，当时，；当时，的值为______． 15. 苯（分子式为）的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的，随着研究的不断深入，发现如图1的一个苯分子中的6个碳原子形成了正六边形的结构，其示意图如图2所示，点O为正六边形的中心．若，则正六边形的面积为______． 16. 已知抛物线如图1所示，现将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象其余部分不变，得到一个新图象如图2．当直线与新图象有四个交点时，m的取值范围是 _____． 三、解答题（本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知关于x的一元二次方程． （1）若该方程有一个根为，求方程的另一个根； （2）若该方程有两个相等的实数根，求m的值． 18. 已知反比例函数的图像经过点． （1）求y与x之间的函数表达式； （2）在图中画出它在第四象限的图像；并指出在这个象限内，y随x的增大怎样变化？ （3）判断点是否在这个函数的图像上，说明理由． 19. 综合与实践：测量如图（1）所示的圆口水杯的杯口直径．工具：一张宽度为的矩形硬纸板（厚度忽略不计）和刻度尺．小明的测量方法：如图（2），将硬纸板紧贴在杯口上，纸板的两个顶点，分别靠在杯口上，硬纸板的边沿与杯口的另两个交点分别为，，利用刻度尺测得的长． 小亮的测量方法：如图（3），将硬纸板紧贴在杯口上，纸板的一边与杯口相切，切点为A，另一边与杯口相交于B，C两点，利用刻度尺测得BC的长为． （1）小明认为，他所测量的的长就是杯口的直径，他用到的几何知识是：______； （2）请根据小亮的测量方法和所得数据，计算出杯口的直径． 20. 水果店购进一批葡萄，按每箱质量相等的规定分装，装箱数x（单位：箱）与每箱的质量y（单位：千克）之间的关系如表所示： 装箱数x（箱） 120 100 80 60 …… 每箱质量y（千克） 10 12 15 20 …… （1）这批水果一共有 千克； （2）用式子表示y与x的关系，y与x成什么比例关系？ （3）最终这批葡萄分装了50箱．在出售时每箱葡萄要去掉的损耗，经过粗略估计，售出的葡萄每千克可盈利5元，计算卖出一箱葡萄，可盈利多少钱？ 21. 净觉寺位于玉田县杨家套乡，始建于唐代，是全国重点文物保护单位．在它的北院有一座千佛塔，如图1．《周髀算经》中有“偃矩以望高”的测高方法，“矩”（图2）在古代指两条边呈直角的曲尺（即图3中的，其中）．小明受到启发，利用“矩”测量千佛塔的高度．通过调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使保持水平，点A、B、D在同一直线上，，测得，，，．请通过所给数据解决问题： （1）求出仰角的度数；（参考数据：，） （2）求出千佛塔的高度． 22. 掷实心球是中考体育考试项目之一．图1是一名男生在掷实心球，球的行进路线可近似看作抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示．掷出时，起点处高度为．当水平距离为时，实心球行进至最高点处． （1）求y关于x的函数表达式． （2）若实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于时，则该男生可得满分，请问此次投掷是否能得满分，说明理由． 23. 如图1，独轮车俗称“手推车”，又名辇、鹿车等，是交通运输工具史上的一项重要发明，至今在我国农村和一些边远地区仍然广泛使用．如图2所示为从独轮车中抽象出来的几何模型．在中，，为的直径，交于点P，作，垂足为点D． （1）求证：是的切线； （2）若，请直接写出弧的长． 24. 某大学学生会在元旦前夕售卖“定制款新年祈福书签”，为校园元旦晚会筹集经费．每枚书签的制作成本为3元，根据预售情况，每天的销售量y（枚）与每枚售价x（元）之间满足一次函数关系（其中，且x为整数）． （1）若学生会销售这种书签每天获得270元的利润，求每枚书签的售价为多少元？ （2）设学生会销售这种书签每天获利w（元），请写出w与x的函数关系式； （3）直接写出当每枚书签的售价为多少元时，每天的销售利润最大，最大利润是多少元？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $