精品解析：山东烟台市芝罘区2025-2026学年八年级（五四学制）上学期期末数学试卷

初三数学 一、选择题（每题3分，共36分） 1. 中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量．下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式的变形，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列因式分解的结果中不含因式的是（ ） A. B. C. D. 4. 在中，：：：的值可以是（ ） A. ：：： B. ：：： C. ：：： D. ：：： 5. 如图，四边形是平行四边形，点A，B的坐标分别为，，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 甲、乙两人在相同条件下各射击10次，两人的成绩（单位：环）如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 甲的平均成绩更高，成绩也更稳定 B. 甲的平均成绩更高，但乙的成绩更稳定 C. 乙的平均成绩更高，成绩也更稳定 D. 乙的平均成绩更高，但甲的成绩更稳定 7. 下列命题正确的是( ) A. 正方形的对角线相等且互相平分 B. 对角互补的四边形是平行四边形 C. 矩形的对角线互相垂直 D. 一组邻边相等的四边形是菱形 8. 如图，中，，平分，交于点，，点，分别是和的中点，则的长为（　　） A. 3 B. 2.5 C. 2 D. 5 9. 如图，小明从点出发，前进后向右转，再前进后又向右转……，这样一直走下去，他第一次回到出发点时一共走了，则的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 某市为治理污水，需要铺设一段全长3000m的污水排放管道，为尽量减少施工对城市交通造成影响，实际施工时每天的工效比原计划增加，结果提前30天完成这一任务，求原计划每天铺设多长管道．若设原计划每天铺设米，则根据题意所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，矩形中，点是延长线上一点，且，点是中点，若，，则的长度是（ ） A. 4 B. 5 C. D. 12. 如图，中，，．是内一点，将绕点逆时针旋转得到，延长线交于点，延长线交于点，连接．下列结论：①是等腰直角三角形；②；③平分；④，其中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每题3分，共24分） 13. 若代数式的值为零，则x的值为_______． 14. 已知，，则多项式的值为________． 15. 如图，矩形的对角线，相交于点，//，//．若，则四边形的周长是_______． 16. 在一次捐款活动中，某班第一小组8名同学捐款的金额单位：元如下表所示：这8名同学捐款的平均金额为______元 金额元 5 6 7 10 人数 2 3 2 1 17. 如图，中，．按以下步骤作图：①以点B为圆心，长为半径作弧，交于点F；②分别以点A，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内相交于点P；③作射线，交于点E，连接．四边形的周长为_______． 18. 如图，在中，，，将绕点B逆时针旋转得到，点C的对应点恰好落在边上，连接，则度数是_______． 19. 定义运算，则方程的解是_______． 20. 如图，在矩形中，，，E为的中点，将沿折叠，使点B落在矩形内点F处，连接，的面积是_______． 三、解答题（共7题，满分60分） 21. 解方程：． 22. 先化简，然后在范围内，选择一个合适的整数代入求值． 23. 在平面直角坐标系中，的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）． （1）将向左平移5个单位长度，得到，画出； （2）与关于原点成中心对称，画出； （3）和是否成中心对称图形？若成中心对称图形，请直接写出对称中心的坐标；若不成中心对称图形，请说明理由． 24. 如图，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E，延长CB到点F，使得DE=BF，连接EF，分别交CD，AB于点G，H，连接AG，CH． 求证：四边形AGCH是平行四边形． 25. 每年的3月12日是植树节．某校组织全校学生参加了“植物百科”的知识竞赛．现从该校七、八年级中各选取了20名同学的竞赛成绩进行了整理、描述和分析（成绩得分用x表示，其中A:，B：，C：，D：，得分在90分及以上为优秀）．下面给出了部分信息： 七年级20名同学在B组的分数为：90，93，93，94； 八年级20名同学在B组的分数为：90，91，92，92，94，94，94，94，94． 七、八年级选取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 七年级 91 a 95 m 八年级 91 92 b （1）填空： ； ， ，并把条形统计图补充完整； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在“植物百科”的知识竞赛中，哪个年级的学生成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）该校七年级，八年级共有1600名学生，估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数共有多少？ 26. 中国科技发展日新月异；有些电子产品会随着科技发展而降价．某电脑经销店开始销售A款电脑，第一季度售价为0.65万元/台，总利润为4万元；第二季度售价为0.6万元/台，总利润为3万元，且两个季度销售A款电脑的数量相同． （1）求A款电脑每台的进价为多少万元？ （2）为增加收入，第三季度电脑经销店决定再经销B款电脑，B款电脑的进价为0.3万元/台，经销店预计用不多于10万元且不少于9万元的资金购进两种电脑共25台．如果两种电脑的进价不变，第三季度A款电脑的售价为0.6万元/台，B款电脑的售价为0.5万元/台，要使第三季度所获利润最大，应选哪种进货方案？最大利润是多少？ 27. 如图，在正方形中，点E在边上，交于点F，将线段绕点E顺时针旋转到，连接，，． （1）求证：； （2）判断四边形的形状并证明； （3）在点E的运动过程中，的度数是否变化？若不变，请求出这个角的度数，若变化，请说明你的理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三数学 一、选择题（每题3分，共36分） 1. 中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量．下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】A、不是中心对称图形； B、不是中心对称图形； C、不是中心对称图形； D、是中心对称图形． 2. 下列各式的变形，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的性质：判断分式变形是否正确．根据分式的性质进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D． 3. 下列因式分解的结果中不含因式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，先提取公因数3，再利用平方差公式分解因式即可判断A；提取公因式即可判断B；利用十字相乘法分解因式即可判断C；利用完全平方公式分解因式即可判断D． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：C． 4. 在中，：：：的值可以是（ ） A. ：：： B. ：：： C. ：：： D. ：：： 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得到，，，，根据以上结论即可选出答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ，， 即和的数相等，和的数相等，且， 故选：D． 【点睛】本题主要考查对平行四边形的性质，平行线的性质等知识点的理解和掌握，能根据平行四边形的性质进行判断是解此题的关键，题目比较典型，难度适中． 5. 如图，四边形是平行四边形，点A，B的坐标分别为，，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理，由平行四边形的性质可得，，设，再结合勾股定理计算即可得出结果，熟练掌握平行四边形的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 设， ∵点A，B的坐标分别为，， ∴， 解得：或， ∵点C在第二象限， ∴， ∴， 故选：A． 6. 甲、乙两人在相同条件下各射击10次，两人的成绩（单位：环）如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 甲的平均成绩更高，成绩也更稳定 B. 甲的平均成绩更高，但乙的成绩更稳定 C. 乙的平均成绩更高，成绩也更稳定 D. 乙的平均成绩更高，但甲的成绩更稳定 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了折线统计图，平均数与方差的意义，解答本题的关键是掌握平均数与方差的意义． 方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定，根据方差、平均数的意义进行判断即可求出答案． 【详解】解：根据折线统计图可知甲的波动比乙小，则甲的成绩更加稳定；又根据折线统计图可知甲的平均成绩稳定在5以下，而乙的平均成绩稳定在7.5左右，则乙的平均成绩更高； 故选：D． 7. 下列命题正确的是( ) A. 正方形的对角线相等且互相平分 B. 对角互补的四边形是平行四边形 C. 矩形的对角线互相垂直 D. 一组邻边相等的四边形是菱形 【答案】A 【解析】 【分析】根据正方形、平行四边形、矩形、菱形的各自性质和构成条件进行判断即可． 【详解】A、正方形的对角线相等且互相垂直平分，描述正确； B、对角互补的四边形不一定是平行四边形，只是内接于圆，描述错误； C、矩形的对角线不一定垂直，但相等，描述错误； D、一组邻边相等的平行四边形才构成菱形，描述错误． 故选：A． 【点睛】本题考查平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定，解题的关键是熟悉掌握各类特殊四边形的判定和性质． 8. 如图，中，，平分，交于点，，点，分别是和的中点，则的长为（　　） A. 3 B. 2.5 C. 2 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据平行四边形的性质可得，，再结合角平分线的定义和平行线的性质证明为等腰三角形，易得，进而可得，然后结合点，分别是和的中点，易得是的中位线，结合三角形中位线的性质即可获得答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点，分别是和的中点， ∴是的中位线， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、三角形中位线的性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的定义、平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质和三角形中位线的性质是解题关键． 9. 如图，小明从点出发，前进后向右转，再前进后又向右转……，这样一直走下去，他第一次回到出发点时一共走了，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了多边形的外角和，正多边形的判定与性质．根据总路程求出边数，再利用多边形外角和等于360度即可求出答案． 【详解】解：依题意可知，小明所走路径为正多边形， 设这个正多边形的边数为n，则 ∴， 故选：B． 10. 某市为治理污水，需要铺设一段全长3000m的污水排放管道，为尽量减少施工对城市交通造成影响，实际施工时每天的工效比原计划增加，结果提前30天完成这一任务，求原计划每天铺设多长管道．若设原计划每天铺设米，则根据题意所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查列分式方程，根据实际施工时每天的工效比原计划增加，结果提前30天完成这一任务，列出分式方程进行求解即可． 【详解】解：设原计划每天铺设米，则现在每天铺设米，由题意，得： ； 故选B． 11. 如图，矩形中，点是延长线上一点，且，点是中点，若，，则的长度是（ ） A. 4 B. 5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质，连接、，由矩形的性质可得，，，求出，得到，由勾股定理可得，由等腰三角形的性质可得，由直角三角形的性质可得，从而得出，再证明，即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接、， ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，点是中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故选：C． 12. 如图，中，，．是内一点，将绕点逆时针旋转得到，延长线交于点，延长线交于点，连接．下列结论：①是等腰直角三角形；②；③平分；④，其中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】由旋转的性质可得，，，则是等腰直角三角形，即可判断①正确；求出，即，即可判断②正确；证明点、、、四点共圆，再结合圆周角定理得出，即可判断③；证明点、、、四点共圆，得出，再结合，即可判定④，从而得出结果． 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，，， ∴是等腰直角三角形，故①正确； ∵中，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即，故②正确； ∴， ∵， ∴点、、、四点共圆， ∵， ∴， ∴平分，故③正确； ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点、、、四点共圆， ∴， ∵， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有①②③④，共个， 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，圆内接四边形的性质，圆周角定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 二、填空题（每题3分，共24分） 13. 若代数式的值为零，则x的值为_______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，需分子为零且分母不为零，由此计算即可得出结果，熟练掌握分式的值为零的条件是解此题的关键． 【详解】解：∵代数式的值为零， ∴且， 解可得或， 当时，，故舍去， ∴， 故答案为：． 14. 已知，，则多项式的值为________． 【答案】88 【解析】 【分析】本题考查因式分解和代数式求值，将多项式分解为含有，的式子，再将，代入整理后的式子求解，即可解题． 【详解】解： ， ，， 上式， 故答案为：88． 15. 如图，矩形的对角线，相交于点，//，//．若，则四边形的周长是_______． 【答案】20 【解析】 【分析】首先由四边形ABCD是矩形，根据矩形的性质，易得OC=OD=5，由CE∥BD，DE∥AC，可证得四边形CODE是平行四边形，又可判定四边形CODE是菱形，继而求得答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD=10，OA=OC，OB=OD， ∴OC=OD=BD=5， ∵//，//．， ∴四边形CODE是平行四边形， ∵OC=OD =5， ∴四边形CODE是菱形， ∴四边形CODE的周长为：4OC=4×5=20． 故答案为20． 【点睛】本题考查菱形的判定与性质以及矩形的性质．此题难度不大，注意证得四边形CODE是菱形是解题关键． 16. 在一次捐款活动中，某班第一小组8名同学捐款的金额单位：元如下表所示：这8名同学捐款的平均金额为______元 金额元 5 6 7 10 人数 2 3 2 1 【答案】6.5 【解析】 【分析】根据加权平均数的计算公式用捐款的总钱数除以8即可得出答案． 【详解】这8名同学捐款的平均金额为元， 故答案为． 【点睛】此题考查了加权平均数，掌握加权平均数的计算公式是解题的关键，属于基础题． 17. 如图，中，．按以下步骤作图：①以点B为圆心，长为半径作弧，交于点F；②分别以点A，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内相交于点P；③作射线，交于点E，连接．四边形的周长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质，由作图可得平分，，则，证明四边形为菱形，得出，再由四边形的周长为，计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由作图可得：平分，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， ∴， ∴四边形的周长为， 故答案为：． 18. 如图，在中，，，将绕点B逆时针旋转得到，点C的对应点恰好落在边上，连接，则度数是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，由旋转的性质可得，，再由等边对等角并结合三角形内角和定理可得，求出，即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵将绕点B逆时针旋转得到，点C的对应点恰好落在边上， ∴，， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， 故答案为：． 19. 定义运算，则方程的解是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了新定义运算，解分式方程，解不等式，理解新定义，将新定义中的计算转化为常规运算是求解本题的关键．分两种情况计算：若，若，根据新定义将方程转化为分式方程，解分式方程并检验即可得解． 【详解】解：若，即时，方程为：， 即， ，解得， 检验：当时，，且满足， 是原分式方程的解； 若，即时，方程为：， 即， ，解得，与相矛盾，故舍去； 原方程的解是． 故答案为：． 20. 如图，在矩形中，，，E为的中点，将沿折叠，使点B落在矩形内点F处，连接，的面积是_______． 【答案】 【解析】 【分析】连接交于点，作于点，由矩形的性质可得，由题意可得，由勾股定理可得，由折叠的性质可得，，，则，根据四边形的面积计算得出，由等边对等角可得，，结合三角形内角和定理求出，再由勾股定理可得，再由等面积法求出，最后由三角形面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：如图，连接交于点，作于点， ， ∵四边形为矩形， ∴， ∵，E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵将沿折叠，使点B落在矩形内点F处，连接， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 三、解答题（共7题，满分60分） 21. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，根据解分式方程的步骤计算即可得出结果，熟练掌握解分式方程的步骤是解此题的关键． 【详解】解：去分母可得：， 去括号可得：， 移项可得：， 合并同类项可得：， 系数化为1可得：， 检验，当时，，， ∴原分式方程的解为． 22. 先化简，然后在范围内，选择一个合适的整数代入求值． 【答案】，10 【解析】 【分析】利用分式的相应的法则对式子进行化简，再结合分式有意义的条件选取合适的数代入运算即可． 【详解】解：原式 = =， ∵， ∴， ∴当时， 原式= =10． 【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 23. 在平面直角坐标系中，的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）． （1）将向左平移5个单位长度，得到，画出； （2）与关于原点成中心对称，画出； （3）和是否成中心对称图形？若成中心对称图形，请直接写出对称中心的坐标；若不成中心对称图形，请说明理由． 【答案】（1） 如图，即为所作， （2） 如图：即为所作， ； （3）和是成中心对称图形，对称中心的坐标为 【解析】 【分析】本题考查了作图—平移变换，画中心对称图形，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据平移的性质作图即可； （2）根据成中心对称图形的性质作图即可； （3）连接、、，它们相交于一点，结合中心对称图形的定义得出和是成中心对称图形，再结合图形写出坐标即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，连接、、，它们相交于一点，则和是成中心对称图形， ， 由图形可得，对称中心的坐标为． 24. 如图，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E，延长CB到点F，使得DE=BF，连接EF，分别交CD，AB于点G，H，连接AG，CH． 求证：四边形AGCH是平行四边形． 【答案】 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠EAH=∠FCG，AD//BC． ∴∠E=∠F． ∵AD=BC，DE=BF， ∴AD +DE= BC+ BF．即AE=CF． ∴△AEH≌△CFG（ASA）； ∴AH=CG． ∵AH//CG， ∴四边形AGCH是平行四边形． 【解析】 【分析】利用平行四边形性质证明△AEH≌△CFG（ASA），从而得到AH=CG，再由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得出结论． 【详解】略 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法． 25. 每年的3月12日是植树节．某校组织全校学生参加了“植物百科”的知识竞赛．现从该校七、八年级中各选取了20名同学的竞赛成绩进行了整理、描述和分析（成绩得分用x表示，其中A:，B：，C：，D：，得分在90分及以上为优秀）．下面给出了部分信息： 七年级20名同学在B组的分数为：90，93，93，94； 八年级20名同学在B组的分数为：90，91，92，92，94，94，94，94，94． 七、八年级选取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 七年级 91 a 95 m 八年级 91 92 b （1）填空： ； ， ，并把条形统计图补充完整； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在“植物百科”的知识竞赛中，哪个年级的学生成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）该校七年级，八年级共有1600名学生，估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数共有多少？ 【答案】（1）93，94，60， 补全条形统计图如下： （2）八年级学生的优秀率高于七年级，所以八年级的学生成绩更好 （3）1000人 【解析】 【分析】本题考查用样本估计总体、中位数、众数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据中位数和众数的定义解答即可求出、的值，用优秀的人数除以总人数即可得的值，用总人数减去其它组的人数求出组的人数即可补全条形统计图； （2）根据优秀率进行判断即可； （3）用样本估计总体可得结果． 【小问1详解】 解：七年级学生竞赛成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数的平均数为（分，因此中位数， 八年级学生竞赛成绩的94出现的次数最多，故众数， ，即， 七年级组的人数为（人， 故答案为：93，94，60； 【小问2详解】 解：八年级的学生成绩更好，理由如下： 因为八年级学生的优秀率高于七年级，所以八年级的学生成绩更好； 【小问3详解】 解：（人， 答：估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数共有1000人． 26. 中国科技发展日新月异；有些电子产品会随着科技发展而降价．某电脑经销店开始销售A款电脑，第一季度售价为0.65万元/台，总利润为4万元；第二季度售价为0.6万元/台，总利润为3万元，且两个季度销售A款电脑的数量相同． （1）求A款电脑每台的进价为多少万元？ （2）为增加收入，第三季度电脑经销店决定再经销B款电脑，B款电脑的进价为0.3万元/台，经销店预计用不多于10万元且不少于9万元的资金购进两种电脑共25台．如果两种电脑的进价不变，第三季度A款电脑的售价为0.6万元/台，B款电脑的售价为0.5万元/台，要使第三季度所获利润最大，应选哪种进货方案？最大利润是多少？ 【答案】（1）A款电脑每台的进价为0.45万元 （2）应选择购进A款电脑10台、B款电脑15台的进货方案，最大利润是4.5万元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）设A款电脑每台的进价为万元，根据题意列出分式方程，解方程即可得出结果； （2）设购进款电脑台，则购进款电脑 ，根据题意列出一元一次不等式组，求出，设总利润为万元，则，再结合一次函数的性质即可得出结果． 【小问1详解】 解：设A款电脑每台的进价为万元， 由题意可得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意； ∴A款电脑每台的进价为0.45万元； 【小问2详解】 解：设购进款电脑台，则购进款电脑 ， 由题意可得：， 解得：， 设总利润为万元， 则 ， ∵， ∴随着的增大而减小， ∴当时，最大为（万元）， ∵， ∴应选择购进A款电脑10台、B款电脑15台的进货方案，最大利润是4.5万元． 27. 如图，在正方形中，点E在边上，交于点F，将线段绕点E顺时针旋转到，连接，，． （1）求证：； （2）判断四边形的形状并证明； （3）在点E的运动过程中，的度数是否变化？若不变，请求出这个角的度数，若变化，请说明你的理由． 【答案】（1） 证明：∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2） 四边形为平行四边形，证明如下： ∵将线段绕点E顺时针旋转到， ∴，， 由（1）可得：， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形为平行四边形； （3）的度数不变，为 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质可得，，再证明，即可得证； （2）由旋转的性质可得，，由（1）可得，从而，再由题意得出，即可得证； （3）由正方形的性质可得，，由旋转的性质可得，，由同角的余角相等可得，作交的延长线于点，再证明，得出，，证明为等腰直角三角形，得出，从而得出，即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：的度数不变， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵将线段绕点E顺时针旋转到， ∴，， ∴， ∵， ∴， 如图，作交的延长线于点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 即的度数不变，为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质、等腰三角形的判定与性质、旋转的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $