2026年山东省青岛市自主招生考试数学专题：一次函数

2025-2026学年山东省青岛市自主招生考试数学专题:一次函数. 一、单选题 1.对于函数y=-x+3,下列结论正确的是( ) A.它的图象与两坐标轴围成等腰直角三角形 B.它的图象经过第一、二、三象限 C.它的图象必经过点(-1,3) D.y的值随x值的增大而增大 2.已知正比例函数,当时,,则下列各点中在该函数图象上的是( ) A. B. C. D. 3.如图,一次函数与的图象交于点,则关于x,y的方程组的解是( ) A. B. C. D. 4.一次函数的图象经过点M,且y的值随x增大而增大,则点M的坐标可能是( ) A. B. C. D. 5.下列关于x的函数是一次函数的是( ) A. B. C. D. 6.在平面直角坐标系中.将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转,再向上平移1个单位长度,所得直线的函数表达式为( ) A. B. C. D. 7.l1:y=k1x+b与直线l2:y=k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示,则关于x的不等式k1x+b>k2x的解为 A.x>-1 B.x<-1 C.x<-2 D.无法确定 8.下列函数中,满足y的值随x的值增大而增大的是( ) A.y=-2x B.y=3x-1 C.y= D.y= 9.如图,在同一平面直角坐标系中,一次函数与,小聪根据图象得到如下结论: ①;②关于x,y的方程组的解为;③关于x的方程的解为;④关于x的不等式的解集是. 其中结论正确的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 10.正方形,按如图所示的方式放置,点在直线,点在x轴上,已知点,,则的坐标是( ) A. B. C. D. 二、填空题 11.已知直线与直线相交于点A,那么点A的横坐标是 . 12.一次函数y=(3-k)x+18-2k2的图象经过原点,则k的值为 13.如图,已知函数的图象交于点,则根据图象可得,关于的二元一次方程组的解是 . 14.已知一次函数 ( 是自变量)的图象经过第一、二、三象限,则 的取值范围是 . 15.在平面直角坐标系中,点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离公式为: ,则点P(3,-3)到直线 的距离为 . 16.如图,在平面直角坐标系中,点A1,A2,A3,…,An在x轴上,点B1,B2,B3,…,Bn在直线上,若A1(1,0),且 A1B1A2, A2B2A3,…, AnBnAn+1都是等边三角形,从左到右的小三角形(阴影部分)的面积分别记为S1,S2,S3,…,Sn,则Sn可表示为 . 三、解答题 17.已知是的一次函数,当=1时,=5;当=-1时,=1.求该一次函数的解析式; 18.一次函数的图象经过点和两点. (1)求出该一次函数的表达式; (2)若直线AB与x轴交于点C,求的面积. 19.工厂某车间需加工一批零件,甲组工人加工中因故障产检修机器一次,然后以原来的工作效率继续加工,由于时间紧任务重,乙组工人也加入共同加工零件。设甲组加工时间t(时),甲组加工买件的数量为y甲个。乙组加工数量为y乙个,其函数图象如图所示: (1)求 乙与 之间的函数关系式,并写出 的取值范围; (2)求 的值,并说明 的实际意义; (3)甲组加工多长时间时,甲,乙两组加工零件的总数为 480 个. 20.定义:在平面直角坐标系中,将直线中a和b的值都扩大到原来的倍,得到新的直线,则称直线为直线的“k倍伴随线”,例如直线的“2倍伴随线”的函数解析式为. (1)求直线的“3倍伴随线”的函数表达式; (2)若点在直线的“2倍伴随线”上,求m的值. 21.如图,在平面直角坐标系中(O为坐标原点),点、点,点C的坐标是. (1)求直线的函数表达式. (2)设点为x轴上一点,且,求点D的坐标. 22.一辆轿车在高速公路上匀速行使,油箱存油量Q(升)与行使的路程S(km)成一次函数关系.若行使100km时,油箱存油43.5升,当行使300km时,油箱存油30.5升,请求出这个一次函数关系式,并写出自变量S的取值范围. 23.某天早晨,张强从家跑步去体育锻炼,同时妈妈从体育场晨练结束回家,途中两人相遇,张强跑到体育场后发现要下雨,立即按原路返回,遇到妈妈后两人一起回到家(张强和妈妈始终在同一条笔直的公路上行走).如图是两人离家的距离y(米)与张强出发的时间x(分)之间的函数图象,根据图象信息解答下列问题: (1)求张强返回时的速度; (2)妈妈比按原速返回提前多少分钟到家? (3)请直接写出张强与妈妈何时相距1000米? 24.如图,直线与y轴交于点A(0,6),直线分别与x轴交于点B(-2,0),与y轴交于点C,两条直线相交于点D,连结AB。 (1)直接写出直线的函数表达式。 (2)求的面积。 (3)在x轴上存在点P,能使为等腰三角形,求出所有满足条件的点P的坐标。 答案解析部分 1.【答案】A 【解析】【解答】解:A、令y=0,则-x+3=0,所以x=3;令x=0,则y=3,因此,它的图象与两坐标轴围成等腰直角三角形,A符合题意; B.∵k=-1<0,b=3>0,它的图象经过第一、二、四象限,B不符合题意; C.当x=-1时,y=1+3=4≠3,它的图象不经过点(-1,3),C不符合题意; D、∵k=-1<0, ∴y的值随x值的增大而减小,D不符合题意. 故答案为:A. 【分析】根据一次函数的图象、性质与系数的关系,一次函数与坐标轴的交点及等腰直角三角形的判定方法求解即可。 2.【答案】B 【解析】【解答】解:把x=2,y=6代入表达式中解得k=3,则函数表达式为y=3x A、把x=-1代入表达式中求得y=-3≠3,故A不符合题意。 B、把x=-1代入表达式中求得y=-3=-3,故B符合题意。 C、把x=3代入表达式中求得y=9≠1,故C不符合题意。 D、把x=-3代入表达式中求得y=-9≠1,故D不符合题意。 故答案为:B. 【分析】把x=2,y=6代入y=kx中,求出表达式,然后再一一判断即可。 3.【答案】C 【解析】【解答】解:∵一次函数与的图象交于点, ∴关于x,y的方程组的解为. 故答案为:C. 【分析】方程组的解就是方程组中,两个相应的一次函数图象的交点坐标.本题从图形中可以发现,两个一次函数分别是方程组中的两个方程,因此交点就是方程组的解,结合图中P点的坐标即可得出答案。 4.【答案】C 【解析】【解答】解:在一次函数中,y的值随x增大而增大, ,且, A.将代入中,得,解得:,故A选项不符合题意; B.将代入中,得,解得:,故B选项不符合题意; C.将代入中,得,解得:,故C选项符合题意; D.将代入中,得,解得:,故D选项不符合题意. 故答案为:C 【分析】根据一次函数性质与系数的关系可得k>0,再将各点代入解析式逐项进行判断即可求出答案. 5.【答案】A 【解析】【解答】解: A:是一次函数,符合题意; B:,当k=0时,不是一次函数,不符合题意; C:是反比例函数,不符合题意; D:不是一次函数,不符合题意; 故答案为:A. 【分析】根据一次函数的定义对每个选项一一判断即可。 6.【答案】A 【解析】【解答】解:∵将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转, ∴函数解析式变为y=-x, ∵再向上平移1个单位长度, ∴所得直线的函数表达式为, 故答案为:A 【分析】根据函数的变化结合题意即可求解。 7.【答案】A 【解析】【分析】根据函数图象结合两函数交点的坐标解答即可. 【解答】关于x的不等式k1x+b>k2x的解可以看做是直线l1在直线l2上方对应的x值的范围:x>-1. 故选A. 【点评】主要考查了函数与不等式之间的关系.不等式的解其实就是对应的函数图象所处位置的自变量的取值范围. 8.【答案】B 【解析】【解答】解:A选项,k=-2,y随x的增大而减小,不符合题意; B选项,k=3,y随x的增大而增大,符合题意; C选项,k=1,y随x的增大而减小,不符合题意; D选项,k=-,y随x的增大而减小,不符合题意。 故答案为:B。 【分析】分别根据一次函数,正比例函数,反比例函数的增减性进行判断得到答案即可。 9.【答案】B 【解析】【解答】解: 由函数图象可知,直线y=mx+n与x轴的交点为(2,0),当x=2时,mx+n=0,即2m+n=0,故正确。 由函数图象可知,一次函数y=ax+b与y=mx+n(a< m<0)的图象的交点坐标为(-3,2),所以方程组 的解为故错误; 由函数图象可知,直线y=mx+n与一次函数y=ax+b的图象相交点(-3,2),所以方程mx+n=ax+b的解为x=-3,故正确。 由函数图象可知,一次函数y=ax+b图象不在y=mx十n(a<m<0)的图象上方的时x≥-3, ∴不等式.ax+b≤mx十n的解集为x≥-3, 即不等式(a-m)x≤n-b的解集是x≥-3 故错误。 故答案为:B 【分析】根据一次函数的性质,一次函数与二元一次方程,不等式与一次函数对各项判断即可。 10.【答案】C 【解析】【解答】B1的坐标为(1,1),点B2的坐标为(3,2), ∴正方形边长为1,正方形边长为2, A1的坐标是(0,1),A2的坐标是 (1,2),代入得:, 解得:, 则直线A1A2的解析式是:, 点B2的坐标为(3,2), ∴点的横坐标为3, 把代入得, 点A3的坐标为(3,4), A3C2= A3B3 = B3C3= 4, 点B3的坐标为(7,4),故C符合题意. 故答案为:C. 【分析】先求出直线A1A2的解析式是,再求出点的坐标,最后结合正方形的性质求出点B3的坐标即可。 11.【答案】 【解析】【解答】解:将代入得:, 解得:, ∴点A的横坐标是. 故答案为:. 【分析】将y=1代入直线解析式即可求出答案. 12.【答案】 【解析】【解答】解:由题意可得 解得 ,所以 故答案为 . 【分析】根据一次函数的定义及一次函数图象经过原点可以得到,解出k的值即可。 13.【答案】 【解析】【解答】解:由题意得于的二元一次方程组的解是, 故答案为: 【分析】根据两个一次函数的交点坐标结合题意即可求解. 14.【答案】 【解析】【解答】解:y=(-3a+1)x+a的图象经过第一、二、三象限, ∴-3a+1>0且a>0, ∴ 0<a< ; 故答案为:0<a< ; 【分析】根据y=kx+b,k>0,b>0时,函数图象经过第一、二、三象限,则有-3a+1>0且a>0即可求解; 15.【答案】 【解析】【解答】,把P点坐标代入公式得: 【分析】把直线方程变形成为标准方程,代入点到直线的距离公式求值即可。 16.【答案】 【解析】【解答】解:由等边三角形可知: , , ∵直线与x轴的夹角∠B1OA1=30 ,∠OA1B1=120 , ∴∠OB1A1=30 , ∴OA1=A1B1, ∵A1(1,0), ∴A1B1=1, 同理∠OB2A2=30 ,…,∠OBnAn=30 , ∴B2A2=OA2=2,B3A3=4,…,, 可知∠OB1A2=90 ,…,∠OBnAn+1=90 , ∴B1B2=,B2B3=2,…,, ∴,,…,. 故答案为:. 【分析】先求出,,再利用三角形的面积公式可得。 17.【答案】解:设该一次函数的解析式为(k), ∵当=1时,=5;当=-1时,=1. ∴,解得 , 该一次函数的解析式为. 【解析】【分析】利用待定系数法求出一次函数解析式即可。 18.【答案】(1)解:设一次函数解析式为, ∵图象经过,两点, ∴ 解得:, ∴一次函数解析式为; (2)解:当时,, ∴, ∴ ∴, 答:的面积为5. 【解析】【分析】(1)设一次函数解析式为,根据待定系数法将点A,B坐标代入解析式即可求出答案. (2)根据x轴上点的坐标特征可得,再根据三角形面积即可求出答案. 19.【答案】(1)解:设 y乙=kt+b,根据图象可以列式 ,解得 ∴ y乙=120t-600(5≤t≤8) (2)解:a=120 3 [8-(4-3)]=280个 a表示第8小时的时候,甲组加工零件的数量是280个。 (3)解:∵ 甲组工人加工中因故障产检修机器一次,然后以原来的工作效率继续加工, 设甲组在4时到8时的函数关系式为 y甲=k2t+b2,则k2=120 3=40;当t=4时,y甲=120,代入可得到b2=-40,即 y甲=40t-40(4≤t≤8), 根据(1)题的计算结果y乙=120t-600(5≤t≤8); 480=40t-40+120t-600(5≤t≤8),解得t=7 ∴ 甲组加工t小时的时候,甲,乙两组加工零件的总数为 480 个。 【解析】【分析】(1)可先假设出y乙的函数关系式,然后将(5,0)、(8,360)代入,联立二元一次方程组求解即可; (2)因为“ 甲组工人加工中因故障产检修机器一次,然后以原来的工作效率继续加工 ”,说明在0-3小时和4-6小时的斜率一样,因此可以先求出斜率是40,然后将中间休息的1小时减去,即总共是7小时的加工零件总量,计算即可; (3)分别求出甲组在4-8小时的函数关系式和乙组在5-8小时的函数关系式,求和为480,求解t即可。 20.【答案】(1)解:∵, ∴直线的“3倍伴随线”的函数表达式为 (2)解:直线的“2倍伴随线”的函数表达式为.在中,令, 得, 解得:, ∴的值为1 【解析】【分析】(1)利用“k倍伴随线”的定义可得答案. (2)先根据“k倍伴随线”的定义得到直线的“2倍伴随线”的函数解析式,再把代入求出的值即可. (1)解:∵, ∴直线的“3倍伴随线”的函数表达式为. (2)解:直线的“2倍伴随线”的函数表达式为. 在中,令, 得, 解得:, ∴的值为1. 21.【答案】(1)解:设直线的函数表达式为:,把点、点代入得:, 解得, ∴直线的表达式为:。 (2)解:, ∵, ∴, ∴, 解得:或, ∴点D的坐标为或. 【解析】【分析】本题考查一次函数与几何问题,待定系数法求一次函数的解析式,一次函数与面积相关问题. (1)设直线的函数表达式为:,把点、点代入解析式可列出方程组,解方程组可求出k和b的值,据此可求出直线的表达式; (2)由题意可知点D在线段的垂直平分线上,先求出,再根据,利用三角形的面积计算公式可列出方程,解方程可求出m的值,据此可求出点D的坐标. 22.【答案】解:设:, 根据题意的方程组, 解得, 则该一次函数解析式为:, 当时,, ∴, ∴自变量S的取值范围为. 【解析】【分析】设Q=mS+n,将S=100、Q=43.5;S=300、Q=30.5代入求解可得m、n的值,据此可得一次函数的解析式,令Q=0,求出S的值,据此解答. 23.【答案】(1)解:3000 (50﹣30)=3000 20=150(米/分), 答:张强返回时的速度为150米/分。 (2)解:(45﹣30) 150=2250(米),点B的坐标为(45,750), 妈妈原来的速度为:2250 45=50(米/分), 妈妈原来回家所用的时间为:3000 50=60(分) 60﹣50=10(分), 答:妈妈比按原速返回提前10分钟到家。 (3)解:如图: 设线段BD的函数解析式为:y=kx+b, 把(0,3000),(45,750)代入得: ,解得: , ∴y=﹣50x+3000, 线段OA的函数解析式为:y=100x(0≤x≤30), 设线段AC的解析式为:y=k1x+b1, 把(30,3000),(50,0)代入得: ,解得: , ∴y=﹣150x+7500,(30<x≤50) 当张强与妈妈相距1000米时, 即﹣50x+3000﹣100x=1000或100x﹣(﹣50x+3000)=1000或(﹣150x+7500)﹣(﹣50x+3000)=1000, 解得:x=35或x= 或x= , ∴当时间为35分或 分或 分时,张强与妈妈何时相距1000米. 【解析】【分析】(1)由图像可知线段AC描述的是张强返回时y随x变化情形,据此可求出张强返回的速度; (2)由(1)的结果可知B点坐标,从而求出妈妈原来的速度及原来到家时间,再与现在到家时间相比较即可知妈妈提前到家时间; (3)先运用待定系数法分别求出线段BD、线段OA、线段AC的函数解析式,再根据张强和妈妈的相对位置,分张强和妈妈第一相遇前、第一相遇后且张强未到体育场前、张强从返回三种情形,逐个列方程求解即可。 24.【答案】(1)y=-x+6,y=x+1 (2)解:由(1)知,直线l1的解析式为y=-x+6①,直线l2的解析式为y=x+1② 联立①②,解得 ∴点D的坐标为() 对于直线l2的解析式为y=x+1令x=0,则y=1, ∴点C的坐标为(0,1), ∴S∆ ABD= (3)解:设P(m,0), ∵A(0,6),B(-2,0), ∴AP2=m2+36,BP2 =(m+2)2,AB2=40. ∵ABP是等腰三角形, ∴①当AP=BP时m2+36 =(m+2)2,解得m=8. ∴点P的坐标为(8,0). ②当AP =AB时,m2+36 =40. ∴m=-2(舍)或m=2, ∴点P的坐标为(2,0), ③当BP =AB时,(m+2)2=40,∴m=-2, ∴点P的坐标为(-2+,0)或(-2-,0). 综上所述,点P的坐标为(-2+,0)或(-2-,0).或(2,0)或(8,0). 【解析】【解答】 解:(1)∵直线l1:y1=-x+n与y轴交于A(0,6), ∴n=6, ∴直线l1的解析式为y=-x+6, ∵直线l2:y2=kx+1与x轴交于点B(-2,0), ∴-2k+1=0, ∴k= ∴直线l2的解析式为y=x+1 故答案为:y=-x+6,y=x+1 【分析】(1)根据待定系数法求出函数解析式,解答即可. (2)联立直线l1直线l2的函数解析式对应的方程,解方程组得到,即可写出点D的坐标为(),再根据直线l2得到点C的坐标为(0,1),再利用面积公式计算即可得到面积. (3)设P(m,0)先根据两点之间的距离公式得到AP2=m2+36,BP2 =(m+2)2,AB2=40,根据ABP是等腰三角形,分类讨论,解方程得到m的值,写出点P的坐标解答即可. 学科网(北京)股份有限公司 $