精品解析：山东聊城市东昌府区东昌教育集团2024-2025学年第二学期九年级数学第一次巩固练习

2024-2025学年第二学期第一次巩固练习 九年级数学试题 时间：120分钟 分值：120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的定义，一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离．到原点距离最近的点，即绝对值最小的点，首先求出各个数的绝对值，即可作出判断． 【详解】解：∵，，，，， ∴与原点距离最近的是1， 故选：B． 2. 作为中国非物质文化遗产之一的紫砂壶，成型工艺特别，造型式样丰富，陶器色泽古朴典雅，从一个方面鲜明地反映了中华民族造型审美意识．如图是一把做工精湛的紫砂壶“景舟石瓢”，下面四幅图是从上面看到的图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三视图的知识，准确把握从正面、左面和上面三个方向看立体图形得到的平面图形是解决问题的关键．从正面、左面和上面三个方向看立体图形得到的平面图形，注意所有的看到的或看不到的棱都应表现在视图中，看得见的用实线，看不见的用虚线，虚实重合用实线． 【详解】解：从上面看，得到的图形是 故选：B． 3. 拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓．以节约一粒米的账来算：一个人一日三餐少浪费一粒米，全国一年就可以节省3240万斤粮食，这些粮食可供9万人吃一年，“3240万”这个数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：3240万． 4. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平行线的性质及三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质等知识，掌握这两个知识点是关键． 5. 若分式方程有增根，则实数a的取值是（　　） A. 0或2 B. 4 C. 8 D. 4或8 【答案】D 【解析】 【分析】先把分式方程化为整式方程，确定分式方程的增根，代入计算即可． 【详解】解：方程两边同乘x（x﹣2），得3x﹣a+x=2（x﹣2）， 由题意得，分式方程的增根为0或2， 当x=0时，﹣a=﹣4， 解得，a=4， 当x=2时，6﹣a+2=0， 解得，a=8， 故选D． 【点睛】本题考查的是分式方程的增根，增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根． 6. 如图，矩形中，，以O 为圆心，为半径作弧，且，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，扇形面积计算，掌握扇形面积公式，矩形的性质是解题的关键，注意：扇形的半径为r，圆心角为n的扇形的面积是． 根据勾股定理求出，求出，则，可得，则，，根据直角三角形的性质求出，根据扇形面积公式、三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图，过点E作于H， 由题意得，，， 由勾股定理得，， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积=． 故选：A． 7. 如图，四边形内接于是的直径，点在上，且，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，连接，根据圆内接四边形的性质求出，根据圆周角定理得到，根据直角三角形的性质求出，再根据圆周角定理计算即可，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 四边形内接于， ， ， ， 是的直径， ， ， 由圆周角定理得：， 故选：C． 8. 如图，在菱形中，对角线、相交于点O，点E在线段上，连接，若，，，则的值为（ ） A. 3 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据菱形的性质，，，再利用勾股定理可得，根据线段和差可得，然后根据等腰三角形的性质可得，最后根据角的正切的定义求解即可得． 【详解】解：∵在菱形中，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 9. 如图，等腰直角三角形中，斜边，点A，B分别在x轴，y轴上，直角顶点C落在反比例函数的图象上，的中点D落在y轴上，则k的值为（ ） A. 4 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查求反比例函数的解析式，做辅助线构造全等，利用勾股定理求得的长度得点C的坐标是解决问题的关键．作轴于点E，根据D是的中点，，得，再证明，可得，可求出，得C的坐标为，即可求出答案． 【详解】解：作轴于点E， ∵D是的中点，， ， ，是中位线， ∴， ∵等腰直角三角形中，斜边， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴C的坐标为， ∵直角顶点C落在反比例函数的图象上， ∴． 故选：A． 10. 抛物线的对称轴是直线，其图象如图所示．下列结论：①；②；③若和是抛物线上的两点，则当时，；④抛物线的顶点坐标为，则关于x的方程无实数根．其中正确结论的是（ ） A. ①③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①④ 【答案】B 【解析】 【分析】①由图象开口方向，对称轴位置，与轴交点位置判断，，符号．②把分别代入函数解析式，结合图象可得的结果符号为负．③由抛物线开口向上，距离对称轴距离越远的点值越大．④由抛物线顶点纵坐标为可得，从而进行判断无实数根． 【详解】解：①抛物线图象开口向上， ， 对称轴在直线轴左侧， ，同号，， 抛物线与轴交点在轴下方， ， ，故①正确． ②， 当时，由图象可得当时，，即， 当时，，由图象可得时，，即， ，即，故②正确． ③，， ∵， 点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， ，故③错误． ④抛物线的顶点坐标为， ， ， 无实数根．故④正确， 综上所述，①②④正确， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的图象的性质，解题关键是熟练掌握二次函数中，，与函数图象的关系． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 把多项式分解因式的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了提公因式法与公式法分解因式，熟练掌握因式分解的提公因式法和公式法是解决本题的关键；先提公因式，再根据平方差分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是___________． 【答案】且 【解析】 【分析】需要同时满足两个条件：一元二次方程要求二次项系数不为0，方程有两个不相等的实数根要求根的判别式大于0，分别解不等式取交集即可得到结果． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴， 解得， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， 解得． 综上，的取值范围是且． 13. 如图，在三角形的飞镖游戏版中，是的内切圆，，，，假设小王子用飞镖击中三角形游戏板的每个位置都是等可能的（山边界或没有击中游戏板，则重投1次），他任意投掷飞镖1次，飞镖击中阴影部分的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的内切圆，几何概率，求出内切圆的半径，进而求出内切圆的面积，再利用圆的面积比上三角形的面积即可得出结果． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵是的内切圆，设的半径为， ∴， 解得：， ∴的面积为：， ∴飞镖击中阴影部分的概率是； 故答案为：． 14. 如图，在矩形中，，，点在上，且，连接，将沿折叠得到，若点的对应点Q落在矩形的边上，则___________． 【答案】8或 【解析】 【分析】分两种情况：①当Q点在上时，根据矩形的性质和折叠的性质，可得，根据，即可求出a的值；②当Q点在边上时，根据折叠的性质可得，，进而可得．设，则，在中，根据勾股定理可得，在中, 根据勾股定理可得． 本题主要考查了矩形的性质和勾股定理，注意分类讨论是解题的关键． 【详解】解：①如图1，当Q点在上时 ∵四边形是矩形， ∴， ∵将沿折叠得到， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ②如图2，当Q点在边上时， ∵四边形是矩形， ∴，且，， ∵， ∴， ∵将沿折叠得到， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， 解得． 在中，， ∴， ∴， 解得（舍去），． 综上，或． 15. 如图，在中，，，，P是边上一动点，过点P作于点Q，连接，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】作点B关于的对称点，连接，此时有最小值，由轴对称的性质可得，则可推出当点，P，Q三点共线时，有最小值，最小值为的长，由勾股定理求出的长，再由等面积法求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图，作点B关于的对称点，连接， 根据轴对称的性质有， ∴， ∴当点，P，Q三点共线时，有最小值，最小值为的长， 在中，，，， ，， ∵， ， ， ∴的最小值是． 16. 一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点在y轴上，顶点，，，，，，……在x轴上，已知正方形的边长为1，∠O＝60°，……则正方形的边长是_________； 【答案】 【解析】 【分析】利用正方形的性质结合锐角三角函数关系得出正方形的边长，进而得出变化规律即可得出答案. 【详解】因为∠O＝60°，， 所以∠O＝60°=∠， 所以∠＝60°=∠， 所以△∽△， ∴＝＝＝30°． ∴＝·30°＝． ∴＝． 同理，＝·30°＝； 由此猜想． 当n＝2017时，＝． 【点睛】此题主要考查了正方形的性质以及锐角三角函数等知识，得出正方形的边长变化规律是解题的关键. 三、解答题：本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 按要求完成各题 （1）计算：； （2）先化简，再求值：．其中 【答案】（1） （2）；当时，原式． 【解析】 【分析】（1）分别算出二次根式，负指数幂，特殊角的三角函数值，化简绝对值，再根据实数的混合运算法则计算即可； （2）根据分式的混合运算法则先化简，再代入计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 当时，原式． 18. 近年来，随着大数据的兴起，技术进入了快速发展期，各类人工智能软件随之产生．为了解用户对两款人工智能软件的满意程度，现从对两款人工智能软件参与评分的用户中，各抽取20位，并对其评分（百分制）数据进行整理、描述、分析．所有评分均高于60分（评分分数用表示，共分为四组：），下面给出了部分信息： 抽取的对款人工智能软件的所有评分数据： 64，70，75，76，78，78，85，85，85，85， 86，89，90，90，94，95，98，98，99，100． 抽取的对款人工智能软件的评分数据中组包含的所有数据：85，86，87，88，88，88，90，90． 抽取的对两款人工智能软件的评分统计表 软件 平均数 中位数 众数 方差 86 85.5 96.6 86 88 69.8 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_______，_______，________； （2）根据以上数据，你认为哪款人工智能软件更受用户欢迎？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若本次调查有600名用户对款人工智能软件进行了评分，有800名用户对款人工智能软件进行了评分，估计其中对两款人工智能软件非常满意（）的用户总人数． 【答案】（1），， （2）B款人工智能软件更受用户欢迎， 理由如下： ∵A款和B款的平均数相同，B款的方差小于A款的方差， ∴B款人工智能软件比较稳定， ∴B款人工智能软件更受用户欢迎． （3）340名 【解析】 【分析】本题考查了数据的统计分析概念，如中位数、众数、百分比以及根据样本数据估计总体情况．熟练掌握中位数、众数、百分比以及根据样本数据估计总体情况是解题的关键． （1）根据中位数和众数的定义来计算和，根据组数据个数计算； （2）通过比较两款软件的平均数、中位数、众数等统计量来判断哪款更受欢迎； （3）先计算出样本中对两款软件非常满意的比例，再用这个比例乘以总体人数来估计总用户数． 【小问1详解】 解：B款抽取的名用户的得分中排第，第位的数据为：，， 所以B款得分的中位数为：， A款抽取的名用户的得分中出现的次数最多，所以A款得分的众数为：， 组人数， 所以，故， 故答案为：，，． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵（名）． ∴估计该次调查对A、B两款人工智能软件非常满意（）的总用户数为340名． 19. 综合与实践． 如何分配工作，使公司支付的总工资最少 素材1 壮锦是工艺美术织品，是壮族人民最精彩的文化创造之一，其历史也非常悠久．某公司承接到2160个壮锦手提包的订单，计划将任务分配给甲、乙两个生产部门去完成． 甲部门每天生产的总数是乙部门每天生产总数的2倍，甲部门单独完成这项任务所需的时间比乙部门单独完成少18天． 素材2 经调查，这项订单需要支付甲部门4800元/天，乙部门3000元/天． 素材3 由于甲部门有其他工作任务，甲部门工作天数不超过乙部门工作天数的一半． 问题解决 任务1 确定工作效率 求甲、乙部门原来每天分别生产多少个壮锦手提包； 任务2 拟订设计方案 ①若设甲部门工作m天，则甲部门完成壮锦手提包______个，乙部门工作时间可表示为______天； ②如何安排甲、乙两部门工作的天数，才能使正好完成任务时该公司支付的总工资最少？最少需要多少元？ 【答案】任务1：甲部门原来每天生产120个壮锦手提包，乙部门原来每天生产60个壮锦手提包；任务2：①，；②甲部门工作9天，乙部门工作18天，才能使正好完成任务时该公司支付的总工资最少，最少需要97200元． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，一次函数的最大利润问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设乙部门每天能生成个壮锦手提包，依题意，列式得，注意经检验是方程的解，即可作答． （2）设甲部门工作天，则乙部门的工作时间为（天）．再依题意，得出，解出，根据利润公式得出，运用一次函数的性质，进行分析作答即可． 【详解】解：任务1：设乙部门原来每天生产x个壮锦手提包，则甲部门原来每天生产2x个壮锦手提包， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：甲部门原来每天生产120个壮锦手提包，乙部门原来每天生产60个壮锦手提包； 任务2：①设甲部门工作m天，则甲部门完成壮锦手提包个，乙部门工作时间可表示为天， 故答案为：，； ②由题意得：， 解得：， 设该公司支付的总工资为y元， 由题意得：， ， 随m的增大而减小， 当时，y有最小值， 此时，， 答：甲部门工作9天，乙部门工作18天，才能使正好完成任务时该公司支付的总工资最少，最少需要97200元． 20. 实验是培养学生的创新能力的重要途径之一．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，试管倾斜角为． （1）求酒精灯与铁架台的水平距离的长度（结果精确到）； （2）实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点，且（点，，，在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度（结果精确到）．（参考数据，，） 【答案】（1）酒精灯与铁架台的水平距离的长度约为 （2）线段的长度约为 【解析】 【分析】（1）根据题意作辅助线构造矩形，根据矩形性质得到对边相等，再利用三角函数求解即可． （2）作垂线构造矩形，利用（1）中的信息得到两直线平行得到角的度数，利用三角函数求边长，再利用构造等腰直角三角形直接计算即可． 【小问1详解】 解：如图， 过点作于点， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴，， 在中，，， ∵， ∴， ， ， ∴， 答：酒精灯与铁架台的水平距离的长度约为． 【小问2详解】 解：如图， 过点分别作，垂足分别为，， ∴四边形是矩形 ∴， 由（1）可知，四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ， ， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ， ， 答：线段的长度约为． 21. 如图，正比例函数图像与反比例函数图像交于点，直线，交y轴于点B，x轴于点D，交双曲线于点C，C点横坐标为8，连接，． （1）求正比例函数，反比例函数解析式； （2）求的面积． （3）点P是y轴上一点，使得以点P、B、D为顶点的三角形是等腰三角形；请直接写出点P坐标． 【答案】（1）正比例函数的解析式为，反比例函数的解析式为 （2）18 （3）点P的坐标为或，， 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求解析式，直线围成的图形的面积，等腰三角形的定义及性质，掌握数形结合思想，分类讨论思想是解题的关键． （1）根据待定系数法求解即可； （2）根据点C在反比例函数的图像上，求出点C的坐标为，设直线的解析式为，把点C坐标代入求得直线的解析式为．过点作轴，交于点E，求出，得到，根据即可求解； （3）分三种情况分别讨论：①，②，③进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵正比例函数图像过点， ∴，解得， ∴正比例函数的解析式为． ∵反比例函数图像过点， ∴，解得， ∴反比例函数的解析式为． 【小问2详解】 解：∵点C的横坐标为8，且点C在反比例函数的图像上， ∴当时，， ∴点C的坐标为， ∵，且的解析式为， ∴设直线的解析式为， ∵直线过点， ∴，解得， ∴直线的解析式为． 过点作轴，交于点E， ∴点E的横坐标为4， 把代入函数中，得， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：把代入函数，得， ∴， ∵把代入函数，得， 解得， ∴， ∴． 若以点P、B、D为顶点的三角形是等腰三角形，分三种情况讨论： ①如图，若， ∵轴， ∴点B与点P关于x轴对称， ∴． ②如图，若， ∵， ∴或． ③如图，若，则设点P的坐标为， ∵，， ∴， ， ∵， ∴，即， ∴， 解得， ∴． 综上所述，点P、B、D为顶点的三角形是等腰三角形时，点P的坐标为或，，． 22. 如图1，抛物线与轴交于点和，与轴交于点． （1）求该抛物线的解析式； （2）如图2，若是线段上一动点，过作轴的平行线交抛物线于点，交于点，设点的横坐标为，的面积为S．求S关于的函数关系式；当取何值时，S有最大值，求出S的最大值； （3）若是轴上一个动点，过作直线交抛物线于点，随着点的运动，在轴上是否存在这样的点，使以，M，Q，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2），当时，S有最大值，最大值为 （3）存在，点的坐标为或或． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式即可． （2）求出直线的函数解析式，用含t的式子表示出点H、N的坐标，得出，再根据求出S关于t的函数关系式，最后根据二次函数的性质解答即可； （3）求出点B坐标，得到的长，再分、M在点A的左侧且，和当M点在点A的右侧，时三种情况，画出图形解答即可求解． 【小问1详解】 解：将和代入得 , 解得, ∴该抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：设直线的函数解析式为，把和代入得 ， 解得， ∴直线的函数解析式为， ∵点的横坐标为，轴，交于点， ∴，, ∴， ∴, ∵, ∴当时，S有最大值，最大值为; 【小问3详解】 解：存在，理由如下： 把代入得， 解得，， ∴， ∴， 如图，当时，四边形为平行四边形， ∴， 把代入得， 解得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当点M在点A的左侧，时，四边形是平行四边形， 过点Q作轴于D，则， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴点Q的纵坐标为， 把代入得， 解得，（不符合，舍去）， ∴点M的横坐标为， ∴； 如图，当M点在点A的右侧，时，四边形是平行四边形， 过点Q作轴于E，则， 同理可得． 23. 如图，四边形内接于，点在上，，过作的垂线，分别交的延长线于点，． （1）求证：为的切线． （2）若点为上一点且位于下方，且，，求的长． 