2026年山东省青岛市自主招生考试数学专题：实数

2025-2026学年山东省青岛市自主招生考试数学专题：实数 一、单选题 1．下列各式正确的为（　　） A． B． C． D． 2．在实数5， ， ， ，π，0.1010010001…中，无理数有（　　）个 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．要使二次根式有意义，x的值可以取（　　） A．1 B．7 C．14 D．80 4．化简 的结果是（　　） A． B．0 C． D．4 5．若一个正数的两个平方根分别是m+3和2m-15，n的立方根是-2，则-n+2m 的算术平方根是 (　　) A．-4 B．±4 C．4 D．0 6．实数a、b在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（　　） A．a+b＞0 B．a﹣b＜0 C．ab＞0 D．＞0 7．如果最简根式 与 是同类二次根式，那么使 有意义的x的取值范围是（　　） A．x≤10 B．x≥10 C．x＜10 D．x＞10　 8．有理数 在数轴上的位置如图所示，下列各数中，① ；② ；③ ；④ ，在0到1之间数的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 9．若 在实数范围内有意义，则x的取值范围为　 　． 10．用四舍五入将有理数精确到，结果是　 　． 11．最简二次根式 与 是同类二次根式，则b= 　 　 ． 12．若一个正数的平方根分别为和，则这个正数为　 　． 13．绝对值小于 的所有整数是　 　． 14．已知 为有理数， 分别表示 的整数部分和小数部分，且 ，则 　 　. 15．10位裁判给一位运动员打分,每个人给的分数都是整数,去掉一个最高分,再去掉一个最低分,其余得分的平均数为该运动员的得分。若用四舍五入取近似值的方法精确到十分位,该运动员得9.4分,如果精确到百分位,该运动员得分应当是　 　分. 三、解答题 16．已知正数的两个不同的平方根分别是和，求和的值． 17．如果一个数的平方根是和，求这个数． 18．已知正数的两个平方根分别是和，与互为相反数，求的平方根． 19．已知2a﹣1的平方根是±3，11a+b﹣1的立方根是4，求a+2b的平方根． 20．若，求代数式的最大值． 21．如果，那么x是a的平方根或二次方根，记作，如果，那么x是a的立方根或三次方根，记作，如果，那么x是a的四次方根，记作，依此还有五次方根… （1）求256的四次方根； （2）计算； （3）一个正数a的两个六次方根分别为和，求这个正数a． 22．如图，小明在研究性学习活动中，对自己家所在的小区进行调查后发现，小区汽车入口宽AB为3.2m，在入口的一侧安装了停止杆CD，其中AE为支架．当停止杆仰起并与地面成60°角时，停止杆的端点C恰好与地面接触．此时CA为0.7m．在此状态下，若一辆货车高3m，宽2.5m，入口两侧不能通车，那么这辆货车在不碰杆的情况下，能从入口内通过吗？请你通过估算说明．（参考数据： ≈1.7） 答案解析部分 1．【答案】D 【解析】【解答】解：A、，故该选项是错误的； B、，故该选项是错误的； C、，故该选项是错误的； D、，故该选项是正确的； 故选：D 【分析】 本题考查了算术平方根、立方根、分别根据算术平方根、立方根的性质进行逐项分析，即可作答． 2．【答案】D 【解析】【解答】解：5， ， 是有理数， ，π，0.1010010001…是无理数， 故答案为：D. 【分析】本题考查无理数的定义，无限不循环小数叫做无理数.根据无理数的定义进行判断，即可求解. 3．【答案】A 【解析】【解答】解：要使二次根式有意义， ∴， ∴， 观察四个选项，选项A符合题意， 故选：A． 【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案. 4．【答案】A 【解析】【解答】解：由题意可得： ， 则 ， ∴ ． 故答案为： ． 【分析】根据二次根式的性质得出A的取值范围，进而化简求出答案。 5．【答案】C 【解析】【解答】解：由题意可得： m+3+2m-15=0，解得：m=4 n=(-2)3=-8 ∴-n+2m=16 ∴16的算术平方根为4 故答案为：C 【分析】根据平方根与立方根的定义可得m，n值，再代入代数式，再根据算术平方根的定义即可求出答案. 6．【答案】B 【解析】【解答】解：∵由数轴可得a＜0，b＞0，且|a|＞|b|， ∴a﹣b＜0， 故选：B． 【分析】由数轴可得a＜0，b＞0，且|a|＞|b|，即可判定a﹣b＜0正确． 7．【答案】A 【解析】【解答】由题意3a-8=17-2a，所以a=5，所以4a-2x=20-2x≥0，所以x≤10，即得A． 【分析】利用最简二次根式的定义求得a的数值，代入 ，利用二次根式有意义的条件求解x的范围是一个基本的解题思想． 8．【答案】D 【解析】【解答】解：①根据数轴可以知道：-2＜a＜-1， ∴1＜-a＜2， ∴0＜-a-1＜1，符合题意； ②∵-2＜a＜-1， ∴-1＜a+1＜0， ∴0＜|a+1|＜1，符合题意； ③∵-2＜a＜-1， ∴1＜|a|＜2， ∴-2＜-|a|＜-1， ∴0＜2-|a|＜1，符合题意； ④∵1＜|a|＜2， ∴ ，符合题意． 