精品解析：北京市首都师范大学附属中学2025-2026学年第一学期期末练习高二数学试卷

首都师大附中2025-2026学年第一学期期末练习 高二数学 命题人：高二数学备课组 审核人：高二数学备课组 第Ⅰ卷（共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 抛物线的准线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据抛物线的标准方程可得出其准线方程. 【详解】由题意可得，抛物线的准线方程为. 故选：B. 【点睛】本题考查利用抛物线的标准方程求准线方程，考查计算能力，属于基础题. 2. 在的展开式中，的系数为（ ） A. 4 B. C. 8 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二项式定理的通项公式得，令，解出即可求解. 【详解】由题意得：， 令，解得， 所以，所以的系数为， 故选：D. 3. 已知数列是公差不为零的等差数列，且，则（ ） A. B. C. 9 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由等差数列的性质，求得，结合，即可求解. 【详解】由数列为等差数列，可得， 因为，所以，所以. 故选：B. 4. 某学校随机抽查了本校20个同学，调查他们平均每天在课外进行体育锻炼的时间（单位：分钟），根据所得数据的茎叶图，以5为组距将数据分为8组，分别是，做出频率分布直方图如图所示，则原始的茎叶图可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用直方图计算出各不同锻炼时间的学生人数分布，结合各选项确定符合人数分布的茎叶图即可. 【详解】由直方图知： 人； 人； 人； 人； 人； 人； 人； 人. ∴结合各选项的茎叶图知：只有B符合. 故选：B. 5. 近年来，盲盒产品风靡市场，深受年轻人追捧．新上市的某种盲盒产品共有6个不同的款式，每一套都有6个外观和质量相同的盲盒，且包含了这6个不同的款式．小铭喜欢其中的2款，他从一套的6个盲盒中随机购买2个，则至少有1个盲盒中是他喜欢的款式的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用古典概率及对立事件的概率公式，结合组合计数问题列式计算. 【详解】从一套的6个盲盒中随机购买2个，共有个不同结果， 购买的2个盲盒都不是他喜欢的款式的事件有个不同结果， 所以至少有1个盲盒中是他喜欢的款式的概率为. 故选：C 6. 设点，动直线l：，作于点M，则点M到坐标原点O距离的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线的垂直关系可得点M的轨迹是以为圆心，半径的圆，即可得. 【详解】由以及可得直线的方程为， 联立，消去整理可得； 所以可知点M的轨迹是以为圆心，半径的圆； 因此. 故选：C 7. 已知是等差数列，是其前项和.则“”是“对于任意且，”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列前n项和的函数性质判断“对于任意且，”与“”推出关系，进而确定它们的关系. 【详解】由等差数列前n项和公式知：， ∴要使对于任意且，，则，即是递增等差数列， ∴“对于任意且，”必有“”， 而，可得，但不能保证“对于任意且，”成立， ∴“”是“对于任意且，”的必要而不充分条件. 故选：B. 8. 过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，点是原点，如果，那么的值为（ ） A. 1 B. C. 3 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，作出几何图形，结合抛物线的定义，数形结合求解. 【详解】抛物线的焦点，准线方程为，由对称性不妨令点在第四象限， 过点分别作准线的垂线，垂足分别为和，作于， 则，由，得，， 因此，而，则， 即，于是，所以. 故选：A 9. 在数列{an}中，若an2﹣an﹣12＝p，（n≥2，n∈N*，p为常数），则称{an}为“等方差数列”，下列是对“等方差数列“的判断： ①若{an}是等方差数列，则{an2}是等差数列； ②{（﹣1）n}是等方差数列； ③若{an}是等方差数列，则{akn}（k∈N*，k为常数）也是等方差数列； ④若{an}既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列． 其中正确命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【详解】利用等方差数列的定义与等差数列的定义判断①；利用等方差数列的定义判断②；先表示出{akn}的通项公式，然后利用等方差的定义进行判断③；利用等方差数列和等差数列的定义判断④． ①若数列{an}是等方差数列，则有p（n∈N*，且n≥2）， 则数列{}是公差为p的等差数列，故①正确； ②数列{（﹣1）n}中，an2﹣an﹣12＝[（﹣1）n]2﹣[（﹣1）n﹣1]2＝0，（n≥2，n∈N*）， ∴数列{（﹣1）n}是等方差数列，故②正确； ③数列{an}中的项列举出来是：a1，a2，…，ak，…，a2k，… 数列{akn}中的项列举出来是：ak，a2k，a3k，… ∵（ak+12﹣ak2）＝（ak+22﹣ak+12）＝…＝a2k2﹣a2k﹣12＝p ∴（ak+12﹣ak2）+（ak+22﹣ak+12）+…+（a2k2﹣a2k﹣12）＝kp ∴ak（n+1）2﹣akn2＝kp，即数列{akn}是等方差数列，故③正确； ④∵数列{an}是等差数列，∴an﹣an﹣1＝d1（n≥2）． ∵数列{an}是等方差数列，∴an2﹣an﹣12＝d2（n≥2）， ∴（an+an﹣1）d1＝d2， ∴当d1≠0时，为常数列； 当d1＝0，数列{an}为常数列． 则该数列{an}必为常数列，故④正确． ∴正确命题的个数是4个． 故选：D． 本题考查新定义以及等差数列的定义及其应用，考查逻辑思维能力与推理论证能力，是中档题． 10. 如果小明在某一周的第一天和第七天分别吃了3个水果，且从这周的第二天开始，每天所吃水果的个数与前一天相比，仅存在三种可能：或“多一个”或“持平”或“少一个”，那么，小明在这一周中每天所吃水果个数的不同选择方案共有 A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：小明共有6次选择，因为第一天和第七天均吃3个水果，所以在这6次选择中“多一个”和“少一个”的次数应相同、“持平”次数为偶数．当6次选择均为“持平”时，共有种方案；当6次选择中有4次“持平”时，选择“多一个”和“少一个”各一次，共有种方案；当6次选择中有2次“持平”时，选择“多一个”和“少一个”各2次，共有种方案；当6次选择中有0次“持平”时，选择“多一个”和“少一个”各3次，共有种方案.综上可得小明在这一周中每天所吃水果个数的不同选择方案共有种方案,故D正确. 考点：排列组合，考查分类讨论思想. 第Ⅱ卷（共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 设等比数列的前项和为.若、、成等差数列，则数列的公比为__________. 【答案】3或 【解析】 【分析】 先设等比数列的公比为，根据题中条件，列出方程求解，即可得出结果. 【详解】设等比数列公比为， 因为等比数列前项和为，、、成等差数列， 所以，则， 因此，所以，解得或. 故答案为：3或. 12. 若，则___________；___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用赋值法求解系数以及系数和； 【详解】令，代入得， 令，代入得， 代入，代入可得. 故答案为：①；② 13. 将4位志愿者全部分配到世博会的3个不同场馆服务，每个场馆至少分配1人，且每位志愿者不能兼职，则不同的分配方案有___________种． 【答案】 【解析】 【分析】根据排列组合以及分步乘法计数原理计算. 【详解】先从3个不同场馆中选个，有种， 再从4位志愿者中选个安排到这个场馆，有种， 最后将剩余人安排到剩下的个场馆，有种， 故不同的分配方案有种. 故答案为： 14. 已知双曲线的右焦点为，过作垂直于轴的直线与双曲线交于两点，与双曲线的渐近线交于两点，若，则离心率的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意画出图形,分别求出与的值,结合，可得，得到离心率的取值范围即可. 【详解】如图，作出符合题意的图形， 在双曲线中，取，可得， 分别在双曲线的渐近线与中，取，求得， 由，得，即， ，解得，即，故. 故答案： 15. 无穷数列前n项和为，且满足：，，，，则下面说法中，所有正确结论的序号是_________. ① ②数列有最大值，无最小值 ③，使得 ④，均有 【答案】①②④ 【解析】 【分析】①赋值和即可求出；②作差比较判断数列单调性即可判断；③用数学归纳法证明对任意成立即可判断；④结合③结论证明. 【详解】①因为，令，得， 因为，解得，即. 令，得， 解得，因为，所以. 所以①正确. ②当时，， 因为，所以， 所以， 所以， 因为， 所以，. 所以，所以数列单调递减， 所以数列有最大值，无最小值.故选项②正确. ③根据数学归纳法： 当时，， 假设时，， 时，由②知，即， 所以. 所以，当且仅当时等号成立，故不存在，使得. 故选项③错误. ④由③知，对于任意，， 因为 ， 所以恒成立，故④正确. 故答案为：①②④. 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 甲、乙两袋装有形状、大小都相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，3个白球；乙袋装有1个红球，2个白球． （1）若从甲袋中连续抽取2次，每次取1个球，抽取后不放回，则在第1次取到白球的条件下，第2次取到红球的概率是___________． （2）若从甲袋中随机取2个，求所取的2个球中至少有一个红球的概率； （3）若从甲袋中随机取1个球，放入乙袋中，再从乙袋中随机取2个球，求取到的2个球中恰有1个红球的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设事件“第1次取到白球”， “第2次取到红球”，分别求得，结合条件概率的计算公式，即可求解； （2）设事件“所取的2个球中至少有一个红球”，则“所取的2个球中全是白球”，结合古典概型的概率公式和对立事件的概率公式，即可求解； （3）设事件“取到的2个球中恰有1个红球”，事件“从甲袋中取到红球”，事件“从甲袋中取到白球”，求得，以及和，结合全概率公式，即可求解. 【小问1详解】 解：设事件“第1次取到白球”， “第2次取到红球”， 因为甲袋装有2个红球，3个白球，从中连续抽取2次，每次取1个球， 基本事件的总数为种取法， 则，，可得， 所以在第1次取到白球的条件下，第2次取到红球的概率为. 【小问2详解】 解：因为甲袋装有2个红球，3个白球，从甲袋中随机取2个， 可得基本事件的总数为种取法， 设事件“所取的2个球中至少有一个红球”，则“所取的2个球中全是白球” 则，可得， 所以所取的2个球中至少有一个红球的概率. 【小问3详解】 解：设事件“取到的2个球中恰有1个红球”，事件“从甲袋中取到红球”， 事件“从甲袋中取到白球”， 从甲袋中取球，因为甲袋装有2个红球，3个白球，可得， 若从甲袋中取到红球放入乙袋，此时乙袋中有2个红球和2个白球， 则从乙袋中取2个球，恰有1个红球的概率为； 若从甲袋中取出白球放入乙袋，此时乙袋中有1个红球和3个白球， 则从乙袋中取2个球，恰有1个红球的概率为， 根据全概率公式，可得， 所以取到的2个球中恰有1个红球的概率为. 17. 已知等差数列中，．数列的前项和为，且． （1）求数列和的通项公式； （2）设数列，求的前项和． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意求出，利用等差数列通项公式求，利用即可求； （2）根据（1）的结论求得，进而求的表达式，再利用分组求和法求解. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，由， 所以，所以， 解得，所以， 所以； 由， 当时，，解得， 当时，由，得， 所以，即， 所以数列是以为公比，为首项的等比数列， 所以； 【小问2详解】 由（1）得， 所以， 所以 所以的前项和为：. 18. 某高中组织学生研学旅行．现有A，B两地可供选择，学生按照自愿的原则选择一地进行研学旅行．研学旅行结束后，学校从全体学生中随机抽取100名学生进行满意度调查，调查结果如下表： 高一 高二 高三 A地 B地 A地 B地 A地 B地 满意 12 2 18 3 15 6 一般 2 2 6 5 6 8 不满意 1 1 6 2 3 2 假设所有学生的研学旅行地点选择相互独立．用频率估计概率． （1）估计该校学生对本次研学旅行满意的概率； （2）分别从高一、高二、高三三个年级中随机抽取1人，估计这3人中至少有2人选择去B地的概率； （3）对于上述样本，在三个年级去A地研学旅行的学生中，调查结果为满意的学生 人数的方差为，调查结果为不满意的学生人数的方差为，写出和的大小关系．`（结论不要求证明） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用频率估计概率即可求解； （2）利用频率估计概率即可求解，结合相互独立事件的概率公式求解即可； （3）求出，，比较大小即可. 【小问1详解】 从表格数据可知，随机抽取的100名学生对本次研学旅行满意的人数为 ， 因此该校学生对本次研学旅行满意的概率可估计为． 【小问2详解】 设事件：抽取的高一学生选择去B地， 事件：抽取高二学生选择去B地， 事件：抽取的高三学生选择去B地， 事件：抽取的3人中恰有人选择去B地，， 事件：抽取的3人中至少有2人选择去B地． 从数据表格可知，抽取的100名学生中高一年级学生总数为， 选择去B地的总数为，所以可估计为； 抽取的100名学生中高二年级学生总数为， 选择去B地的总数为，所以可估计为； 抽取的100名学生中高三年级学生总数为， 选择去B地的总数为，所以可估计为； 因为， 所以 ． 所以抽取的3人中至少有2人选择去地的概率可估计为 ． 【小问3详解】 在三个年级去A地研学旅行的学生中， 调查结果为满意的学生人数的平均数为， 则调查结果为满意的学生人数的方差为， 调查结果为不满意的学生人数的平均数为， 则调查结果为不满意的学生人数的方差为， 则. 19. 已知椭圆：的离心率为，A，C分别是椭圆E的上、下顶点，B，D分别是椭圆E的左、右顶点，四边形的面积为4. （1）求椭圆E的方程； （2）设P为第一象限内椭圆E上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点，求证：. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由离心率定义结合椭圆性质计算即可得； （2）求出各顶点坐标，设出点，表示出直线、、方程后，联立直线与直线求出点坐标，联立直线与直线求出点坐标，则可表示直线的斜率，再结合点坐标在椭圆上，化简后结合直线的斜率即可得证. 【小问1详解】 依题意得，，且，解得， 所以椭圆E的方程为； 【小问2详解】 设，其中，，. 因为，，，， 所以直线的方程为， 令，则，所以， 因为直线的方程为， 又直线的方程为， 联立，解得， 所以， 所以直线的斜率， 又因为， 所以， 因为直线的斜率，所以， 又因为直线与直线显然不重合，所以. 20. 已知椭圆的右顶点为A，左焦点为F，过点F作斜率不为零的直线l交椭圆于两点，连接，分别交直线于两点，过点F且垂直于的直线交直线于点R． （1）求证：点R为线段的中点； （2）记，，的面积分别为，，，试探究：是否存在实数使得？若存在，请求出实数的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析. （2）存在，. 【解析】 【分析】（1）设设，，，联立椭圆方程，可得根于系数的关系式，表示出的坐标，计算；继而求出直线的方程，求得点坐标，即可证明结论； （2）利用（1）的分析，求得，进而表示出，，计算的结果， 再求得的表达式，即可求得与之间的关系，即可得出结论. 【小问1详解】 证明：由题意知，， 设，，， 联立，得，， 则，， 直线的方程为， 令，得，所以， 同理，． 所以 , 直线，令得，所以， 则，故点R为线段的中点． 【小问2详解】 由（1）知，， 又， 所以． 由（1）知点R为线段的中点， 故 ， 所以． 故存在，使得． 【点睛】难点点睛：解答直线和圆锥曲线的位置关系类的题目时，解决问题的思路想法不是很困难，一般利用直线方程和圆锥曲线方程联立，可得根与系数的关系，结合题设进行化简求值等，但难点在于计算的复杂性，以及计算量较大，并且大多为字母参数的运算，因此要十分细心. 21. 已知数列，，，满足且，2，，，数列，，，满足，2，，，其中，，2，，表示，，，中与不相等的项的个数． （1）数列，1，2，3，4，请直接写出数列； （2）证明：，2，， （3）若数列A相邻两项均不相等，且与A为同一个数列，证明：，2，，． 【答案】（1）1，1，3，4，5 （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 分析】（1）根据新定义计算即可； （2）分类证明，时，；时，设，证即可证明； （3）分类证明，时，，结论正确；时，假设，，，中有一项与相等，设为，利用反证法证明即可. 【小问1详解】 ，，， ，. 故数列为1，1，3，4，5. 【小问2详解】 证明：i. 时，由知，，结论正确； ii. 时，设，， ①若，则有； ②若，则由，，，知，，，中均不与相等， 于是，. 综上，2，，. 【小问3详解】 证明：i. 当时，，结论正确； ii. 当时，假设，，，中有一项与相等，设为， 在数列，，，，，中，由，，可知第i项之前与不相等的项比第项之前与不相邻的项至少多了一项，则， 于是，又与A为同一个数列，则，这与矛盾， 于是，，，中均不与相等，则. 综上若数列A相邻两项均不相等，且与A为同一个数列，则，2，，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 首都师大附中2025-2026学年第一学期期末练习 高二数学 命题人：高二数学备课组 审核人：高二数学备课组 第Ⅰ卷（共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 抛物线的准线方程是（ ） A. B. C. D. 2. 在的展开式中，的系数为（ ） A. 4 B. C. 8 D. 3. 已知数列是公差不为零等差数列，且，则（ ） A. B. C. 9 D. 5 4. 某学校随机抽查了本校20个同学，调查他们平均每天在课外进行体育锻炼的时间（单位：分钟），根据所得数据的茎叶图，以5为组距将数据分为8组，分别是，做出频率分布直方图如图所示，则原始的茎叶图可能是（ ） A B. C. D. 5. 近年来，盲盒产品风靡市场，深受年轻人追捧．新上市的某种盲盒产品共有6个不同的款式，每一套都有6个外观和质量相同的盲盒，且包含了这6个不同的款式．小铭喜欢其中的2款，他从一套的6个盲盒中随机购买2个，则至少有1个盲盒中是他喜欢的款式的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 设点，动直线l：，作于点M，则点M到坐标原点O距离的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 7. 已知是等差数列，是其前项和.则“”是“对于任意且，”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，点是原点，如果，那么的值为（ ） A. 1 B. C. 3 D. 6 9. 在数列{an}中，若an2﹣an﹣12＝p，（n≥2，n∈N*，p为常数），则称{an}为“等方差数列”，下列是对“等方差数列“的判断： ①若{an}是等方差数列，则{an2}是等差数列； ②{（﹣1）n}是等方差数列； ③若{an}等方差数列，则{akn}（k∈N*，k为常数）也是等方差数列； ④若{an}既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列． 其中正确命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 如果小明在某一周的第一天和第七天分别吃了3个水果，且从这周的第二天开始，每天所吃水果的个数与前一天相比，仅存在三种可能：或“多一个”或“持平”或“少一个”，那么，小明在这一周中每天所吃水果个数的不同选择方案共有 A 种 B. 种 C. 种 D. 种 第Ⅱ卷（共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 设等比数列的前项和为.若、、成等差数列，则数列的公比为__________. 12. 若，则___________；___________． 13. 将4位志愿者全部分配到世博会的3个不同场馆服务，每个场馆至少分配1人，且每位志愿者不能兼职，则不同的分配方案有___________种． 14. 已知双曲线的右焦点为，过作垂直于轴的直线与双曲线交于两点，与双曲线的渐近线交于两点，若，则离心率的取值范围为___________． 15. 无穷数列前n项和为，且满足：，，，，则下面说法中，所有正确结论的序号是_________. ① ②数列有最大值，无最小值 ③，使得 ④，均有 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 甲、乙两袋装有形状、大小都相同红球和白球，甲袋装有2个红球，3个白球；乙袋装有1个红球，2个白球． （1）若从甲袋中连续抽取2次，每次取1个球，抽取后不放回，则在第1次取到白球的条件下，第2次取到红球的概率是___________． （2）若从甲袋中随机取2个，求所取的2个球中至少有一个红球的概率； （3）若从甲袋中随机取1个球，放入乙袋中，再从乙袋中随机取2个球，求取到的2个球中恰有1个红球的概率． 17. 已知等差数列中，．数列的前项和为，且． （1）求数列和的通项公式； （2）设数列，求的前项和． 18. 某高中组织学生研学旅行．现有A，B两地可供选择，学生按照自愿的原则选择一地进行研学旅行．研学旅行结束后，学校从全体学生中随机抽取100名学生进行满意度调查，调查结果如下表： 高一 高二 高三 A地 B地 A地 B地 A地 B地 满意 12 2 18 3 15 6 一般 2 2 6 5 6 8 不满意 1 1 6 2 3 2 假设所有学生的研学旅行地点选择相互独立．用频率估计概率． （1）估计该校学生对本次研学旅行满意的概率； （2）分别从高一、高二、高三三个年级中随机抽取1人，估计这3人中至少有2人选择去B地的概率； （3）对于上述样本，在三个年级去A地研学旅行的学生中，调查结果为满意的学生 人数的方差为，调查结果为不满意的学生人数的方差为，写出和的大小关系．`（结论不要求证明） 19. 已知椭圆：的离心率为，A，C分别是椭圆E的上、下顶点，B，D分别是椭圆E的左、右顶点，四边形的面积为4. （1）求椭圆E的方程； （2）设P为第一象限内椭圆E上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点，求证：. 20. 已知椭圆的右顶点为A，左焦点为F，过点F作斜率不为零的直线l交椭圆于两点，连接，分别交直线于两点，过点F且垂直于的直线交直线于点R． （1）求证：点R为线段的中点； （2）记，，的面积分别为，，，试探究：是否存在实数使得？若存在，请求出实数的值；若不存在，请说明理由． 21. 已知数列，，，满足且，2，，，数列，，，满足，2，，，其中，，2，，表示，，，中与不相等的项的个数． （1）数列，1，2，3，4，请直接写出数列； （2）证明：，2，， （3）若数列A相邻两项均不相等，且与A为同一个数列，证明：，2，，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $