【冲刺2026年】中考数学一轮复习江苏2025年中考真题及模拟试题分类提优测试卷19 圆的基本性质

卷19 圆的基本性质 （时间：90分钟 满分：100分 得分 ） 一．选择题（共8小题，每小题3分，共24分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A D C A C A C 一．选择题（共8小题） 1．（2025•常州）如图，⊙O的半径为2，直径AB、CD互相垂直，则的长是（　　） A． B． C．π D．2π 【分析】先利用直径AB、CD互相垂直，得出∠BOC＝90°，再利用弧长公式计算即可． 【解答】解：∵直径AB、CD互相垂直， ∴∠BOC＝90°， ∴BC弧的长为， 故选：C． 【点睛】本题考查弧长的计算，熟练掌握弧长的计算公式是解题的关键． 2．（2025•南京）下列图形中，一定有外接圆的是（　　） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【分析】根据有四边形外接圆的性质可得：四边形必须对角互补，三角形都有外接圆，即可得出答案． 【解答】解：根据有四边形外接圆的性质，四边形必须对角互补， ∴只有矩形、等腰梯形有外接圆， ∵三角形都有外接圆． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了四边形与三角形有外接圆的性质．注意抓住四边形必须对角互补才有外接圆是解决问题的关键． 3．（2025•高新区校级二模）如图，AB是⊙O的直径，点C、点D是⊙O上任意两点，连接CD，若点B是弧CD的中点，，AB＝1，则△BCD的面积为（　　） A． B． C． D． 【分析】先根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，再利用特殊角的三角函数值得到∠A＝30°，则根据含30度的直角三角形三边的关系计算出BC，接着根据垂径定理的推论得到AB⊥CD，所以CE＝DE，于是可计算出CE，BE，然后利用三角形面积公式计算△BCD的面积． 【解答】解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵tanA， ∴∠A＝30°， ∴∠ABC＝60°，BCAB， ∵点B是弧CD的中点， ∴AB⊥CD， ∴CE＝DE， 在Rt△ACE中，CEAC， ∴CD＝2CE， 在Rt△BCE中，∵∠CBE＝60°， ∴BEBC， ∴△BCD的面积． 故选：D． 【点睛】本题考查了圆周角定理：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理和解直角三角形． 4．（2025•如皋市校级模拟）如图，△ABC的内切圆圆O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，若∠DEF＝53°，则∠A的度数是（　　） A．36° B．53° C．74° D．128° 【分析】连接OD、OF，由切线的性质得∠ODA＝∠OFA＝90°，再根据圆周角定理求得∠DOF＝2∠DEF＝106°，则∠A＝360°﹣∠ODA﹣∠OFA﹣∠DOF＝74°，于是得到问题的答案． 【解答】解：连接OD、OF， ∵⊙O分别与AB、AC相切于点D、点F， ∴AB⊥OD，AC⊥OF， ∴∠ODA＝∠OFA＝90°， ∵∠DEF＝53°， ∵∠DOF＝2∠DEF＝2×53°＝106°， ∴∠A＝360°﹣∠ODA﹣∠OFA﹣∠DOF＝360°﹣90°﹣90°﹣106°＝74°， 故选：C． 【点睛】此题重点考查三角形的内切圆、切线的性质、圆周角定理、多边形的内角和等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 5．（2025•泰州模拟）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为5cm，AB＝8cm，则CD的长是（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 【分析】连接OA．根据垂径定理可得，ADAB＝4cm，又⊙O的半径OA是5cm，根据勾股定理可得，OD＝3cm，即可求解． 【解答】解：连接OA． ∵AB是⊙O的弦，OC是⊙O的半径，OC⊥AB于点D，AB＝8cm，OC＝5cm， ∴AD＝4cm， 在Rt△AOD中，AD＝4cm，OA＝5cm， ∴OD3cm， ∴CD＝OC﹣OD＝2cm．故选：A． 【点睛】此题主要考查了垂径定理和勾股定理．垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧． 6．（2025•东台市一模）如图，点A、B、C是⊙O上的三点，且AB＝OB，则∠ACB的度数为（　　） A．60° B．45° C．30° D．22.5° 【分析】由AB＝OB，OA＝OB，可得△OAB是等边三角形，即可得∠AOB＝60°，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠ACB的度数． 【解答】解：∵AB＝OB，OA＝OB， ∴OA＝OB＝AB， 即△OAB是等边三角形， ∴∠AOB＝60°， ∴∠ACB∠AOB＝30°． 故选：C． 【点睛】此题考查了圆周角定理与等边三角形的判定与性质．此题比较简单，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半定理的应用． 7．（2025•连云港一模）已知⊙O的直径是4cm，OP＝4cm，则点P（　　） A．在⊙O外 B．在⊙O上 C．在⊙O内 D．不能确定 【分析】根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系，即可判断点和圆的位置关系．点到圆心的距离小于圆的半径，则点在圆内；点到圆心的距离等于圆的半径，则点在圆上；点到圆心的距离大于圆的半径，则点在圆外． 【解答】解：∵点到圆心的距离d＝4＞2＝r， ∴该点P在⊙O外． 故选：A． 【点睛】此题考查了点和圆的位置关系与数量之间的联系：当点到圆心的距离小于圆的半径时，则点在圆内． 8．（2025•锡山区校级二模）如图，AB为⊙O的直径，AB＝2，C为的中点，连接OC，点D在射线AC上，连接BD，取BD的中点E，过E作EF⊥BD交OC于F，连接CE．下列结论：①DF⊥BF；②EC＝EF；③∠OFB＝∠ADB；④为定值2．其中正确结论的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据题意可得EF是BD的垂直平分线，OC是AB的垂直平分线，可得点A、B、D以F为圆心的圆上，根据圆周角定理可得∠BFD＝2∠BAC，进而可判断①；连接BC，根据圆周角定理的推论并结合①的结论可得点C和点F在以点E为圆心的同一个圆上，于是可判断②；连接AF，由①知点A、B、D以F为圆心的圆上，然后根据圆周角定理即可判断③；在直角△BDC中，利用锐角三角函数和③的结论可得，然后将进行整理变形即得结论，进而可判断④，于是可得答案． 【解答】解：连接AF， 由条件可知EF垂直平分BD， ∴FB＝FD． ∵OC是半径，C为的中点， ∴OC⊥AB， ∵OA＝OC＝OB， ∴∠BOC＝∠AOC＝90°，△AOC是等腰直角三角形，FA＝FB＝FD， ∴∠BAC＝∠OCA＝45°，点A、B、D以F为圆心的圆上， ∴∠BFD＝2∠BAC＝90°， ∴DF⊥BF，①正确． 连接BC， 由条件可知∠ACB＝90°＝∠BCD＝∠BFD， ∴点C和点F在以点E为圆心的同一个圆上， ∴EC＝EF，故②正确． 连接AF， 由条件可知，故③正确． 在直角△BDC中， ， ∴，故④错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了圆周角定理及其推论、垂径定理的推论、等腰直角三角形的性质、四点共圆以及锐角三角函数等知识，涉及的知识点多，综合性强，熟练掌握上述知识、灵活应用圆周角定理和解直角三角形的知识是解题关键． 二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分) 9．（2025•常州）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦．若∠DCB＝45°，AD＝1，则AB＝ 　　 ． 【分析】根据直径所对的圆周角为90°，可知∠ADB＝90°，求出∠DCB＝∠DAB＝45°，得到BD＝AD＝1，利用勾股定理求解即可． 【解答】解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵∠DCB＝45°， ∴∠DCB＝∠DAB＝45°， ∴∠ABD＝90°﹣∠DAB＝45°， ∴BD＝AD＝1， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角为90°，勾股定理，同弧所对的圆周角相等，等角对等边等性质，掌握圆周角定理的推论是解题的关键． 10．（2025•盐城）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝110°，连接OB，OD，则∠BOD＝　140　 °． 【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠BCD，再根据圆周角定理求出∠BOD． 【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠A+∠BCD＝180°， ∴∠BCD＝180°﹣∠A＝180°﹣110°＝70°， 由圆周角定理得：∠BOD＝2∠BCD＝2×70°＝140°， 故答案为：140． 【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 11．（2025•连云港）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝45°．若⊙O的半径为2，则劣弧的长为 　π　 ． 【分析】连接OB、OC，根据圆周角定理求出∠BOC，再根据弧长公式计算即可． 【解答】解：如图，连接OB、OC， 由圆周角定理得：∠BOC＝2∠BAC＝2×45°＝90°， ∴劣弧的长为：π， 故答案为：π． 【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、弧长公式是解题的关键． 12．（2025•天宁区校级一模）如图，在▱ABCD中，过A，C，D三点的⊙O与AB相交于点E．若∠A＝104°，则∠BCE＝　28　 °． 【分析】由平行四边形的性质得出∠A＝∠BCD＝104°，求出∠ECD＝180°﹣∠A＝76°，则可得出答案． 【解答】解：∵四边形ACBD是平行四边形， ∴∠A＝∠BCD＝104°， ∵四边形AECD是圆内接四边形， ∴∠A+∠ECD＝180°， ∴∠ECD＝180°﹣∠A＝76°， ∴∠BCE＝∠BCD﹣∠ECD＝104°﹣76°＝28°， 故答案为：28． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、圆内接四边形的性质；熟练掌握以上知识是解决问题的关键． 13．（2025•南通）在平面直角坐标系中，以点A（3，0）为圆心，为半径作⊙A．直线y＝kx﹣3k+2与⊙A交于B，C两点，则BC的最小值为 　6　 ． 【分析】对于y＝kx﹣3k+2，当x＝3时，y＝2得直线y＝kx﹣3k+2过定点（3，2），再求出AP＝2得点P在⊙A内部，根据垂径定理得当直线y＝kx﹣3k+2与AP垂直时，BC为最小，此时BC＝2BP，在Rt△ABP中，由勾股定理求出BP＝3，进而可得BC的最小值． 【解答】解：对于y＝kx﹣3k+2，当x＝3时，y＝2， ∴直线y＝kx﹣3k+2过定点P（3，2）， ∵点A（3，0）， ∴AP2， 又∵⊙A的半径为，AP， ∴点P在⊙A内部， 根据垂径定理得：当直线y＝kx﹣3k+2与AP垂直时，BC为最小，如图所示： 则BP＝CP， ∴BC＝2BP， 在Rt△ABP中，AB，AP＝2， 由勾股定理得：BP3， ∴BC＝2BP＝6， 即BC的最小值为6． 故答案为：6． 【点睛】此题主要考查了一次函数的图象，垂径定理，熟练掌握一次函数的图象，垂径定理，勾股定理是解决问题的关键． 14．（2025•武进区校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，若∠C＝100°，则∠E的度数为 　10°　 ． 【分析】由AB为⊙O的直径，根据圆周角定理的推论得到∠ACB＝90°，再根据角的和差及圆周角定理求解即可． 【解答】解：如图，连接AC， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠BCD＝100°， ∴∠ACD＝∠BCD﹣∠ACB＝10°， ∴∠E＝∠ACD＝10°， 故答案为：10°． 