1.7 正方形（课件）--2025-2026学年湘教版八年级数学下册

湘教版（新教材）数学8年级下册培优备精做课件 1.7 正方形 第1章 四边形 授课教师： Home . 班 级： 八年级（---）班 . 时 间： . 2026年1月28日 2026年1月28日星期三9时21分1秒 2026年1月28日星期三9时21分2秒 观察下面图形,正方形是我们熟悉的几何图形，在生活中无处不在. 你还能举出其他的例子吗？ 试着用一张长方形纸片折出一个正方形. 新知探究 我们把有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形. 定义 有一个角是直角 一组邻边相等 一组邻边相等 有一个角是直角 说一说，正方形具有哪些性质？ 正方形的四条边都相等. AB=BC=CD=DA 正方形的四个角都是直角. ∠A=∠B=∠C=∠D=90° 正方形的对角线相等，且互相垂直平分. AC=BD且AC⊥BD，OA=OC，OB=OD 请根据平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系，在下图中适当的空白处填上它们的名称. 平行四边形 矩形 菱形 正方形 （1）正方形是中心对称图形吗？若是，它的对称中心是什么？ （2）正方形是轴对称图形吗？若是，它的对称轴是什么？ 正方形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心. 正方形是轴对称图形，两条对角线所在直线，以及过每一组对边中点的直线都是它的对称轴. 证明 因为四边形 ABCD 为正方形， 所以 AD = CD，∠A = ∠DCF = 90°. 因为 DF⊥ DE， 所以∠EDF = 90°，即 ∠1+∠3 = 90°. 又因为∠2 +∠3 = 90°，∴∠1 = ∠2. 因此△AED≌△CFD（角边角）， 从而 DE = DF. 例1 如图，点 E 是正方形 ABCD 的边 AB 上任意一点，过点 D 作 DF⊥DE， 交 BC 的延长线于点 F. 求证：DE = DF. 观察示意图，如何判断一个四边形是正方形？ 先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等. 先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角是直角. 例2 如图， 已知点 A′，B′，C′，D′ 分别是正方形 ABCD 四条边上的点，并且 AA′ = BB′ = CC′ = DD′. 求证：四边形 A′B′C′D′ 是正方形. 又因为AA′ = BB′，所以 A′B = B′C. 又因为∠B =∠C= 90°， B′B′ = CC′， 所以△BB′A′≌△CC′B′（边角边）， 从而 B′A′ = C′B′. 同理可证，△AA′D′≌△DD′C′，△AA′D′≌△BB′A′. 于是 A′D′= D′C′= C′B′= B′A′. 因此四边形 A′B′C′D′ 是菱形. 又因为∠1 =∠3，∠1 +∠2 = 90°，所以∠2 +∠3 = 90°. 于是∠D′A′B′= 90°. 因此四边形 A′B′C′D′ 是正方形. 证明 因为四边形 ABCD 是正方形，所以AB = BC. 解： 在正方形 ABCD 中，AD = DC，∠ADC = 90°. 在等边三角形△DCE 中，DE = DC，∠CDE = 60°. ∴ AD = DE，∴ ∠DAE = ∠DEA(等边对等角)， ∠ADE = ∠ADC + ∠CDE = 90°+ 60°= 150°. 同理∠BEC = 15°. 因此∠AEB = ∠DEC – ∠DEA – ∠BEC = 30° 1. 如图， 在正方形 ABCD 的外侧作等边△DCE，连接 AE，BE， 求∠AEB 的度数. 【选自教材P43 习题1.7 第1题】 随堂练习 证明：∵OF⊥AC 于 F，OG⊥BC 于 G， ∴∠OGC =∠C =∠CFO = 90°. ∴四边形 OGCF 是矩形. 过点 O 作 OH⊥AB 于 H. ∵∠BAC，∠ABC 的平分线 AD，BE 相交于点 O， ∴OF = OH = OG. ∴四边形 OGCF 是正方形. 2. 如图，在 Rt△ABC 中，两锐角的平分线 AD，BE 相交于点 O，OF⊥ AC 于点 F，OG⊥BC 于点 G. 求证：四边形 OGCF 是正方形. H 【选自教材P43 习题1.7 第2题】 随堂练习 3. 如图， 将正方形 ABCD 的各边 AB，BC，CD，DA 顺次延长至 E，F，G，H，且 BE = CF = DG = AH. 求证：四边形 EFGH 是正方形. 证明：在 Rt△EAH 和Rt△FBE 中， ∵BF = AE，BE = AH， ∴Rt△EAH≌Rt△FBE . ∴HE = EF. 同理可证：EF = FG = GH. 由此得四边形 EFGH 是菱形. ∵∠AEH +∠AHE = 90°，又∠AHE = ∠BEF， ∴∠AEH +∠BEF = 90°，即∠HEF = 90°. ∴ 四边形 EFGH 为正方形. 【选自教材P43 习题1.7 第3题】 随堂练习 4. 如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别在 BC，CD 上移动（E，F 不处在正方形的顶点上），且点 A 到 EF 的距离 AG 始终与 AB 相等，在 E，F 移动过程中： （1）∠EAF 的大小是否发生变化？请说明理由. （2）△ECF 的周长是否发生变化？请说明理由. 【选自教材P43 习题1.7 第4题】 随堂练习 解：（1） ∠EAF 的大小始终为 45°，理由如下： 在 Rt△ABE 与 Rt△AGE 中， ∵AB = AG，AE = AE， ∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL）. 同理可得， Rt△ADF≌Rt△AGF. ∴∠BAE =∠GAE，∠DAF =∠GAF. 又∵∠BAE +∠GAE +∠DAF +∠GAF =∠BAD = 90° ∴∠EAF = ∠GAE + ∠GAF = ∠BAD = 45°. 随堂练习 （2） △ECF的周长不发生变化，理由如下： 由（1）得， Rt△ABE≌Rt△AGE， Rt△ADF≌Rt△AGF ∴EG = EB，FG = FD. ∴ △ECF 的周长 = EF + EC + FC = EG + FG + EC + FC = EB + FD + EC + FC = BC + DC 随堂练习 C 返回 1． 正方形具备而菱形不具备的性质是(　　)  A．对角线互相平分 　　　 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 　　　 D．每条对角线平分一组对角 中考考法 19 返回 C 2． 如图，在正方形ABCD中，以对角线BD为边作菱形BDFE，连接BF，则∠AFB的度数为(　　)  A．30° B．25° C．22.5° D．45° 中考考法 20 A 返回 3． 在复习特殊四边形的关系时，嘉祺同学整理出如图所示的转换图，①、②、③、④处需要添加条件，则下列条件添加错误的是(　　) A．①处可填AD＝CB B．②处可填AD⊥AB C．③处可填∠A＝90° D．④处可填AD＝AB 中考考法 21 4． 3 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F同时从点O出发在线段AC上以1 cm/s的速度反向运动(点E，F分别到达A，C两点时停止运动)，设运动时间为t s．连接DE，DF，BE，BF，已知△ABD是边长为 6 cm的等边三角形，当t＝________时，四边形DEBF为正方形. 中考考法 22 1.四个角都是直角 2.四条边都相等 3.对角线相等且互相垂直平分 正方形的性质 性质 定义 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形. 5 种判定方法 三个角是直角 四条边相等 一个角是直角 或对角线相等 一组邻边相等 或对角线垂直 一组邻边相等 或对角线垂直 一个角是直角 或对角线相等 一个角是直角且一组邻边相等 平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结 $