专题1.5 直角三角形（举一反三讲义）数学新教材北师大版八年级下册

本讲义聚焦直角三角形核心知识，系统梳理性质（两锐角互余）与判定（两角互余），直角三角形全等的HL判定，勾股定理（两直角边平方和等于斜边平方）及逆定理（三边关系判定直角三角形），形成从基础到应用的递进式学习支架，覆盖性质应用、全等证明、线段角度计算等内容。 资料以“题型+变式”分层设计，每个知识点配套例题与变式题（如性质题型含例1及3个变式），结合生活情境（如测量凉亭距离、劳动实践基地），培养几何直观与抽象能力。通过HL全等证明线段角度关系，勾股定理解决实际问题，发展推理意识与应用意识，课中辅助分层教学，课后助力巩固查漏。

专题1.5 直角三角形（举一反三讲义） 【新教材北师大版】 【题型1 直角三角形的性质】 1 【题型2 直角三角形的判定】 4 【题型3 添加条件使三角形全等】 7 【题型4 证明直角三角形全等】 9 【题型5 利用HL及全等的性质求线段长度】 11 【题型6 利用HL及全等的性质求角度】 15 【题型7 利用HL及全等的性质证明线段相等】 18 【题型8 利用HL及全等的性质证明角度相等】 21 【题型9 利用HL及全等的性质证明线段间的数量关系】 24 【题型10 利用HL及全等的性质证明线段间的位置关系】 29 【题型11 勾股定理】 32 【题型12 勾股定理的逆定理】 36 知识点1 直角三角形的性质及判定 1.直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余. 在△ABC 中，∵∠C=90°,∴∠A+∠B=90° . 2.直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形. 在△ABC中，∵∠A+∠B=90°,∴∠C=90°，即△ABC是直角三角形 . 【题型1 直角三角形的性质】 【例1】（24-25八年级上·安徽淮北·期中）直角三角形中，，是斜边上的高，，请求出图中所有锐角的值，并找出其中所有相等的锐角。 【答案】 ；相等的锐角有： 【分析】本题主要考查直角三角形两锐角互余，直接根据直角三角形两锐角互余进行解答即可． 【详解】解：在中，， ∴， ∵， ∴； 在中，∵，即， ∴， ∵， ∴； 在中，∵，即， ∴， ∵， ∴； ∴相等的锐角有： ． 【变式1-1】（24-25八年级下·河北秦皇岛·期中）如图，将直尺与30°角的三角尺叠放在一起，若，则的大小是 °． 【答案】55 【分析】本题主要考查了平行线的性质，由三角尺可知，由平角可求，再根据平行线的性质可知． 【详解】解：如图： 由的三角尺可知， ∴． 由平行线的性质可知． 故答案为：55． 【变式1-2】（24-25七年级下·全国·期末）如图，中，是上的高，平分，，则 度． 【答案】10 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，三角形的角平分线的定义，三角形高的含义．先由三角形的内角和定理求解的大小，再由角平分线的性质求解的大小，再利用直角三角形的两锐角互余求出，最后利用角的和差关系可得答案． 【详解】解：在中，， ∴， ∵平分， ∴．， ∵是上的高， ∴， ∴， ∴． 故答案为：10． 【变式1-3】（24-25七年级下·河南平顶山·期中）如图，知，，，．则下列结论：①；②平分；③；④．正确结论的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了垂直的定义，平行线的判定和性质，直角三角形两锐角互余等知识的判定，掌握以上知识是关键．根据垂线的定义，平行线的判定和性质，结合图形判定即可． 【详解】解：∵， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵与的数量无法确定，即与不一定相等， ∴不能判定平分，故②错误； ∵， ∴， ∵， ∴，故③正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有①③④，共3个， 故选：B． 【题型2 直角三角形的判定】 【例2】（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）在下列条件；①；②；③；④；⑤中，能确定为直角三角形的条件有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形的定义，利用三角形的内角和定理求出角的度数，即可分别进行判断． 【详解】解：①由得到，即，是直角三角形； ②由题可得，是直角三角形； ③由得到2，解得，，不是直角三角形； ④由得到，解得，，，是直角三角形； ⑤由得到，解得，不是直角三角形； 故选：C． 【变式2-1】（24-25七年级下·上海·期中）若的三个内角的比为，则的形状是 三角形．（填锐角、直角、钝角中的一个） 【答案】直角 【分析】本题考查了三角形的内角和定理以及三角形的分类，先根据三角形的内角和定理求出中最大角的度数，然后根据三角形的分类求解即可． 【详解】解：∵的三个内角的比为， ∴中最大角为， ∴的形状是直角三角形， 故答案为：直角． 【变式2-2】已知：如图，在中，D是AB上一点，，．求证：是直角三角形． 【答案】见解析 【分析】利用三角形内角和定理可得，据此即可证明是直角三角形． 【详解】解：在中，D是AB上一点，，， ∵， ∴，即， ∴， ∴是直角三角形． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，掌握“三角形三个内角和等于”是解题的关键． 【变式2-3】如图，在中，是边上的高，E是边上一点，交于点M，且．求证：是直角三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了直角三角形的性质与判定；由是边上的高，得；再由，即可得结论成立． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴是直角三角形． 知识点2 直角三角形全等的判定 1. 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“HL”）． 2. 数学语言表达:如图，在Rt与Rt中（与为直角）， ． 【题型3 添加条件使三角形全等】 【例3】（24-25八年级下·广西来宾·期中）如图，已知，垂足为点O，，要根据“”证明，还需要添加的一个条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查添加条件使三角形全等，根据为两条斜边和一组直角边对应相等的直角三角形全等，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴当时，； 故选D． 【变式3-1】如图，中，于O，若要根据“”判定，还需要添加条件 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，根据“斜边直角边”的理解可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 当时， 在 和中， ， ， 故答案为： ． 【变式3-2】（24-25八年级上·全国·期中）如图，为的高，E为上一点，交于点F，且有，，要证明需要的判定方法是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定. 根据是三角形的高，得到，故可根据可以判定． 【详解】解：∵是三角形的高， ∴， ∵，， ∴（）， 故选A． 【变式3-3】如图，在和中，，，若要用“斜边、直角边”直接证明，则还需补充条件： ． 【答案】 【分析】由，，即可推出，于是得到答案．本题考查直角三角形全等的判定，关键是掌握直角三角形全等的判定方法． 【详解】证明：在和中， ， ∴． 故答案为：． 【题型4 证明直角三角形全等】 【例4】（24-25八年级下·陕西渭南·期末）如图，在四边形中，，连接，点为的中点，连接，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键：等角对等边，得到，三线合一，得到，，进而得到，利用即可得证． 【详解】证明：∵， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴． 【变式4-1】如图，在中，D为的中点，，，点E、F为垂足，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据“”证明即可． 【详解】证明：，，点E、F为垂足， ， 和均为直角三角形． 为的中点， ． 在和中， ． 【变式4-2】（24-25八年级上·河南安阳·期末）如图，分别是、上的点，分别是上的点，若、，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题关键．利用“”证明全等即可． 【详解】证明：、， 在和中， ， 【变式4-3】（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图，在中，，平分，于C，且，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，三线合一定理，由三线合一定理得到，则可证明，据此可利用证明． 【详解】证明：∵，平分， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 【题型5 利用HL及全等的性质求线段长度】 【例5】如图，在中，，平分交于点D，过点D作于点E． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的判定，角平分线的定义，熟知勾股定理和全等三角形的判定定理是解题的关键． （1）由角平分线的性质可得，再利用即可证明； （2）直接利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵平分，，， ∴， ∵，， ∴； （2）解：在中，， ∴． 【变式5-1】（24-25八年级下·甘肃临夏·阶段练习）如图，，，点、、、分别在直线与上，点在上，，，，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定和性质以及平行线的性质．先判定，从而得出，则． 【详解】解：，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 故答案为：9． 【变式5-2】（24-25八年级上·重庆·开学考试）如图，中，，平分交于点D，E为线段上一点，连接，且．若，，则的长为 ； 【答案】2 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、三角形全等的判定与性质，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．过点作于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，然后根据求解即可得． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 【变式5-3】（24-25八年级上·河南南阳·期中）如图，已知，，与相交于点，过点作，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求的值并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)6；理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，所对直角边是斜边的一半，三角形的外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用证明，即可作答． （2）先得，因为是的外角，故，则，所以． 【详解】（1）证明：∵， ∴与都是直角三角形， 在和中， ， ； （2）解：∵， ∴， ∵是的外角， ∴ ∴， ∵， ∴． 【题型6 利用HL及全等的性质求角度】 【例6】（24-25八年级上·河南省直辖县级单位·期末）如图，小明和小芳以相同的速度分别同时从点A，B出发，小明沿行走，小芳沿行走，两人分别同时到达，点C，D，若． (1)与相等吗？为什么？ (2)若，求的度数． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】本题主要考查直角三角形全等的判定和性质，熟练掌握直角三角形全等判定的特殊方法是解题的关键． （1）根据题意，得到，又，利用直角三角形全等的判定方法证明；从而得证； （2）由（1）得，得到，结合，即可得解． 【详解】（1），理由如下： ∵小明和小芳以相同的速度分别同时从点A，B出发，两人分别同时到达， ， ， 在和中， ， ， ； （2）， ， 又， ． 【变式6-1】（24-25七年级下·山东威海·期末）如图，在中，，，点在上，点在的延长线上，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，首先根据，，可得：，，利用可证，根据全等三角形对应角相等可得：，从而可得：． 【详解】解： ，， ，， 在和中，， ， ， ． 故选：C． 【变式6-2】（24-25八年级下·广东梅州·阶段练习）如图，在四边形中，是它的对角线，，若平分，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理等知识，熟练掌握角平分线的性质定理是关键．过点作，垂足分别为，证明，即可得到答案． 【详解】解：过点作，垂足分别为， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：B 【变式6-3】（24-25八年级下·河南郑州·阶段练习）如图所示，中，，直线经过点A，，，垂足分别是点D，E，且． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查全等三角形的应用，等腰直角三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形判定定理． （1）由，，可得，再由 “”即可证明； （2）由可知，进而求得，结合，即可得解． 【详解】（1）解：证明： ，， ， 在和中 ； （2）解：， ∴， ， ， ∴， ， ∴， ， ． 【题型7 利用HL及全等的性质证明线段相等】 【例7】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，点，分别在的边，上，的平分线与的垂直平分线交于点，于点，于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，连接，，由线段垂直平分线的性质得到，由角平分线的性质得到，据此可证明，则可证明． 【详解】证明：如图所示，连接，， 垂直平分， ， ，，平分， ，， ， ． 【变式7-1】（24-25八年级上·全国·期中）如图中，，过C作，使，在上取一点E，连接，且．求证： 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，利用证明即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【变式7-2】（2025·陕西宝鸡·一模）如图，在和中，，，相交于点G，点B、E、C、F在同一条直线上，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的判定， 先说明，再根据“斜边，直角边”证明，可得，然后根据“等角对等边”得出答案． 【详解】证明：， ， 即， 在和中，，， ， ， ． 【变式7-3】（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，已知于点于点，且，连接交于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理． （1）先证明，再根据证明，根据全等三角形对应边相等即可证明结论； （2）根据证明即可得出，代入数据可得结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，， ∴． ∴． 【题型8 利用HL及全等的性质证明角度相等】 【例8】（24-25八年级上·吉林四平·阶段练习）如图，已知、分别是两个钝角和的高，已知，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质知识点，解题的关键是通过证明三角形全等得到对应角相等． 利用＂HL＂判定直角三角形全等，再根据全等三角形的对应角相等来证明． 【详解】证明：、分别是两个钝角和的高， 且，， ， ， ， ． 【变式8-1】（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，，，，垂足分别为，，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，利用证明即可求证，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【变式8-2】如图，中，，F为延长线上一点，点E在上，且； (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)的度数为 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握相关定理内容是解题关键． （1）证即可； （2）由题意得，推出，由（1）可知，，据此即可求解； 【详解】（1）证明：， ， 在与中， ， ∴ ； （2）解：，， ， ， ， 由（1）可知，， ， ， 即的度数为． 【变式8-3】如图，于点D，于，交于，,求证： 【答案】见解析 【分析】本题考查了垂直的定义、三角形全等的判定与性质等知识点，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键． 先根据三角形全等的判定定理证出，再根据全等三角形的判定得出，即可证明 【详解】证明：于，于， ， ∵， ， ， ， ， ． 【题型9 利用HL及全等的性质证明线段间的数量关系】 【例9】（24-25八年级上·河南漯河·阶段练习）如图，在中，，是的平分线，于E，F在上，，试证明： (1)． (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）先证明得到，再证明即可证明； （2）由全等三角形的性质可得，再由线段的和差关系证明即可． 【详解】（1）证明：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【变式9-1】（24-25八年级下·广东梅州·阶段练习）如图，点C，D均在线段上，且，分别过点C，D 在 的异侧作，连接交于点G，． (1)求证：． (2)求证：G是线段的中点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质． （1）由得，证明，即可证明； （2）证明，得到即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）∵，，， ∴， ∴， 即G是线段的中点． 【变式9-2】如图，在中，是的中点，且，将线段沿所在直线翻折，得到线段，作交直线于点． (1)依题意补全图形； (2)用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），折叠的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）依照题意补全图形； （2）由“”可证，可得，，由“”可证，可得，，由可证，可得，可得结论． 【详解】（1）补全图形如图所示： （2），理由如下： 如图，连接，并延长交于点，过点作于，于， ， ， 是的中点， ， 又， ， ，， 将线段沿所在直线翻折， ， 又，， ， ，， 又， ， ， ， ． 【变式9-3】将两个全等的和按图1方式摆放，其中，点E落在AB上，DE所在直线交直线AC于点F． （1）求证：； （2）若将图1中绕点B按顺时针方向旋转到图2位置，其他条件不变（如图2），请写出此时AF、EF与DE之间的关系，并加以证明． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析 【分析】（1）如图，连接BF，利用的性质，结合已知条件证明，从而可得结论； （2）如图，连接BF，证明，从而可得结论． 【详解】证明：（1）如图，连接BF， ∵ ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴． （2）线段AF、EF与DE之间的关系为：．理由如下： 如图，连接BF， 由旋转和全等可知：，， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是三角形的全等的判定与性质，旋转的性质，掌握以上知识是解题的关键． 【题型10 利用HL及全等的性质证明线段间的位置关系】 【例10】如图，在中，，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线，，垂足分别为E，F，．求证： (1)； (2)与有怎样的位置关系？请说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)，见解析． 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余，证明是解答的关键． （1）证明，利用全等三角形的对应角相等可得结论； （2）根据直角三角形的两个锐角互余证明即可得结论． 【详解】（1）证明：∵于E点，于F点 ∴在与中 ∴ ∴； （2），理由如下： 在直角三角形中， ∴ ∴ ∵E、C，F三点共线 ∴ ∴． 【变式10-1】（24-25八年级下·福建三明·期末）已知：如图，，，，垂足分别为，，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查全等三角形的判定及性质，熟记三角形全等的判定定理是解题的关键．证明，可得，可得． 【详解】证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【变式10-2】（24-25八年级上·贵州遵义·期末）已知：如图，是的高，是上一点，，，求证： (1)． (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质以及垂直的证明，解题的关键是通过证明三角形全等得到对应角相等，再利用角度关系证明垂直． （1）先根据是的高，得出，再根据，得出，即可证出． （2）如图，延长与交于点，由（1）可知，得出，再根据对顶角，得到，得出，从而得出，即可证出． 【详解】（1）证明： 是的高， ， 在和中， ， ， ； （2）如图，延长与交于点， ，， ， 又， ， ， ， ． 【变式10-3】（2025·四川宜宾·一模）如图，四边形中，，，，，与相交于点．判断线段与的位置关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定， 先根据“斜边直角边”证明，可得，进而得出，即可得出答案. 【详解】解：． 理由如下： ∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 知识点3 勾股定理及其逆定理 1.定义：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么. 如图所示，是直角三角形，其中较短的直角边a叫做勾，较长的直角边b叫做股，斜边c叫做弦. 【题型11 勾股定理】 【例11】（25-26八年级上·陕西汉中·期中）如图，在四边形中，，以边向外作正方形，若，，，求正方形的面积． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，熟练掌握公式是解题的关键． 先利用勾股定理计算，再求解即可得答案． 【详解】解： ，，， ， ，， ， 正方形的面积为． 【变式11-1】（24-25八年级下·陕西安康·期末）如图，在一次课外活动中，同学们要测量某公园人工湖两侧A，B两个凉亭之间的距离，已知，现测得，，，请计算A，B两个凉亭之间的距离． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用，掌握知识点是解题的关键． 先求出，再根据勾股定理，求出，则，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 在中， ， ． 答：A，B两个凉亭之间的距离为． 【变式11-2】（24-25八年级上·贵州贵阳·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点． (1)若，，，，请求出，，，的值． (2)若，，求的值． (3)请根据（1）（2）题中的信息，写出关于“垂美”四边形关于边的一条结论． 【答案】(1)，，， (2) (3)“垂美”四边形对边的平方和相等 【分析】本题考查了勾股定理的应用，灵活运用勾股定理是解题的关键． （1）根据“垂美”四边形的定义可得，再根据勾股定理即可求解； （2）根据“垂美”四边形的定义可得，进而得到，，根据即可求解； （3）由（1）（2）得到，即可求解． 【详解】（1）解：四边形是“垂美”四边形，对角线，交于点， ， ，，，， ，，，， ，，，； （2）四边形是“垂美”四边形，对角线，交于点， ， ，， ，， ； （3）由（1）（2）可得：，即“垂美”四边形对边的平方和相等． 【变式11-3】（25-26八年级上·全国·期中）综合与实践 【动手操作】用四张全等的直角三角形纸片（如图1，两直角边长分别为，，斜边为）拼成含有正方形的图案（如图2），拼图时直角三角形纸片不能互相重叠． (1)【探究】研究发现可利用面积的不同表示方法证明勾股定理：在图2中，大正方形的面积可表示为 ，也可表示为 ，因此，化简可得 ； (2)【实践】利用图1中的4个三角形组合成如图3所示的几个新图形，在图①-③中，图 可证明勾股定理； (3)【发现】若将图1的2个三角形拼成如图4所示的图形，聪聪认真观察图4后发现，此图也可用面积法证明勾股定理，请你帮聪聪完成证明过程． 【答案】(1)；； (2)① (3)见解析 【分析】本题考查勾股定理的证明，图形的面积计算，代数恒等变形，用两种方法表示图形面积是解题关键． （1）明确大正方形面积的两种表示方法，通过面积相等建立等式，化简后得到勾股定理； （2）判断图形能否用面积法证明勾股定理，核心是能否用两种方式表示图形面积，进而推导出； （3）图4的图形类型为梯形，用梯形面积公式和“两个直角三角形+一个小三角形”的面积和建立等式，化简得到勾股定理． 【详解】（1）解：大正方形可拆分为边长为的正方形和4个直角边分别为，的直角三角形， 故大正方形的面积可表示为， 大正方形边长为， 大正方形面积也可表示为， ， 化简得． 答：；；． （2）解：图①可拆分为边长为的正方形和4个直角边分别为，的直角三角形， 其面积为， 图①是边长为的正方形， 其面积也可以表示为， ， 化简得， 故图①可证明勾股定理． 图②、③无法由两种面积表达方式推导出勾股定理． 答：①． （3）证明：图4可拆分为2个直角边长分别为，的直角三角形和一个直角边为的等腰直角三角形， 图4的面积可表示为， 图4是上底为，下底为，高为的梯形， 图4的面积也可表示为， ， 化简得． 知识点4 勾股定理的逆定理 1. 定义：如果三角形的三边满足那么这个三角形是直角三角形．（此判别条件也称为勾股定理的逆定理） 2. 判断一个三角形是否为直角三角形的方法： 从角度上判断 三角形中有一个角是直角，或者三角形中有两个角互余 从边长上判断 两条较短边的平方和等于最长边的平方 【题型12 勾股定理的逆定理】 【例12】（25-26八年级上·四川成都·期中）为进一步落实立德树人的根本任务，培养德智体美劳全面发展的社会主义接班人，某校开展劳动教育课程，并取得了丰硕成果．如图，阴影部分是该校开垦的一块作为学生劳动实践基地的四边形荒地．经测量，，，，且． (1)试说明：； (2)该校计划在此空地（阴影部分）上种植花卉，若每种植花卉需要花费200元，则此块空地全部种植花卉共需花费多少元？ 【答案】(1)证明见解析 (2)7200元 【分析】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理、等腰三角形的性质以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）由勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且即可； （2）过A作于点E，由等腰三角形的性质得，再由勾股定理得，后求出阴影部分的面积，即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵， 又∵ ∴， ∴是直角三角形，且． （2）解：如图，过A作于点E， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴种植花卉共需花费元， 答：此块空地全部种植花卉共需花费7200元． 【变式12-1】（25-26八年级上·安徽宿州·期中）已知等腰三角形的底边，是腰上一点，且，．求该三角形的腰的长度． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、勾股定理及等腰三角形的性质，解题的关键是先判定为直角三角形，再通过设未知数，利用勾股定理建立方程求解腰长． 先验证，确定；设腰长，表示出，在中由勾股定理列方程求解． 【详解】解：，，， ，， ， ，即 设，则， 在中，由勾股定理得：， 展开得， 化简得， 解得． 答：该三角形的腰的长度为． 【变式12-2】（25-26八年级上·浙江宁波·期中）图1、图2、图3都在边长都为1的正方形构成的网格，点A、B均在格点上，请用无刻度的直尺完成下列作图． (1)在图1中作出一个等腰，点C在格点上． (2)在图2中作出一个面积为5的直角，点D在格点上． (3)在图3中作出等腰直角三角形，点E在格点上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图﹣应用与设计作图，三角形的面积，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）关于等腰三角形的一点画出图形即可； （2）作一个直角边分别为的直角三角形即可； （3）作一个腰为的等腰直角三角形即可． 【详解】（1）解：如图1中，即为所求（答案不唯一）； （2）如图2中，即为所求；理由如下： ∵，, ∴, 即是直角三角形，且， ∴． （3）如图3中，即为所求（答案不唯一）． 【变式12-3】阅读下列内容：设a，b，c是一个三角形的三条边的长，且a是最长边，我们可以利用a，b，c三条边长度之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是4，5，6，则最长边是6，，故由③可知该三角形是锐角三角形，请解答以下问题： （1）若一个三角形的三边长分别是7，8，9，则该三角形是________三角形． （2）若一个三角形的三边长分别是5，12，x．且这个三角形是直角三角形，求的值． （3）当，时，判断的形状，并求出对应的的取值范围． 【答案】（1）锐角；（2）169或119；（3）见解析 【分析】（1）直接利用定义结合三角形三边得出答案； （2）直接利用勾股定理得出x2的值； （3）分△ABC为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形结合三边关系得出答案． 【详解】解：（1）∵72+82=49+64=113＞92， ∴三角形是锐角三角形， 故答案为：锐角； （2）∵这个三角形是直角三角形，当x为斜边， ∴52+122=x2， ∴x2=169， 当12是斜边， 则52+x2=122， 解得：x2=119， 故x2的值为169或119； （3）∵a=2，b=4， ∴， ∴， 若△ABC是钝角三角形， 则或， 则或， ∴或； 若△ABC是直角三角形， 则或， 则或； 若△ABC是锐角三角形， 则或， 则或， ∴． 【点睛】此题主要考查了勾股定理及其逆定理以及三角形的三边关系，正确进行相关计算是解题关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.5 直角三角形（举一反三讲义） 【新教材北师大版】 【题型1 直角三角形的性质】 1 【题型2 直角三角形的判定】 2 【题型3 添加条件使三角形全等】 3 【题型4 证明直角三角形全等】 4 【题型5 利用HL及全等的性质求线段长度】 5 【题型6 利用HL及全等的性质求角度】 6 【题型7 利用HL及全等的性质证明线段相等】 7 【题型8 利用HL及全等的性质证明角度相等】 8 【题型9 利用HL及全等的性质证明线段间的数量关系】 9 【题型10 利用HL及全等的性质证明线段间的位置关系】 10 【题型11 勾股定理】 12 【题型12 勾股定理的逆定理】 13 知识点1 直角三角形的性质及判定 1.直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余. 在△ABC 中，∵∠C=90°,∴∠A+∠B=90° . 