【点睛】本题考查了圆周角定理，熟记“直径所对的圆周角为直角”是解题的关键． 15．（2025•高新区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，以G（0，1）为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于F，则线段FG的最小值为　1　 ． 【分析】连接AC，作GM⊥AC，连接AG，由CF⊥AE可知，点F在以AC为直径的圆M上移动，当点F在MG的延长线上时，FG的长最小，根据含30度角的直角三角形的性质及勾股定理求出FM，MG即可解答． 【解答】解：连接AC，作GM⊥AC，连接AG， ∵GO⊥AB， ∴OA＝OB， ∵G（0，1）为圆心，半径为2， ∴AG＝2，OG＝1， 在Rt△AGO中，AG＝2OG，OA， ∴∠GAO＝30°，∠AGO＝60°， ∵GC＝GA＝2， ∴∠ACG＝∠CAG， ∵∠AGO＝∠ACG+∠CAG， ∴∠ACG＝∠CAG＝30°， ∴AC＝2OA＝2，MGCG＝1， ∴AM， ∵CF⊥AE， ∴点F在以AC为直径的圆M上移动， 当点F在MG的延长线上时，FG的长最小，最小值为FG＝FM﹣MG1， 故答案为：1． 【点睛】此题考查了垂径定理，直角三角形30度角的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用的辅助线解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 16．（2025•淮安校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，AB＝2，C在⊙O上，∠ABC＝60°，P是⊙O上一动点，D是AP的中点，连接CD，则CD的最小值为 　　 ． 【分析】如图，取OA是中点T，连接CT，DT，OP，OC，过点C作CH⊥AB于H．想办法求出CT，DT 根据DC≥CT﹣DT，可得结论． 【解答】解：如图，取OA是中点T，连接CT，DT，OP，OC，过点C作CH⊥AB于H． ∵OB＝OC，∠OBC＝60°， ∴△OBC是等边三角形， ∵CH⊥OB， ∴OH＝HB，CHOH， ∵AT＝TO，AD＝DP， ∴DTOP， 在Rt△CTH中，∵TH＝OT+OH＝1，CH， ∴CT， ∴CD≥CT﹣DT， ∴CD， ∴CD的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 三．解答题（共7小题） 17．（7分）（2025•盐城）如图，AB是⊙O的弦，过点B作直线EF，以O为顶点作∠AOC＝90°，分别交EF，AB于点C，D，若CB＝CD． （1）试判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由． （2）若⊙O的半径为3，，求BC的长． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠OBA，∠CBD＝∠CDB，求得∠CBD＝∠ADO，得到∠CBO＝90°，根据切线的判定定理得到直线EF与⊙O相切； （2）根据三角函数的定义得到OD＝1，设CB＝CD＝x，求得OC＝x+1，根据勾股定理得到结论． 【解答】解：（1）直线EF与⊙O相切， 理由：∵OA＝OB， ∴∠A＝∠OBA， ∵CB＝CD， ∴∠CBD＝∠CDB， ∵∠ADO＝∠CDB， ∴∠CBD＝∠ADO， ∵∠AOC＝90°， ∴∠A+∠ADO＝90°， ∴∠OBD+∠CBD＝90°， ∴∠CBO＝90°， ∴OB⊥EF， ∵OB是⊙O的直径， ∴直线EF与⊙O相切； （2）∵∠AOC＝90°，， ∴， ∵⊙O的半径为3， ∴OA＝3， ∴OD＝1， 设CB＝CD＝x， ∴OC＝x+1， ∵∠OBC＝90°， ∴CB2+OB2＝OC2， ∴x2+32＝（x+1）2， ∴x＝4， ∴BC＝4． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了切线的判定，等腰三角形的性质，各过各的了，解直角三角形，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键． 18．（7分）（2025•无锡）如图，AB是⊙O的直径，D是弦AC延长线上的一点，且CD＝CA，DB的延长线交⊙O于点E． （1）求证：AB＝BD； （2）若AB＝3，cos∠ABE，求AD的长． 【分析】（1）连接BC，由圆周角定理推出BC⊥AD，得到BC垂直平分AD，即可证明AB＝BD； （2）连接AE，由圆周角定理得到∠E＝90°，由cos∠ABE，求出BE＝1，由勾股定理得到AE2＝8，求出DE＝4，由勾股定理求出AD＝2． 【解答】（1）证明：连接BC， ∵AB是圆的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴BC⊥AD， ∵CD＝CA， ∴BC垂直平分AD， ∴AB＝BD； （2）解：连接AE， ∵AB是圆的直径， ∴∠E＝90°， ∴cos∠ABE， ∴BE＝1， ∴AE2＝AB2﹣BE2＝8， 由（1）知BD＝AB＝3， ∴DE＝BD+BE＝4， ∴AD2． 【点睛】本题考查圆周角定理，勾股定理，解直角三角形，线段垂直平分线的性质，关键是由圆周角定理得到∠ACB＝∠E＝90°，由勾股定理求出AD的长． 19．（7分）（2025•海安市一模）已知BC是⊙O的直径，点D是BC延长线上一点，AB＝AD，AE是⊙O的弦，∠AEC＝30°． （1）求证：直线AD是⊙O的切线； （2）若AE⊥BC，垂足为M，⊙O的半径为10，求AE的长． 【分析】（1）连接OA，由圆周角定理可求得∠B＝∠AEC＝30°，∠AOC＝2∠AEC＝60°，则∠OAD＝90°，可证明直线AD是⊙O的切线； （2）若AE⊥BC于点M，根据垂径定理可证明AM＝EM，在Rt△AOM中，∠AMO＝90°，∠AOM＝60°，则∠OAM＝30°，已知⊙O的半径OA＝6，则OMOA＝3，根据勾股定理可以求出AM的长，进而求出AE的长． 【解答】（1）证明：如图，连接OA， ∵∠AEC＝30°， ∴∠B＝∠AEC＝30°，∠AOC＝2∠AEC＝60°， ∵AB＝AD， ∴∠D＝∠B＝30°， ∴∠OAD＝180°﹣∠AOC﹣∠D＝90°， ∵OA是⊙O的半径，且AD⊥OA， ∴直线AD是⊙O的切线． （2）解：如图，∵BC是⊙O的直径，且AE⊥BC于点M， ∴AM＝EM， ∵∠AMO＝90°，∠AOM＝60°， ∴∠OAM＝30°， ∴OMOA10＝5， ∴AM5， ∴AE＝2AM＝2×510． 【点睛】此题考查圆的切线的判定、圆周角定理、垂径定理、勾股定理、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半等知识，此题综合性较强，难度较大． 20．（8分）（2025•灌南县一模）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于E，连接AC，OC，BC． （1）求证：∠1＝∠2； （2）若BE＝2，CD＝6，求⊙O的半径长． 【分析】（1）利用垂径定理证明∠A＝∠2，再证明∠A＝∠1即可解决问题； （2）设⊙O的半径是R，EB＝2，则OE＝R﹣2，利用勾股定理构建方程求解即可． 【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB， ∴， ∴∠A＝∠2， 又∵OA＝OC， ∴∠1＝∠A， ∴∠1＝∠2． （2）∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，CD＝6， ∴∠CEO＝90°，CE＝ED＝3， 设⊙O的半径是R，EB＝2，则OE＝R﹣2， 在Rt△OEC中，R2＝（R﹣2）2+32， 解得：， ∴⊙O的半径是． 【点睛】本题考查圆周角定理，勾股定理，垂径定理等知识，解题的关键是掌握垂径定理，灵活运用所学知识解决问题． 21．（8分）（2025•无锡校级模拟）已知，如图，AB为⊙O的直径，△ABC内接于⊙O，BC＞AC，点P是△ABC的内心，延长CP交⊙O于点D，连接BP． （1）求证：BD＝PD； （2）已知⊙O的半径是3，CD＝8，求BC的长． 【分析】（1）由圆周角定理得出∠ACB＝90°，由内心得出∠ACD＝∠BCP＝45°，∠CBP＝∠EBP，∠ABD＝∠ACD＝45°，由三角形的外角性质得出∠DPB＝∠DBP，即可得出结论； （2）连接AD，由圆周角定理得出∠ABD＝45°，证出△ABD是等腰直角三角形，得出BDAB＝6，由勾股定理可求BH的长，即可得出结果． 【解答】（1）证明：∵AB为直径， ∴∠ACB＝90°， ∵点P是△ABC的内心， ∴∠ACD＝∠BCP＝45°，∠CBP＝∠EBP， ∴∠ABD＝∠ACD＝45°， ∵∠DPB＝∠BCP+∠CBP＝45°+∠CBP，∠DBP＝∠ABD+∠EBP＝45°+∠EBP， ∴∠DPB＝∠DBP， ∴BD＝DP； （2）解：连接AD，过点B作BH⊥CD于H，如图所示： ∵AB是直径，∠ABD＝45°， ∴AB＝6，△ABD是等腰直角三角形， ∴BDAB66， ∵∠BCD＝45°，BH⊥CD， ∴∠BCH＝∠CBH＝45°， ∴BH＝CH， ∴BCBH， ∵BD2＝DH2+BH2， ∴36＝（8﹣BH）2+BH2， ∴BH＝4±， ∵BC＞AC， ∴BC＝42． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心、圆周角定理、三角形的外角性质、等腰三角形的判定、等腰直角三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，难度较大． 22．（8分）（2025•沛县模拟）【定义新知】定义：有一个角是其对角一半的圆内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角． 【初步应用】 （1）如图1，四边形ABCD是圆美四边形，∠A是美角． ①∠A的度数为　60　 °； ②连接BD，若⊙O的半径为5，求线段BD的长； 【拓展提升】 （2）如图2，已知四边形ABCD是圆美四边形，∠BAD是美角，连接CA，若CA平分∠BCD，若⊙O的半径为6，求BC+CD的最大值是多少？ 【分析】（1）①根据定义列式计算即可．②根据定义求角，根据直径对的圆周角是直角，运用含30°角的直角三角形的性质求解即可． （2）延长DC到点M，使得CM＝CB，连接MB，得到△CMB是等边三角形，证明△DBM≌△ABC，则AC＝DM，进一步证明AC＝BC+CD，当AC是直径时，AC取最大值12，即可求出答案． 【解答】解：（1）①∵四边形ABCD是圆美四边形，∠A是美角， ∴∠BCD＝2∠A，∠BCD+∠A＝180°， ∴2∠A+∠A＝180°， 解得∠A＝60°， 故答案为：60． ②作圆的直径DN，连接BN，如图1， 则∠DBN＝90°，∠N＝∠A＝60° ∵圆的半径为5， ∴DN＝10， ∵∠BDN＝90°﹣60°＝30°， ∴． ∴． （2）如图2，延长DC到点M，使得CM＝CB，连接MB，BD， ∵四边形ABCD是圆美四边形，∠BAD是美角， ∴∠BCD＝2∠BAD，∠BCD+∠BAD＝180°， ∴2∠BAD+∠BAD＝180°， 解得∠BAD＝60°， ∴∠BCD＝120°， ∵CA平分∠BCD， ∴∠BCM＝∠ACB＝∠ACD＝60°， ∴△CMB是等边三角形， ∴BC＝BM，∠ABD＝∠CBM＝60°， ∴∠ABD+∠DBC＝∠CBM+∠DBC， ∴∠ABC＝∠DBM， 在△DBM和△ABC中， ， ∴△DBM≌△ABC（AAS）， ∴AC＝DM， ∵DM＝CM+CD， ∴AC＝BC+CD． ∵AC是⊙O的一条弦， ∴当AC是直径时，AC取最大值12， 即BC+CD的最大值是12． 【点睛】本题属于圆的综合题，考查了新定义问题，等边三角形的判定和性质，圆的内接四边形的性质，三角形全等的判定和性质，圆周角定理，含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握圆的性质是解题的关键． 23．（8分）（2025•姑苏区校级二模）【概念认识】定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形． （1）如图1，已知在垂等四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点E，若AB⊥AD，AB＝4cm，cos∠ABD，则AC的长度＝　5　 cm． 【数学理解】（2）在探究如何画“圆内接垂等四边形”的活动中，小李想到可以利用八年级的所学三角形全等．如图2，在⊙O中，已知AB是弦，OA、OB是半径，求作：⊙O的内接垂等四边形ABCD．（要求：尺规作图，不写作法，保留痕迹） 【问题解决】（3）如图3，已知A是⊙O上一定点，B为⊙O上一动点，以AB为一边作出⊙O的内接垂等四边形（A、B不重合且A、B、O三点不共线），对角线AC与BD交于点E，⊙O的半径为2，当点E到AD的距离为时，求弦AB的长度． 【分析】（1）根据垂等四边形的定义列式求解即可； （2）作OD⊥OA，OC⊥OB，分别交⊙O于点D和点C，即可得到垂等四边形ABCD，连接AC，DB并相交于点E，证明AC⊥BD，得到△AOC≌△BOD，证明AC＝BD，即可得到结果； （3）方法一：连接DO，AO，根据已知条件求出AD，DE，再根据相似三角形的性质列式计算即可； 【解答】（1）由垂等四边形的定义得AC＝BD， 又∵AB⊥AD， ∴DB5， ∴AC＝BD＝5． （2）作OD⊥OA，OC⊥OB，分别交⊙O于点D和点C，即可得到垂等四边形ABCD，如图， 连接AC，DB并相交于点E， ∵OC⊥OB．OD⊥OA， ∴∠ACD∠AOD＝45°，∠BDC∠BOC＝45°， ∴∠DEC＝90°，即AC⊥BD， ∵AO＝DO，BO＝CO，∠AOC＝∠DOB， ∴△AOC≌△BOD（SAS）． ∴AC＝BD． ∵AC＝BD，AC⊥BD， ∴四边形ABCD是垂等四边形． （3）连接DO，AO，由（2）可得等腰Rt△AOD， ∴ADAO﹣4， 作EF⊥AD，易证得Rt△DFE∽Rt△EFA， ∴FE2＝DF•AF： 设DF＝x，AF＝4﹣x，可得方程x（4﹣x）＝3， 解得x＝1或3，如图： ∴DE＝2或2， 作OG⊥AB， ∵∠AOG∠AOB＝∠EDF． ∴Rt△DFE∽Rt△OGA， ∴， ∴AG或， ∴AB＝2AG＝2或2． 【点睛】本题主要考查了圆的综合应用，结合相似三角形的判定与性质、三角函数的应用和四边形综合知识的计算是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 卷19 圆的基本性质 （时间：90分钟 满分：100分 得分 ） 一．选择题（共8小题，每小题3分，共24分) 1．（2025•常州）如图，⊙O的半径为2，直径AB、CD互相垂直，则的长是（　　） A． B． C．π D．2π 2．（2025•南京）下列图形中，一定有外接圆的是（　　） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 3．（2025•高新区二模）如图，AB是⊙O的直径，点C、点D是⊙O上任意两点，连接CD，若点B是弧CD的中点，，AB＝1，则△BCD的面积为（　　） A． B． C． D． 4．（2025•如皋市模拟）如图，△ABC的内切圆圆O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，若∠DEF＝53°，则∠A的度数是（　　） A．36° B．53° C．74° D．128° 5．（2025•泰州模拟）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为5cm，AB＝8cm，则CD的长是（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 6．（2025•东台市一模）如图，点A、B、C是⊙O上的三点，且AB＝OB，则∠ACB的度数为（　　） A．60° B．45° C．30° D．22.5° 7．（2025•连云港一模）已知⊙O的直径是4cm，OP＝4cm，则点P（　　） A．在⊙O外 B．在⊙O上 C．在⊙O内 D．不能确定 8．（2025•锡山区二模）如图，AB为⊙O的直径，AB＝2，C为的中点，连接OC，点D在射线AC上，连接BD，取BD的中点E，过E作EF⊥BD交OC于F，连接CE．下列结论：①DF⊥BF；②EC＝EF；③∠OFB＝∠ADB；④为定值2．其中正确结论的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分) 9．（2025•常州）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦．若∠DCB＝45°，AD＝1，则AB＝ 　 　 ． 10．（2025•盐城）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝110°，连接OB，OD，则∠BOD＝　 　 °． 11．（2025•连云港）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝45°．若⊙O的半径为2，则劣弧的长为 　 　 ． 12．（2025•天宁区一模）如图，在▱ABCD中，过A，C，D三点的⊙O与AB相交于点E．若∠A＝104°，则∠BCE＝　 　 °． 13．（2025•南通）在平面直角坐标系中，以点A（3，0）为圆心，为半径作⊙A．直线y＝kx﹣3k+2与⊙A交于B，C两点，则BC的最小值为 　 　 ． 14．（2025•武进区模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，若∠C＝100°，则∠E的度数为 　 　 ． 15．（2025•高新区二模）如图，在平面直角坐标系中，以G（0，1）为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于F，则线段FG的最小值为　 　 ． 16．（2025•淮安模拟）如图，AB是⊙O的直径，AB＝2，C在⊙O上，∠ABC＝60°，P是⊙O上一动点，D是AP的中点，连接CD，则CD的最小值为 　 　 ． 三．解答题（共7小题，共52分） 17．（7分）（2025•盐城）如图，AB是⊙O的弦，过点B作直线EF，以O为顶点作∠AOC＝90°，分别交EF，AB于点C，D，若CB＝CD． （1）试判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由． （2）若⊙O的半径为3，，求BC的长． 18．（7分）（2025•无锡）如图，AB是⊙O的直径，D是弦AC延长线上的一点，且CD＝CA，DB的延长线交⊙O于点E． （1）求证：AB＝BD； （2）若AB＝3，cos∠ABE，求AD的长． 19．（7分）（2025•海安市一模）已知BC是⊙O的直径，点D是BC延长线上一点，AB＝AD，AE是⊙O的弦，∠AEC＝30°． （1）求证：直线AD是⊙O的切线； （2）若AE⊥BC，垂足为M，⊙O的半径为10，求AE的长． 20．（7分）（2025•灌南一模）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，CD⊥AB于E，连接AC，OC，BC． （1）求证：∠1＝∠2； （2）若BE＝2，CD＝6，求⊙O的半径长． 21．（8分）（2025•无锡模拟）已知，如图，AB为⊙O的直径，△ABC内接于⊙O，BC＞AC，点P是△ABC的内心，延长CP交⊙O于点D，连接BP． （1）求证：BD＝PD； （2）已知⊙O的半径是3，CD＝8，求BC的长． 22．（8分）（2025•沛县模拟）【定义新知】定义：有一个角是其对角一半的圆内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角． 【初步应用】 （1）如图1，四边形ABCD是圆美四边形，∠A是美角． ①∠A的度数为　 　 °； ②连接BD，若⊙O的半径为5，求线段BD的长； 【拓展提升】 （2）如图2，已知四边形ABCD是圆美四边形，∠BAD是美角，连接CA，若CA平分∠BCD，若⊙O的半径为6，求BC+CD的最大值是多少？ 23．（8分）（2025•姑苏区二模）【概念认识】定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形． （1）如图1，已知在垂等四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点E，若AB⊥AD，AB＝4cm，cos∠ABD，则AC的长度＝　 　 cm． 【数学理解】（2）在探究如何画“圆内接垂等四边形”的活动中，小李想到可以利用八年级的所学三角形全等．如图2，在⊙O中，已知AB是弦，OA、OB是半径，求作：⊙O的内接垂等四边形ABCD．（要求：尺规作图，不写作法，保留痕迹） 【问题解决】（3）如图3，已知A是⊙O上一定点，B为⊙O上一动点，以AB为一边作出⊙O的内接垂等四边形（A、B不重合且A、B、O三点不共线），对角线AC与BD交于点E，⊙O的半径为2，当点E到AD的距离为时，求弦AB的长度． 1 学科网（北京）股份有限公司 $