1.3《直角三角形》第1课时 课件 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

三角形的证明及其应用 第3节 直角三角形 第1课时 直角三角形的性质与判定定理 新版北师大数学八年级数学下册 学习目标 1.通过对直角三角形两个锐角互余的证明,以及对其逆命题的探究，掌握直角三角形角的性质与判定方法. 2.通过构造全等三角形的方法证明勾股定理的逆定理,理解从边的关系判定直角三角形的逻辑. 3.通过对比原命题与逆命题的条件和结论,理解互逆命题、互逆定理的概念,能辨别命题之间的互逆关系. 教学设计的基本环节 协作破冰 问题构建 情境启航 教师示范 巩固拓展 当堂检测 反思总结 作业设计 情境启航 问题:美丽的七巧板可以通过改变图形的位置拼成各种各样的图案，它由七块基础图案组成，其中数量最多的就是直角三角形，思考直角三角形都有哪些性质？ 4 问题构建 问题1:分类研究是数学学习过程中常用的方法，你能和同学们分享三角形的分类方法吗？ 5 三角形 角 锐角三角形 钝角三角形 直角三角形 边 等腰三角形 非等腰三角形 问题构建 问题2:聚焦直角三角形的内角关系，你有哪些思考？ 直角三角形两锐角互余. 请同学们独立完成上述定理的证明. 如图,三角形ABC是直角三角形,∠C=90°,求证：∠A+∠B=90° 证明：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180° ∵∠C=90° ∴∠A+∠B=180°-∠C =180°-90° =90° 问题构建 问题3:那如果某一个三角形中有两个角互余，这个三角形是直角三角形吗？ 如图,在△ABC中，∠A+∠B=90°.求证：∠C=90° 证明：在△ABC中 ∵∠A+∠B+∠C=180° ∵∠A+∠B=90° ∴∠C=180°-（∠A+∠B） =180°-90° =90° 定理 有两个角互余的三角形是直接三角形 问题构建 问题4:聚焦直角三角形的边的关系，你有哪些思考？ 1.任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边. 2.勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 追问:你还记得勾股定理是怎样探究的吗？ 在Rt△ABC中， 我们曾经利用数方格和割补图形的方法得到了勾股定理。实际上，利用基本事实和已有定理，我们能够证明勾股定理（有关证明过程参见本节 “阅读・欣赏”,请大家课下自行阅读，互相交流） 问题构建 问题5:在一个三角形中,当两边的平方和等于第三边的平方时,我们曾用测量的办法得出“这个三角形是直角三角形”的结论.你能用基本事实和已有定理证明这一结论吗？与同伴进行交流. 已知:如图,在△ABC中,求证:△ABC是直角三角形. 追问1:要证明△ABC是直角三角形,一般需要证明有一个角是直角.这里的已知条件是边的关系,由此你能想到什么？ 已知边的平方和关系（），可以直接联想到勾股定理.勾股定理描述了直角三角形中三边的平方关系,反过来，我们可以通过构造一个满足勾股定理的直角三角形,来证明原三角形是直角三角形. 协作破冰 追问2:借助边的关系,你能构造一个直角三角形,使它与△ABC全等吗？你能描述你的构造步骤吗？ 1.构造一个直角∠D=90° 2.以点D为圆心，分别以CA、CB为圆心画弧交直角的两边于E、F两点 3.连接EF. 协作破冰 已知:如图,在△ABC中,求证:△ABC是直角三角形. 证明:如图,作Rt△DEF,使∠D=90°,DE=AC，DF=BC,则DE²+DF²=EF²（勾股定理） ∵ ∴ AB²=EF² ∴ BA=EF ∴ △ABC≅△DEF（SSS） ∴ ∠A=∠D=90°（全等三角形的对应角相等） 因此,△ABC是直角三角形. 协作破冰 定理4: 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形. 定理3: 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 定理1：直角三角形两锐角互余. 定理2: 有两个角互余的三角形是直接三角形 问题6:观察本节第一个定理和第二个定理,它们的条件和结论之间有怎样的关系？第三个定理和第四个定理呢？与同伴进行交流. 定理1的条件和定理2的结论互换,定理1的结论和定理2的条件互换,且都经过证明为真命题. 定理3的条件和定理4的结论互换,定理3的结论和定理4的条件互换,且都经过证明为真命题. 协作破冰 问题7:观察下面三组命题,每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系吗？与同伴进行交流. 第一组 如果两个角是对顶角,那么它们相等； 如果两个角相等,那么它们是对顶角。 第二组 如果,那么； 如果,那么 第三组 一个三角形中相等的边所对的角相等； 一个三角形中相等的角所对的边相等. 教师示范 组别 条件与结论的关系 是否都正确 第一组 两个命题的条件与结论完全互换 第一个结论正确，第二个结论错误 第二组 两个命题的条件与结论完全互换 第一个结论正确，第二个结论错误 第三组 两个命题的条件与结论完全互换 两个结论都正确 在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题称为互逆命题；如果把其中一个命题称为原命题,那么另一个命题就称为它的逆命题. 教师示范 问题8:你能写出命题“如果两个有理数相等，那么它们的平方相等” 的逆命题吗？它们都是真命题吗？ 1.逆命题:如果两个有理数的平方相等,那么这两个有理数相等. 2.真假判断 原命题:是真命题. 逆命题:是假命题.理由:举反例. 如有理数2和−2,满足 =4 但是2≠-2. 巩固拓展 问题9:原命题是真命题,它的逆命题不一定是真命题.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它也是一个定理,其中一个定理称为另一个定理的逆定理.例如,本节学习的第一个定理和第二个定理就是一对互逆定理，第三个定理和第四个定理也是一对互逆定理.你还能举出一些互逆定理的例子吗？ 原定理：两直线平行，同位角相等. 逆定理：同位角相等，两直线平行. 原定理：两直线平行，内错角相等. 逆定理：内错角相等，两直线平行. 原定理：两直线平行，同旁内角互补. 逆定理：同旁内角互补，两直线平行. 巩固拓展 练习：下列命题的逆命题是假命题的是( ) D A. 若，则 B. 两直线平行，内错角相等 C. 等腰三角形的两个底角相等 D. 直角都相等 问题10:请判断命题“全等三角形的对应角相等”的逆命题,并判断逆命题的真假.思考:为什么有的定理有逆定理,有的没有？回答问题. 逆命题：对应角相等的两个三角形是全等三角形.显然这是一个假命题，老师用的三角板和大家用的三角板就可以作为反例.定理有没有逆定理，关键看它的逆命题能否被证明是真命题 当堂检测 1.如图，在中，是边上的高，是一条角平分线， ， 相交于点.已知 ，求 的度数. 当堂检测 解：是边 上的高， . , . 是 的平分线， . 在 中， . 当堂检测 2.下列命题的逆命题不是真命题的是( ) A 全等三角形的对应角相等 B. 等角对等边 C. 如果,那么 D. 等边三角形的三个内角都相等 当堂检测 3.如图，在中， ， ，边的中点为， 边上的点满足.若，则 的长是 ( ) B B. 6 C. D. 3 反思总结 1.本节课学习的两组互逆定理（直角三角形的角性质与判定、勾股定理与逆定理）,它们的条件和结论是如何相互转化的？这对你理解“性质”与“判定”的关系有什么启发？ 2.证明勾股定理的逆定理时,我们用到了“构造全等三角形”的方法,这种“构造辅助图形”的思路在几何证明中还有哪些常见的应用场景？ 3.你能结合本节课的内容,举一个“原命题是真命题,但逆命题是假命题”的例子吗？这说明互逆命题的真假性有什么特点. 作业设计 一、基础巩固作业： 课本第26-27页 第1,2,3题 二、素养类作业 拓展阅读：勾股定理的证明 作业要求：书写规范、图形标准、按时上交、及时订错. $