【答案】（1）证明：连接，，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵是的半径， ∴为的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，，由得，由得，再由内错角相等得两直线平行，再由平行线的性质可得同位角相等，即可得，进而证明为的切线； （2）连接，由（1）中的可得，由，得，解得半径，再代入，算出的长． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：如图，连接， 由（1）中证得， ∴， ∵， ∴， 在中，设， ∵， ∴， ∴，即， 解得； ∵， ∴，即， 解得，， ∴． 24. 小曼和他的同学组成了“爱琢磨”学习小组，有一次，他们碰到这样一道题：“已知正方形，点E、F、G、H分别在边上，若，则．”为了解决这个问题，经过思考，大家给出了以下两个方案： 方案一：过点A作交于点M，过点B作交于点N； 方案二：过点A作交于点M，过点A作交边的延长线于点N．… （1）对小曼遇到的问题，请在两个方案中任选一个加以证明（如图（1））． （2）如果把条件中的“正方形”改为“长方形”，并设（如图（2）），试探究之间有怎样的数量关系，并证明你的结论． （3）如果把条件中的“”改为“与的夹角为”，并假设正方形的边长为2，的长为（如图（3）），试求的长度． 【答案】（1） 证明：方案一：过点A作交于点M，过点B作交于点N； 由正方形性质可知，，，，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，设交点为P， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 方案二：过点A作交于点M，过点A作交边的延长线于点N． 同方案一可知，，， 由平行可知，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 同理可得， ∴， ∴． （2） ，理由如下：过点A作交于点M，过点B作交于点N； 由（1）可知，四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 同理可得， ∴， ∴， ∴． （3） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定、相似三角形的性质与判定，解题关键是熟记相关性质定理和判定定理，熟练运用它们进行推理证明和计算． （1）画出辅助线，证明两个三角形全等即可； （2）画出辅助线，证明两个三角形相似，再根据比例式得出关系即可； （3）仿照（1）的方法，构建全等三角形，再根据勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过点A作交于点M，过点A作交于点N； ∵与的夹角为， ∴， 在延长线是截取，连接， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 设，则，， ∴， 解得，， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期第一次巩固练习 九年级数学试题 时间：120分钟 分值：120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 2. 作为中国非物质文化遗产之一的紫砂壶，成型工艺特别，造型式样丰富，陶器色泽古朴典雅，从一个方面鲜明地反映了中华民族造型审美意识．如图是一把做工精湛的紫砂壶“景舟石瓢”，下面四幅图是从上面看到的图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓．以节约一粒米的账来算：一个人一日三餐少浪费一粒米，全国一年就可以节省3240万斤粮食，这些粮食可供9万人吃一年，“3240万”这个数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 若分式方程有增根，则实数a的取值是（　　） A. 0或2 B. 4 C. 8 D. 4或8 6. 如图，矩形中，，以O 为圆心，为半径作弧，且，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，四边形内接于是的直径，点在上，且，则的度数为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在菱形中，对角线、相交于点O，点E在线段上，连接，若，，，则的值为（ ） A. 3 B. C. 2 D. 9. 如图，等腰直角三角形中，斜边，点A，B分别在x轴，y轴上，直角顶点C落在反比例函数的图象上，的中点D落在y轴上，则k的值为（ ） A. 4 B. C. D. 2 10. 抛物线的对称轴是直线，其图象如图所示．下列结论：①；②；③若和是抛物线上的两点，则当时，；④抛物线的顶点坐标为，则关于x的方程无实数根．其中正确结论的是（ ） A. ①③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①④ 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 把多项式分解因式的结果是______． 12. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是___________． 13. 如图，在三角形的飞镖游戏版中，是的内切圆，，，，假设小王子用飞镖击中三角形游戏板的每个位置都是等可能的（山边界或没有击中游戏板，则重投1次），他任意投掷飞镖1次，飞镖击中阴影部分的概率是______． 14. 如图，在矩形中，，，点在上，且，连接，将沿折叠得到，若点的对应点Q落在矩形的边上，则___________． 15. 如图，在中，，，，P是边上一动点，过点P作于点Q，连接，则的最小值为______． 16. 一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点在y轴上，顶点，，，，，，……在x轴上，已知正方形的边长为1，∠O＝60°，……则正方形的边长是_________； 三、解答题：本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 按要求完成各题 （1）计算：； （2）先化简，再求值：．其中 18. 近年来，随着大数据的兴起，技术进入了快速发展期，各类人工智能软件随之产生．为了解用户对两款人工智能软件的满意程度，现从对两款人工智能软件参与评分的用户中，各抽取20位，并对其评分（百分制）数据进行整理、描述、分析．所有评分均高于60分（评分分数用表示，共分为四组：），下面给出了部分信息： 抽取的对款人工智能软件的所有评分数据： 64，70，75，76，78，78，85，85，85，85， 86，89，90，90，94，95，98，98，99，100． 抽取的对款人工智能软件的评分数据中组包含的所有数据：85，86，87，88，88，88，90，90． 抽取的对两款人工智能软件的评分统计表 软件 平均数 中位数 众数 方差 86 85.5 96.6 86 88 69.8 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_______，_______，________； （2）根据以上数据，你认为哪款人工智能软件更受用户欢迎？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若本次调查有600名用户对款人工智能软件进行了评分，有800名用户对款人工智能软件进行了评分，估计其中对两款人工智能软件非常满意（）的用户总人数． 19. 综合与实践． 如何分配工作，使公司支付的总工资最少 素材1 壮锦是工艺美术织品，是壮族人民最精彩的文化创造之一，其历史也非常悠久．某公司承接到2160个壮锦手提包的订单，计划将任务分配给甲、乙两个生产部门去完成． 甲部门每天生产的总数是乙部门每天生产总数的2倍，甲部门单独完成这项任务所需的时间比乙部门单独完成少18天． 素材2 经调查，这项订单需要支付甲部门4800元/天，乙部门3000元/天． 素材3 由于甲部门有其他工作任务，甲部门工作天数不超过乙部门工作天数的一半． 问题解决 任务1 确定工作效率 求甲、乙部门原来每天分别生产多少个壮锦手提包； 任务2 拟订设计方案 ①若设甲部门工作m天，则甲部门完成壮锦手提包______个，乙部门工作时间可表示为______天； ②如何安排甲、乙两部门工作的天数，才能使正好完成任务时该公司支付的总工资最少？最少需要多少元？ 20. 实验是培养学生的创新能力的重要途径之一．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，试管倾斜角为． （1）求酒精灯与铁架台的水平距离的长度（结果精确到）； （2）实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点，且（点，，，在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度（结果精确到）．（参考数据，，） 21. 如图，正比例函数图像与反比例函数图像交于点，直线，交y轴于点B，x轴于点D，交双曲线于点C，C点横坐标为8，连接，． （1）求正比例函数，反比例函数解析式； （2）求的面积． （3）点P是y轴上一点，使得以点P、B、D为顶点的三角形是等腰三角形；请直接写出点P坐标． 22. 如图1，抛物线与轴交于点和，与轴交于点． （1）求该抛物线的解析式； （2）如图2，若是线段上一动点，过作轴的平行线交抛物线于点，交于点，设点的横坐标为，的面积为S．求S关于的函数关系式；当取何值时，S有最大值，求出S的最大值； （3）若是轴上一个动点，过作直线交抛物线于点，随着点的运动，在轴上是否存在这样的点，使以，M，Q，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 23. 如图，四边形内接于，点在上，，过作的垂线，分别交的延长线于点，． （1）求证：为的切线． （2）若点为上一点且位于下方，且，，求的长． 24. 小曼和他的同学组成了“爱琢磨”学习小组，有一次，他们碰到这样一道题：“已知正方形，点E、F、G、H分别在边上，若，则．”为了解决这个问题，经过思考，大家给出了以下两个方案： 方案一：过点A作交于点M，过点B作交于点N； 方案二：过点A作交于点M，过点A作交边的延长线于点N．… （1）对小曼遇到的问题，请在两个方案中任选一个加以证明（如图（1））． （2）如果把条件中的“正方形”改为“长方形”，并设（如图（2）），试探究之间有怎样的数量关系，并证明你的结论． （3）如果把条件中的“”改为“与的夹角为”，并假设正方形的边长为2，的长为（如图（3）），试求的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $