1.5.2 矩形的判定 课件 2025-2026学年湘教版 八年级数学下册

湘教版（新教材）数学8年级下册培优备精做课件 1.5.2 矩形的判定 第1章 四边形 授课教师： Home . 班 级： 八年级（---）班 . 时 间： . 2026年1月28日 2026年1月28日星期三8时59分41秒 2026年1月28日星期三8时59分42秒 复习导入 矩形有哪些特殊性质？ 四个角都是直角 对角线相等 是轴对称图形 我们知道，有一个角是直角的平行四边形是矩形，这是矩形的定义，可以依此判定一个平行四边形是否是矩形.如果将定义中的“平行四边形”改成“四边形”，同时将“一个角是直角”改为“两个角”（或三个角）是直角”，可以判定它是矩形吗？为什么? 新知探究 两个角是直角的四边形不一定是矩形，例如直角梯形. 三个角是直角的四边形是矩形. 如图，四边形 ABCD 中，∠A，∠B，∠C都是直角. 由于∠A=∠B=∠C=90°， 所以∠D=360°－∠A－∠B－∠C=90°. 因此AD // BC，AB // DC. 从而四边形ABCD是平行四边形. 又∠A=90°，由矩形的定义得， 四边形ABCD是矩形. A B D C 矩形的判定定理1： 三个角是直角的四边形是矩形. 几何语言： ∵∠A=∠B=∠C=90°. ∴四边形ABCD是矩形. A B D C 把两根长度相等的细木条AC和BD的中点钉在一起，如图所示. 连接AB，BC，CD，DA，得到的四边形ABCD是平行四边形吗？是矩形吗？为什么？ 由于OA = OC，OB = OD， 所以△ABC≌△DCB(边边边)， ∴从而∠ABC = ∠DCB. 于是∠ABC = ×180°= 90°. 因此，平行四边形ABCD是矩形. 所以四边形ABCD是平行四边形， 从而 AB=DC，AB // DC. 又AC=BD，BC // CB. 又由 AB // DC 得，∠ABC + ∠DCB = 180°， 四边形ABCD是平行四边形，也是矩形. 矩形的判定定理2： 对角线相等的平行四边形是矩形. 几何语言： ∵ □ ABCD的对角线 AC=BD. ∴ □ ABCD是矩形. 想一想：对角线相等的四边形是矩形吗？ 等腰梯形 对角线相等的四边形不一定是矩形. 例2 如图，在 □ ABCD 中，它的两条对角线相交于点 O. （1）如果 □ ABCD是矩形，试问：△OBC 是什么样的三角形？ （2）如果△OBC 是等腰三角形，且 OB = OC，那么□ ABCD 是矩形吗？ 所以 AC 与 DB 相等且互相平分. 所以 △OBC 是等腰三角形. 解 （1） 因为□ ABCD是矩形， （2）因为△OBC 是等腰三角形，且OB = OC， 所以 AC = 2OC = 2OB = BD. 因此，□ ABCD 是矩形. 例2 如图，在 □ ABCD 中，它的两条对角线相交于点 O. （1）如果 □ ABCD是矩形，试问：△OBC 是什么样的三角形？ （2）如果△OBC 是等腰三角形，且 OB = OC，那么□ ABCD 是矩形吗？ 1.如图，在矩形 ABCD 中， E 是 AB 上一点，F 是 AD 上一点，EF⊥FC，且 EF = FC，DF = 4 cm，求 AE 的长. 解：∵ EF ⊥ FC，∴ ∠AFE+∠DFC=90°. 又∠DCF+∠DFC=90°，∴ ∠DCF = ∠AFE ． 又∠A=∠D=90°，EF=FC， ∴△FAE ≌ △CDF(角角边)． ∴AE = DF = 4 cm. 【选自教材P31 习题1.5 第1题】 随堂练习 2. 如图，在□ ABCD 中，M 为 AD 的中点，BM=CM. 求证：四边形ABCD是矩形. 【选自教材P31 习题1.5 第2题】 证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB = DC. 又∵M 是AD 的中点，∴ AM = DM. 在△ABM 和△DCM 中， AB = DC，AM = DM，BM = CM， ∴△ABM≌△DCM(边边边). ∴∠A = ∠D. ∵AB // DC， ∴∠A +∠D = 180°. ∴∠A = ∠D = 90°. ∴□ ABCD 是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形). 随堂练习 3.如图，△ABC是直角三角形，BO是斜边AC上的中线，延长BO至D，使OD = OB，连接AD，DC. 求证：四边形ABCD是矩形. 【选自教材P31 习题1.5 第3题】 证明: ∵△ABC 是直角三角形， BO 是斜边AC 上的中线， ∴BO = AO = CO = AC， ∴AC = 2BO. 又∵OD = OB， ∴四边形 ABCD 是平行四边形. ∵BD = 2BO，∴BD = AC. ∴ □ ABCD 是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形). 随堂练习 证明：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴OA = OB = OC = OD = AC = BD. 又∵E，F，G，H 分别是OA，OB，OC，OD 的中点， ∴ OE = OA， OF = OB， OG = OC， OH = OD. ∴ OE = OF = OG = OH = EG = FH. 由 OE = OG， OF = OH 得四边形 EFGH 是平行四边形. 由EG = FH 得 □ EFGH 是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形). 4.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD的中点，连接EF，FG，GH，HE. 求证：四边形EFGH是矩形. 【选自教材P31 习题1.5 第4题】 随堂练习 证明：在 □ ABCD 中，∵ AB // CD， ∴∠ABC +∠BCD = 180°. 又∵ BH 平分∠ABC，CH 平分∠BCD， ∴∠HBC = ∠ABC，∠HCB = ∠BCD， ∴∠HBC +∠HCB = ∠ABC + ∠BCD = ×180° = 90°. ∴∠BHC = 90°. 同理可得：∠HEF = ∠EFG = 90°. ∴四边形 EFGH 是矩形. 【选自教材P31 习题1.5 第5题】 5.如图，在□ ABCD中，各内角的平分线分别相交于点E，F， G，H. 求证：四边形EFGH是矩形. 随堂练习 6. 在矩形 ABCD 中，AB = 3 cm， AD = 4 cm，过对角线 BD 的中点 O 作 BD 的垂线 EF，分别交 AD，BC于点 E，F， 如图所示，求 AE 的长. 【选自教材P32 习题1.5 第6题】 解：如右图所示，连接 BE. ∵AD = 4 cm， 设AE = x cm，则DE = (4 – x) cm. 又∵EF 是 BD 的垂直平分线， ∴BE = DE = (4 – x) cm. 在矩形ABCD中，∠A = 90°， 在Rt△ABE 中，由勾股定理， 得AE2 + AB2 = BE2 ， 随堂练习 7. 如图，E，F分别是矩形ABCD的边BC，CD上的点，连 接AE，BF. 请从条件①AB=BC，② BE=CF， ③ AE=BF， ④∠AEB = ∠BFC中，选择两个作为已知条件，一个作为结论，组成一个真命题，并证明这个命题（只需写出一种情况）. 【选自教材P32 习题1.5 第7题】 （答案不唯一，如：） 解：①②作为已知条件，③作为结论，证明如下： ∵四边形ABCD为矩形， ∴∠ABE=∠C=90°. 又∵ AB=BC，BE=CF， 在△ABE与△BCF中， AB=BC，∠ABE=∠C=90°，BE=CF， ∴ △ABE≌△BCF（边角边）. ∴AE=BF. A B D C E F 随堂练习 8. 如图，一张四边形纸板ABCD的两条对角线互相垂直. 若要从这张纸板中剪出一个矩形，并使它的四个顶点分别落在四边形ABCD的四条边上，可怎样剪（剪法不唯一）？ 【选自教材P32 习题1.5 第8题】 答案不唯一，矩形的边所在的直线需有两条平行于AC，另外两条平行于BD. D A C B O 随堂练习 D 返回 1． [德阳中考]如图，要使平行四边形ABCD是矩形，需要增加的一个条件可以是(　　)  A．AB∥CD B．AB＝BC C．∠ABC＝∠ADC D．AC＝BD 中考考法 20 返回 D 2． 在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形相框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4名同学拟定的方案，其中正确的是(　　) A．测量对角线是否互相平分 B．测量对角线是否相等 C．测量一组对角是否为直角 D．测量四边形的其中三个角是否都为直角 中考考法 21 C 返回 3． [临沂模拟]如图，在▱ABCD中，DE⊥BC于点E，用尺规在AD上作出点F，使得四边形BEDF为矩形，则下列说法正确的是(　　) 小洛：如图①，连接AC， BD交于点O，连接EO并延长，交AD于点F，连接BF. 小宇：如图②，在AD上截取DF＝BE，连接BF. A．小洛的作法正确 B．小宇的作法正确 C．两人作法都正确 D．两人作法都不正确 中考考法 22 有一个角是直角的平行四边形是矩形. 对角线相等的平行四边形是矩形. 有三个角是直角的四边形是矩形. 运用定理进行计算和证明 矩形的判定 定义 判定定理 $