1.4 三角形的中位线 课件 2025-2026学年湘教版 八年级数学下册

湘教版（新教材）数学8年级下册培优备精做课件 1.4 三角形的中位线 第1章 四边形 授课教师： Home . 班 级： 八年级（---）班 . 时 间： . 2026年1月28日 2026年1月28日星期三8时33分30秒 2026年1月28日星期三8时33分31秒 三角形的中位线及其性质 问题1：你能将任意一个三角形分成四个全等的三角形吗? 问题2：连接每两边的中点，看看得到了什么样的图形？ 四个全等的三角形 1 D 连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线. A B C E 两层含义: ② 如果 DE 为△ABC 的中位线，那么 D，E 分别为 AB，AC 的 . ① 如果 D，E 分别为 AB，AC 的中点，那么 DE 为△ABC 的 ； 中位线 中点 知识要点 C 返回 1． [山西中考]如图，在▱ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是边AD的中点，连接OE.下列两条线段的数量关系中一定成立的是(　　) 中考考法 4 问题1 一个三角形有几条中位线？你能在△ABC中画出它所有的中位线吗？ A B C D E 有三条. 如图，△ABC 的中位线是 DE，DF，EF. · · · F 问题2 三角形的中位线与中线一样吗？ A B C D E · · A B C D · 中位线是连接三角形两边中点的线段. 中线是连接一个顶点和它的对边中点的线段. 中位线 中线 都是与中点有关的线段. 相同点： 不同点： 返回 C 2． [广东中考]如图，点D，E，F分别是△ABC各边上的中点，∠A＝70°，则∠EDF＝(　　) A．20° B．40° C．70° D．110° 中考考法 7 探究：如图，DE 是△ABC 的中位线，将△ADE 以点 E 为中心，顺时针旋转 180°，使点 A 和点 C 重合，得到△CFE. 四边形 DBCF 是平行四边形吗？此时DE 与 BC 具有怎样的位置关系和数量关系？ E A B C D F 猜一猜：三角形两边中点的连线与第三边有怎样的关系？能证明你的猜想吗？ DE 和边 BC 的关系 数量关系： 位置关系： 平行 DE 是 BC 的一半 能说出理由吗? E A B C D F 请同学们测量： (1) ∠ADE， ∠ABC 度数； (2) DE，BC 长度. 测量法 已知：如图，在△ABC 中，DE 是 △ABC 的中位线. 求证： DE∥BC， DE = BC. E A B C D F 证明：如图，DE 是 △ABC 的中位线. 延长 DE 至 F，使 EF = DE. 连接 CF. 因为 AE = CE，∠AED = ∠CEF，DE = EF， 所以 △ADE≌△CFE. 于是AD = CF，∠A = ∠ECF. 从而 AB∥FC. 证明法 E A B C D F 所以 DE∥BC， 又 BD = AD = CF， 因此四边形 DBCF 是平行四边形. 三角形中位线定理： 三角形的中位线平行于 第三边，并且等于第三边的一半. 用符号语言表示 D A B C E ∵DE 是 △ABC 的中位线， ∴DE∥BC， 归纳总结 【定理的理解】 (1) 从条件看，以后我们看到中点，尤其是两个或者两个以上的中点时我们就要联想到三角形的中位线定理. (2) 从结论看，它既可以得到线段的位置关系(平行)，又可以得到线段的数量关系(倍分关系)，大家以后在解决相关问题时要两方面结合起来灵活应用. 1. 如左图，MN 为△ABC 的中位线，若∠ABC = 61°，则∠AMN = °，若 MN = 12 ，则 BC = . A M B C N 61 24 A D B C E 2. 如右图，△ABC 中，D ，E 分别为 AB，AC 的中点，当 BC = 10 cm时，则 DE = cm. 5 练一练 A B C E F D 1. 图中有几个全等三角形，你是怎 么知道的？你能证明吗？ 2. 图中有几个平行四边形？你能证明吗？ 深入探究 3. 如图，已知△ABC 中，AB = 3 cm，BC = 3.4 cm，AC = 4 cm 且 D，E，F 分别为 AC，AB，BC 边的中点，则△DEF 的周长是 cm. A B C D E F 5.2 练一练 4. 如下图：在Rt△ABC 中，∠A = 90°，D，E，F 分别是各边中点，AB = 6 cm，AC = 8 cm，则△DEF 的周长 =______cm ． 12 E F B A C D 例1 已知：如图，在四边形 ABCD 中， E，F，G，H 分别为各边的中点. 求证：四边形 EFGH 是平行四边形. 分析：将四边形 ABCD 分割为三角形，利用三角形的中位线可转化两组对边分别平行或一组对边平行且相等来证明. A B C D E F G H 证明：连接 AC. ∵E，F，G，H 分别为各边的中点， ∴ EF∥HG，EF = HG. ∴EF∥AC， HG∥AC， ∴四边形 EFGH 是平行四边形. A B C D E F G H 3． 如图，在△ABC中，点D，点E分别是AB，AC的中点，点F是DE上一点，且∠AFC＝90°，若BC＝12，AC＝8，则DF的长为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 中考考法 21 【点拨】 【答案】B 返回 中考考法 4． [长沙天心区月考]如图，已知四边形ABCD，R，P分别是DC，BC上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当点P从点B向点C移动，且点R从点D向点C移动时，下列结论成立的是(　　) A．线段EF的长逐渐增大 B．线段EF的长逐渐减小 C．线段EF的长不变 D．四边形ABCR的面积不变 中考考法 23 【点拨】 【答案】A 返回 中考考法 5． 30° 如图，在四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝30°，则∠PFE＝________. 中考考法 25 【点拨】 返回 中考考法 6． 8 如图，在▱ABCD中，点E，F分别为AD，AB的中点，AC与BD交于点O，已知四边形AFOE的周长为4，则▱ABCD的周长为________. 中考考法 27 7． 如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AC＝AD，M，N分别为AC，CD的中点，∠BAD＝60°，AC平分∠BAD．试判断△BMN的形状. 中考考法 28 返回 中考考法 8． 如图，在四边形ABCD中，AB＝2，CD＝3，E，F分别是AD，BC的中点，则EF的取值范围为(　　) A．0＜EF＜1 B．2＜EF≤3 C．0.5＜EF≤2.5 D．1＜EF≤5 中考考法 30 【点拨】 【答案】C 返回 中考考法 9． 如图，在△ABC中，AD是中线，AE平分∠BAC，过点B作BF⊥AE交AE的延长线于点F，连接FD，若AB＝6，AC＝3，则DF的长为(　　) A．2.5 B．2 C．1.5 D．1 中考考法 32 【答案】C 返回 中考考法 三角形中位线 定 义 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 性质 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. A．OE＝AD B．OE＝BC C．OE＝AB D．OE＝AC 因为点D，点E分别是AB，AC的中点，所以DE是△ABC的中位线．所以DE＝BC.因为BC＝12，所以DE＝6.在△AFC中，∠AFC＝90°，点E是AC的中点，AC＝8，所以FE＝AC＝4，所以DF＝DE－FE＝6－4＝2. 因为E，F分别是AP，RP的中点，所以EF是△APR的中位线，所以EF＝AR.因为当点R从点D向点C移动时，AR的长逐渐增大，所以线段EF的长逐渐增大．因为CR的长随着点R的运动逐渐减小，四边形ABCR的面积＝BC·(AB＋CR)，所以四边形ABCR的面积逐渐减小．故选A. 因为点P是对角线BD的中点，点E，F分别是AB，CD的中点，所以EP是△ABD的中位线，FP是△BDC的中位线．所以EP＝AD，FP＝BC.因为AD＝BC，所以EP＝FP.所以∠PFE＝∠PEF＝30°. 【解】因为AC平分∠BAD，∠BAD＝60°， 所以∠DAC＝∠BAC＝30°.在△ABC中，∠ABC＝90°，M为AC的中点，所以BM＝AC＝MA，所以∠MBA＝∠MAB＝30°. 所以∠BMC＝∠MBA＋∠MAB＝60°. 因为M，N分别为AC，CD的中点， 所以MN∥AD，MN＝AD.所以∠CMN＝∠CAD＝30°. 所以∠BMN＝30°＋60°＝90°.因为AD＝AC，所以MN＝MB. 所以△BMN是等腰直角三角形． 如图，连接AC，取AC的中点H，连接EH，FH.因为E，H分别为AD，AC的中点，所以EH＝CD＝1.5.同理，FH＝AB＝1.在△EHF中，EH－FH＜EF＜EH＋FH，即0.5＜EF＜2.5. 当AB∥CD时，H恰在EF上，此时EF＝2.5. 综上所述，0.5＜EF≤2.5. 所以△AFB≌△AFG.所以AG＝AB＝6，BF＝FG.所以CG＝AG－AC＝6－3＝3. 因为BF＝FG，AD是△ABC的中线， 所以DF是△BCG的中位线． 所以DF＝CG＝1.5. $