精品解析：重庆市大渡口区2025-2026学年九年级上学期第一次适应性考试数学试卷

2025—2026学年度九年级第一次适应性（数学）检测 （全卷共三道大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答： 2、作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3、作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔或签字笔完成； 4、考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑． 1. 下列各点在反比例函数的图象上的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，将直角三角形绕直角边所在直线旋转一周，得到的立体图形是（ ）． A. B. C. D. 3. 顺次连接任意一个四边形各边中点所得到的四边形一定是（ ） A. 矩形 B. 菱形 C. 平行四边形 D. 正方形 4. 如图，，它们的相似比是，已知，则的长是（ ） A. 8 B. 10 C. D. 5. 下列命题中正确的是（ ） A. 平行四边形的对角线相等 B. 菱形的对角线互相垂直平分 C. 矩形每一条对角线平分一组对角 D. 有一组对边相等的矩形为正方形 6. 估计的值应在（ ） A. 6和7之间 B. 7和8之间 C. 8和9之间 D. 9和10之间 7. 如图，下列图形是由同样大小的棋子按照一定规律排列而成的，其中，图①中有5颗棋子，图②中有8颗棋子，图③中有13颗棋子，图④中有20颗棋子，按照此规律排列下去，图⑨的棋子颗数为（ ） A. 53 B. 69 C. 85 D. 100 8. 为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为x米，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正方形的边长是3，点 是 边上一点，， 是 边上一点，，连接，，点是的中点，连接，于点，则的长为（ ） A. 2 B. C. D. 10. 已知整式，其中为正整数，为自然数，若． ①满足条件的所有整式 中，次数最高的是5次； ②满足条件的所有整式 共有15个； ③满足条件的所有整式 的和为． 下列说法中正确的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 从五名同学中随机抽取一名同学参加学校志愿者服务活动，则抽到 的概率为________． 12. 若，则的值为______． 13. 如图，已知点A是反比例函数在第四象限内图象上的点，轴，垂足为点B，若，则k的值为________． 14. 如图，在平行四边形中，对角线与相交于点O，在的延长线上取一点E，连接交于点F．已知，则的长为______． 15. 如图，在矩形中，，对角线交于点 ，点 是 的中点，连接交于点 ，则 的长为_____；连接，则的长为______． 16. 已知各位数字均不为零的四位自然数，若满足那么称这个四位数为“和九数”．例如：四位数，因为且，所以是“和九数”；按照这个规定，则最小的“和九数”是___________；若 是“和九数”，记，且为整数，则满足条件的 的最大值为___________． 三、解答题：（本大题9个小题，17和18题每题8分，其余每题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解一元二次方程： （1）； （2）． 18. 如图，在 中，为 外角的平分线，于点 ． （1）尺规作图：作的角平分线交 于点，（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证：四边形是矩形． 请补完图形，并完成下列证明过程： 证明：平分， ___________①． 平分， ___________②． ． 在 中， 平分， ． ___________③． 又， ___________④． 四边形是矩形． 19. 某学校在八，九年级学生中各随机抽取10名学生对每月的工具使用次数进行整理，描述和分析（次数表示，共分成四组，A：；B：；C：；D：）．下面给出了部分信息： 八年级10名学生每月使用次数分别是：11，13，17，19，20，22、25，27，28，28 九年级10名学生每月使用次数在C组中的数据是：20，20，21，24． 八、九年级抽取的学生每月使用次数统计表 年级 八年级 九年级 平均数 21 21 中位数 21 众数 20 九年级抽取的学生每月使用次数扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中______，______，_______． （2）你认为该校八，九年级中哪个年级学生每月工具使用次数更多？请判断并说明理由． （3）若该校共有八，九年级学生共3200名，请你根据样本数据，估计该校八，九年级学生每月工具使用次数不低于20次的学生总人数． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 某飞机模型今年月份的销售量是件，月份的销售量是件． （1）若月份到月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率； （2）另据市场调查发现，该飞机模型的进价为每件元，若售价为每件元，每天能销售件，售价每降价 元，每天可多售出 件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该模型每天获利元，则售价应降低多少元？ 22. 如图，在 中，，，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着匀速运动，点的运动时间为秒，的面积为与点的运动路程的比为． （1）请直接写出分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出当时，的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 23. 如图，一艘轮船以的速度沿既定航线由南向北航行，途中接到台风警报，某台风中心正以的速度由东向西移动，距台风中心的圆形区域（包括边界）都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心移动路线的最近距离400，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离也是． （1）如果这艘船不改变航向，那么它会不会进入台风影响区？ （2）假设轮船航向不变，航行速度不变，航行到受台风影响的警戒线外立即停止航行，求它至少需要停止航行多少小时？ 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点 ． （1）求直线的函数表达式； （2）点是直线下方，反比例函数图象上一点，连接，当时，求点的坐标； （3）在（2）求出点的条件下，将点向左平移3个单位长度得到点 ，连接，点 是轴上一点，且．请求出所有符合条件的点 的坐标（选一种情况写出解答过程）． 25. 如图，在 中，，点是 所在平面内一点，连接． （1）如图1，若，点在边上，平分，，求的长； （2）如图2，若，点在边上(点不与点，重合)，将射线绕点 顺时针旋转，在旋转后的射线上取一点 ，连接，使得，过点 作于点，过点作于点，探索线段，，之间的数量关系，并证明； （3）如图3，若点在直线下方，将线段绕点 顺时针旋转得到线段，连接，，，，当四边形的面积取最小值时，在直线上取一点，连接，将沿翻折到四边形所在平面内得到，连接，当取最小值时，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度九年级第一次适应性（数学）检测 （全卷共三道大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答： 2、作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3、作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔或签字笔完成； 4、考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑． 1. 下列各点在反比例函数的图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数图象的性质，将点代入反比例函数进行计算即可求解，掌握根据反比例函数自变量的值求函数值的计算方法是解题的关键． 【详解】解：A、当时，，则不在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意； B、当时，，则不在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意； C、当时，，则在反比例函数的图象上，故本选项符合题意； D、当时，，则不在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意； 故选：C 2. 如图，将直角三角形绕直角边所在直线 旋转一周，得到的立体图形是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查图形的旋转，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 根据旋转的性质可得直角三角形绕其一条直角边旋转一周后形成的立体图形为圆锥，即可得到答案． 【详解】解：根据题意得， 该直角三角形绕直角边所在直线 旋转一周，得到的立体图形是圆锥， 故选：A． 3. 顺次连接任意一个四边形各边中点所得到的四边形一定是（ ） A. 矩形 B. 菱形 C. 平行四边形 D. 正方形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形的中位线定理，平行四边形的判定．如图，根据三角形的中位线得出，，进而得证平行四边形． 【详解】解：如图，四边形中，、 、、分别是、、、的中点， ，， 同理，， ，， 四边形是平行四边形， 故选：C． 4. 如图，，它们的相似比是，已知 ，则的长是（ ） A. 8 B. 10 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的对应角相等，对应边的比相等且等于两个三角形的相似比．根据相似三角形的性质列比例式解答即可． 【详解】解：∵，它们的相似比是， ∴， ∵ ， ∴， ∴． 故选：A． 5. 下列命题中正确的是（ ） A. 平行四边形的对角线相等 B. 菱形的对角线互相垂直平分 C. 矩形每一条对角线平分一组对角 D. 有一组对边相等的矩形为正方形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了特殊四边形的性质和判定，根据平行四边形、菱形的性质和正方形的判定逐一判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解： 、平行四边形的对角线互相平分，该选项命题错误； 、菱形的对角线互相垂直且平分，该选项命题正确； 、菱形每一条对角线平分一组对角，该选项命题错误； 、有一组邻边相等的矩形为正方形，该选项命题错误； 故选：． 6. 估计的值应在（ ） A. 6和7之间 B. 7和8之间 C. 8和9之间 D. 9和10之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，将原式化简为，通过估算的取值范围，确定整体值的区间即可． 【详解】解：， 又，，且， ， ， 故选：C． 7. 如图，下列图形是由同样大小的棋子按照一定规律排列而成的，其中，图①中有5颗棋子，图②中有8颗棋子，图③中有13颗棋子，图④中有20颗棋子，按照此规律排列下去，图⑨的棋子颗数为（ ） A. 53 B. 69 C. 85 D. 100 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了图形规律探索，合理找出变化规律是解题的关键． 分析出变化规律后求解即可． 【详解】解：①有5颗棋子，； ②有8颗棋子，； ③有13颗棋子，； ④有20颗棋子，； ∴⑨有颗棋子； 故选：C． 8. 为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为x米，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，先用x表示出矩形的另一条边长，利用矩形的面积公式，列出方程即可． 【详解】解：设矩形的一边长为x米，则另一边长为米，由题意，得： ； 故选：C． 9. 如图，正方形的边长是3，点是边上一点，， 是边上一点，，连接，，点是的中点，连接，于点，则的长为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理，三角形面积． 连接，，先求出，，，得到，，，再根据求解即可． 【详解】解：连接，， ∵正方形的边长是3， ∴，， ∵， ∴， ∴，，， ∵点是的中点， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 10. 已知整式，其中为正整数，为自然数，若． ①满足条件的所有整式中，次数最高的是5次； ②满足条件的所有整式共有15个； ③满足条件的所有整式的和为． 下列说法中正确的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式的相关概念，包括整式的次数、项数以及整式的和．根据已知条件，结合n，为正整数，，，，，为自然数，分别分析整式的次数、个数和的情况． 【详解】解：①分析整式M的次数； 因为，且n，为正整数，，，，，为自然数． 要使整式M的次数n最大，那么，，，，，应尽可能小． 当，时，n最大，此时， 所以整式M的次数最高是4次，故说法①错误； ②分析满足条件的整式M的个数： 当时，，即． 因为为正整数，，，，为自然数，所以只有，这一种情况，此时整式M为； 当时，，即． 因为为正整数，，，为自然数，有以下几种情况： ，，整式M为； ，，，整式M为； ，，，，整式M为； ，，，，整式M为； 共4种情况． 当时，，即． 因为为正整数，，为自然数，有以下几种情况： ，，整式M为; ，，，整式M为； ，，，整式M为； ，，，整式M为； ，，，整式M为; ，，，整式M为． 共6种情况． 当时，，即， 因为为正整数，为自然数，有以下几种情况： ，，整式M为; ，，整式M为; ，，整式M为; ，，整式M为． 共4种情况． 所以满足条件的整式M共有(个)，故②正确； ③分析满足条件的所有整式M的和： 将上述所有整式M相加： ，故③正确； 综上，②③正确， 故选：C． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 从五名同学中随机抽取一名同学参加学校志愿者服务活动，则抽到的概率为________． 【答案】 ## 【解析】 【分析】本题主要考查了概率公式，名同学总共有种等可能结果，抽到是其中一种结果，因此概率为． 【详解】解：从，， ， ，五名同学中随机抽取一名，共有种等可能情况， 其中抽到同学的情况有种， 抽到B的概率为， 故答案为． 12. 若，则的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，由比例关系设参数，代入表达式求值． 【详解】解：设（），则，， ， 故答案为：． 13. 如图，已知点A是反比例函数在第四象限内图象上的点，轴，垂足为点B，若，则k的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据k的几何意义，得，结合图象分布解答即可． 本题考查了反比例函数的图象分布，k的几何意义，熟练掌握几何意义是解题的关键． 【详解】解：根据k的几何意义，得， 故或． 由图象分布二四象限， 故不符合题意，舍去， 故． 故答案为：． 14. 如图，在平行四边形中，对角线与 相交于点O，在的延长线上取一点E，连接交 于点F．已知，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，先证明，可得，再证明，再利用相似三角形的性质可得答案． 【详解】解：如图，延长交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又， ∴， ∴，即， 解得． 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，，对角线交于点，点是的中点，连接交于点 ，则的长为_____；连接，则的长为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定与性质，在矩形中，，得到，，，再根据得到，求出，结合，得到，再根据；过 作于，由，得到，，最后根据求值即可． 【详解】解：∵在矩形中，， ∴，，，， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 过 作于， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：，． 16. 已知各位数字均不为零的四位自然数，若满足那么称这个四位数为“和九数”．例如：四位数，因为且，所以是“和九数”；按照这个规定，则最小的“和九数”是___________；若是“和九数”，记，且为整数，则满足条件的的最大值为___________． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查新定义，理解阅读材料是解题的关键． 最小的“和九数”需满足千位数字最小，且各位数字非零，因此，得． 先求出和，根据为整数，推出，进而推出能被13整除．解得可能的值，即可求解． 【详解】最小的“和九数”需满足千位数字最小，且各位数字非零， ，得． 由“和九数”定义，，且， 故， ， ， 为整数， 能被13整除． 当时，能被13整除，． 当时，能被13整除，． 当时，能被13整除，． 的最大值为． 故填：和． 三、解答题：（本大题9个小题，17和18题每题8分，其余每题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解一元二次方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握因式分解法、公式法是解题的关键． （1）移项利用因式分解法求解即可； （2）化成一般式利用公式法求解即可． 【小问1详解】 解：， 移项，得， 因式分解，得， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：， 化成一般式，得， 这里， ∴， ∴， ∴． 18. 如图，在中，为外角的平分线，于点． （1）尺规作图：作的角平分线 交于点 ，（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证：四边形是矩形． 请补完图形，并完成下列证明过程： 证明：平分， ___________①． 平分， ___________②． ． 在中， 平分， ． ___________③． 又， ___________④． 四边形是矩形． 【答案】（1） 解：如图，即为所求． （2）；；；． 【解析】 【分析】本题主要考查尺规作角平分线、三线合一、矩形的判定等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）根据尺规作角平分线的方法作图即可； （2）根据角平分线的定义得到，根据三线合一得到，由垂直的定义可得，再根据有3个角是直角的四边形是矩形，由此即可证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 某学校在八，九年级学生中各随机抽取10名学生对每月的工具使用次数进行整理，描述和分析（次数表示，共分成四组，A：；B：；C：；D：）．下面给出了部分信息： 八年级10名学生每月使用次数分别是：11，13，17，19，20，22、25，27，28，28 九年级10名学生每月使用次数在C组中的数据是：20，20，21，24． 八、九年级抽取的学生每月使用次数统计表 年级 八年级 九年级 平均数 21 21 中位数 21 众数 20 九年级抽取的学生每月使用次数扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中______，______，_______． （2）你认为该校八，九年级中哪个年级学生每月工具使用次数更多？请判断并说明理由． （3）若该校共有八，九年级学生共3200名，请你根据样本数据，估计该校八，九年级学生每月工具使用次数不低于20次的学生总人数． 【答案】（1）20，28，40 （2） 解：八年级学生每月工具使用次数更多， 理由如下：从平均数看，两个年级学生每月工具使用次数相同， 从中位数看，八年级的中位数大于九年级的中位数， 从众数看，八年级的众数大于九年级的众数， ∴八年级学生每月工具使用次数更多； （3）1920人 【解析】 【分析】本题主要考查了中位数，众数，用样本估计总体，扇形统计图等等，正确理解题意是解题的关键． （1）用九年级C组人数除以总人数可得，根据中位数、众数的定义可得b，a； （2）根据两个年级的平均数相同，但是八年级的中位数和众数均大于九年级的中位数和众数可得结论； （3）用3200乘以样本中两个年级学生每月利用工具进行赋能学习次数不低于20次的学生人数占比即可得到答案． 【小问1详解】 解：九年级数据中C组数据有4个， ，即， 九年级A组数据个数为：，B组数据个数为：，C组中的数据是：20，20，21，24． 第5，6位数据分别是20，20， 九年级数据的中位数， 八年级数据中28出现的次数最多， 八年级数据的众数， 故答案为：20，28，40； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（人） 答：该校八，九年级学生每月工具使用次数不低于20次的学生总人数为1920人． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，负整数指数幂和算术平方根，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 根据分式四则混合运算和完全平方公式化简式子，再将a计算出来，再代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】解： ， 由题意得， ， ∴． 21. 某飞机模型今年月份的销售量是件，月份的销售量是件． （1）若月份到月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率； （2）另据市场调查发现，该飞机模型的进价为每件元，若售价为每件元，每天能销售件，售价每降价元，每天可多售出件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该模型每天获利元，则售价应降低多少元？ 【答案】（1） （2） 元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用． (1)设月平均增长率为，根据连续两个月增长后销量为件，列方程求解； (2)设应降价元，根据要求销售该模型每天获利元，列方程求出，为了尽量减少库存，要选降价最多的方案． 【小问1详解】 解：设月平均增长率为， 根据题意可得：， 解得：，(不符合题意，舍去)， ， 答：月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设应降价元，则每天的销量为件，每个模型的利润为元， 根据题意可得：， 整理可得：， 解得：，， 为了尽量减少库存，应降价元， 答：售价应降低元． 22. 如图，在中，，，点从点 出发，以每秒1个单位长度的速度沿着匀速运动，点的运动时间为秒，的面积为与点的运动路程的比为． （1）请直接写出分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出当时，的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】（1）， （2） 函数图象如图所示： 性质：当时，有最大值（答案不唯一） （3） 【解析】 【分析】本题考查动点问题的函数图象，勾股定理，一次函数与反比例函数交点问题； （1）先求出，，由题意得点的运动路程为，得到与点的运动路程的比为；再根据当在或上时分情况讨论求出即可； （2）根据描点法画函数图象，再根据函数图象写出函数的一条性质即可； （3）根据函数图象可得，当时，，结合函数图象，当时，的取值范围为． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，， 由题意得点的运动路程为， ∴与点的运动路程的比为； 当在上时，，此时， 当在上时，，此时， ∴由等高可以得 ∴， 综上所述，，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：根据函数图象可得，当时，， ∴结合函数图象，当时，的取值范围为． 23. 如图，一艘轮船以的速度沿既定航线由南向北航行，途中接到台风警报，某台风中心正以的速度由东向西移动，距台风中心的圆形区域（包括边界）都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心移动路线的最近距离400，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离也是． （1）如果这艘船不改变航向，那么它会不会进入台风影响区？ （2）假设轮船航向不变，航行速度不变，航行到受台风影响的警戒线外立即停止航行，求它至少需要停止航行多少小时？ 【答案】（1）如果这艘船不改变航向，那么它会进入台风影响区 （2） 【解析】 【分析】本题考查行程问题，方向角； （1）求出当台风中心移动到距时，轮船是否通过点即可判断； （2）分别确定轮船停止和重新开始移动时台风中心的位置，根据台风中心移动的时间就是停止时间求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得：，， 方法一： 设小时后，当台风中心在点时，轮船在点，此时，则，， ∵， ∴， 整理得， 解得， 当时，，此时轮船还没有经过， ∴如果这艘船不改变航向，那么它会进入台风影响区； 方法二：当台风中心移动到距时，移动时间小时， 此时轮船航行距离，即还没有通过点，如果不改变航向，后续必定会进入台风影响区， ∴如果这艘船不改变航向，那么它会进入台风影响区； 【小问2详解】 解：如图，取点、，使， 当轮船运动到警戒线的点时，此时台风中心移动到点 处，运动时间，此时； 轮船从点运动到点用时（小时）， 设台风中心小时从移动到，则， ∴当轮船重新开始移动到点时，此时台风中心距离刚好，此后都不再受台风影响， ∴在轮船停止航行时间段，台风从 移动到点，， ∴轮船停止航行时间为（小时）， ∴设轮船航向不变，航行速度不变，航行到受台风影响的警戒线外立即停止航行，它至少需要停止航行小时． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线 与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点． （1）求直线 的函数表达式； （2）点是直线 下方，反比例函数图象上一点，连接，当时，求点的坐标； （3）在（2）求出点的条件下，将点向左平移3个单位长度得到点，连接，点是轴上一点，且．请求出所有符合条件的点的坐标（选一种情况写出解答过程）． 【答案】（1） （2） （3）或． 【解析】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等，灵活运用以上知识点，作出合适的辅助线构建全等三角形求得对应点的坐标是解题的关键． （1）先求出，再利用待定系数法求直线 的函数表达式即可； （2）先求出，得到，，取点，则，连接， ，得到，，过作交的图象于点，此时，求出直线的函数表达式，再与反比例函数联立求解即可； （3）将点向左平移3个单位长度得到点，则，则，过作轴于，得到，过作交直线于，过作轴于 ，证明，，，再根据当与的位置分情况讨论，分别求出点坐标，再求出直线解析式即可． 【小问1详解】 解：把代入得， ∴， 设直线 解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线 的函数表达式为； 【小问2详解】 解：令，， ∴， ∴，，， ，， ∴， 取点，则，连接， ， ∴，， 过作交的图象于点，此时， ∵直线 的函数表达式为， ∴设直线的函数表达式为， 代入得， ∴直线的函数表达式为， 联立，解得（负值舍去）， ∴； 【小问3详解】 解：将点向左平移3个单位长度得到点，则，则， 过作轴于， 由（2）得，， ∴， ∴，即， ∴， 当在点下方时，过作交直线于，过作轴于 ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线的函数表达式为， 令，， ∴； 当在点上方时，过作交直线于，过作轴于 ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线的函数表达式为， 令，， ∴； 综上所述，或． 25. 如图，在中，，点 是所在平面内一点，连接 ． （1）如图1，若，点 在边上， 平分，，求 的长； （2）如图2，若，点 在边上(点 不与点， 重合)，将射线 绕点顺时针旋转，在旋转后的射线上取一点，连接，使得，过点作于点，过点 作于点，探索线段，，之间的数量关系，并证明； （3）如图3，若点 在直线 下方，将线段 绕点顺时针旋转得到线段，连接 ，，，，当四边形的面积取最小值时，在直线 上取一点，连接，将沿 翻折到四边形所在平面内得到，连接，当取最小值时，请直接写出的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用直角三角形两锐角互余求出，结合角平分线定义得到等角，推出 ，再利用含角的直角三角形的性质求出，通过勾股定理计算，最后再次利用含角的直角三角形性质求出 ． （2）作辅助线，先证明得到，推出是等边三角形；再结合含角的直角三角形性质得到，证明得到，最终结合推导线段的数量关系． （3）通过旋转构造全等三角形，将四边形的面积转化为等边的面积减去的面积，得到四边形面积最小时的面积最大；利用定角定弦确定点 的轨迹，找到面积最大时 的位置；结合翻折的性质确定的轨迹，找到取最小值时的位置，最终通过面积的和差计算的面积． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， 又∵ 平分， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 由勾股定理得，， 在中，， ∴； 【小问2详解】 解：，证明如下： 如图，连接，过点作于点， ∵，， ∴，即是的中线， 在中，，， ∴，， ∴， ∵射线 绕点顺时针旋转得到， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， 在中，， ∴，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵，， ∴； 【小问3详解】 解：将绕点逆时针旋转得，连接，， ∵线段 绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∵为定值， ∴要使四边形的面积最小，需使最大， 在四边形中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ，为定角， 如图，作的外接圆， ∵， ∴劣弧所对的圆周角为， ∴圆心角， ∵，， ∴，即是定圆， 当时，点 到的距离最大，此时最大，记此时 为， ∵，， ∴垂直平分， ∴点，，三点共线，记与的交点为， ∴，， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∵将沿翻折得到， ∴，， ∵等边中，， ∴， ∴，即点在直线上， 当时，取最小值，此时垂足为的中点， ∵等边中，， ∴，， 过点作于点， ∵，， ∴， ∵是中点， ∴是的中位线， 在中，，， ∴， ∴， ∵， ， ， ， ， ∴ ， 即的面积为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $