第05讲 余弦函数的图像与性质（知识清单+8题型讲解举三反三+强化训练）讲义-【满分全攻略备考系列】2025-2026学年（沪教版必修二）数学高一重难点讲义与测试

第05讲 余弦函数的图像与性质 知识清单 知识点01：余弦曲线和余弦函数图像的画法 知识点02：余弦函数的周期性、奇偶性、单调性、最值 题型讲解 （举三反三） 题型1：求cosx型函数的单调性 题型2：求cosx（型）函数的值域 题型3：求含cosx的二次式的最值 题型4：由cosx（型）函数的值域（最值）求参数 题型5：求余弦（型）函数的最小正周期 题型6：由余弦（型）函数的周期性求值 题型7：求cosx（型）函数的对称轴及对称中心 题型8：利用cosx（型）函数的对称性求参数 强化训练 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 知识点01余弦曲线和余弦函数图像的画法 余弦函数y＝cos x，x∈R的图象叫余弦曲线． (1)要得到y＝cos x的图象，只需把y＝sin x的图象向左平移个单位长度即可． (2)用“五点法”画余弦曲线y＝cos x在[0,2π]上的图象时，所取的五个关键点分别为(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)，再用光滑的曲线连接． 知识点02余弦函数的周期性、奇偶性、单调性、最值 函数 y＝cos x 周期 2kπ(k∈Z且k≠0) 最小正周期 2π 奇偶性 偶函数 解析式 y＝cos x 图象 值域 [－1,1] 单调性 在[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z上单调递增， 在[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z上单调递减 最值 x＝2kπ，k∈Z时，ymax＝1；x＝π＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1 题型1：求cosx型三角函数的单调性 【例1-1】（24-25高一下·上海·期中）函数的单调增区间为 ． 【例1-2】（24-25高一下·上海·期中）函数的单调增区间是 ． 【例1-3】（24-25高一下·上海·期中）求下列函数的单调区间． (1)； (2) 【变式1-1】函数的单调增区间为 . 【变式1-2】（24-25高一下·上海静安·期中）函数的单调递增区间为 ． 【变式1-3】（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数，.求函数的单调增区间和值域. 题型2：求cosx（型）函数的值域 【例2-1】（24-25高一下·上海普陀·期末）函数，的值域为 ． 【例2-2】（24-25高一下·上海闵行·期中）已知实数、满足方程，则的取值范围是 ． 【例2-3】（24-25高一下·上海·期中）若关于的方程在上有解，则实数的取值范围是 . 【变式2-1】（24-25高一上·上海·随堂练习）若是锐角，那么 . 【变式2-2】（24-25高一下·上海徐汇·月考）若实数x满足，则cosx的取值范围为 ． 【变式2-3】（24-25高一上·上海·课后作业）求下列函数的值域. (1)，； (2)，. 题型3：求含cosx的二次式的最值 【例3-1】（24-25高一下·上海浦东新·期中）函数的最小值为 . 【例3-2】（24-25高一下·上海·月考）函数，则的最小值为 ． 【例3-3】（24-25高一下·上海徐汇·期中）已知函数，求此函数的最大值与最小值，并分别求出取得最大值和最小值时所对应的x的值． 【变式3-1】函数在区间上的 最小值是，则的最大值为 ． 【变式3-2】（24-25高一下·上海·期末）对任意闭区间，用表示函数在上的最小值．若正数满足，则正数的取值集合为 ． 【变式3-3】（23-24高一·上海·课堂例题）求下列函数的最大值和最小值，并指出使其取得最大值和最小值时x的集合： (1)，； (2)，． 题型4：由cosx（型）函数的值域（最值）求参数 【例4-1】设a，b为实数，满足对任意实数x，都有．则的最大值为（    ） A． B． C． D．2 【例4-2】（24-25高一下·上海·期中）设，若，则的最大值等于 ． 【例4-3】函数的最大值为3，最小值为，求的值． 【变式4-1】函数的值域为，则以下不符合条件的a为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 . 【变式4-3】已知，求的取值范围． 题型5：求余弦（型）函数的最小正周期 【例5-1】（24-25高一下·上海长宁·期中）三角函数是刻画周期现象最典型的数学模型．关于三角函数周期性给出两个结论：①函数是周期函数；②函数是周期函数．则下列判断正确的是（    ） A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 【例5-2】（24-25高一下·上海黄浦·期末）函数的最小正周期是 ． 【例5-3】求函数的最小正周期及单调区间． 【变式5-1】下列函数中，最小正周期为的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25高一下·上海·期中）设函数，若对任意的都有成立，则的最小值为 ． 【变式5-3】（24-25高一·上海·课堂例题）求下列函数的最小正周期： (1)； (2)． 题型6：由余弦（型）函数的周期性求值 【例6-1】已知函数的最小正周期为，则正数 . 【例6-2】设，若关于的方程在区间上有5个解，且它们的和为，则 . 【例6-3】（24-25高一·上海·课堂例题）已知函数（其中常数）的最小正周期为，求ω的值． 【变式6-1】（24-25高一下·上海·课后作业）若函数的最小正周期是，则 . 【变式6-2】若函数，则满足且的函数可以是 .（写出一个即可） 【变式6-3】求函数的最小正周期． 题型7：求cosx（型）函数的对称轴及对称中心 【例7-1】函数在区间上的图像的对称轴是（    ） A． B． C． D． 【例7-2】函数（）的对称轴方程为 . 【例7-3】函数的对称轴方程是 . 【变式7-1】（24-25高一下·上海·期中）已知是函数图像的一条对称轴，若，则的值是（     ） A． B． C．或 D．或 【变式7-2】角A是△ABC的一个内角，若函数的一个对称中心为则A= . 【变式7-3】关于函数，.现有下列命题： ①由，得必是的整数倍； ②的表达式可以改写为； ③的图像关于点对称； ④的图像关于直线对称. 其中正确的命题序号为 . 题型8：利用cosx（型）函数的对称性求参数 【例8-1】（24-25高一下·上海·期中）“”是“是奇函数”的（    ）条件 A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分又非必要 【例8-2】（24-25高一下·上海·期中）函数的相邻两条对称轴之间的距离为，则 ． 【例8-3】设函数的一个对称中心是，则 ． 【变式8-1】已知常数，如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】函数的图像关于点成中心对称，则的最小正值为 . 【变式8-3】（24-25高一下·上海嘉定·期末）函数在内恰有两个对称中心，，则 . 一、填空题 1．（24-25高一下·上海·月考）函数的最小正周期为 ． 2．函数的最小正周期是 . 3．（24-25高一下·上海长宁·期中）函数是 函数（填“奇”或“偶”） 4．已知函数，当函数值为时，自变量的取值集合为 . 5．（24-25高一下·上海·期中）若关于的方程在上有解，则实数的取值范围是 . 6．（24-25高一下·上海杨浦·月考）满足为奇函数的所有组成的集合有 个子集. 7．（24-25高一下·上海奉贤·期中）已知函数在区间上是严格减函数，则的最大值为 . 8．（24-25高一下·上海普陀·期末）函数，的值域为 ． 9．（24-25高一下·上海长宁·期中）已知、满足，则 ． 10．（24-25高一下·上海·期末）已知常数，函数为偶函数，则 . 11．（24-25高一下·上海·期末）对任意闭区间，用表示函数在上的最小值．若正数满足，则正数的取值集合为 ． 12.（24-25高一下·上海长宁·期中）函数的定义域为，值域为，则实数的取值范围为 二、单选题 13．（24-25高一下·上海·月考）的奇偶性是（   ） A．偶函数 B．奇函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数 14．（24-25高一下·上海青浦·期中）下列函数的最大值是2的是（    ） A． B． C． D． 15．（24-25高一·上海·随堂练习）已知函数的定义域为，值域为，那么的值为（    ）． A．－6 B．－3 C． D． 16．（24-25高一下·上海徐汇·期中）已知函数，给出下列结论： ①是周期函数；                         ②在区间上是增函数； ③若，则； ④函数在区间上有且仅有1个零点． 则上述结论中正确的序号为（    ） A．① B．①③ C．①②③ D．②③④ 三、解答题 17．求函数，的单调区间和值域． 18．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知函数． (1)求函数的单调递减区间； (2)求函数，的值域． 19．（24-25高一上·上海·课后作业）求下列函数的值域. (1)，； (2)，. 20．（24-25高一·上海·随堂练习）已知函数． (1)求函数的定义域D，并写出函数的值域； (2)证明该函数为偶函数，并写出函数的最小正周期和单调增区间． 21．已知函数． (1)求的最小正周期，对称中心； (2)求的单调区间，最值以及取得最值时的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 余弦函数的图像与性质 知识清单 知识点01：余弦曲线和余弦函数图像的画法 知识点02：余弦函数的周期性、奇偶性、单调性、最值 题型讲解 （举三反三） 题型1：求cosx型函数的单调性 题型2：求cosx（型）函数的值域 题型3：求含cosx的二次式的最值 题型4：由cosx（型）函数的值域（最值）求参数 题型5：求余弦（型）函数的最小正周期 题型6：由余弦（型）函数的周期性求值 题型7：求cosx（型）函数的对称轴及对称中心 题型8：利用cosx（型）函数的对称性求参数 强化训练 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 知识点01余弦曲线和余弦函数图像的画法 余弦函数y＝cos x，x∈R的图象叫余弦曲线． (1)要得到y＝cos x的图象，只需把y＝sin x的图象向左平移个单位长度即可． (2)用“五点法”画余弦曲线y＝cos x在[0,2π]上的图象时，所取的五个关键点分别为(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)，再用光滑的曲线连接． 知识点02余弦函数的周期性、奇偶性、单调性、最值 函数 y＝cos x 周期 2kπ(k∈Z且k≠0) 最小正周期 2π 奇偶性 偶函数 解析式 y＝cos x 图象 值域 [－1,1] 单调性 在[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z上单调递增， 在[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z上单调递减 最值 x＝2kπ，k∈Z时，ymax＝1；x＝π＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1 题型1：求cosx型三角函数的单调性 【例1-1】（24-25高一下·上海·期中）函数的单调增区间为 ． 【答案】 【分析】先求出函数的增区间，再与取交集即可解出． 【详解】令，解得， 所以的增区间为， 又，所以在上的单调增区间为. 故答案为：. 【例1-2】（24-25高一下·上海·期中）函数的单调增区间是 ． 【答案】 【分析】根据余弦函数的性质计算可得. 【详解】因为， 令，解得， 所以函数的单调递增区间为. 故答案为： 【例1-3】（24-25高一下·上海·期中）求下列函数的单调区间． (1)； (2) 【答案】(1)在上单调递增；在上单调递减 (2)在上单调性递增，在上单调递减． 【分析】（1）利用正弦函数的性质可求单调区间； （2）利用整体法结合余弦函数的性质可求单调区间. 【详解】（1）与的单调性相同， 故的递增区间为， 递减区间为. （2）令，则， 令，则， 故的减区间为，增区间为， 而，故在上单调性递增，在上单调递减． 【变式1-1】函数的单调增区间为 . 【答案】 【分析】根据给定函数，结合余弦函数的性质、诱导公式求出单调增区间. 【详解】函数，即， 则，解得， 所以函数的单调增区间为. 故答案为： 【变式1-2】（24-25高一下·上海静安·期中）函数的单调递增区间为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用余弦函数单调性列式求出递增区间. 【详解】由，解得， 所以函数的单调递增区间为. 故答案为： 【变式1-3】（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数，.求函数的单调增区间和值域. 【答案】单调增区间是和，值域为. 【分析】根据整体代入法即可求单调区间，根据单调区间即可求值域. 【详解】，. 由，，解得，. 当时，；当，. 又，所以函数的单调增区间是和 由单调区间可知，当时，，当时，， 所以函数的值域为. 所以函数的单调增区间是和，值域为. 题型2：求cosx（型）函数的值域 【例2-1】（24-25高一下·上海普陀·期末）函数，的值域为 ． 【答案】 【分析】先计算出时的范围，即可得该函数值域. 【详解】当时，，则. 故答案为：. 【例2-2】（24-25高一下·上海闵行·期中）已知实数、满足方程，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据指数函数和三角函数的性质可得，从而得解. 【详解】由得， 因为，所以， 所以，故， 所以，故. 故答案为：. 【例2-3】（24-25高一下·上海·期中）若关于的方程在上有解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】参变分离可得在上有解，根据余弦函数的性质求出的取值范围，即可得解. 【详解】因为关于的方程在上有解， 所以在上有解， 又，所以， 所以，即实数的取值范围是. 故答案为： 【变式2-1】（24-25高一上·上海·随堂练习）若是锐角，那么 . 【答案】 【分析】结合原式特征应用余弦函数的范围化简即可. 【详解】, 又因为为锐角， ，所以, 所以. 故答案为：. 【变式2-2】（24-25高一下·上海徐汇·月考）若实数x满足，则cosx的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先分段考虑去掉绝对值，求出方程的解集，再利用余弦函数的单调性即得. 【详解】对于， 当时，可得，解得，舍去； 当时，可得恒成立，故； 当时，可得，解得，舍去. 综上可得，，即， 因函数在时为增函数，故得. 故答案为：. 【变式2-3】（24-25高一上·上海·课后作业）求下列函数的值域. (1)，； (2)，. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）令，根据余弦函数的性质即可求解； （2）根据二倍角公式可得，令，，由二次函数的性质即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 令， 则，. ①当时，y取最大值4； ②当或时，y取最小值. 故函数，的值域为. （2），. 令，， 则，， ∴当时，y取最小值； 当时，y取最大值3. 故函数，的值域为. 题型3：求含cosx的二次式的最值 【例3-1】（24-25高一下·上海浦东新·期中）函数的最小值为 . 【答案】 【分析】根据题意，由换元法，结合二次函数的值域即可得到结果. 【详解】， 令，则， 则， 当时，有最小值为. 故答案为： 【例3-2】（24-25高一下·上海·月考）函数，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】把作为一个整体，结合二次函数性质求最小值． 【详解】， 因为， 所以时，， 故答案为：． 【例3-3】（24-25高一下·上海徐汇·期中）已知函数，求此函数的最大值与最小值，并分别求出取得最大值和最小值时所对应的x的值． 【答案】答案见解析 【分析】根据二次函数和三角函数的性质，即可求解. 【详解】， 令， 则， 当时，取最大值，此时，由于，则或， 当时，取最小值，此时，由于，则， 综上可得，当或时，函数取得最大值为， 当时，函数取得最小值为， 【变式3-1】函数在区间上的 最小值是，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】由已知中函数，由同角三角函数的基本关系，将函数的解析式化为的形式，进而根据函数的最小值为，结合已知中，及余弦函数的图象和性质，即可得到的最大值． 【详解】解：函数 若在区间，上的最小值为， 则由， 解得， 又， ， 故答案为：． 【变式3-2】（24-25高一下·上海·期末）对任意闭区间，用表示函数在上的最小值．若正数满足，则正数的取值集合为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，按取值情况分段讨论，并结合二倍角公式及余弦函数性质求解. 【详解】当时，为在上的减函数，则， 由，得，即，解得或，不合题意； 当时，，，由，则，则； 当时，，，不合题意； 当时，，，则； 当时，的区间长度不小于，，则， 所以正数的取值范围为． 故答案为： 【变式3-3】（23-24高一·上海·课堂例题）求下列函数的最大值和最小值，并指出使其取得最大值和最小值时x的集合： (1)，； (2)，． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）先根据三角函数求最值，再结合复合函数单调性求解自变量； （2）先应用同角三角函数关系换元，结合二次函数性质求出最值. 【详解】（1）因为，令 又因为,单调递增， 所以当,即时，; 当,即时，. （2）因为, 令 开口向上，关于对称， 当,即时，; 当，即时， 题型4：由cosx（型）函数的值域（最值）求参数 【例4-1】设a，b为实数，满足对任意实数x，都有．则的最大值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】取，可得；再取，，检验满足题意，即可得最值. 【详解】因为， 取，则， 可得，即； 当，时， ； 综上所述：的最大值为2. 故选：D. 【例4-2】（24-25高一下·上海·期中）设，若，则的最大值等于 ． 【答案】6 【分析】根据给定条件，结合正余弦函数的有界性求出的所有值，进而求出比值的最大值. 【详解】由，得，则，同理， 于是，而， 因此，解得， 又，则， 要最大，则同号，且最小，最大， 所以当时，取得最大值6. 故答案为：6 【例4-3】函数的最大值为3，最小值为，求的值． 【答案】5或． 【分析】分别考虑时的情况，根据已知条件结合余弦函数的取值范围得到关于的方程组，从而求解出的值，则结果可求. 【详解】由题意可知，显然， 当时，，所以，所以； 当时，，所以，所以， 综上可知，的值为或. 【变式4-1】函数的值域为，则以下不符合条件的a为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据值域结合图象确定出的取值范围，由此可知不符合条件的的值. 【详解】因为值域为，当时，， 由对称性可知当时，， 由图象可知：，所以不符合条件， 故选：D. 【变式4-2】已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由，求得，得出函数的零点，集合题意，得出不等式，即可求解. 【详解】由函数，令，即， 解得，可得， 因为，则对应的零点为 因为函数在区间有且仅有3个零点， 则满足，解得，即实数的取值范围为. 故答案为：. 【变式4-3】已知，求的取值范围． 【答案】 【分析】根据的取值范围确定出的取值范围，由此求解出的取值范围. 【详解】因为， 所以， 所以. 题型5：求余弦（型）函数的最小正周期 【例5-1】（24-25高一下·上海长宁·期中）三角函数是刻画周期现象最典型的数学模型．关于三角函数周期性给出两个结论：①函数是周期函数；②函数是周期函数．则下列判断正确的是（    ） A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 【答案】C 【分析】利用函数周期的定义判断①②即可. 【详解】对于①，设，该函数的定义域为， 因为， 故函数是周期函数，①对； 对于②，因为函数的最小正周期为，函数的最小正周期为， 若函数是周期函数，设为该函数的一个周期， 则存在非零整数、，使得，，可得，所以，， 因为为无理数，而为有理数，故等式不成立， 所以函数不是周期函数，②错. 故选：C. 【例5-2】（24-25高一下·上海黄浦·期末）函数的最小正周期是 ． 【答案】 【分析】利用余弦型函数的最上正周期公式计算即可. 【详解】函数的最小正周期是. 故答案为：. 【例5-3】求函数的最小正周期及单调区间． 【答案】答案见详解 【分析】根据周期公式求最小正周期，以为整体，结合余弦函数单调性运算求解. 【详解】由题意可知：的最小正周期； 令，解得， 令，解得， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. 【变式5-1】下列函数中，最小正周期为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角函数的性质即可确定最小正周期. 【详解】函数的最小正周期为，故A不符合； 函数，其最小正周期为，故B不符合； 因为函数的最小正周期为，所以函数的最小正周期为，故C符合； 因为函数的最小正周期为，所以函数的最小正周期为，故D不符合. 故选：C. 【变式5-2】（24-25高一下·上海·期中）设函数，若对任意的都有成立，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】已知对任意都有成立，说明是函数的最小值，是函数的最大值，而的最小值就是半个周期. 【详解】对于余弦函数，其周期公式为， 因为对任意的都有成立，所以是函数的最小值，是函数的最大值， 根据余弦函数的性质，相邻的最大值点与最小值点之间的水平距离是半个周期，所以的最小值为, 已知，则. 故答案为：. 【变式5-3】（24-25高一·上海·课堂例题）求下列函数的最小正周期： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）根据余弦型函数的最小正周期公式运算求解. 【详解】（1）由题意可得：的最小正周期. （2）由题意可得：的最小正周期. 题型6：由余弦（型）函数的周期性求值 【例6-1】已知函数的最小正周期为，则正数 . 【答案】2 【分析】由余弦型函数的最小正周期公式即可得解. 【详解】因为函数的最小正周期为， 所以正数. 故答案为：2. 【例6-2】设，若关于的方程在区间上有5个解，且它们的和为，则 . 【答案】或． 【分析】根据函数的周期，得含有函数的两个周期，这样结合图形分析在5个解，按大小顺序排列后，第1，3，5个解首先可确定，第2、4个解利用和也可确定，然后利用函数值相等可得． 【详解】由题意函数周期为，，区间含有两个周期， 设在上的5个解分别为且， 则，， 由，得， 所以，， 又，所以或． 【例6-3】（24-25高一·上海·课堂例题）已知函数（其中常数）的最小正周期为，求ω的值． 【答案】 【分析】根据题意结合余弦型函数的最小正周期公式运算求解. 【详解】因为，由题意可得，解得. 【变式6-1】（24-25高一下·上海·课后作业）若函数的最小正周期是，则 . 【答案】 【分析】先根据二倍角公式化简原式，然后根据最小正周期的计算公式求解出的值. 【详解】因为， 所以，所以， 故答案为：. 【变式6-2】若函数，则满足且的函数可以是 .（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一）. 【分析】先分析得到函数奇偶性以及周期性，由此联想到三角函数，写出符合条件的一个函数解析式即可. 【详解】因为，所以为偶函数， 又因为，所以， 所以是周期函数且一个周期为， 此处可想到余弦型函数，，所以可取， 所以满足题意的一个函数可以是：， 故答案为：（答案不唯一）. 【变式6-3】求函数的最小正周期． 【答案】 【分析】先利用二倍角公式对解析式化简，再求最小正周期. 【详解】 所以函数的最小正周期为, 即函数的最小正周期为 题型7：求cosx（型）函数的对称轴及对称中心 【例7-1】函数在区间上的图像的对称轴是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据余弦函数的性质即可求出对称轴. 【详解】由余弦函数的性质可得函数关于对称， 又，则， 故函数在区间上的图像的对称轴是. 故选：C. 【例7-2】函数（）的对称轴方程为 . 【答案】 【分析】根据余弦函数的对称性进行求解即可. 【详解】函数（）的对称轴方程为: ， 故答案为： 【例7-3】函数的对称轴方程是 . 【答案】 【分析】根据余弦函数的对称轴方程，，运用整体法可得的对称轴方程． 【详解】， 令，，则， 的对称轴方程为：． 故答案为． 【点睛】本题考查了余弦型函数图象的对称轴的求法，考查了整体思想，属基础题． 【变式7-1】（24-25高一下·上海·期中）已知是函数图像的一条对称轴，若，则的值是（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】先根据余弦函数对称轴的性质求出的表达式，在代入中计算即可. 【详解】令，解得， 是函数图像的一条对称轴，， 则， 当为偶数时，，则； 当为奇数时，，则， 的值为或. 故选：C. 【变式7-2】角A是△ABC的一个内角，若函数的一个对称中心为则A= . 【答案】 【分析】先求得函数的对称中心，再根据内角得解． 【详解】，，， 由题意，，当时，． ∴． 故答案为． 【点睛】本题考查余弦函数型的对称性，掌握余弦函数的对称性是解题基础．对余弦函数来讲，其图象的对称中心为，对称轴方程为． 【变式7-3】关于函数，.现有下列命题： ①由，得必是的整数倍； ②的表达式可以改写为； ③的图像关于点对称； ④的图像关于直线对称. 其中正确的命题序号为 . 【答案】②④ 【分析】对于①，由，可得是半个周期的整数倍，求出周期可进行判断；对于②，利用诱导公式化简即可；对于③，代入验证即可；对于④，代入验证即可 【详解】解：对于①，由于，所以可知是函数的零点，所以是半个周期的整数倍，而函数的周期，所以是的整数倍，所以①错误； 对于②，，所以②正确； 对于③，因为，所以的图像不关于点对称，所以③错误； 对于④，因为，所以的图像关于直线对称，所以④正确， 故答案为：②④ 题型8：利用cosx（型）函数的对称性求参数 【例8-1】（24-25高一下·上海·期中）“”是“是奇函数”的（    ）条件 A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分又非必要 【答案】B 【分析】根据是奇函数求出，再利用集合的包含关系判断可得出结论. 【详解】若是奇函数，则， 因为为的真子集， 所以“”是“是奇函数”的充分非必要条件. 故选：B. 【例8-2】（24-25高一下·上海·期中）函数的相邻两条对称轴之间的距离为，则 ． 【答案】1 【分析】根据余弦函数的周期结合题意，列式求解，即得答案. 【详解】函数的最小正周期为， 则由相邻两条对称轴之间的距离为，可得. 故答案为：1 【例8-3】设函数的一个对称中心是，则 ． 【答案】/ 【分析】借助余弦型函数的对称性计算即可得. 【详解】由题意可得，即， 又因为，所以. 故答案为：. 【变式8-1】已知常数，如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据余弦函数的性质求出的取值，即可判断. 【详解】因为函数的图像关于点中心对称， 所以，，所以，， 所以当时，当时，时， 所以的最小值为. 故选：C 【变式8-2】函数的图像关于点成中心对称，则的最小正值为 . 【答案】 【分析】利用代入法列方程即可求解. 【详解】因为函数的图像关于点成中心对称， 所以，解得：. 所以的最小正值为：当k=0时，. 故答案为： 【变式8-3】（24-25高一下·上海嘉定·期末）函数在内恰有两个对称中心，，则 . 【答案】2或 【分析】根据题意，令，分和讨论，求得的范围，利用余弦函数的对称中心列出不等式求解即可. 【详解】令， 若，由，则， 因为函数在内恰有两个对称中心， 所以， 又， 所以， 所以. 若，则， 由函数在内恰有两个对称中心， 所以，又， . 综上，或. 故答案为：或. 一、填空题 1．（24-25高一下·上海·月考）函数的最小正周期为 ． 【答案】 【分析】根据余弦函数的性质计算可得. 【详解】函数的最小正周期. 故答案为： 2．函数的最小正周期是 . 【答案】 【分析】由余弦函数的最小正周期公式即可得出答案. 【详解】函数的最小正周期是:. 故答案为：. 3．（24-25高一下·上海长宁·期中）函数是 函数（填“奇”或“偶”） 【答案】偶 【分析】由诱导公式、偶函数的定义即可得解. 【详解】显然的定义域关于原点对称， 且，故函数是偶函数. 故答案为：偶. 4．已知函数，当函数值为时，自变量的取值集合为 . 【答案】 【分析】由题意可求，进而利用余弦函数的性质即可求解． 【详解】函数，当函数值为时，则， 所以，则， 故自变量的取值集合为. 故答案为：. 5．（24-25高一下·上海·期中）若关于的方程在上有解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】参变分离可得在上有解，根据余弦函数的性质求出的取值范围，即可得解. 【详解】因为关于的方程在上有解， 所以在上有解， 又，所以， 所以，即实数的取值范围是. 故答案为： 6．（24-25高一下·上海杨浦·月考）满足为奇函数的所有组成的集合有 个子集. 【答案】1 【分析】由奇函数的性质有求得，再验证是否满足题设得到对应空集，即可得. 【详解】由题设，则，故， 当，则，不符合； 当，则，不符合； 综上，不存在这样的值，即对应空集，故子集个数为1. 故答案为：1 7．（24-25高一下·上海奉贤·期中）已知函数在区间上是严格减函数，则的最大值为 . 【答案】 【分析】由可求出的取值范围，根据余弦函数的单调性得出，即可求出的取值范围，进而可得出的最大值. 【详解】当时，， 函数在上是严格减函数，则， 则，解得，所以的最大值为. 故答案为：. 8．（24-25高一下·上海普陀·期末）函数，的值域为 ． 【答案】 【分析】先计算出时的范围，即可得该函数值域. 【详解】当时，，则. 故答案为：. 9．（24-25高一下·上海长宁·期中）已知、满足，则 ． 【答案】 【分析】根据题意整理可得，结合正、余弦函数的有界性可得，即可得结果. 【详解】因为，则， 整理可得， 因为，可得， 即，可得， 所以. 故答案为：. 10．（24-25高一下·上海·期末）已知常数，函数为偶函数，则 . 【答案】 【分析】利用偶函数的定义，结合和差角的余弦公式及二倍角的余弦公式求解即得. 【详解】函数的定义域为R，由函数为偶函数， 得，恒成立， 整理得，而不恒为0，则， 所以. 故答案为： 11．（24-25高一下·上海·期末）对任意闭区间，用表示函数在上的最小值．若正数满足，则正数的取值集合为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，按取值情况分段讨论，并结合二倍角公式及余弦函数性质求解. 【详解】当时，为在上的减函数，则， 由，得，即，解得或，不合题意； 当时，，，由，则，则； 当时，，，不合题意； 当时，，，则； 当时，的区间长度不小于，，则， 所以正数的取值范围为． 故答案为： 12.（24-25高一下·上海长宁·期中）函数的定义域为，值域为，则实数的取值范围为 【答案】 【分析】根据余弦函数的单调性，结合特殊角的余弦值进行求解即可. 【详解】因为函数在上单调递减，在上单调递增， 而且，， 所以由函数的定义域为，值域为， 可得：，所以实数的取值范围为， 故答案为：. 二、单选题 13．（24-25高一下·上海·月考）的奇偶性是（   ） A．偶函数 B．奇函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数 【答案】A 【分析】利用诱导公式化简函数，再根据函数奇偶性定义判断. 【详解】令，， 又， 所以函数是偶函数. 故选：A. 14．（24-25高一下·上海青浦·期中）下列函数的最大值是2的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用辅助角公式及二倍角正余弦公式，结合正余弦型函数的性质判断各函数的最大值，即可得. 【详解】A：，不符； B：，符合； C：，不符； D：，不符. 故选：B 15．（24-25高一·上海·随堂练习）已知函数的定义域为，值域为，那么的值为（    ）． A．－6 B．－3 C． D． 【答案】B 【分析】求得复合三角函数值域即可得解. 【详解】因为，所以，， ，， ∴，， 故选：B． 16．（24-25高一下·上海徐汇·期中）已知函数，给出下列结论： ①是周期函数；                         ②在区间上是增函数； ③若，则； ④函数在区间上有且仅有1个零点． 则上述结论中正确的序号为（    ） A．① B．①③ C．①②③ D．②③④ 【答案】B 【分析】先求出解析式，再对①②③④一一验证：对于①：利用周期的定义验证；对于②：取特殊数值排除；对于③：利用三角函数的有界性进行计算，即可判断；对于④：可以求出零点，进行判断. 【详解】函数， 对于①：由所以函数的最小正周期为，故①正确； 对于②：由于，，，， 故函数在上不是单调增函数，故②错误； 对于③：函数的最大值为1，若， 则， 所以，，， 故；故③正确； 对于④：当时，， 由于，即，解得或， 所以函数有两个零点，故④错误． 故选：B. 三、解答题 17．求函数，的单调区间和值域． 【答案】答案见解析 【分析】由复合函数单调性、余弦函数单调性求单调区间，进一步得值域. 【详解】当时，， 而在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以由复合函数单调性可知， 函数，的单调递增区间为，单调递减区间为， 注意到， 所以函数，的值域为. 18．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知函数． (1)求函数的单调递减区间； (2)求函数，的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据诱导公式及二倍角公式化简，再由正弦型函数的单调性求解； （2）由诱导公式及同角三角函数的基本关系化简，换元后转化为二次函数求值域即可. 【详解】（1） ， 令，解得， 所以函数的单调递减区间为. （2）, 令，由可得， 则，， 对称轴为，图象开口向下， 所以当时，， 当时，， 所以函数值域为. 19．（24-25高一上·上海·课后作业）求下列函数的值域. (1)，； (2)，. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）令，根据余弦函数的性质即可求解； （2）根据二倍角公式可得，令，，由二次函数的性质即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 令， 则，. ①当时，y取最大值4； ②当或时，y取最小值. 故函数，的值域为. （2），. 令，， 则，， ∴当时，y取最小值； 当时，y取最大值3. 故函数，的值域为. 20．（24-25高一·上海·随堂练习）已知函数． (1)求函数的定义域D，并写出函数的值域； (2)证明该函数为偶函数，并写出函数的最小正周期和单调增区间． 【答案】(1)， (2)证明见解析，，． 【分析】（1）由，结合余弦函数的性质可求出定义域和值域； （2）根据函数奇偶性的定义判断，根据周期的定义可求出最小正周期，由的增区间结合定义域可求出函数的增区间. 【详解】（1）由得，，． 则函数的定义域D为， 函数的值域为； （2）因为定义域关于原点对称，且， 所以函数为偶函数． 因为， 即2π是的一个周期， 假设T为的一个周期，且， 则对定义域D内的任意一个x恒成立， 取，则， 即，即， 因为，所以， 则不成立， 所以假设不成立，故2π是的最小周期， 因为的单调增区间为，， ，在上为增函数， 结合定义域D可得函数的单调增区间为 ，． 21．已知函数． (1)求的最小正周期，对称中心； (2)求的单调区间，最值以及取得最值时的值． 【答案】(1)，； (2)答案见解析 【分析】（1）利用二倍角公式以及两角和的余弦公式化简可得，利用余弦函数的周期公式以及对称性即可求解； （2）利用余弦函数的性质即可求解． 【详解】（1）因为， 所以的最小正周期， 令，解得， 所以的对称中心为； （2）令，解得， 令，解得， 所以的严格增区间为，严格减区间， 当，即时，取得最大值， 当，即时，取得最小值， 1 学科网（北京）股份有限公司 $