2.直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形. 在△ABC中，∵∠A+∠B=90°,∴∠C=90°，即△ABC是直角三角形 . 【题型1 直角三角形的性质】 【例1】（24-25八年级上·安徽淮北·期中）直角三角形中，，是斜边上的高，，请求出图中所有锐角的值，并找出其中所有相等的锐角。 【变式1-1】（24-25八年级下·河北秦皇岛·期中）如图，将直尺与30°角的三角尺叠放在一起，若，则的大小是 °． 【变式1-2】（24-25七年级下·全国·期末）如图，中，是上的高，平分，，则 度． 【变式1-3】（24-25七年级下·河南平顶山·期中）如图，知，，，．则下列结论：①；②平分；③；④．正确结论的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【题型2 直角三角形的判定】 【例2】（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）在下列条件；①；②；③；④；⑤中，能确定为直角三角形的条件有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【变式2-1】（24-25七年级下·上海·期中）若的三个内角的比为，则的形状是 三角形．（填锐角、直角、钝角中的一个） 【变式2-2】已知：如图，在中，D是AB上一点，，．求证：是直角三角形． 【变式2-3】如图，在中，是边上的高，E是边上一点，交于点M，且．求证：是直角三角形． 知识点2 直角三角形全等的判定 1. 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“HL”）． 2. 数学语言表达:如图，在Rt与Rt中（与为直角）， ． 【题型3 添加条件使三角形全等】 【例3】（24-25八年级下·广西来宾·期中）如图，已知，垂足为点O，，要根据“”证明，还需要添加的一个条件是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】如图，中，于O，若要根据“”判定，还需要添加条件 ． 【变式3-2】（24-25八年级上·全国·期中）如图，为的高，E为上一点，交于点F，且有，，要证明需要的判定方法是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】如图，在和中，，，若要用“斜边、直角边”直接证明，则还需补充条件： ． 【题型4 证明直角三角形全等】 【例4】（24-25八年级下·陕西渭南·期末）如图，在四边形中，，连接，点为的中点，连接，，求证：． 【变式4-1】如图，在中，D为的中点，，，点E、F为垂足，且．求证：． 【变式4-2】（24-25八年级上·河南安阳·期末）如图，分别是、上的点，分别是上的点，若、，求证：． 【变式4-3】（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图，在中，，平分，于C，且，．求证：． 【题型5 利用HL及全等的性质求线段长度】 【例5】如图，在中，，平分交于点D，过点D作于点E． (1)求证：． (2)若，求的长． 【变式5-1】（24-25八年级下·甘肃临夏·阶段练习）如图，，，点、、、分别在直线与上，点在上，，，，则 ． 【变式5-2】（24-25八年级上·重庆·开学考试）如图，中，，平分交于点D，E为线段上一点，连接，且．若，，则的长为 ； 【变式5-3】（24-25八年级上·河南南阳·期中）如图，已知，，与相交于点，过点作，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求的值并说明理由． 【题型6 利用HL及全等的性质求角度】 【例6】（24-25八年级上·河南省直辖县级单位·期末）如图，小明和小芳以相同的速度分别同时从点A，B出发，小明沿行走，小芳沿行走，两人分别同时到达，点C，D，若． (1)与相等吗？为什么？ (2)若，求的度数． 【变式6-1】（24-25七年级下·山东威海·期末）如图，在中，，，点在上，点在的延长线上，，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25八年级下·广东梅州·阶段练习）如图，在四边形中，是它的对角线，，若平分，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】（24-25八年级下·河南郑州·阶段练习）如图所示，中，，直线经过点A，，，垂足分别是点D，E，且． (1)求证：； (2)求的度数． 【题型7 利用HL及全等的性质证明线段相等】 【例7】（2025八年级下·全国·专题练习）如图，点，分别在的边，上，的平分线与的垂直平分线交于点，于点，于点．求证：． 【变式7-1】（24-25八年级上·全国·期中）如图中，，过C作，使，在上取一点E，连接，且．求证： 【变式7-2】（2025·陕西宝鸡·一模）如图，在和中，，，相交于点G，点B、E、C、F在同一条直线上，且，求证：． 【变式7-3】（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，已知于点于点，且，连接交于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【题型8 利用HL及全等的性质证明角度相等】 【例8】（24-25八年级上·吉林四平·阶段练习）如图，已知、分别是两个钝角和的高，已知，．求证：． 【变式8-1】（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，，，，垂足分别为，，．求证：． 【变式8-2】如图，中，，F为延长线上一点，点E在上，且； (1)求证：； (2)若，求的度数． 【变式8-3】如图，于点D，于，交于，,求证： 【题型9 利用HL及全等的性质证明线段间的数量关系】 【例9】（24-25八年级上·河南漯河·阶段练习）如图，在中，，是的平分线，于E，F在上，，试证明： (1)． (2)． 【变式9-1】（24-25八年级下·广东梅州·阶段练习）如图，点C，D均在线段上，且，分别过点C，D 在 的异侧作，连接交于点G，． (1)求证：． (2)求证：G是线段的中点． 【变式9-2】如图，在中，是的中点，且，将线段沿所在直线翻折，得到线段，作交直线于点． (1)依题意补全图形； (2)用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【变式9-3】将两个全等的和按图1方式摆放，其中，点E落在AB上，DE所在直线交直线AC于点F． （1）求证：； （2）若将图1中绕点B按顺时针方向旋转到图2位置，其他条件不变（如图2），请写出此时AF、EF与DE之间的关系，并加以证明． 【题型10 利用HL及全等的性质证明线段间的位置关系】 【例10】如图，在中，，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线，，垂足分别为E，F，．求证： (1)； (2)与有怎样的位置关系？请说明理由． 【变式10-1】（24-25八年级下·福建三明·期末）已知：如图，，，，垂足分别为，，且．求证：． 【变式10-2】（24-25八年级上·贵州遵义·期末）已知：如图，是的高，是上一点，，，求证： (1)． (2)． 【变式10-3】（2025·四川宜宾·一模）如图，四边形中，，，，，与相交于点．判断线段与的位置关系，并说明理由． 知识点3 勾股定理及其逆定理 1.定义：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么. 如图所示，是直角三角形，其中较短的直角边a叫做勾，较长的直角边b叫做股，斜边c叫做弦. 【题型11 勾股定理】 【例11】（25-26八年级上·陕西汉中·期中）如图，在四边形中，，以边向外作正方形，若，，，求正方形的面积． 【变式11-1】（24-25八年级下·陕西安康·期末）如图，在一次课外活动中，同学们要测量某公园人工湖两侧A，B两个凉亭之间的距离，已知，现测得，，，请计算A，B两个凉亭之间的距离． 【变式11-2】（24-25八年级上·贵州贵阳·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点． (1)若，，，，请求出，，，的值． (2)若，，求的值． (3)请根据（1）（2）题中的信息，写出关于“垂美”四边形关于边的一条结论． 【变式11-3】（25-26八年级上·全国·期中）综合与实践 【动手操作】用四张全等的直角三角形纸片（如图1，两直角边长分别为，，斜边为）拼成含有正方形的图案（如图2），拼图时直角三角形纸片不能互相重叠． (1)【探究】研究发现可利用面积的不同表示方法证明勾股定理：在图2中，大正方形的面积可表示为 ，也可表示为 ，因此，化简可得 ； (2)【实践】利用图1中的4个三角形组合成如图3所示的几个新图形，在图①-③中，图 可证明勾股定理； (3)【发现】若将图1的2个三角形拼成如图4所示的图形，聪聪认真观察图4后发现，此图也可用面积法证明勾股定理，请你帮聪聪完成证明过程． 知识点4 勾股定理的逆定理 1. 定义：如果三角形的三边满足那么这个三角形是直角三角形．（此判别条件也称为勾股定理的逆定理） 2. 判断一个三角形是否为直角三角形的方法： 从角度上判断 三角形中有一个角是直角，或者三角形中有两个角互余 从边长上判断 两条较短边的平方和等于最长边的平方 【题型12 勾股定理的逆定理】 【例12】（25-26八年级上·四川成都·期中）为进一步落实立德树人的根本任务，培养德智体美劳全面发展的社会主义接班人，某校开展劳动教育课程，并取得了丰硕成果．如图，阴影部分是该校开垦的一块作为学生劳动实践基地的四边形荒地．经测量，，，，且． (1)试说明：； (2)该校计划在此空地（阴影部分）上种植花卉，若每种植花卉需要花费200元，则此块空地全部种植花卉共需花费多少元？ 【变式12-1】（25-26八年级上·安徽宿州·期中）已知等腰三角形的底边，是腰上一点，且，．求该三角形的腰的长度． 【变式12-2】（25-26八年级上·浙江宁波·期中）图1、图2、图3都在边长都为1的正方形构成的网格，点A、B均在格点上，请用无刻度的直尺完成下列作图． (1)在图1中作出一个等腰，点C在格点上． (2)在图2中作出一个面积为5的直角，点D在格点上． (3)在图3中作出等腰直角三角形，点E在格点上． 【变式12-3】阅读下列内容：设a，b，c是一个三角形的三条边的长，且a是最长边，我们可以利用a，b，c三条边长度之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是4，5，6，则最长边是6，，故由③可知该三角形是锐角三角形，请解答以下问题： （1）若一个三角形的三边长分别是7，8，9，则该三角形是________三角形． （2）若一个三角形的三边长分别是5，12，x．且这个三角形是直角三角形，求的值． （3）当，时，判断的形状，并求出对应的的取值范围． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $