精品解析：山东省菏泽市第一中学2025-2026学年高二上学期期末考前模拟数学试题

高二数学期末考前模拟试题 2026.1.24 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 与直线垂直的直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由垂直两直线斜率关系以及斜率与倾斜角的关系即可求解. 【详解】由题意得直线，即的斜率为， 则与直线垂直的直线的斜率为， 设与直线垂直的直线的倾斜角为，则， 因为，所以. 故选：D 2. 抛物线过点，则的准线方程为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将点代入抛物线方程可得a，根据抛物线标准方程即可求其准线方程. 【详解】∵抛物线过点， ∴， ∴， ∴其准线方程为y＝－1. 故选：B. 3. 在空间直角坐标系Oxyz中，，，点M关于平面xOy的对称点坐标为，则（ ） A. -5 B. -2 C. 2 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据对称得出，再根据坐标运算得出数量积. 【详解】因，则点M关于平面xOy的对称点坐标为， 因点M关于平面xOy的对称点坐标为，则， 则，，故. 故选：D 4. 若1，，，4成等差数列；1，，，，4成等比数列，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式得、等比中项的性质及等比数列通项公式得，即可求. 【详解】若1，，，，4的公比为，则， 由题设，，则（负值舍）， 所以. 故选：A 5. 如图，是圆锥的轴截面，是半圆弧的中点，是线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法即可求解异面直线与所成角的余弦值. 【详解】 如图，连接，是半圆弧的中点，， 又平面，两两垂直， 则以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系. 设，，， 则，，，， 则， 设异面直线与所成的角为， 则. 故选：B. 6. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯用不同的平面截同一圆锥，得到了圆锥曲线，其中的一种如图所示．用过M点且垂直于圆锥底面的平面截两个全等的对顶圆锥得到双曲线的一部分，已知高，底面圆的半径为4，M为母线PB的中点，平面与底面的交线，则双曲线的两条渐近线的夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】交于，以过点且垂直于圆锥底面的平面的中心为原点，平行于圆锥的轴为轴建立平面直角坐标系，求出点的坐标，求得双曲线的方程，进而求得双曲线的渐近线夹角的余弦值. 【详解】设交于，以过点且垂直于圆锥底面的平面的中心为原点，平行于圆锥的轴为轴建立平面直角坐标系， 因为圆锥的高，是的中点，且截面垂直于底面， 所以，所以，又底面圆半径,所以 ，所以， 设双曲线方程为，代入，，代入解得， 则双曲线的两条渐近线方程为，由对称性可知两条渐近线所夹锐角的正切值为， 双曲线的两条渐近线的夹角的余弦值为. 故选：A 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，为为坐标原点，以为圆心，为半径的圆与椭圆交于M，N两点，若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过边长相等得到角相等，证明三角形相似，利用线段比例关系得到的关系式即可得到结果. 【详解】由题意得，， 由椭圆定义得，故， ∵，，∴， ∴与相似，∴，即， 整理得，故，解得， 由得，，即椭圆的离心率为. 故选：B. 8. 已知是等差数列的前项和，的公差，是与的等比中项，设，则的前2022项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由等差数列性质得，进而根据题意得，再结合得，故，，再根据裂项求和得的前项和，最后求解的前2022项和即可得答案. 【详解】解：由等差数列的前项和公式得， 因为是与的等比中项，所以，即， 因为，所以， 所以，即， 因为，所以 所以 所以， 所以的前项和， 所以的前2022项和为 故选：C 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知圆，圆，直线，直线与圆相交于A，B两点，则以下选项正确的是（ ） A 若时，圆与圆有两条公切线 B. 若时，两圆公共弦所在直线的方程为 C. 弦长的最小值为 D. 若点，则的最大值为 【答案】BD 【解析】 【分析】确定两圆位置关系判断A；两圆方程相减求出公共弦所在直线方程判断B；求出直线所过定点，进而求出最短弦长判断C；求出弦的中点的轨迹，进而求出最大值判断D. 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 对于A，当时，，圆与圆相内切，有一条公切线，A错误； 对于B，当时，，圆与圆相交，两圆方程相减得 ，即，B正确； 对于C，直线恒过定点，，点在圆内， 当时，取得最小值，此时直线,但是直线不能表示直线,所以C不正确； 对于D，令弦的中点为，线段的中点为，当与点都不重合时， ，有，当与点之一重合，上式成立，则， 因此点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，， 而，因此最大值为，D正确. 故选：BD 【点睛】思路点睛：本题D选项，求出弦的中点的轨迹，转化为定点与圆上点间距离最大值问题. 10. 如图，在直棱柱中，底面ABCD是边长为2的菱形，，点为的中点，点为侧面内（包含边界）一动点，则下列结论正确的是（ ） A. 平面截四棱柱所得的截面是五边形 B. C. 平面与平面ABCD所成角的余弦值为 D. 若∥平面，则点轨迹的长度为 【答案】BCD 【解析】 【分析】作出截面判断A，由线面垂直的判定与性质定理判断B，用空间向量法求二面角判断C，确定出动点轨迹后判断D. 【详解】对A，取中点，连接PM，如图，则（都与平行），所以四点共面， 则平面截四棱柱所得的截面是四边形，A错误． 对B，连接，由题意可得，底面， 底面ABCD，所以，而平面， 所以平面，又平面，所以，B正确． 对C，设AC与BD交于点，以为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则，所以， 设平面的法向量为，则 不妨取，则，易知平面ABCD的一个法向量为， 则，C正确． 对D，连接，由A项知四点共面，平面， 又平面平面，所以， 所以的轨迹为线段（不含点），，D正确． 故选：BCD. 11. 已知等差数列的首项为，公差为d，其前n项和为，若，则下列说法正确的是（ ） A 当时，最大 B. 使得成立的最小自然数 C. D. 数列中的最小项为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用等差数列及，判断出、、，再利用等差数列和等差数列前n项和的性质逐项判断即可. 【详解】若，则，，故， 所以，即等差数列是递减数列， A：由上分析，数列前7项为正，其余项为负，故时，最大，对； B：由，，则，， 所以成立的最小自然数，错； C：，则，对； D：当或时，，当时，， 由，，所以数列中的最小项为，对. 故选：ACD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在正四面体中，棱长为3，点在棱上，且，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用转化法结合向量的数量积的运算律可求值. 【详解】 . 故答案为：. 13. 设，若点在线段上，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】将问题转化为过点的直线与线段有交点时，直线的斜率的取值范围，即可由两点斜率公式求解. 【详解】直线的倾斜角与斜率 如图，，则原问题可转化为过点的直线与线段有交点时，直线的斜率的取值范围． 连接，则， 当的倾斜角是锐角时，，随着倾斜角的增大，斜率由增大至正无穷； 当的倾斜角是钝角时，，随着倾斜角的增大，斜率由负无穷增大至．所以3或． 故答案为： 14. 设数列的前项和为，则 _____. 【答案】2760 【解析】 【分析】根据给定条件，利用分组求和法，结合等差数列前项和求解. 【详解】数列中，， 当为奇数时，，数列是首项，公差为2的等差数列， 当为偶数时，，数列是首项，公差为4的等差数列， 所以 . 故答案为：2760 四：解答题 15. 已知直线经过抛物线C：的焦点F，且与C交于A，B两点． （1）求C的方程； （2）求圆心在x轴上，且过A，B两点的圆的方程． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标，代入直线方程即可求解作答. （2）根据给定条件，求出线段AB的中垂线方程，再求出圆心坐标及半径作答. 【小问1详解】 依题意，抛物线C的焦点在直线上，则，解得， 所以C的方程为． 【小问2详解】 由（1）知，抛物线C的准线方程为，设，，AB的中点为， 由消去y得，则，有，，即， 因此线段AB的中垂线方程为，即， 令，得，设所求圆的圆心为E，则， 又AB过C的焦点F，则有， 设所求圆的半径为r，则， 故所求圆的方程为． 16. 已知平行四边形如图甲，，，沿将折起，使点到达点位置，且，连接得三棱锥，如图乙. （1）证明：平面平面； （2）在线段上是否存在点，使二面角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）存在，且 【解析】 【分析】（1）推导出，证明出平面，可得出， 利用线面垂直和面面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，设，其中，利用空间向量法可得出关于的等式，结合求出的值，即可得出结论. 【小问1详解】 证明：翻折前，因为四边形为平行四边形，，则， 因为，则，， 由余弦定理可得， 所以，，则，同理可证， 翻折后，则有，， 因为，，、平面， 所以，平面， 因平面，则， 因为，、平面，所以，平面， 因为平面，故平面平面. 【小问2详解】 解：因为平面，，以点为坐标原点， 、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 设，其中， 则，， 设平面的法向量为， 则，取，则，， 所以，， 易知平面的一个法向量为， 则，整理可得， 因为，解得， 因此，线段上存在点，使二面角的余弦值为，且. 17. “绿水青山就是金山银山．”我国某西部地区进行沙漠治理，已知该地区有土地万平方千米，其中是沙漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠改造为绿洲，同时原有绿洲的被沙漠所侵蚀又变成沙漠，设从今年起第年绿洲面积为万平方千米． （1）求与的关系； （2）判断是不是等比数列，并说明理由； （3）至少经过几年，绿洲面积可超过？ 【答案】（1） （2）是等比数列，理由见解析 （3）至少经过年 【解析】 【分析】（1）根据题意可得出，化简可得与的关系； （2）利用待定系数法结合等比数列的定义可得结论； （3）求出数列的通项公式，然后解不等式，即可得出结论. 【小问1详解】 由题意时， ， 所以，. 【小问2详解】 数列是等比数列．理由如下： 由（1）得， 设，可得，所以，，可得， 所以，，且， 因此，数列是首项为，公比为的等比数列． 【小问3详解】 由（2）可知，数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，，即． 令，得， 两边取常用对数，得， 所以， ，所以，， 所以，至少经过年，绿洲面积可超过． 18. 已知数列的前n项和为，是等差数列，且，，是，的等差中项． （1）求，的通项公式； （2）记，求证：． 【答案】（1）， （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用可得到时，，然后求出，即可求出的通项公式，设等差数列的公差为d，利用等差中项可得到，求出即可求解； （2）利用错位相减法求出，即可求证 【小问1详解】 因为，所以当时，得， 两式作差得，当时，，即时，． 又，，得，解得，所以， 所以是首项为2，公比为2的等比数列，所以． 设等差数列的公差为d，因为是，的等差中项，所以， 又，所以，解得， 所以， 故，． 【小问2详解】 由（1）知，① ，② ①②，得． 所以． 所以，即． 19. 已知椭圆的方程为，过点且离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）点A是椭圆与轴正半轴的交点，不过点A的直线交椭圆于两点，且直线的斜率分别是，若，求面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用题给条件求得的值，进而求得椭圆的方程； （2）利用设而不求的方法求得面积的表达式，再利用均值定理即可求得面积的最大值． 【小问1详解】 由题意，解得，，得， 所以椭圆的方程为 【小问2详解】 设，，直线， 联立方程组，得， 由，解得，，， 由， 知 ，且， 代入化简得， 解得， 又由知，得， ， （当且仅当时取等号）， 综上，面积的最大值为. 【点睛】方法点睛：解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学期末考前模拟试题 2026.1.24 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 与直线垂直的直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线过点，则的准线方程为( ) A. B. C. D. 3. 在空间直角坐标系Oxyz中，，，点M关于平面xOy的对称点坐标为，则（ ） A. -5 B. -2 C. 2 D. 5 4. 若1，，，4成等差数列；1，，，，4成等比数列，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是圆锥轴截面，是半圆弧的中点，是线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 6. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯用不同的平面截同一圆锥，得到了圆锥曲线，其中的一种如图所示．用过M点且垂直于圆锥底面的平面截两个全等的对顶圆锥得到双曲线的一部分，已知高，底面圆的半径为4，M为母线PB的中点，平面与底面的交线，则双曲线的两条渐近线的夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，为为坐标原点，以为圆心，为半径的圆与椭圆交于M，N两点，若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知是等差数列的前项和，的公差，是与的等比中项，设，则的前2022项和为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知圆，圆，直线，直线与圆相交于A，B两点，则以下选项正确的是（ ） A. 若时，圆与圆有两条公切线 B. 若时，两圆公共弦所在直线方程为 C. 弦长的最小值为 D. 若点，则的最大值为 10. 如图，在直棱柱中，底面ABCD是边长为2的菱形，，点为的中点，点为侧面内（包含边界）一动点，则下列结论正确的是（ ） A. 平面截四棱柱所得的截面是五边形 B. C. 平面与平面ABCD所成角的余弦值为 D. 若∥平面，则点轨迹的长度为 11. 已知等差数列首项为，公差为d，其前n项和为，若，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，最大 B. 使得成立的最小自然数 C. D. 数列中的最小项为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在正四面体中，棱长为3，点在棱上，且，则__________. 13. 设，若点在线段上，则的取值范围是______． 14. 设数列的前项和为，则 _____. 四：解答题 15. 已知直线经过抛物线C：的焦点F，且与C交于A，B两点． （1）求C的方程； （2）求圆心在x轴上，且过A，B两点的圆的方程． 16. 已知平行四边形如图甲，，，沿将折起，使点到达点位置，且，连接得三棱锥，如图乙. （1）证明：平面平面； （2）在线段上是否存在点，使二面角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 17. “绿水青山就是金山银山．”我国某西部地区进行沙漠治理，已知该地区有土地万平方千米，其中是沙漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的改造为绿洲，同时原有绿洲的被沙漠所侵蚀又变成沙漠，设从今年起第年绿洲面积为万平方千米． （1）求与的关系； （2）判断不是等比数列，并说明理由； （3）至少经过几年，绿洲面积可超过？ 18. 已知数列的前n项和为，是等差数列，且，，是，的等差中项． （1）求，通项公式； （2）记，求证：． 19. 已知椭圆的方程为，过点且离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）点A是椭圆与轴正半轴的交点，不过点A的直线交椭圆于两点，且直线的斜率分别是，若，求面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $