2026年山东省青岛市自主招生考试数学专题：不等式与不等式组

2025-2026学年山东省青岛市自主招生考试数学专题：不等式与不等式组 一、单选题 1．如果，那么下列不等式正确的是（　　） A． B． C． D． 2． 下列各数中，能使不等式成立的的整数值是（　　） A． B． C． D． 3．不等式组的解集是（　　） A．x<2 B．x≥3 C．2<x≤3 D．无解 4．不等式组的解在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 5．已知直线y1=kx+1（k＜0）与直线y2=mx（m＞0）的交点坐标为（ ， m），则不等式组mx﹣2＜kx+1＜mx的解集为（　　） A．x B． C．x D．0 6．当0＜x＜1时，x2、x、 的大小顺序是（　　） A．x2 B．＜x＜x2 C．＜x D．x＜x2＜ 7．不等式组 的解集在数轴上可表示为（　　） A． B． C． D． 8．若不等式 有解，则实数 最小值是（　　） A．1 B．2 C．4 D．6 9．设，，都是小于－1的数，且，若满足，，，则必有（　　） A． B． C． D．不能确定，，的大小关系 10．已知不等式4x-a≤0的正整数解是1，2，则a的取值范围是（　　） A．8＜a＜12 B．8≤a＜12 C．8＜a≤12 D．8≤a≤12 二、填空题 11．不等式组的解为　 　． 12．学校组织七年级500名学生搬桌椅，规定一人一次搬两把椅子，两人一次搬一张桌子，每人限搬一次，最多可搬桌椅（一桌一椅为一套）的套数为　 　 13． 对于x、y定义了一种新运算G，规定．若关于a的不等式组恰好有3个整数解，则实数P的取值范围是　 　． 14．已知关于x的不等式组无解，则的取值范围是　 　． 15．经历了漫长艰难的体训，初三学子即将迎来中考体考，初三某班的家长为孩子们准备了脉动饮料、士力架和葡萄糖口服液.已知脉动饮料、士力架和葡萄糖口服液的单价之和为22元，计划购买脉动饮料、士力架和葡萄糖口服液的数量总共不超过200，其中葡萄糖口服液的单价为10元，计划购买50支.脉动饮料的数量不多于士力架数量的一半，但至少购买30瓶.在做预算时，将脉动饮料和士力架的单价弄反了，结果在实际购买时，总费用比预算多了160元.若脉动饮料、士力架和葡萄糖口服液的单价均为整数，则实际购买脉动饮料、士力架和葡萄糖口服液的总费用最多需要花费　 　元. 三、解答题 16．解不等式组 ，并把解集在数轴上表示出来． 17．解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． （I）解不等式①，得 ▲ ； （II）解不等式②，得 ▲ ； （III）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （IV）原不等式组的解集为 ▲ ． 18．以下是圆圆解不等式组 的解答过程： 解：由①，得 ， 所以 由②，得 ， 所以 ， 所以 所以原不等式组的解是 。 圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程。 19．解下列不等式组，并把解集在数轴上表示出来 20．货轮上卸下若干只箱子，其总重量为10t，每只箱子的重量不超过1t，为保证能把这些箱子一次运走，问至少需要多少辆载重3t的汽车？ 21．新定义函数：在y关于x的函数中，若时，函数y有最大值和最小值，分别记和，且满足，则我们称函数y为“三角形函数”． （1）若函数为“三角形函数”，求a的取值范围； （2）判断函数是否为“三角形函数”，并说明理由； （3）已知函数，若对于上的任意三个实数a，b，c所对应的三个函数值都能构成一个三角形的三边长，则求满足条件的m的取值范围． 答案解析部分 1．【答案】A 【解析】【解答】解：， A、，则正确，故符合题意； B、，则错误，故不符合题意； C、，则错误，故不符合题意； D、，则错误，故不符合题意； 故选A． 【分析】根据不等式的性质逐项进行判断即可求出答案. 2．【答案】D 【解析】【解答】解：解不等式 解得： 故答案为：D． 【分析】根据题意，解不等式，根据不等式的解集，即可求解． 3．【答案】C 【解析】【解答】解：， 由①得，x>2， 由②得，x≤3， 则原方程组的结尾2<x≤3. 故答案为：C. 【分析】分别解两个不等式，然后取它们解集的公共部分即可. 4．【答案】A 【解析】【解答】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：，故不等式组无解， 在数轴上表示为 故答案为：A. 【分析】首先解一元一次不等式组，然后在数轴上表示出来. 5．【答案】B 【解析】【解答】解：把（ ， m）代入y1=kx+1，可得 m= k+1， 解得k=m﹣2， ∴y1=（m﹣2）x+1， 令y3=mx﹣2，则 当y3＜y1时，mx﹣2＜（m﹣2）x+1， 解得x＜ ； 当kx+1＜mx时，（m﹣2）x+1＜mx， 解得x＞ ， ∴不等式组mx﹣2＜kx+1＜mx的解集为 ， 故答案为：B． 【分析】将点（，）代入y1=kx+1，可得k=m﹣2，故y1=（m﹣2）x+1，求不等式组mx﹣2＜kx+1＜mx的解集，其实质就是求mx﹣2＜（m-2）x+1＜mx的解集，分别解出每个不等式的解集，再根据大小小大中间找即可得出答案。 6．【答案】A 【解析】【解答】解：当0＜x＜1时， 在不等式0＜x＜1的两边都乘上x，可得0＜x2＜x， 在不等式0＜x＜1的两边都除以x，可得0＜1＜ ， 又∵x＜1， ∴x2、x、 的大小顺序是：x2＜x＜ ． 故选（A） 【分析】先在不等式0＜x＜1的两边都乘上x，再在不等式0＜x＜1的两边都除以x，根据所得结果进行判断即可．本题主要考查了不等式，解决问题的根据是掌握不等式的基本性质．不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或 ＞ ． 7．【答案】A 【解析】【解答】解不等式x+1＜0，得x＜-1， 解不等式 ，得 ， 所以这个不等式组的解集为 ，在数轴上表示如选项A所示， 故答案为：A. 【分析】先求出不等式组的解集，然后判断即可. 8．【答案】C 【解析】【解答】当x＜1，原不等式变为：2-2x+9-3x≤a，解得x≥ ， ∴ ＜1，解得a＞6； 当1≤x≤3，原不等式变为：2x-2+9-3x≤a，解得x≥7-a， ∴1≤7-a≤3，解得4≤a≤6； 当x＞3，原不等式变为：2x-2+3x-9≤a，解得x＜ ， ∴ ＞3，解得a＞4； 综上所述，实数a最小值是4． 故答案为：C． 【分析】分类讨论：当x＜1或1≤x≤3或x＞3，分别去绝对值解x的不等式，然后根据x对应的取值范围得到a的不等式或不等式组，确定a的范围，最后确定a的最小值．本题考查了解含绝对值的一元一次不等式的解法：讨论x的取值范围，然后去绝对值．也考查了不等式和不等式组的解法以及分类讨论思想的运用． 9．【答案】A 【解析】【解答】解：∵x1，x2，x3都是小于-1的数， ∴（x1+1）＜0，（x1-2）＜0，（x2+1）＜0，（x2-2）＜0，（x3+1）＜0，（x3-2）＜0， ∴（x1+1）（x1-2）＞0，（x2+1）（x2-2）＞0，（x3+1）（x3-2）＞0， ∵a1＞a2＞a3＞0，a1（x1+1）（x1-2）＝1，a2（x2+1）（x2-2）＝2，a3（x3+1）（x3-2）＝3， ∴（x1+1）（x1-2）＜（x2+1）（x2-2）＜（x3+1）（x3-2）， ∴x1＞x2＞x3. 故答案为：A． 【分析】由x1，x2，x3都是小于-1的数可得（x1+1）＜0，（x1-2）＜0，（x2+1）＜0，（x2-2）＜0，（x3+1）＜0，（x3-2）＜0，根据不等式的性质可得（x1+1）（x1-2）＞0，（x2+1）（x2-2）＞0，（x3+1）（x3-2）＞0，从而得到（x1+1）（x1-2）＜（x2+1）（x2-2）＜（x3+1）（x3-2），进而可得x1＞x2＞x3，即可解答. 10．【答案】B 【解析】【解答】不等式4x-a≤0的解集是x 因为正整数解是1，2， 而只有当不等式的解集为x≤2，x≤2.1，x≤2.2等时，但x＜3时，其整数解才为1，2， 则 即a的取值范围是8≤a＜12， 故答案为：B 【分析】把a作常数，解出该不等式，根据该不等式的正整数解是1，2，从而得出 2 ≤ < 3，求解得出a的取值范围。 11．【答案】 【解析】【解答】解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为， 故答案为：． 【分析】先分别解不等式，再找不等式组的解集（公共解）． 12．【答案】200 【解析】【解答】解：设可搬桌椅x套，即桌子x把，椅子x把，则搬桌子需2x人，搬椅子需 人， 根据题意，得 2x+ ≤500， 解得x≤200. 答：最多可搬桌椅200套. 故答案为：200. 【分析】设可搬桌椅x套，可表示出搬桌子的人数和搬椅子的人数，根据组织七年级500名学生搬桌椅，列出关于x的不等式，然后求出不等式的最大值即可. 13．【答案】-17≤p＜-7 【解析】【解答】解：由新定义运算法则可得 由①得a≤1， 由②得， ∵此不等式恰有3个整数解， ∴，且三个整数解为1、0、-1， ∴ 解得-17≤p＜-7. 故答案为：-17≤p＜-7 . 【分析】首先根据新定义运算法则列出关于字母a的不等式组，根据解不等式的步骤分别求出不等式组中每一个不等式的解集，然后结合“此不等式恰有3个整数解”及“大小小大中间找”求出该不等式组的解集及三个整数解，进而即可得出关于字母p的不等式组，求解可得p的取值范围. 14．【答案】 【解析】【解答】解： 解不等式①得：x≥-3+m， 解不等式②得：x＜2， ∵不等式组无解， ∴-3+m≥2 解之：m≥5 ∴的取值范围是. 故答案为：. 【分析】分别求出不等式组中的每一个不等式的解集，再根据不等式组无解，可得到关于m的不等式，求出不等式的解集，然后求出的取值范围. 15．【答案】1320 【解析】【解答】解：设脉动饮料x瓶、士力架y支，脉动饮料的单价为m元， 则士力架的单价为22-10-m=（12-m）元， 依题意，得：x（12-m）+ym-160=xm+y（12-m）， 整理，得： ， ∵x≤ y，x≥30，则y≥2x， ∴ ， 又∵x，y，m均为正整数， ∴m-6=1或m-6=2， ∴m=7或m=8， ∵x+y+50≤200， ∴x+y≤150， 当m=7时，12-m=5， ， ∴ ， ∴30≤x≤35， 此时实际购买这三种书最多需要的费用为10×50+35×7+5×（35+80）=1320元， 当m=8时，12-m=4， ， ∴ ， ∴30≤x≤40， 此时实际购买这三种书最多需要的费用为10×50+40×8+4×（40+40）=1140元， ∴实际购买这三种书最多需要花费1320元. 故答案为：1320. 【分析】设购买脉动饮料x瓶、士力架y支，脉动饮料的单价为m元，依据实际购买时，总费用比预算多了160元列出方程，化简得到 ，根据题中不等关系得到m值，分情况讨论，由购买三种物品数量总共不超过200及x，y之间的关系，可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，利用总价=单价×数量求出此时实际购买三种物品花费最多的费用. 16．【答案】解：解不等式3﹣x＞1﹣ ， ∴12﹣4x＞4﹣x﹣1， ∴x＜3， 解不等式②得： ∴7x+1≥5（x﹣1）， ∴x≥﹣3， ∴原不等式组的解集为﹣3≤x＜3． 在数轴上表示为： 【解析】【分析】先求出每一个不等式的解集，再找出各个解集的公共部分即可。 17．【答案】解：解：（I）； （II）； （III） （IV）． 【解析】【分析】分别求出两个不等式的解集，再将解集在数轴上表示出来，可得不等式组的解集. 18．【答案】解：圆圆的解答过程有错误， 正确的解答过程如下： 由①，得 ， 所以 ， 所以 ； 由②，得 ， 所以 ， 所以 ， 所以 ， 将不等式组的解集表示在数轴上： 所以原不等式组的解是 . 【解析】【分析】先观察解答过程，可知 圆圆的解答过程有错误， 再分别求出不等式组中的每一个不等式的解集，再确定出不等式组的解集. 19．【答案】解：解①得，x＜1 解②得，x≥-1 ∴ 原不等式组的解集是 -1≤x＜1 在数轴上表示为： 【解析】【分析】首先求出每一个不等式的解集，再找出各解集的公共部分即为不等式组的解集；在数轴上表示解集时，“≥”表示实心向右，“＜”空心向左。 20．【答案】解：设共需n辆汽车，它们运走的重量依次为a1，a2，an则 2≤ai≤3（i=1，2，…，n），al+a2+…+an=10 ∴2n≤10≤3n，解得 ． ∵车子数n应为整数，∴n=4或5，但4辆车子不够． 例如有13只箱子，每只重量为 ，而3× ＜3，4× ＞3，即每辆车子只能运走3只箱子，4辆车子只能运走12只箱子，还剩一只箱子，故需5辆汽车． 【解析】【分析】先根据“每只箱子的重量不超过1t”，分析得到每次运走的箱子重量范围，进而求得所需车辆的数量，再结合“每只箱子的重量不超过1t”分析至少所需的车辆数. 21．【答案】（1）解：∵， ∴随x的增大而增大， 又， ∴当时，； 当时，， ∵为三角形函数， ∴， ∴ （2）解：是三角形函数，理由如下： ∵对称轴为直线，抛物线开口向上， ∵， ∴当时，， ∵， ∴当时，， ∴，， ∴它是三角形函数 （3）解：∵对于上的任意三个实数a，b，c所对应的三个函数值都能构成一个三角形的三边长，∴， 若a为最小，c为最大，则有， 同理当b为最小，c为最大时也可得， ∴是三角形函数， ∵， ∴对称轴为直线， ①当时， ∴当时，，当时，， 则，解得， ∴无解； ②当时， ∴当时，，当时，， 则， 解得， ∴； ③当时， ∴当时，，当时，， 则， 解得， ∴； ④当时， ∴当时，，当时，， 则， 解得， ∴无解； 综上述可知m的取值范围为 或． 【解析】【分析】（1）由根据函数的增减性得最大值和最小值，由新定义得到到关于a的不等式组，解题即可； （2）根据抛物线的性质可求得其最大值和最小值，然后根据三角形函数的定义判断即可； （3）根据三边关系可判断函数是三角形函数，再利用新定义分别得到关于m的不等式组，解不等式组即可． （1）解：∵， ∴随x的增大而增大， 又， ∴当时，； 当时，， ∵为三角形函数， ∴， ∴； （2）解：是三角形函数， 理由如下： ∵对称轴为直线，抛物线开口向上， ∵， ∴当时，， ∵， ∴当时，， ∴，， ∴它是三角形函数； （3）解：∵对于上的任意三个实数a，b，c所对应的三个函数值都能构成一个三角形的三边长， ∴， 若a为最小，c为最大，则有， 同理当b为最小，c为最大时也可得， ∴是三角形函数， ∵， ∴对称轴为直线， ①当时， ∴当时，，当时，， 则，解得， ∴无解； ②当时， ∴当时，，当时，， 则， 解得， ∴； ③当时， ∴当时，，当时，， 则， 解得， ∴； ④当时， ∴当时，，当时，， 则， 解得， ∴无解； 综上述可知m的取值范围为 或． 学科网（北京）股份有限公司 $