【冲刺2026年】中考数学一轮复习江苏2025年中考真题及模拟试题分类提优测试卷17 多边形和平行四边形（解析版+原卷版）

卷17 多边形和平行四边形 （时间：90分钟 满分：100分 得分 ） 一．选择题（共8小题，每小题3分，共24分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C A C A D A A 一．选择题（共8小题） 1．（2025•淮安）如图，直线a∥b，正六边形ABCDEF的顶点A、C分别在直线a、b上，若∠1＝40°，则∠2的度数是（　　） A．15° B．20° C．30° D．40° 【分析】延长FA与直线b交于点H，先求出正六边形的内角∠F的度数，再由平行线的性质得到∠2＝∠3，然后根据三角形内角和定理求解即可． 【解答】解：延长FA与直线b交于点H， ∵多边形ABCDEF是正六边形， ∴， ∴∠2＝∠H， ∵a∥b， ∴∠3＝∠H， ∴∠2＝∠3＝180°﹣∠F﹣∠1＝180°﹣120°﹣40°＝20°， 若∠1＝40°，则∠2的度数是20°． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正多边形的内角问题，平行线的性质，三角形内角和定理，正确添加辅助线是解题的关键． 2．（2025•常州模拟）若正多边形的一个外角是45°，则这个正多边形是（　　） A．正六边形 B．正七边形 C．正八边形 D．正九边形 【分析】根据多边形的外角和列式计算即可． 【解答】解：由题意得360°÷45°＝8， 即这个正多边形是正八边形， 故选：C． 【点睛】本题考查多边形的外角和，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． 3．（2025•泗阳县一模）如图，点B是正八边形的边AF上一点，一束光线从点B出发，经过两次反射后到达边AG上一点E，若∠ABC＝65°，则∠AED＝（　　） A．70° B．65° C．55° D．60° 【分析】设CD上方的正八边形的顶点依次为H，I，J，BC与DE的交点为K，先求出正八边形每个内角的度数，再由光的反射定律得到∠DCH，∠CDJ与∠BCD，∠CDE的数量关系，再利用多边形CHIJD是五边形，求出∠BCD与∠CDE的度数之和，再求出∠CKD的度数，即可求出∠AED的度数． 【解答】解：如图，设CD上方的正八边形的顶点依次为H，I，J，BC与DE的交点为K． 由正八边形的性质得∠CHI＝∠HIJ＝∠IJD＝∠BAE＝180°﹣45°＝135°． 设∠BCD＝x，∠CDE＝y． 由光的反射定律可知∠DCH90°，∠CDJ90°． ∵多边形CHIJD是五边形， ∴∠CHI+∠HIJ+∠IJD+∠DCH+∠CDJ＝540°，即3×135°+90°90°540°， 解得x+y＝90°， ∴∠CKD＝180°﹣（x+y）＝90°， ∴∠BKE＝90°． ∵多边形AEKB是四边形， ∴∠AED＝360°﹣（∠BKE+∠BAE+∠ABC）＝360°﹣（90°+135°+65°）＝70°． 故选：A． 【点睛】本题是一道跨学科试题，主要考查了多边形的内角，光的反射定律的相关知识，熟练掌握多边形的内角和定理，善于利用整体法求角度是解题的关键．本题是中考模拟卷选择题的压轴题，具有一定难度． 4．（2025•靖江市一模）如图，把一个平行四边形纸板ABCD的一边紧靠着数轴平移到平行四边形A′B′C′D′的位置．点C、C′表示的数分别为b、a，则点A平移的距离为（　　） A．a B．b C．a﹣b D．b﹣a 【分析】根据数轴上平移前后对应点的位置即可得出结果． 【解答】解：∵平行四边形纸板ABCD的一边紧靠着数轴平移到平行四边形A′B′C′D′的位置．点C、C′表示的数分别为b、a， ∴点A平移的距离为a﹣b， 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是平行四边形的性质，平移的性质，理解掌握平移的性质是解题关键． 5．（2025•盐城一模）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线和∠CDA的平分线交于BC上一点E，若AE＝6，DE＝8，则AB的长为（　　） A．5 B．4 C．3 D．10 【分析】根据角平分线可知，∠BAE＝∠DAE，∠CDE＝∠ADE，结合四边形ABCD是平行四边形，AD∥BC，∠BAD+∠CDA＝180°，从而得到∠BAE＝∠BEA，∠DEC＝∠CDE，∠EAD+∠EDA＝90°，最后在Rt△AED中利用勾股定理求出AD＝10，据此求解即可． 【解答】解：平行四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC， ∴∠BAD+∠CDA＝180°，∠DAE＝∠AEB，∠ADE＝∠CED， ∵∠BAD的平分线和∠CDA的平分线交于BC上一点E ∴∠BAE＝∠DAE∠BAD，∠ADE＝∠CDE∠ADC， ∴∠DAE+∠ADE180°＝90°，∠BAE＝∠AEB，∠DEC＝∠CDE， ∴∠AED＝90°，AB＝BE，CD＝EC， ∴AD10， ∴BC＝AD＝10， ∴BE＝CE＝5， ∴AB＝5． 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 6．（2025•南京一模）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O作直线EF分别交AD，BC于点E，F．若AB＝6，AC＝8，AD＝10，则图中的阴影部分面积为（　　） A．6 B．8 C． D．12 【分析】先证明△AEO≌△CFO，可得出S阴影＝S△AEO+S△BOF＝S△CFO+S△BOF＝S△BOC设然后根据三角形中线的性质可得出根据勾股定理的逆定理可得出∠BAC＝90°，即可求解． 【解答】解：∵在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O， ∴AO＝CO，AD∥BC， ∴∠AEO＝∠CFO，∠EAO＝∠FCO， ∴△AEO≌△CFO， ∴S△AEO＝S△CFO， ∴S阴影＝S△AEO+S△BOF＝S△CFO+S△BOF＝S△BOC， ∵AO＝CO， ∴， ∵AB＝6，AC＝8，AD＝BC＝10， ∴AB2+AC2＝100＝BC2， ∴∠BAC＝90°， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理等知识，掌握以上性质是解题的关键． 7．（2025•灌南县一模）点E是▱ABCD对角线DB上一点，连接AE并延长至点F，使AE＝EF，AF交BC于点G，连接CF．若CG＝3BG，DB，则CF的长为（　　） A．1 B． C． D． 【分析】连接AC交BD于点O，根据平行四边形的性质得OA＝OC，OB＝ODDB，则OE是△ACF的中位线，进而得OE∥CF，OECF，由此得△BEG和△CFG相似，再由相似的性质得，设BE＝a，CF＝3a得OECF，再根据BE+OE＝OB得，由此解出，据此可得CF的长． 【解答】解：连接AC交BD于点O，如图所示： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝ODDB， ∵DB， ∴OBDB， ∵AE＝EF，OA＝OC， ∴OE是△ACF的中位线， ∴OE∥CF，OECF， ∴BE∥CF， ∴△BEG∽△CFG， ∴， ∵CG＝3BG， ∴， 设BE＝a，CF＝3a， ∴OECF， ∵BE+OE＝OB， ∴， ∴， ∴CF＝3a1． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质是解决问题的关键． 8．（2025•南通模拟）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠ADC的平分线与边AB相交于点P，E是PD中点，若AD＝4，CD＝6，则EO的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据平行四边形的性质可得AB∥DC，AB＝CD，OD＝OB，可得∠CDP＝∠APD，根据DP平分∠ADC，可得∠CDP＝∠ADP，从而可得∠ADP＝∠APD，可得AP＝AD＝4，进一步可得PB的长，再根据三角形中位线定理可得EOPB，即可求出EO的长． 【解答】解：在平行四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝CD，OD＝OB， ∴∠CDP＝∠APD， ∵DP平分∠ADC， ∴∠CDP＝∠ADP， ∴∠ADP＝∠APD， ∴AP＝AD＝4， ∵CD＝6， ∴AB＝6， ∴PB＝AB﹣AP＝6﹣4＝2， ∵E是PD的中点，O是BD的中点， ∴EO是△DPB的中位线， ∴EOPB＝1， 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，熟练掌握这些知识是解题的关键． 二．填空题（共12小题，每小题3分，共36分) 9．（2025•扬州）若多边形的每个内角都是140°，则这个多边形的边数为 　9　 ． 【分析】先根据多边形的一个内角与它相邻的外角的和为180°，求出多边形的每个内角的度数，然后根据多边形的外角和为360°，求出边数即可． 【解答】解：∵多边形的每个内角都是140°， ∴多边形的每个外角都是180°﹣140°＝40°， ∴这个多边形的边数为：360°÷40°＝9， 故答案为：9． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角与外角，解题关键是熟练多边形的外角和为360°． 10．（2025•无锡）正七边形的内角和为　900　 度． 【分析】利用多边形的内角和公式列式计算即可． 【解答】解：（7﹣2）×180°＝900°， 即正七边形的内角和为900度， 故答案为：900． 【点睛】本题考查多边形的内角与外角，熟练掌握相关公式是解题的关键． 11．（2025•江宁区二模）长度分别为1，2，4，a的四条线段首尾顺次相接，能够组成一个四边形．写出一个整数a的值是 　4（答案不唯一）　 ． 【分析】所有边中最大的边必须小于其余三边之和，据此确定a的值即可． 【解答】解：当a＞4时，需要a＜1+2+4，即a＜7，故可取5或6， 当a≤4时，需要4＜1+2+a，即a＞1，故可取2，3或4， 因此符合条件的整数为2，3，4，5，6，任选其一即可． 故答案为：4（答案不唯一）． 【点睛】此题考查了四边形存在的条件，熟练掌握该知识点是关键． 12．（2025•鼓楼区二模）如图，在正多边形中，若∠1＝27°，则∠2＝ 　108　 °． 【分析】根据∠1＝27°，求出，再根据三角形内角和定理求出结果即可． 【解答】解：如图， ∵∠1所对的边有3条，∠3所对的边有5条， ∴， ∴∠2＝180°﹣∠1﹣∠3＝108°， 故答案为：108． 【点睛】本题主要考查了正多边形和圆，三角形内角和定理应用，掌握以上性质是解题的关键． 13．（2025•常州）如图，在▱ABCD中，E是AD上一点，DE＝2AE，CE、BA的延长线相交于点F，若AB＝2，则AF＝ 　1　 ． 【分析】由平行四边形的性质得AD∥BC，AD＝BC，由DE＝2AE，推导出，可证明△FAE∽△FBC，得，而AB＝2，则，求得AF＝1，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∵DE＝2AE， ∴AD＝AE+DE＝AE+2AE＝3AE， ∴， ∵AE∥BC， ∴△FAE∽△FBC， ∴， ∵AB＝2， ∴， ∴AF＝1， 故答案为：1． 【点睛】此题重点考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明△FAE∽△FBC是解题的关键． 14．（2025•淮安）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC⊥AB，点E、F分别为BC、CD的中点，连接AE、OF，若AE＝4，则OF＝　4　 ． 【分析】根据斜边上的中线，得到BC＝2AE＝8，根据平行四边形的性质，推出OF是△BCD的中位线，进而得到，即可得出结果． 【解答】解：∵AC⊥AB， ∴∠BAC＝90°， ∵点E为BC的中点， ∴， ∴BC＝2AE＝8， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD， 又∵点F为CD的中点， ∴； 故答案为：4． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，斜边上的中线和三角形的中位线定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 15．（2025•宿城区一模）如图，已知▱ABCD，∠ACB＝α，（0°＜α＜90°），E、F分别为AD、BC上的点，连接EF，若EF⊥AD于点E，且EF平分▱ABCD的面积，过E作EP⊥AC于点P，连接PF，则cos∠EFP的最小值为　　 ． 【分析】设EF、AC交于点O，过P作PM⊥EF于M，设EM＝m，OM＝n，则OE＝m+n，先证明△EMP∽△PMO，得到，再由EF平分平行四边形ABCD的面积，得到OF＝OE＝m+n，利用勾股定理得到，则，利用配方得到当时，最小，此时sin∠EFP最大，进而求得cos∠EFP的最小值． 【解答】解：设EF，AC交于点O，过P作PM⊥EF于M， ∵EF⊥AD，EP⊥AC，PM⊥EF， ∴∠AEF＝∠PMF＝∠PME＝∠EPO＝90°（垂直的定义）， ∴∠PEM＝∠MPO＝90°﹣∠POE， ∴△EMP∽△PMO（两角对应相等的两个三角形相似）， ∴（三角形相似的对应边成比例）， ∴PM2＝OM•EM， 设EM＝m，OM＝n， ∴OE＝EM+OM＝m+n，PM2＝OM•EM＝mn， ∴， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，， ∴∠AEF＝∠CFO＝90°，△AOE∽△COF， ∴， ∵EF平分平行四边形ABCD的面积， ∴， ∴S△COF+S四边形CDEO＝S△AOE+S四边形CDEO， ∴S△COF＝S△AOE， ∴， ∴， ∴， ∴OF＝OE＝m+n， ∴FM＝OM+OF＝m+2n， ∴Rt△PFM中，， ∴， ∵， ∴当，即m＝2n时，59最小， 此时最大， ∴， cos∠EFP的最小值为 故答案为：． 【点睛】本题考查解直角三角形的相关知识．判断出点P在以EO′为直径的圆上，当PF与⊙O相切时，∠EFP最大，sin∠EFP的值最大是解决本题的难点． 16．（2025•鼓楼区一模）如图，在▱ABCD中，AB＝4，AD＝6，∠ABC的角平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，则DF的长为 　2　 ． 【分析】根据平行四边形的性质得CD＝AB＝4，BC＝AD＝6，AB∥CD，则∠F＝∠ABF，再根据角平分线定义得∠ABF＝∠CBF，进而得∠F＝∠CBF，则FC＝BC＝6，然后再根据DF＝FC﹣CD即可得出答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝4，AD＝6， ∴CD＝AB＝4，BC＝AD＝6，AB∥CD， ∴∠F＝∠ABF， ∵BF平分∠ABC， ∴∠ABF＝∠CBF， ∴∠F＝∠CBF， ∴FC＝BC＝6， ∴DF＝FC﹣CD＝6﹣4＝2． 故答案为：2． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义是解决问题的关键． 17．（2025•鼓楼区二模）如图，l1∥l2，l1与l2间的距离为2，A、B是l1上两个定点，P是l2上的一个动点，连接PB并延长至点C，使得．若D是l1上方一点，且四边形APCD是平行四边形，则PD的最小值是 　5　 ． 【分析】设AB，PD交于点O．证明ODOP，判断出OP的最小值可得结论． 【解答】解：设AB，PD交于点O． ∵四边形APCD是平行四边形， ∴AD∥PC，AD＝PC， ∵BCPB， ∴， ∴ODOP， ∵当OP⊥AB时，OP的值最小，最小值为2， ∴OD的最小值为3， ∴PD的最小值为5． 故答案为：5． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，平行线之间的距离，垂线段最短，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 18．（2025•靖江市三模）如图，在▱ABCD中，AB＝AC＝10，CE⊥AB，垂足为E，点B关于CE的对称点为F，连接DF交AC于点H，若CE＝8，则CH的长为 　　 ． 【分析】由平行四边形的性质推出CD＝AB＝10，CD∥AB，由勾股定理求出AE＝6，得到BE＝4，由点B和F关于CE对称，得到EF＝BE＝4，求出AF＝2，判定△AFH∽△CDH，推出AH：CH＝AF：CD＝1：5，即可求出CH的长． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD＝AB＝10，CD∥AB， ∵CE⊥AB， ∴∠AEC＝90°， ∴AE6， ∴BE＝AB﹣AE＝4， ∵点B关于CE的对称点为F， ∴EF＝BE＝4， ∴AF＝AB﹣BE﹣EF＝2， ∵AF∥CD， ∴△AFH∽△CDH， ∴AH：CH＝AF：CD＝2：10＝1：5， ∴CHAC10． 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理，轴对称的性质，关键是判定△AFH∽△CDH，推出AH：CH＝AF：CD． 19．（2025•泰兴市三模）如图，在▱ABCD中，tanA＝2，AB，BC＝5．直线l为经过点B的一条动直线（不与AB重合），点A关于直线l的对称点为A'，当点A'落在▱ABCD的一边上时，线段CA'的长为 　5或或　 ． 【分析】依题意有有以下三种情况：①当点A'落在AD边上时，设直线l交AD于点E，过点A'作AF⊥BC于点F，根据对称的性质得BE⊥AD，AE＝A'E，解Rt△BAE得AE＝A'E＝2，BE＝4，证明四边形BEA'F是矩形得A'F＝BE＝4，BF＝A'E＝2，则CF＝3，然后在Rt△A'CF中，由勾股定理可求出CA'的长；②当点A'落在CD上时，过点A'作A'H⊥BC于点H，根据对称的性质得A'B＝AB，根据tanC2，设CH＝x，A'H＝2x，则CA'，BH＝5﹣x，在Rt△A'BH中，由勾股定理得，由此解出x即可得出CA'的长；③当点A'落在BC上时，根据对称的性质得A'B＝AB，由此得A'C＝BC﹣A'B，综上所述即可得出线段CA'的长 【解答】解：当点A'落在▱ABCD的一边上时，有以下三种情况： ①当点A'落在AD边上时，设直线l交AD于点E，过点A'作AF⊥BC于点F，如图1所示： 根据对称的性质得：BE⊥AD，AE＝A'E， 在Rt△BAE中，tanA2， 设AE＝a，BE＝2a， 由勾股定理得：AB， ∴a＝2， ∴AE＝A'E＝2，BE＝4， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC∥AB， ∵BE⊥AD，A'F⊥BC， ∴∠BEA'＝∠EA'F＝∠A'FB＝90°， ∴四边形BEA'F是矩形， ∴A'F＝BE＝4，BF＝A'E＝2， ∴CF＝BC﹣BF＝5﹣2＝3， 在Rt△CA’F中，由勾股定理得：CA’5； ②当点A'落在CD上时，过点A'作A'H⊥BC于点H，如图2所示： 根据对称的性质得：A'B＝AB， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠C＝∠BAD， ∴tanC＝tan∠BAD＝2， 在Rt△CA’H中，tanC2， ∴设CH＝x，A'H＝2x， 由勾股定理得：CA’， 在Rt△A'BH中，BH＝BC﹣CH＝5﹣x， 由勾股定理得：A'B2＝BH2+A'H2， ∴， 整理得：x2﹣2x+1＝0， 解得：x＝1， ∴CA’； ③当点A'落在BC上时，如图3所示： 根据对称的性质得：A'B＝AB， ∴CA’＝BC﹣A'B， 综上所述：线段CA'的长为5或或． 故答案为：5或或． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，轴对称的性质，解直角三角形，理解平行四边形的性质，轴对称的性质，灵活运用锐角三角函数的定义及勾股定理进行计算是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点． 20．（2025•海州区二模）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC＝120°，AB＝2，AD＝4，点E是线段AD上的动点，连接BE，点A关于BE的对称点为F，连接DF，则DF的最小值为 　22　 ． 【分析】连接BF，BD，过点B作BG⊥AD于点G，先根据平行四边形的性质，解Rt△ABG，再对Rt△BDG运用勾股定理求得BD＝2，由对称确定点F的轨迹，由DF≥BD﹣BF，确定当B、F、D三点共线时，DF最小，即可求解． 【解答】解：连接BF，BD，过点B作BG⊥AD于点G， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠BAD+∠ABC＝180°， ∵∠ABC＝120°， ∴∠BAD＝180°﹣120°＝60°， ∴BG＝AB•sin60°＝2，AG＝AB•cos60°＝21， ∴DG＝AD﹣AG＝4﹣1＝3， ∴BD2， 根据轴对称的性质得，BF＝AB＝2， ∴点F在以B为圆心，AB为半径的⊙B上， ∵DF≥BD﹣BF， ∴当B、F、D三点共线时，DF最小，最小值为BD﹣BF＝22． 故答案为：22． 【点睛】本题考查了平行线四边形的性质，轴对称的性质，正确添加辅助线，熟练掌握知识点是解题的关键． 三．解答题（共8小题） 21．（5分）（2025•盐城）如图，点E，F在▱ABCD的对角线AC上．若　③　 ，则四边形BEDF是平行四边形．请从①BE＝DF；②AE＝CF；③BE∥DF这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由． 【分析】由平行四边形的性质得CB∥AD，CB＝AD，则∠BCE＝∠DAF，由BE∥DF，得∠CEB＝∠AFD，根据“AAS”证明△CBE≌△ADF，得BE＝DF，即可证明四边形BEDF是平行四边形．此外，与可根据AE＝CF，证明△ABE≌△CDF，得BE＝DF，从而证明四边形BEDF是平行四边形． 【解答】解：③（答案不唯一）， 理由：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CB∥AD，CB＝AD， ∴∠BCE＝∠DAF， ∵BE∥DF， ∴∠CEB＝∠AFD， 在△CBE和△ADF中， ， ∴△CBE≌△ADF（AAS）， ∴BE＝DF， ∴四边形BEDF是平行四边形， 故答案为：③（答案不唯一）． 【点睛】此题重点考查平行四边形的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明△CBE≌△ADF是解题的关键． 22．（5分）（2025•扬州三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD，BE． （1）求证：CE＝AD； （2）当D为AB的中点时，判断四边形BECD的形状，并说明理由． 【分析】（1）根据垂直定义可得∠ACB＝∠DFB＝90°，从而可得AC∥DE，进而可得四边形ADEC是平行四边形，然后利用平行四边形的性质可得CE＝AD，即可解答； （2）根据线段的中点定义可得AD＝BD，从而利用等量代换可得BD＝CE，进而可得四边形BECD是平行四边形，然后利用直角三角形斜边上的中线性质可得CD＝BD，从而根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可解答． 【解答】（1）证明：∵DE⊥BC， ∴∠DFB＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACB＝∠DFB＝90°， ∴AC∥DE， ∵MN∥AB， ∴四边形ADEC是平行四边形， ∴CE＝AD； （2）四边形BECD是菱形， 理由：∵D为AB中点， ∴AD＝BD， ∵CE＝AD， ∴BD＝CE， ∵BD∥CE， ∴四边形BECD是平行四边形， ∵∠ACB＝90°，D为AB中点， ∴CD＝BDAB， ∴四边形BECD是菱形． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，菱形的判定，直角三角形斜边上的中线，平行线的性质，熟练掌握平行四边形的性质与判定，以及菱形的判定是解题的关键． 23．（5分）（2025•江阴市一模）如图，在四边形ABCD中，点E为AD的中点，连接CE，并延长交BA的延长线于点F，已知DC∥AB． （1）求证：△AEF≌△DEC； （2）若AD∥BC，AE＝2，求BC的长． 【分析】（1）由DC∥AB，得∠F＝∠DCE，而AE＝DE，∠AEF＝∠DEC，即可根据“AAS”证明△AEF≌△DEC； （2）由AE＝DE＝2，求得AD＝4，由DC∥AB，AD∥BC，证明四边形ABCD是平行四边形，则BC＝AD＝4． 【解答】（1）证明：∵DC∥AB， ∴∠F＝∠DCE， ∵点E为AD的中点， ∴AE＝DE， 在△AEF和△DEC中， ， ∴△AEF≌△DEC（AAS）． （2）解：∵AE＝DE＝2， ∴AD＝2AE＝4， ∵DC∥AB，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴BC＝AD＝4， ∴BC的长为4． 【点睛】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知识，推导出∠F＝∠DCE，并且适当选择全等三角形的判定定理证明△AEF≌△DEC是解题的关键． 24．（5分）（2025•建邺区二模）如图，在▱ABCD中，点E，F在对角线BD上，BE＝AB，DF＝CD． （1）求证：四边形AECF是平行四边形． （2）若AB＝2，BD＝5，四边形AECF的面积为2，则▱ABCD的面积为　10　 ． 【分析】（1）根据平行四边形的性质求出AB＝CD，AB∥CD，根据平行线的性质求出∠ABE＝∠CDF，等量代换求出BE＝AB＝DF＝CD，利用SAS证明△ABE≌△CDF，根据全等三角形的性质求出AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，根据邻补角定义求出∠AEF＝∠CFE，则AE∥CF，再根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可得证； （2）结合平行四边形的性质，根据同高等底的三角形面积相等可解答． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴∠ABE＝∠CDF， ∵BE＝AB，DF＝CD， ∴BE＝AB＝DF＝CD， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（SAS）， ∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD， ∴180°﹣∠AEB＝180°﹣∠CFD， 即∠AEF＝∠CFE， ∴AE∥CF， ∴四边形AECF是平行四边形； （2）解：如图，连接AC，交EF于点O， ∵BE＝AB＝DF＝2，BD＝BE+EF+DF＝5， ∴EF＝1， ∵四边形AECF是平行四边形，四边形AECF的面积为2， ∴OE＝OFEF，S△AOE2， ∴， ∴S△ABE＝4S△AOE＝2， ∴S△AOB＝S△ABE+S△AOE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴▱ABCD的面积＝4S△AOB＝410， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，同高等底三角形面积相等，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 25．（5分）（2025•常州模拟）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E在边AB上，________．请从“①∠B＝∠AED；②AE＝BE，AE＝CD”这两组条件中任选一组作为已知条件，填写在横线上（填写序号），再解答下面的问题： （1）求证：四边形BCDE是平行四边形； （2）若AD⊥AB，AE＝10，sin，求线段BC的长． 【分析】（1）证明BC∥DE或BE＝CD，再由平行四边形的判定即可得出结论； （2）由平行四边形的性质得DE＝BC＝10，再由勾股定理求出AE的长即可． 【解答】解：（1）选择①或②，证明如下： 选择①，∵∠B＝∠AED， ∴BC∥DE， ∵AB∥CD， ∴四边形BCDE为平行四边形； 选择②，∵AE＝BE，AE＝CD， ∴BE＝CD， ∵AB∥CD， ∴四边形BCDE为平行四边形； （2）由（1）可知，四边形BCDE为平行四边形， ∴DE＝BC， ∵AD⊥AB， ∴∠A＝90°， ∵sin∠ADE， ∵AE＝10， ∴DE＝26， ∴BC＝DE＝26． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 26．（5分）（2025•姜堰区一模）如图，在△ABC中，CD是AB边上的中线，E是CD的中点，CF∥AB交BE的延长线于点F，连接AF． （1）求证：四边形ADCF是平行四边形； （2）若AC⊥BC，AB＝5，BC＝4，求四边形ADCF的面积． 【分析】（1）先证明△BDE和△FCE全等得CF＝BD，根据CD是AB边上的中线得BD＝AD＝CF，由此即可得出结论； （2）连接DF，先求出AC＝3，根据直角三角形斜边中线性质得DC＝DA，进而得四边形ADCF是菱形，则DF⊥AC，由此可证明四边形BCDF是平行四边形，则DF＝BC＝4，然后再根据菱形的面积公式即可得出四边形ADCF的面积． 【解答】（1）证明：∵CF∥AB， ∴∠DBE＝∠CFE，∠BDE＝∠FCE， ∵点E是CD的中点， ∴DE＝CE， 在△BDE和△FCE中， ， ∴△BDE≌△FCE（AAS）， ∴CF＝BD， ∵CD是AB边上的中线， ∴BD＝AD， ∴CF＝AD， 又∵CF∥AD， ∴四边形ADCF是平行四边形； （2）解：连接DF，如图所示： ∵AC⊥BC， ∴△ABC是直角三角形， 在Rt△ABC中，AB＝5，BC＝4， 由勾股定理得：AC3， ∵CD是Rt△ABC的斜边AB上的中线， ∴DC＝DA＝BDAB， ∵四边形ADCF是平行四边形， ∴平行四边形ADCF是菱形， ∴DF⊥AC， ∴DF∥BC， ∴四边形BCDF是平行四边形， ∴DF＝BC＝4， ∴四边形ADCF的面积为：DF•AC4×3＝6． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定与性质，理解直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解决问题的关键． 27．（5分）（2025•建邺区四模）如图，点E、F分别在▱ABCD的边AB、CD的延长线上，且BE＝DF，连接AC、EF、AF、CE，AC与EF交于点O． （1）求证：AC、EF互相平分； （2）若EF平分∠AEC，判断四边形AECF的形状为　菱形　 ． 【分析】（1）由平行四边形的性质得AB＝DC，AB∥DC，再证AE＝CF，即可得出结论； （2）证出∠CEO＝∠CFO，则CE＝CF，再由（1）可知，四边形AECF是平行四边形，即可得出结论． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝DC，AB∥DC， 又∵BE＝DF， ∴AB+BE＝DC+DF， 即AE＝CF， ∵AE＝CF，AE∥CF， ∴四边形AECF是平行四边形． ∴AC、EF互相平分； （2）解：∵AB∥DC， ∴∠AEO＝∠CFO， ∵EF平分∠AEC， ∴∠AEO＝∠CEO， ∴∠CEO＝∠CFO ∴CE＝CF， 由（1）可知，四边形AECF是平行四边形， ∴平行四边形AECF是菱形． 故答案为：菱形． 【点睛】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识；熟练掌握菱形的判定，证明四边形AECF为平行四边形是解题的关键． 28．（5分）（2025•建邺区模拟）（1）如图1，四边形ABCD是平行四边形，G、H是对角线AC的三等分点．求证：四边形BHDG是平行四边形． （2）如图2，四边形ABCD中，G、H是对角线AC的三等分点，延长DG、DH，分别与AB、BC交于E、F，若E、F分别是AB、BC的中点．求证：四边形ABCD是平行四边形． 【分析】（1）连接BD交AC于点O，由平行四边形的性质得OA＝OC，OB＝OD，再证明OG＝OH，然后由平行四边形的判定即可得出结论； （2）连接BD交AC于点O，连接BG，BH，先证明EG是△ABH的中位线，得EG∥BH，同理BG∥DH，再证明四边形BHDG是平行四边形，得AO＝OC，然后由平行四边形的判定即可得出结论． 【解答】证明：（1）如图1，连接BD交AC于点O， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∵G、H是对角线AC的三等分点， ∴AG＝CH， ∴OA﹣AG＝OC﹣CH， 即OG＝OH， ∴四边形BHDG是平行四边形； （2）如图2，连接BD交AC于点O，连接BG，BH， ∵G、H是对角线AC的三等分点， ∴AG＝GH， ∵E是AB的中点， ∴EG是△ABH的中位线， ∴EG∥BH， 同理BG∥DH， ∴四边形BHDG是平行四边形， ∴BO＝OD，GO＝OH， 又∵AG＝HC， ∴AG+GO＝HC+OH， 即AO＝OC， ∴四边形ABCD是平行四边形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质以及三角形中位线定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 卷17 多边形和平行四边形 （时间：90分钟 满分：100分 得分 ） 一．选择题（共8小题，每小题3分，共24分) 1．（2025•淮安）如图，直线a∥b，正六边形ABCDEF的顶点A、C分别在直线a、b上，若∠1＝40°，则∠2的度数是（　　） A．15° B．20° C．30° D．40° 2．（2025•常州模拟）若正多边形的一个外角是45°，则这个正多边形是（　　） A．正六边形 B．正七边形 C．正八边形 D．正九边形 3．（2025•泗阳县一模）如图，点B是正八边形的边AF上一点，一束光线从点B出发，经过两次反射后到达边AG上一点E，若∠ABC＝65°，则∠AED＝（　　） A．70° B．65° C．55° D．60° 4．（2025•靖江市一模）如图，把一个平行四边形纸板ABCD的一边紧靠着数轴平移到平行四边形A′B′C′D′的位置．点C、C′表示的数分别为b、a，则点A平移的距离为（　　） A．a B．b C．a﹣b D．b﹣a 5．（2025•盐城一模）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线和∠CDA的平分线交于BC上一点E，若AE＝6，DE＝8，则AB的长为（　　） A．5 B．4 C．3 D．10 6．（2025•南京一模）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O作直线EF分别交AD，BC于点E，F．若AB＝6，AC＝8，AD＝10，则图中的阴影部分面积为（　　） A．6 B．8 C． D．12 7．（2025•灌南县一模）点E是▱ABCD对角线DB上一点，连接AE并延长至点F，使AE＝EF，AF交BC于点G，连接CF．若CG＝3BG，DB，则CF的长为（　　） A．1 B． C． D． 8．（2025•南通模拟）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠ADC的平分线与边AB相交于点P，E是PD中点，若AD＝4，CD＝6，则EO的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二．填空题（共12小题，每小题3分，共36分) 9．（2025•扬州）若多边形的每个内角都是140°，则这个多边形的边数为 　 　 ． 10．（2025•无锡）正七边形的内角和为　 　 度． 11．（2025•江宁区二模）长度分别为1，2，4，a的四条线段首尾顺次相接，能够组成一个四边形．写出一个整数a的值是 　 　 ． 12．（2025•鼓楼区二模）如图，在正多边形中，若∠1＝27°，则∠2＝ 　 　 °． 13．（2025•常州）如图，在▱ABCD中，E是AD上一点，DE＝2AE，CE、BA的延长线相交于点F，若AB＝2，则AF＝ 　 　 ． 14．（2025•淮安）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC⊥AB，点E、F分别为BC、CD的中点，连接AE、OF，若AE＝4，则OF＝　 　 ． 15．（2025•宿城区一模）如图，已知▱ABCD，∠ACB＝α，（0°＜α＜90°），E、F分别为AD、BC上的点，连接EF，若EF⊥AD于点E，且EF平分▱ABCD的面积，过E作EP⊥AC于点P，连接PF，则cos∠EFP的最小值为　 　 ． 16．（2025•鼓楼区一模）如图，在▱ABCD中，AB＝4，AD＝6，∠ABC的角平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，则DF的长为 　 　 ． 17．（2025•鼓楼区二模）如图，l1∥l2，l1与l2间的距离为2，A、B是l1上两个定点，P是l2上的一个动点，连接PB并延长至点C，使得．若D是l1上方一点，且四边形APCD是平行四边形，则PD的最小值是 　 　 ． 18．（2025•靖江市三模）如图，在▱ABCD中，AB＝AC＝10，CE⊥AB，垂足为E，点B关于CE的对称点为F，连接DF交AC于点H，若CE＝8，则CH的长为 　 　 ． 19．（2025•泰兴市三模）如图，在▱ABCD中，tanA＝2，AB，BC＝5．直线l为经过点B的一条动直线（不与AB重合），点A关于直线l的对称点为A'，当点A'落在▱ABCD的一边上时，线段CA'的长为 　 ． 20．（2025•海州区二模）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC＝120°，AB＝2，AD＝4，点E是线段AD上的动点，连接BE，点A关于BE的对称点为F，连接DF，则DF的最小值为 　 　 ． 三．解答题（共8小题，唵40分） 21．（5分）（2025•盐城）如图，点E，F在▱ABCD的对角线AC上．若　 　 ，则四边形BEDF是平行四边形．请从①BE＝DF；②AE＝CF；③BE∥DF这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由． 22．（5分）（2025•扬州三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD，BE． （1）求证：CE＝AD； （2）当D为AB的中点时，判断四边形BECD的形状，并说明理由． 23．（5分）（2025•江阴市一模）如图，在四边形ABCD中，点E为AD的中点，连接CE，并延长交BA的延长线于点F，已知DC∥AB． （1）求证：△AEF≌△DEC； （2）若AD∥BC，AE＝2，求BC的长． 24．（5分）（2025•建邺区二模）如图，在▱ABCD中，点E，F在对角线BD上，BE＝AB，DF＝CD． （1）求证：四边形AECF是平行四边形． （2）若AB＝2，BD＝5，四边形AECF的面积为2，则▱ABCD的面积为　 　 ． 25．（2025•常州模拟）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E在边AB上，________．请从“①∠B＝∠AED；②AE＝BE，AE＝CD”这两组条件中任选一组作为已知条件，填写在横线上（填写序号），再解答下面的问题： （1）求证：四边形BCDE是平行四边形； （2）若AD⊥AB，AE＝10，sin，求线段BC的长． 26．（5分）（2025•姜堰区一模）如图，在△ABC中，CD是AB边上的中线，E是CD的中点，CF∥AB交BE的延长线于点F，连接AF． （1）求证：四边形ADCF是平行四边形； （2）若AC⊥BC，AB＝5，BC＝4，求四边形ADCF的面积． 27．（5分）（2025•建邺区四模）如图，点E、F分别在▱ABCD的边AB、CD的延长线上，且BE＝DF，连接AC、EF、AF、CE，AC与EF交于点O． （1）求证：AC、EF互相平分； （2）若EF平分∠AEC，判断四边形AECF的形状为　 　 ． 28．（5分）（2025•建邺区模拟）（1）如图1，四边形ABCD是平行四边形，G、H是对角线AC的三等分点．求证：四边形BHDG是平行四边形． （2）如图2，四边形ABCD中，G、H是对角线AC的三等分点，延长DG、DH，分别与AB、BC交于E、F，若E、F分别是AB、BC的中点．求证：四边形ABCD是平行四边形． 1 学科网（北京）股份有限公司 $