【冲刺2026年】中考数学一轮复习江苏2025年中考真题及模拟试题分类提优测试卷18 特殊的平行四边形（矩形菱形正方形）

卷18 特殊的平行四边形（矩形菱形正方形） （满分:100分 时间90分钟） 一．选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B A C C B B C 一．选择题（共8小题） 1．（2025•常州）如图，在菱形ABCD中，AC、BD是对角线，AB＝5．若∠ABD＝30°，则AC的长是（　　） A．4 B．5 C．6 D．10 【分析】根据菱形的性质可得AC⊥BD，AO＝CO，根据含30°角的直角三角形的性质即可求得AO的长，从而得到结果． 【解答】解：在菱形ABCD中，AC、BD是对角线，AB＝5． ∴AC⊥BD，AO＝CO， ∴∠AOB＝90°， ∵∠ABD＝30°， ∴， ∴AC＝2AO＝5， 故选：B． 【点睛】本题考查菱形的性质，含30度角的直角三角形，解答本题的关键是熟练掌握菱形的性质． 2．（2025•盐城）七巧板具有深厚的中华文化底蕴，它是由正方形、平行四边形和大小不一的等腰直角三角形组成的．小明用七巧板拼成的丹顶鹤如图所示，且过点C作直线AB∥DE．若∠1＝20°，则∠2的度数是（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 【分析】由等腰直角三角形的性质得∠FDE＝∠E＝∠HCD＝∠HDC＝45°，由AB∥DE，得∠ACD＝∠CDE，而∠1＝20°，则20°+45°＝∠2+45°，所以∠2＝20°，于是得到问题的答案． 【解答】解：如图，∵△DEF和△DCH都是等腰直角三角形，∠F＝∠DHC＝90°， ∴DF＝EF，DH＝CH， ∴∠FDE＝∠E＝∠HCD＝∠HDC＝45°， ∵AB∥DE， ∴∠ACD＝∠CDE， ∴∠1+∠HDC＝∠2+∠FDE， ∵∠1＝20°， ∴20°+45°＝∠2+45°， ∴∠2＝20°， 故选：B． 【点睛】此题重点考查等腰直角三角形的性质、平行线的性质等知识，推导出∠ACD＝∠CDE是解题的关键． 3．（2025•沛县三模）如图，在边长为2的菱形ABCD中，分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN，交AD于点E，连接CE．若∠B＝135°，则CE的长为（　　） A． B． C． D． 【分析】连接BE，由垂直平分线的性质和等腰直角三角形的性质，得，再得∠EBC＝90°，利用勾股定理即可求出CE的长度． 【解答】解：连接BE，如图： 由作图痕迹可知，MN垂直平分AB， ∴AE＝BE， ∵∠B＝135°， ∴∠A＝45°， ∴∠EBA＝∠A＝45°， ∴∠AEB＝90°， ∵AB＝2， ∴， ∵四边形ABCD为菱形， ∴AD∥BC， ∴∠EBC＝∠AEB＝90°，则： ． 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形的性质，垂直平分线的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识． 4．（2025•东台市一模）如图，点M是菱形ABCD边BC的中点，点E在边CD上，连接AE，过点M作MN∥AB交对角线AC于点Q，交AE于点N．若BC＝8，MN＝5，则线段DE的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【分析】由菱形的性质得AB∥CD，AB＝BC＝CD＝AD＝8，再证QM是△ABC中位线，得，然后证QN是△ACE的中位线，得CE＝2QN＝2，即可得出结论． 【解答】解：∵点M是菱形ABCD边BC的中点，MN∥AB交对角线AC于点Q，交AE于点N．若BC＝8，MN＝5， ∴AB∥CD，AB＝BC＝CD＝AD＝8，， ∴Q是AC的中点， ∴QM是△ABC中位线， ∴， ∵MN＝5， ∴QN＝MN﹣QM＝5﹣4＝1， ∵MN∥AB，AB∥CD， ∴MN∥CD， ∴， ∴N是AE的中点， ∴QN是△ACE的中位线， ∴CE＝2QN＝2， ∴DE＝CD﹣CE＝8﹣2＝6， 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质、平行线分线段成比例、三角形中位线定理等知识，熟练掌握菱形的性质和三角形中位线定理是解题的关键． 5．（2025•靖江市校级三模）如图，已知矩形ABCD的顶点A，D分别落在x轴，y轴上，OD＝2OA＝12，AD＝3AB，则点C的坐标是（　　） A．（6，14） B．（4，16） C．（4，14） D．（6，16） 【分析】过C作CE⊥y轴于E，根据矩形的性质得到CD＝AB，∠ADC＝90°，根据余角的性质得到∠DCE＝∠ADO，根据相似三角形的性质得到CE＝4，DE＝2，于是得到结论． 【解答】解：过C作CE⊥y轴于E， ∵四边形ABCD是矩形， ∴CD＝AB，∠ADC＝90°， ∴∠ADO+∠CDE＝∠CDE+∠DCE＝90°， ∴∠DCE＝∠ADO， ∴△CDE∽△ADO， ∴， ∵OD＝2OA＝12，AD＝3AB， ∴OA＝6，CD：AD， ∴CEOD＝4，DEOA＝2， ∴OE＝14， ∴C（4，14）， 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，坐标与图形性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 6．（2025•仪征市一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AB为边向三角形外作正方形ABDE，作EF⊥BC于点F，交对角线AD于点G，连接BG．要求△BFG的周长，只需知道（　　） A．AC的长 B．BC的长 C．BF的长 D．FG的长 【分析】设EF与AB相交于H，设AB＝c，AC＝b，BC＝a，利用正方形的轴对称形得出BG＝EG，则可得出△BFG的周长为EF+BF，证明△AEH∽△CBA，求出，，，证明△BHF∽△BAC，求出，BF＝a﹣b，然后代入EF+BF计算即可得出答案． 【解答】解：设EF与AB相交于H，设AB＝c，AC＝b，BC＝a， 在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，由勾股定理得：c2＝a2+b2， ∵四边形ABDE是正方形， ∴B、E关于直线AD对称，AE＝AB＝c，∠BAE＝90°， ∴BG＝EG， ∴△BFG的周长为BG+GF+BF＝EG+GF+BF＝EF+BF， ∵EF⊥BC，∠C＝90°， ∴EF∥AC， ∴∠AHE＝∠CAB， ∴△BHF∽△BAC， 又∵∠EAH＝∠C＝90°， ∴△AEH∽△CBA， ∴，即， 解得，， ∴， ∵△BHF∽△BAC， ∴，即， 解得，BF＝a﹣b， ∴EF+BF＝EH+HF+BF ＝2a ＝2BC， 即△BFG的周长为2BC， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，明确题意，利用相似三角形求出EH，HF，BF是解题的关键． 7．（2025•海州区校级二模）如图，已知正方形ABCD的边长为4，以AD为边在正方形内部作等边△ADE，连接BE，DF⊥DE交BE的延长线于点F，则EF的长为（　　） A． B． C． D．5 【分析】根据正方形的性质，等边三角形的性质，推出△EDF为等腰直角三角形，勾股定理求出EF的长即可． 【解答】解：∵正方形ABCD的边长为4， ∴∠BAD＝90°，AB＝AD＝4， ∵△ADE是等边三角形， ∴AE＝DE＝AD＝AB＝4，∠EAD＝∠AED＝60°， ∴， ∴∠DEF＝180°﹣∠AEB﹣∠AED＝180°﹣75°﹣60°＝45°， ∵DF⊥DE， ∴△EDF为等腰直角三角形， ∴； 故选：B． 【点睛】本题考查正方形的性质，掌握等腰三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 8．（2025•滨海县二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是AD边上的动点，点M是点A关于直线BE的对称点，连接MD，则MD的最小值是（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【分析】连接BD，以点B为圆心，BA为半径作圆，交BD于点M，则M即为所求． 【解答】解：连接BD，以点B为圆心，BA为半径作圆，交BD于点M， ∵四边形ABCD为矩形， ∴∠A＝90°， ∴BD10， ∵点A和点M关于BE对称， ∴AB＝BM＝6， ∴DM＝BD﹣BM＝10﹣6＝4． 故DM的最小值为4． 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质和轴对称的性质，解题的关键是确定点M的位置． 二．填空题（共10小题） 9．（2025•秦淮区校级模拟）一个菱形的边长为4cm，一条对角线长为6cm，则该菱形的高是 　　 cm． 【分析】设菱形ABCD中，BC＝4cm，BD＝6cm，AE⊥BC于点E，连接AC交BD于点O，由∠BOC＝90°，OB＝ODBD＝3cm，得OA＝OCcm，则AC＝2OA＝2cm，由S菱形ABCD＝4AE6×2，求得AEcm，于是得到问题的答案． 【解答】解：如图，菱形ABCD中，BC＝4cm，BD＝6cm，AE⊥BC于点E，连接AC交BD于点O， ∵AC⊥BC， ∴∠BOC＝90°， ∵OB＝ODBD＝3cm， ∴OA＝OC（cm）， ∴AC＝2OA＝2cm， ∵S菱形ABCD＝BC•AEBD•AC， ∴4AE6×2， 解得AE， ∴该菱形的高是cm， 故答案为：． 【点睛】此题重点考查菱形的性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地求出菱形的另一条对角线的长是解题的关键． 10．（2025•通州区一模）已知矩形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝60°，，则该矩形的对角线长是　8　 ． 【分析】根据矩形的性质与等边三角形的判定与性质得出∠ACB＝30°，即可得，然后根据勾股定理求出AC即可． 【解答】解：如图所示， ∵∠ABC＝90°，AC＝BD，AO＝BO＝CO＝DO，∠AOB＝60°， ∴△ABO为等边三角形， ∴∠BAC＝60°， ∴∠ACB＝30°， ∴BC2+AB2＝AC2，， 即， ∴AC＝8． 故答案为：8． 【点睛】此题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，关键是等边三角形判定定理的应用． 11．（2025•苏州模拟）已知，如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形ABCD，若测得A，C之间的距离为8cm，B，D之间的距离为6cm，则线段AB的长为 　5cm ． 【分析】作AR⊥CD于R，AS⊥BC于S，连接AC，BD交于点O，根据题意先证出四边形ABCD是平行四边形，再由AR＝AS得平行四边形ABCD是菱形，再根据勾股定理求出AB即可． 【解答】解：如图，连接AC，BD交于点O， 由题意知，AD∥BC，AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形． ∴OAAC8＝4（cm），OBBD6＝3（cm）， ∵两张纸条等宽， 过点A作AR⊥CD，AS⊥BC于点R，S， ∴AR＝AS． ∵AR•BC＝AS•CD， ∴BC＝CD， ∴平行四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD． 在Rt△AOB中，OA＝4cm，OB＝3cm， ∴． 故答案为：5cm． 【点睛】本题主要考查菱形的判定和性质，证得四边形ABCD是菱形是解题的关键． 12．（2025•无锡）如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，对角线AC、BD相交于点M．过点D作AC的平行线交BC的延长线于点N，连接MN．则MN的长为　　 ． 【分析】过M作MH⊥NB于H，由菱形的性质推出AC⊥BD，AB＝BC，AD∥BC，判定△ABC是等边三角形，推出CMAC＝1，由含30度角的直角三角形的性质得到CHCM，由tan∠MCH，求出MH，判定四边形ACND是平行四边形，得到CN＝AD＝2，求出NH，由勾股定理求出MN． 【解答】解：过M作MH⊥NB于H， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AB＝BC＝AD＝2，AD∥BC， ∵∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AC＝AB＝2，∠ACB＝60°， ∵BM⊥AC， ∴CMAC＝1， ∵∠CMH＝90°﹣∠ACB＝30°， ∴CHCM， ∵tan∠MCH＝tan60°， ∴MH， ∵DN∥AC， ∴四边形ACND是平行四边形， ∴CN＝AD＝2， ∴NH＝CH+CN， ∴MN． 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，关键是判定△ABC是等边三角形，应用勾股定理求出MN的长． 13．（2025•金坛区一模）如图，正方形CEFG的顶点G正方形ABCD的边CD上，AF与CD交于点H，若AB＝6，CE＝2，则DH的长为 　3　 ． 【分析】证明△ADH∽△FGH，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD＝CD＝6，AD∥BC， ∵四边形CEFG是正方形， ∴CE＝GF＝CG＝2，GF∥BC， ∴DG＝CD﹣CG＝4， ∵AD∥BC，GF∥BC， ∴AD∥GF， ∴△ADH∽△FGH， ∴， 即， 解得DH＝3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，解决本题的关键是得到△ADH∽△FGH． 14．（2025•南京）如图，点E，F在矩形ABCD内，Rt△ABE≌Rt△CDF．若AB＝25，AD＝30，AE＝15，则EF的长为　　 ． 【分析】延长AE交DF于点H，利用勾股定理和全等三角形的性质得到AE＝CF＝15，BE＝DF＝20，∠BAE＝∠DCF，利用相似三角形的判定与性质求得AH＝24，DH＝18，再利用勾股定理解答即可． 【解答】解：延长AE交DF于点H，如图， 在Rt△ABE中，BE20， ∵Rt△ABE≌Rt△CDF， ∴AE＝CF＝15，BE＝DF＝20，∠BAE＝∠DCF， ∵∠BAE+∠DAE＝90°，∠DCF+∠FDC＝90°， ∴∠DAE＝∠FDC， ∵∠FDC+∠ADF＝90°， ∴∠DAE+∠ADF＝90°， ∴∠AHD＝90°， ∴∠AHD＝∠DFC＝90°， ∵∠DAE＝∠FDC， ∴△AHD∽△DFC， ∴， ∴， ∴AH＝24，DH＝18， ∴EH＝AH﹣AE＝9，FH＝DF﹣DH＝2， ∴EF． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质．熟练掌握上述定理与性质是解题的关键． 15．（2025•无锡一模）如图1，△ABC中，∠BCA＝90°，AB＝10，将其分割成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分，然后再拼成如图2的菱形PQMN（不重叠、无缝隙），若NH﹣PG＝2，则QH的长为 　　 ． 【分析】根据菱形的性质得到PN＝MN＝PQ＝QM，求得CD＝BE＝AEAB＝5，CF＝BF＝PG，QH＝DE，HM＝AD，根据勾股定理得到BC＝8，AC＝6，过C作CN⊥AB于N，根据三角形的面积公式得到CN，求得AN，DN，于是得到结论． 【解答】解：∵四边形PQMN是菱形， ∴PN＝MN＝PQ＝QM， ∴CD＝BE＝AEAB＝5，CF＝BF＝PG，QH＝DE，HM＝AD， ∵∠ACB＝90°， ∴AC2+BC2＝AB2， ∵AB＝10，AC＝NH＝2+PG＝2+CF， ∴（2+CF）2+（2CF）2＝102， ∴CF＝4（负值舍去）， ∴BC＝8，AC＝6， 过C作CN⊥AB于N， ∵S△ABC， ∴CN， ∴AN，DN， ∴AD＝AN﹣DN， ∴QH＝DE＝5， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形的面积，勾股定理，正确地识别图形是解题的关键． 16．（2025•鼓楼区校级模拟）正方形ABCD的边长为4，点E是BC上一点，BE＝1，连接AE，点F是正方形边上一点，AE与BF相交于点G．若BF＝AE，则AG＝　或　 ． 【分析】分三种情况讨论，一是点F在CD边上，由正方形的性质得BC＝AB＝4，∠C＝∠ABE＝90°，而BF＝AE，可根据“HL”证明Rt△BCF≌Rt△ABE，得∠CBF＝∠BAE，推导出∠AGB＝90°，由tan∠BAE，得BGAG，由ABAG＝4，求得AG；二是点F在AD边上，连接EF，可根据“HL”证明RtBAF≌Rt△ABE，得AF＝BE，则四边形ABEF是矩形，由AE，求得AG＝EGAE；三是当点E在AB边或点E在BC边上时，则BF≠AE，不符合题意，于是得到问题的答案． 【解答】解：如图1，点F在CD边上， ∵四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在BC上一点，BE＝1， ∴BC＝AB＝4，∠C＝∠ABE＝90°， 在Rt△BCF和Rt△ABE中， ， ∴Rt△BCF≌Rt△ABE（HL）， ∴∠CBF＝∠BAE， ∴∠AGB＝∠AEB+∠CBF＝∠AEB+∠BAE＝90°， ∴tan∠BAE， ∴BGAG， ∵ABAG＝4， ∴AG； 如图2，点F在AD边上，连接EF，则∠BAF＝∠ABE＝90°， 在RtBAF和Rt△ABE中， ， ∴RtBAF≌Rt△ABE（HL）， ∴AF＝BE， ∵AF∥BE，∠ABE＝90°， ∴四边形ABEF是矩形， ∵AE， ∴AG＝EGAE； 当点E在AB边或点E在BC边上时，则BF≠AE，不符合题意， 综上所述，AG或AG， 故答案为：或． 【点睛】此题重点考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地进行分类讨论是解题的关键． 17．（2025•兴化市二模）如图，正方形ABCD边长为4，点G是正方形ABCD内一点，连接AG，BG并延长与CD交于点E，H，过点E作EF⊥AE交BC于点F，连接FG，若∠DHG﹣∠DAG＝90°，且EF＝EG，则△BFG的面积为 　　 ． 【分析】过点G作GP⊥AB于点P，PG的延长线交CD于点Q，则四边形APQD和四边形BPQC都是矩形，进而得CQ＝BP，PQ＝AD＝4，证明GB＝GA得AP＝BP＝CQ＝2，设CE＝a，QE＝x，则a＜4，由此得CQ＝a+x＝2，证明△CEF和△QGE全等得CE＝GQ＝a，CF＝QE＝x，则PG＝4﹣a，再证明△APG和△EQG相似得，则x，再根据a+x＝2得a，继而得，则AF，据此根据三角形的面积公式即可得出△BFG的面积． 【解答】解：过点G作GP⊥AB于点P，PG的延长线交CD于点Q，如图所示： ∵四边形ABCD是正方形，且边长为4， ∴AB＝CD＝4，∠DAB＝∠ABC＝∠C＝∠D＝90°，AB∥CD， ∴∠QPA＝∠DAB＝∠D＝90°，∠QPB＝∠ABC＝∠C＝90°， ∴四边形APQD和四边形BPQC都是矩形， ∴CQ＝BP，PQ＝AD＝4， ∵∠DHG是△BCH的外角， ∴∠DHG＝∠GBC+∠C＝∠GBC+90°， ∵∠DHG﹣∠DAG＝90°， ∴∠GBC+90°﹣∠DAG＝90°， ∴∠GBC＝∠DAG， ∵∠DAB＝∠ABC＝90°， ∴∠DAB﹣∠GBC＝∠ABC﹣∠DAG， ∴∠GAB＝∠GBA， ∴GA＝GB， 又∵GP⊥AB， ∴AP＝BPAB＝2， ∴CQ＝BP＝2， 设CE＝a，QE＝x，则a＜4， ∴CQ＝CE+QE＝a+x＝2， ∵∠C＝∠CQE＝90°， ∴∠QGE+∠QEG＝90°， ∵EF⊥AE， ∴∠CEF+∠QEG＝90°， ∴∠CEF＝∠QGE， 在△CEF和△QGE中， ， ∴△CEF≌△QGE（AAS）， ∴CE＝GQ＝a，CF＝QE＝x， ∴PG＝PQ﹣GQ＝4﹣a， ∵AB∥CD， ∴△APG∽△EQG， ∴， ∴， ∴x， ∵a+x＝2， ∴， 整理得：a2﹣8a+8＝0， 解得：a，a4，不合题意，舍去， ∴x， ∴CF＝x， ∴BF＝BC﹣CF， ∴S△BFGBF•CQ． 【点睛】此题主要考查了正方形的性质，三角形的面积，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形的面积公式是解决问题的关键，正确地添加辅助线，构造全等三角形和相似三角形是解决问题的难点． 18．（2025•南京一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点M，N分别在边CD，BC上，且BN＝2DM．连接AM，过点N作NP⊥AM，垂足为P，连接DP，则DP的长的最小值为 　2　 ． 【分析】延长AB到H，使得BH＝2AD＝12，连接HN，可证明△NBH∽△MDA，得到∠BNH＝∠AMD，再导角证明∠BNH+∠PNB＝180°，得到P、N、H三点共线；取AH的中点O，连接OP，OD，则可得到当点P在线段OD上时，DP有最小值，最小值为OD﹣OP的值，据此求解即可． 【解答】解：如图所示，延长AB到H，使得BH＝2AD＝12，连接HN， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ADC＝∠ABC＝∠C＝90°， ∴∠NBH＝180°﹣∠ABC＝90°＝∠ADM， ∵BN＝2DM，BH＝2AD＝12， ∴， ∴△NBH∽△MDA， ∴∠BNH＝∠AMD， ∵NP⊥AM， ∴∠NPM＝90°， ∴∠PMC+∠PNC＝360°﹣∠C﹣∠NPM＝180°， ∵∠AMD+∠PMC＝∠PNC+∠PNB＝180°， ∴∠AMD+∠PNB＝180°， ∴∠BNH+∠PNB＝180°， ∴P、N、H三点共线； 如图所示，取AH的中点O，连接OP，OD， ∵AH＝AB+BH＝16， ∴， ∵DP≥OD﹣OP， ∴当点P在线段OD上时，DP有最小值，最小值为OD﹣OP的值， 在Rt△ADO中，， ∴DP最小值＝10﹣8＝2， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了圆外一点到圆上一点的距离的最值问题，勾股定理，相似三角形的性质与判定，矩形的性质等，正确作出辅助线构造相似三角形，从而确定点P的轨迹是解题的关键． 三．解答题（共5小题） 19．（2025•徐州）已知：如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，EF⊥AC于点G，交AD于点F，AB⊥AC，连接AE，CF．求证： （1）△AGF≌△CGE； （2）四边形AECF是菱形． 【分析】（1）由直角三角形的性质可得AE＝BE＝EC，由等腰三角形的性质可得AG＝GC，由ASA可证△AGF≌△CGE； （2）由全等三角形的性质可得AF＝CE，可证四边形AECF是平行四边形，由EF⊥AC，可证▱AECF是菱形． 【解答】证明：（1）∵AB⊥AC，E为BC的中点， ∴AE＝BE＝EC， ∵EF⊥AC， ∴EF垂直平分AC， ∴AG＝GC， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAC＝∠ACB， 又∵∠AGF＝∠CGE， ∴△AGF≌△CGE（ASA）； （2）∵△AGF≌△CGE， ∴AF＝CE， 又∵AF∥CE， ∴四边形AECF是平行四边形， 又∵EF⊥AC， ∴▱AECF是菱形． 【点睛】本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，证明△AGF≌△CGE是解题的关键． 20．（2025•无锡）如图，在矩形ABCD中，点E在CB延长线上，点F在BC延长线上，且BE＝CF，连接AE、DF． 求证：（1）△ABE≌△DCF； （2）∠EAD＝∠FDA． 【分析】（1）利用矩形的性质和全等三角形的判定定理解答即可； （2）利用全等三角形的性质，矩形的性质和等式的性质解答即可． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为矩形， ∴∠ABE＝∠DCF＝90°，AB＝CD， 在△ABE和△DCF中， ， ∴△ABE≌△DCF（SAS）； （2）∵△ABE≌△DCF， ∴∠EAB＝∠FDC， ∵四边形ABCD为矩形， ∴∠BAD＝∠CDA＝90°， ∴∠BAD+∠EAB＝∠CDA+∠FDC， ∴∠EAD＝∠FDA． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等式的性质，熟练掌握上述定理与性质是解题的关键． 21．（2025•扬州）如图，在▱ABCD中，对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点E，F． （1）求证：四边形AFCE是菱形； （2）若AB＝3，BC＝5，CE平分∠ACD，求DE的长． 【分析】（1）根据线段垂直平分线性质得EA＝EC，FA＝FC，OA＝OC，∠AOE＝∠COF＝90°，再根据平行四边形性质得AD∥BC得∠OAE＝∠OCF，由此可依据“ASA”判定△OAE和△OCF全等得EA＝FC，进而得EA＝EC＝FA＝FC，然后根据菱形的判定即可得出结论； （2）（2）证明△CDE和△CBA相似，利用相似三角形的性质即可得出DE的长． 【解答】（1）证明：∵EF是AC的垂直平分线， ∴EA＝EC，FA＝FC，OA＝OC，∠AOE＝∠COF＝90°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD， ∴∠OAE＝∠OCF， 在△OAE和△OCF中， ， ∴△OAE≌△OCF（ASA）， ∴EA＝FC， ∴EA＝EC＝FA＝FC， ∴四边形AFCE是菱形； （2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝3，BC＝5， ∴CD＝AB＝3，∠D＝∠B， ∵四边形AFCE是菱形， ∴∠ACB＝∠ACE， ∵CE平分∠ACD， ∴∠DCE＝∠BCA， 又∵∠D＝∠B， ∴△CDE∽△CBA， ∴， ∴， ∴DE 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，菱形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，理解平行四边形的性质，熟练掌握菱形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键． 22．（2025•镇江）小方根据我国古代数学著作《九章算术》中的一道“折竹”问题改编了一个情境：如图，一根竹子原来高1丈（1丈＝10尺），折断后顶端触到墙上距地面9尺的点P处，墙脚O离竹根A处3尺远．请你解答：折断处B离地面多高？ 【分析】过点B作BC⊥OP于点C，先证出四边形OABC是矩形，则可得BC＝OA＝3尺，OC＝AB，再设OC＝AB＝x尺，则CP＝（9﹣x）尺，BP＝（10﹣x）尺，在Rt△BCP中，利用勾股定理求解即可得． 【解答】解：如图，过点B作BC⊥OP于点C， 由题意得：BA⊥OA，OP＝9尺，OA＝3尺，AB+BP＝10尺，OA⊥OP， ∴四边形OABC是矩形， ∴BC＝OA＝3尺，OC＝AB， 设OC＝AB＝x尺，则BP＝（10﹣x）尺，CP＝OP﹣OC＝（9﹣x）尺， BC2+CP2＝BP2，即32+（9﹣x）2＝（10﹣x）2， 解得x＝5， 即AB＝5尺， 答：折断处B离地面5尺． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的应用是解题关键． 23．（2025•建邺区一模）如图，四边形ABCD是菱形，点E，F在直线BD上，BE＝BD＝DF． （1）判断四边形AECF的形状，并说明理由； （2）当 　　 时，四边形AECF是正方形． 【分析】（1）连接AC∠BD于点O，根据菱形性质得OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，进而得AC⊥EF，OE＝OF，再根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形即可得出结论； （2）当时，四边形AECF是正方形，设AD，BD＝2a，根据菱形性质得OB＝ODBD＝a，OA＝OC，AC⊥BD，由勾股定理得OA＝3a，则AC＝6a，再根据BE＝BD＝DF＝2a得BE＝6a，继而得AC＝EF＝6a，然后根据对角线相等的菱形是正方形即可得出结论． 【解答】解：（1）四边形AECF的形状是菱形，理由如下： 连接AC∠BD于点O，如图1所示： ∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD， ∵点E，F在直线BD上，BE＝BD＝DF， ∴OB+BE＝OD+DF，AC⊥EF， ∴OE＝OF， 在四边形AECF中，OA＝OC，OE＝OF，AC⊥EF， 根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形得：四边形AECF的形状是菱形； （2）当时，四边形AECF是正方形，理由如下： ∵， ∴设AD，BD＝2a， ∵四边形ABCD是菱形， ∴OB＝ODBD＝a，OA＝OC，AC⊥BD， 在Rt△OAD中，由勾股定理得：OA3a， ∴AC＝2OA＝6a， ∵BE＝BD＝DF＝2a， ∴BE＝3BD＝6a， ∴AC＝EF＝6a， 根据对角线相等的菱形是正方形得：四边形AECF是正方形． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了菱形的判定和性质，正方形的判定，熟练掌握菱形的判定和性质，正方形的判定是解决问题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 卷18 特殊的平行四边形（矩形菱形正方形） （满分:100分 时间90分钟） 一．选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1．（2025•常州）如图，在菱形ABCD中，AC、BD是对角线，AB＝5．若∠ABD＝30°，则AC的长是（　　） A．4 B．5 C．6 D．10 2．（2025•盐城）七巧板具有深厚的中华文化底蕴，它是由正方形、平行四边形和大小不一的等腰直角三角形组成的．小明用七巧板拼成的丹顶鹤如图所示，且过点C作直线AB∥DE．若∠1＝20°，则∠2的度数是（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 3．（2025•沛县三模）如图，在边长为2的菱形ABCD中，分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN，交AD于点E，连接CE．若∠B＝135°，则CE的长为（　　） A． B． C． D． 4．（2025•东台市一模）如图，点M是菱形ABCD边BC的中点，点E在边CD上，连接AE，过点M作MN∥AB交对角线AC于点Q，交AE于点N．若BC＝8，MN＝5，则线段DE的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 5．（2025•靖江市三模）如图，已知矩形ABCD的顶点A，D分别落在x轴，y轴上，OD＝2OA＝12，AD＝3AB，则点C的坐标是（　　） A．（6，14） B．（4，16） C．（4，14） D．（6，16） 6．（2025•仪征市一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AB为边向三角形外作正方形ABDE，作EF⊥BC于点F，交对角线AD于点G，连接BG．要求△BFG的周长，只需知道（　　） A．AC的长 B．BC的长 C．BF的长 D．FG的长 7．（2025•海州区二模）如图，已知正方形ABCD的边长为4，以AD为边在正方形内部作等边△ADE，连接BE，DF⊥DE交BE的延长线于点F，则EF的长为（　　） A． B． C． D．5 8．（2025•滨海县二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是AD边上的动点，点M是点A关于直线BE的对称点，连接MD，则MD的最小值是（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 二．填空题（共10小题，每小题3分，共30分） 9．（2025•秦淮区模拟）一个菱形的边长为4cm，一条对角线长为6cm，则菱形的高是 　 　 cm． 10．（2025•通州区一模）已知矩形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝60°，，则该矩形的对角线长是　 　 ． 11．（2025•苏州模拟）已知，如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形ABCD，若测得A，C之间的距离为8cm，B，D之间的距离为6cm，则线段AB的长为 　 　 ． 12．（2025•无锡）如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，对角线AC、BD相交于点M．过点D作AC的平行线交BC的延长线于点N，连接MN．则MN的长为　 　 ． 13．（2025•金坛区一模）如图，正方形CEFG的顶点G正方形ABCD的边CD上，AF与CD交于点H，若AB＝6，CE＝2，则DH的长为 　 　 ． 14．（2025•南京）如图，点E，F在矩形ABCD内，Rt△ABE≌Rt△CDF．若AB＝25，AD＝30，AE＝15，则EF的长为　 　 ． 15．（2025•无锡一模）如图1，△ABC中，∠BCA＝90°，AB＝10，将其分割成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分，然后再拼成如图2的菱形PQMN（不重叠、无缝隙），若NH﹣PG＝2，则QH的长为 　 　 ． 16．（2025•鼓楼区模拟）正方形ABCD的边长为4，点E是BC上一点，BE＝1，连接AE，点F是正方形边上一点，AE与BF相交于点G．若BF＝AE，则AG＝　 　 ． 17．（2025•兴化市二模）如图，正方形ABCD边长为4，点G是正方形ABCD内一点，连接AG，BG并延长与CD交于点E，H，过点E作EF⊥AE交BC于点F，连接FG，若∠DHG﹣∠DAG＝90°，且EF＝EG，则△BFG的面积为 　 　 ． 18．（2025•南京一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点M，N分别在边CD，BC上，且BN＝2DM．连接AM，过点N作NP⊥AM，垂足为P，连接DP，则DP的长的最小值为 　 　 ． 三．解答题（共5小题，共46分） 19．（8分）（2025•徐州）已知：如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，EF⊥AC于点G，交AD于点F，AB⊥AC，连接AE，CF．求证： （1）△AGF≌△CGE； （2）四边形AECF是菱形． 20．（10分）（2025•无锡）如图，在矩形ABCD中，点E在CB延长线上，点F在BC延长线上，且BE＝CF，连接AE、DF． 求证：（1）△ABE≌△DCF； （2）∠EAD＝∠FDA． 21．（10分）（2025•扬州）如图，在▱ABCD中，对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点E，F． （1）求证：四边形AFCE是菱形； （2）若AB＝3，BC＝5，CE平分∠ACD，求DE的长． 22．（8分）（2025•镇江）小方根据我国古代数学著作《九章算术》中的一道“折竹”问题改编了一个情境：如图，一根竹子原来高1丈（1丈＝10尺），折断后顶端触到墙上距地面9尺的点P处，墙脚O离竹根A处3尺远．请你解答：折断处B离地面多高？ 23．（10分）（2025•建邺区一模）如图，四边形ABCD是菱形，点E，F在直线BD上，BE＝BD＝DF． （1）判断四边形AECF的形状，并说明理由； （2）当 　 　 时，四边形AECF是正方形． 1 学科网（北京）股份有限公司 $