故答案为：D． 【分析】根据数轴得出-2＜a＜-1，再逐个判断即可。 9．【答案】x≥6 【解析】【解答】解：若 在实数范围内有意义， 则x﹣6≥0， 解得：x≥6． 故答案为：x≥6． 【分析】利用二次根式在实数范围内有意义的条件列出不等式，解出自变量得取值范围即可。 10．【答案】 【解析】【解答】解：． 故答案为：． 【分析】 求一个数的近似数，要求精确到某一位，应当对下一位的数字进行四舍五入． 11．【答案】2 【解析】【解答】解：∵最简二次根式 与 是同类二次根式， ∴ ， 解得： ， 故答案为：2. 【分析】根据同类二次根式的根指数、被开方数相同可得出方程，解出即可得出答案． 12．【答案】9 【解析】【解答】解：由题意得，(m+1)+（1-2m)=0 解得，m=2， 所以(m+1)2=32=9， 故答案为：9. 【分析】根据平方根的性质：正数有两个平方根，它们互为相反数，即可解答。 13．【答案】±4，±3，±2，±1，0 【解析】【解答】解：∵16＜18＜25， ∴4＜ ＜5， ∴绝对值小于 的所有整数有：±4，±3，±2，±1，0． 故答案为：±4，±3，±2，±1，0． 【分析】先估算出 的大小，再写出所有符合条件的整数即可． 14．【答案】2.5 【解析】【解答】解：因为2＜ ＜3，所以2＜5－ ＜3，故m＝2，n＝5－ －2＝3－ ． 把m＝2，n＝3－ 代入amn＋bn2＝1，化简得（6a＋16b）－（2a＋6b） ＝1，所以6a＋16b＝1且2a＋6b＝0，解得a＝1.5，b＝－0.5． 所以2a＋b＝3－0.5＝2.5．故答案为：2.5． 【分析】根据4＜7＜9，得到5-的整数部分m的值和小数部分n的值，把m、n的值代入等式化简，求出a、b的值，得到2a＋b的值. 15．【答案】9.38． 【解析】【解答】解：用四舍五入取近似值的方法精确到一位小数能得到9.4的数值范围是：（大于等于9.35和小于9.45之间） ∴10个裁判去掉最高和最低得分后，实际取值就是8个人的分数． ∴该运动员的有效总得分在大于或等于9.35×8=74.8分和小于9.45×8=75.6之间． ∵每个裁判给的分数都是整数， ∴得分总和也是整数， 在74.8和75.6之间只有是整数75， ∴该运动员的有效总得分是75分． ∴得分为：75÷8≈9.375， 精确到两位小数就是9.38． 故答案为：9.38． 【分析】根据题意得9.4分得到8位裁判的准确打分和，除以8，再保留两位小数即可。 16．【答案】解：正数的两个不同的平方根分别是和， ， 解得：， ． 故的值为4，的值为49． 【解析】【分析】根据平方根的性质可得，求出a的值，再求出m的值即可。 17．【答案】解：∵一个数的平方根是和， ∴， ∴， ∴a+1=2+1=3， ∴这个数为． 【解析】【分析】利用平方根的性质及计算方法可得，求出a的值，再求出这个数即可. 18．【答案】解：∵正数a的两个平方根分别是和 ∴ ∴ ∴ ∵与互为相反数 ∴， ∴， ∴ ∴的平方根是 【解析】【分析】利用平方根的定义可得，求出x的值，再求出a的值，利用相反数的定义可得，求出b的值，最后将a、b的值代入计算即可. 19．【答案】解：∵2a﹣1的平方根是±3，11a+b﹣1的立方根是4， ∴2a﹣1=9，11a+b﹣1=64， ∴a=5，b=10， ∴a+2b=25， 即a+2b的平方根是±5 【解析】【分析】根据已知得出2a﹣1=9，11a+b﹣1=64，求出a=5，b=10，求出a+2b的值，最后求出a+2b的平方根即可． 20．【答案】【解答】解：∵， ∴当x＞0时，原式＞0， 当x＜0时，原式＜0， ∴当时，原代数式有最大值， 此时， 令， 则原式， 上述问题等价于动点到两定点距离差的最大值， 根据三角形的三边关系， 当且仅当动点位于该线段的延长线上时，等号成立， 当时，，得， 此时的最大值为， 代数式的最大值为． ​​​​​​​ 【解析】【分析】先化简代数式为，换元法，然后设，得到，然后构造动点到两定点距离差的最大值，平面上一动点到两个定点的距离之差的最大值为两定点间线段的延长线长度，当且仅当动点位于该线段的延长线上时取最值，解题即可． 21．【答案】（1）解：， 的四次方根为 （2）解：， （3）解：∵a的六次方根是和， ∴，解得， ∴， ∴ 【解析】【分析】(1)根据，利用四次方根的定义可求出256的四次方根； (2)根据，利用方根的定义进行计算可得：，再进行计算可求出答案； (3)根a的六次方根是和，利用方根的定义可列出方程，解方程可求出m的值，进而可求出正数a. 22．【答案】解：如图， 在AB之间找一点F，使BF=2.5m，过点F作GF⊥AB交CD于点G， ∵AB=3.2m，CA=0.7m，BF=2.5m， ∴CF=AB﹣BF+CA=1.4m， ∵∠ECA=60°， ∴tan60°= ， ∴GF=CAtan60°=1.4 ≈2.38m， ∵2.38＜3 ∴这辆货车在不碰杆的情况下，不能从入口内通过 【解析】【分析】首先在AB之间找一点F，且BF=2.5，过点F作GF⊥AB交CD于点G，只要求得GF的数值，进一步与货车高相比较得出答案即可． 学科网（北京）股份有限公司 $