湖南省长沙市长郡集团2025-2026学年九年级上学期数学期末试卷

2025年秋季九年级期末限时检测试卷 数学参考答案 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D D D D D D 10.C【解析】如图所示，作CELx轴于E,AF⊥x轴于F, 由题意可知B(4,0),D(0,一2)， 则an∠CBE-an∠OBD-8品-： 由△ABC是等腰直角三角形，其直角顶，点B在x轴正半轴上可得AB=BC, 易证△AFB≌△BEC,从而BE=AF,CE=BF, 设CE=BF=a,则BE=AF-2a, 0 则，点C(4+2a,a),点A(4-a,2a), “点A,点C在函)=产(>0，>0)的周象上， ∴.k=(4+2a)Xa=(4-a)×2a,解得a=1, 故k=6. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11.≤512.x<-1或x>813.7614.2026 1 15.96°16.张斌 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题 10分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 1.(6分【解标】原式-2-1-2×号+1-3=反-1厄+1-3=-3. (6分) 18.(6分【解析】原式=m二4生4÷3m7=m2.3m2》=3m m-2'3(m-2)m-2 …（4分) m m=（-1)2025=-1, .原式=3X(一1)=一3.…(6分) 19.(6分)【解析】(1)如图②，过点C作CM⊥AB,垂足为M,则∠BMC=90°， ,∠ABC=60°，BC=8cm, .∠BCM=30°， .BM-BC-4cm.CM-/3BM-4/3cm, ..DM=CM+CD=(4/3+4)cm. 即，点A到地面的距离为(4V3+4)cm; (3分) (2)如图③，过点C作CE垂直于AB,垂足为E, ∠ABC=120°， .∠CBE=180°-120°=60°， :CE-号BC=4月cm,AE=AB+BE-16m, ∴.，点A到，点C的距离为AC=√AE十CE=√162+(4V3)2=4√19cm. (6分) ·D 图② 图③ 九年级数学参考答案(C)1 20.(8分)【解析】(1)400,90°. (2分) (2)D类的人数为400-50-120-100=130（人）， 补全条形统计图为： ↑人数 128120 130 130 100 100----- 50 。4年4。中g。中年。年年0 …(4分) 50 0 A类B类C类D类类别 (3)根据题意，画出树状图如下： 开始 ABCDABCD ABCD ABCD 由树状图可得，甲、乙抽中同一类型的情况有4种， 甲，乙抽中同一夹型的概率为告子 …(8分) 21.(8分)【解析】(1)证明：如图，连接OA, ,CA是⊙O的切线， ∴.OA⊥AC, ∴.∠EAC+∠OAE=90°， 0 BE是⊙O的直径， .∠BAE=90°， ∴.∠OAB+∠OAE=90°， ∴.∠EAC=∠OAB, .OA=OB, .∠ABC=∠OAB, ∠EAC=∠ABC.…(4分) (2)解：AD平分∠BAE, ∴∠BAD=∠EAD, ∴.BD=ED, .BD=DE=6√2， ,BE是⊙O的直径，.∠BDE=90°， ∴.BE=√2DE=12, 半径0A=2BE=6, 在Rt△OAC中，由勾股定理得：OC=√OA2+AC=√62+82=10， ∴.CE=0C-OE=10-6=4. (8分) 22.(9分)【解析】(1)设甲型健身器材的单价为x元，则乙型健身器材的单价为(x十300)元， 根据题意，得50000-56000 x+300 解得x=2500, 经检验，x=2500是原方程的解， 此时x十300=2800. 答：甲型健身器材价格为2500元，则乙型健身器材的价格为2800元.…(4分) (2)设购买甲型健身器材a台，则购买乙型健身器材数量为(15一a)台， 由题意可得，a≤2(15一a),即a≤10，且a为非负整数， 根据题意，设采购费用为，得=2500a十2800(15一a)=一300a十42000， 由一300<0，得w随a的增大而减小， ∴.当a=10时，w取得最小值，最小值为=一300×10+42000=39000， ∴.购买甲型健身器材10台时采购费用最少，最少采购费用为39000元. (9分) 九年级数学参考答案(C)一2 23.(9分)【解析】(1)四边形ABCD是矩形， ..AC=BD, ∴.OD=OC, ∴.∠ODC=∠OCD, 0 AB∥CD, ∠ABD=∠ODC, ∴.∠ABD=∠OCD, 又，∠EDF=∠BDC,∠EDF=∠EDB+∠BDF,∠BDC=∠BDF+∠FDC, ∴.∠EDB=∠FDC, △DBEp△DCF.…(3分） (2):tan∠BDC=tan∠EDF=手， 设BC=4x,CD=3x,则AC=BD=√BC+CD=5x, :△DBE∽△DCF, ∴器股； ∴.CF=2.4. (6分) (3):tan∠BDC=ta∠EDF=号， 设BC=4,CD=3,则AC=BD=√BC+CD=5, CF=号AC=1, :△DBEP△DCF, “器-2号 BE-号， AE=AB-BE=3-号-专， 又.在矩形ABCD中，AD=BC=4, DE=vaD+AE-√+(gT-4, :nADE-能- 3 10 10 …(9分） 3 24.(10分)【解析】(1)①③④. … (3分) B (2)若AD=CD,∴.AD=CD,∴.∠ABD=∠CBD, .BD为四边形ABCD的“内分线”， .在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=30°，AB=2√5， AB=23=4, ·AC-COsBAC 0 ∴.AD=CD=2W2, 将BD绕，点D顺时针旋转90°至B'D,连接AB,可证△BCD≌△BAD, ∠BCD=∠B'AD, .∠BAD+∠BAD=∠BCD+∠BAD=180°， A ∴B,A,B三点共线， ∴.B'B=BA+AB=BC+AB=2+2√5， 0 D BD=号BB=2+6,吗 (5分) 若AB=AD,AB=AD,∠ACB=∠ACD, B ∴.AC为四边形ABCD的“内分线”， 九年级数学参考答案(C)一3 AC- OS∠BAC 3 =4,…(6分） 2 (3)(ⅰ)，△ABC和△CDE都是等边三角形， ∴.BC=AC,CE=CD,∠ACB=∠ECD=60°， ∴.∠BCE=∠ACD=120°， .△BCE≌△ACD(SAS), .∠BEC=∠ADC, .∠EFD=∠ECD=60°， 又.∠ACE=∠ECD=60°，CE=CD,∠BEC=∠ADC, .△EGC≌△DHC(ASA), ..CG=CH, 又，∠ACE=60°， ∴△CGH为等边三角形，∠CGH=60°， 又：∠BFD=180°-∠EFD=120°， .∠BFD+∠ACE=180°， D ∴F,G,C,H四点共圆， ∴.∠CFH=∠CGH=60°， ∴.FC平分∠BFD, 又.CG=CH, .四边形FGCH为“等邻边内分四边形”.…(8分) (ⅱ)以BD为边向下方构造等边△BPD, .∠BFD+∠BPD=180°， D F,B,P,D四点共圆， 又BP=DP, :.BP=DP, ∴.FP平分∠BFD, 直线FC必过点P. …(们0分) 25.（10分)【解析】(1)，抛物线C:y=(k2一2)x2-4k.x十m的对称轴是直线x=2, 4k 六202)-2， ◇ 解得=一1或=2， 又，图象有最低，点，即开口向上， ∴k2-2>0,即k2>2, ∴.k=2, 即y=2x2-8x十m, 把x=2代入直线y=一2x十2，得y=一2， 即抛物线的顶点坐标是(2，一2)， 代入函数y=2x2-8.x十m,得m=6, ∴.抛物线C的函数解析式为y=2x2-8x十6. (3分) (2)抛物线C沿x轴翻转后为y=一2x2+8x-6,即y=一2(x-2)2+2, 沿直线y=x向左下方平移2√2个单位长度后，（即先向下平移2个单位长度，再向左平移2个单位长度） 所以抛物线C2的函数解析式为y=一2x2.…(6分) (3)如图所示， 图1 图2 九年级数学参考答案(C)一4 由条件可知b=一2a2, 若a≤0，如图1，W2上所有点均满足y2一y≤1， 在W1上即当1≥a时，y2-y=-2(x1十1)2十2x=-4x1一2， 当W1的图象上所有的点都满足2一y≤1时，则一4x1一2≤1， 解得马≥-子， 如图1，当-<0≤0时，函数y=-2(>0)的图象上所有的点都满足为<1： 若a>0,如图2，W1上所有点均满足y2一y1≤1， 在W2上即当G十1≤a时，设(t,一2t)是函数y=-2x(x≤a)图象上一点，则(t,2t-4a2)在W2的图象上， ∴.对于函数y=一2x(x≤a)的图象沿直线y=b翻折后的图象记为W2:y=2x2一4a2(x≤a), W2的图象上所有的点都满足2一≤1， .2(1+1)2-4a2-2x+4a2≤1， .4x+2≤1， x≤-4' 1 a+1<号， 0<a≤是， 馀上所选，-子<a<是。 3 (10分) 九年级数学参考答案(C)52025年秋季九年级期末限时检测试卷 数学 注意事项： 1.答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条 形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2.必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3.答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4.请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5.答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 部 6.本学科试卷共25个小题，考试时量120分钟，满分120分. 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在下列各题的四个 如 选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项.) 1.时光流转，我们共同迎来2026年的学习生活，愿同学们在知识的陪伴 下，脚踏实地，努力前行.现在让我们从数学的视角开启这一年：2026的 製 相反数是 A.2026 B.-2026 C.2026 D. 2026 2.如图，该几何体的左视图是 常 正面 g.00. 3.下列运算正确的是 A.a2+a3=a5 B.(ab)2=ab2 C.5m2·n=5m5 D.(y+1)2=y2+1 4.某校九年级数学兴趣小组做摸球试验，在一个不透明的袋子中装有除颜 色外其他均相同的黑球、白球共20个.将球搅匀后从中随机摸出一个， 记下颜色后再放人袋中，不断重复，如表是试验中的一组数据，由此可以 估计袋中白球的个数为 摸球次数n 50 100 150 200 250 300 500 摸到白球的次数m 28 61 93 124 145 183 300 摸到白球的频率 0.56 0.61 0.62 0.62 0.58 0.61 0.60 A.7 B.8 C.10 D.12 数学试题(C) 第1页（共8页） 5.在平面直角坐标系中，若点A(a,一b)在第一象限内，则点B(a,b)所在 的象限是 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 6.为“有效减少近视发生，呵护孩子光明未来”，学校为全校同学做了视力 检查.某班体育委员将全班50名同学视力检查数据，绘制成了如图所示 的条形统计图，则这50名同学视力检查数据的中位数和众数分别是 人数/名 16 12 12 P 0 4.7以下4.74.84.94.9以上视力情况 A.4.8,13 B.4.7,4.8 C.13,4.8 D.4.8,4.8 7.2025年亚洲冬季运动会上我国滑雪运动员取得了优异的成绩，图①为 滑雪比赛的精彩瞬间，抽象为如图②所示的图形，已知滑雪杖AB和滑 雪板DE平行，滑雪杖AB与大腿BC的夹角为30°，小腿CE与滑雪板 DE的夹角为80°，则大腿与小腿的夹角∠C的度数为 30° 80个 D 图① 图② A.80° B.90° C.100° D.110° 8.不等关系在生活中广泛存在.如图，α，b分别表示两位同学的身高，c表 示台阶的高度.图中两人的对话体现的数学原理是 我比你高 你还是比我高 A.若a>b,则a+c>b十g B.若a>b,b>c,则a>c E.若a>b,c>0,则ac>bc D.若a>b,c>0,则>名 9.保障国家粮食安全是一个永恒的话题，任何时候这根弦都不能松.某农 科实验基地，大力开展种子实验，让农民得到高产且容易发芽的种子.该 农科实验基地两年前有81种农作物，经过两年不断的努力培育新品种， 现在有100种农作物种子，若这两年培育新品种数量平均年增长率为 x,则根据题意列出方程为 数学试题(C)第2页（共8页） A.100(1-x)=81 B.100(1+2x)=81 C.81(1-x)2=100 D.81(1+x)8=100 10.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点， △ABC是等腰直角三角形，其直角顶点B在x轴 正半轴上，点A,点C在函数y=(k>0,x>0)的 图象上，延长CB交y轴于点D(0,一2).若点B 的横坐标为4，则k的值为 A.2 B.4 C.6 D.12 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11.使5一x在实数范围内有意义的x的取值范围是 12.如图，二次函数y=ax2十bx十c(a>0)与一次函数y2=kx十m(k≠0) 的图象相交于点A(一1,4)，B(8,3),则使y1>y2成立的x的取值范围 是 13.如图，PA,PB是⊙O的切线，A,B为切点，∠OAB=38°，则∠P= 第12题图 第13题图 第15题图 14.已知一元二次方程2+x一2026=0的两根分别为m,则品+}的值 为 15.如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以A,B为圆心，以大于 AB的长为半径作弧，两弧相交于M,N两点：@作直线MN交BC于 点D,连接AD.若AD=AC,∠C=56°，则∠BAC的度数为 16.李志明、张斌、王大为三个同学毕业后选择了不同的职业，三人中只有 一个当了记者.一次有人问起他们的职业，李态明说：“我是妃者.”张斌 说：“我不是记者.”主大为说：“李志明说了假话.”如果他们三人的话中 只有一句是真的，那么 是记者， 数学试题(C)第3页（共8页） 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题 8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分.解答应写出必 要的文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(6分)计算：11-21-2cos45+x°-(3) 18.(6分)先化简，再求值：(2+m十m。)广376其中m=(-1. 19.(6分)如图①所示的是一款机械手臂，由上臂、中臂和底座三部分组 成，其中上臂和中臂可自由转动，底座与水平地面垂直.在实际操作中 要求三部分始终处于同一平面内，其示意图如图②所示，经测量，上臂 AB=12cm,中臂BC=8cm,底座CD=4cm. (1)若上臂AB与水平面平行，∠ABC=60°，计算点A到地面的距离； (结果保留根号) (2)在一次操作中，上臂AB与中臂BC夹角为120°，如图③，此时点A 与点C到地面的距离相等，求A,C两点之间的距离.（结果保留根 号) 图① 图② 图③ 数学试题(C)第4页（共8页） 20.(8分)2025年人工智能飞速发展，相关题材新闻密集发酵，Deepseek 广受关注，相关话题讨论持续火热，海内外AI模型、机器人都已获得显 著的技术突破.目前人工智能市场分为A:决策类人工智能，B:人工智 能机器人，C:语音类人工智能，D:视觉类人工智能四大类型.为了解人 们对以上四类人工智能的兴趣，某学校就“你最关注的人工智能类型” 进行了一次调查，并将调查结果绘制成如图统计图（不完整）.请根据图 中提供的信息，解答下列问题： (1)此次共调查了 人，扇形统计图中C类对应的圆心角度 数为 (2)请将条形统计图补充完整； (3)学校预备开设AI类社团课，请同学们按照抽签的方式组队针对A, B,C,D这四个类型进行资料收集和研讨.求甲晒同学抽中同 一个类型的概率 +人数 120 120 100 100 A D类 50 50 B类 30% C类 A类 B类C类 D类类别 21.(8分)如图，BE是⊙O的直径，点A在⊙O 上，点C在BE的延长线上，CA是⊙O的切 线，AD平分∠BAE交⊙O于点D,连接 BD,DE. (1)求证：∠EAC=∠ABC (2)当AC=8,DE=62时，求CE的长， 数学试题(C)第5页（共8页） 22.(9分)2025年“健康体重管理行动”被正式纳人“健康中国行动”专项， 从国家层面为全民体重管理绘出新蓝图.为积极响应国家政策号召，传 播科学减重理念、助力公众建立健康生活方式，在长沙，“举步可达”的 智慧健身房已超过400家，将市民的“15分钟健身圈”压缩至“5分钟生 活圈”.现在某健身房要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的 健身需求.据了解，甲型健身器材的单价比乙型健身器材的单价低 300元，用50000元购买甲型健身器材的数量和用56000元购买乙型 健身器材的数量相同， (1)甲、乙两种型号的健身器材的单价各是多少元？ (2)该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共15台，且甲型健 身器材的购买数量不超过乙型健身器材购买数量的2倍，购买甲型 健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 23.(9分)如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O.E,F分别 是边AB和对角线AC上的点，连接DE,DF,且∠EDF=∠BDC, ta∠EDR=手 (1)求证：△DEB∽△DFC; (2)若BE=4,求CF的长； (3)若CF-号AC,求sinADE, 24.(10分)若四边形一个顶点引出的一组邻边相等，且该顶点引出的对角 线平分这个四边形的一个内角，我们称这样的四边形为“等邻边内分 四边形”，把这条对角线叫做四边形的“内分线” (1)下列四边形是“等邻边内分四边形”的是 (填序号) ①菱形；②矩形；③正方形；④上底与腰相等的等腰梯形， (2)如图1，已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=30°，AB=2√3， 点D是Rt△ABC外接圆上的一点.若四边形ABCD是“等邻边内 分四边形”，请求出这个“等邻边内分四边形”的“内分线”的长度。 图1 图2 (3)如图2，C为定线段BD上异于B,D的一个动点，△ABC和 △CDE都是等边三角形，且在BD同侧，AD,BE交于点F,AD, CE交于点H,AC,BE交于点G,FC,GH交于点K. (ⅰ)求证：四边形FGCH为“等邻边内分四边形”； (ⅱ)求证：直线FC恒过定点. 数学试题(C)第7页（共8页） 25.(10分)抛物线Cy=(k2一2)x2一4kx十m的对称轴是直线x=2,且 它的最低点在直线y=一2x十2上，求： (1)抛物线C的函数解析式， (2)将抛物线C关于x轴进行翻转，并将翻转后的图形沿直线y=x 向左下方平移2√2个单位长度，求平移之后的抛物线C2的函数解 析式； (3)点A(a,b)为抛物线C2图象上的一点，将抛物线C2(x≥>a)的图象 记为W,将抛物线C(x≤a)的图象沿直线y=b翻折后的图象记 为W,当W,W2两部分组成的图象上任意点(x,y)和点（十 1,)(两点同在W上或W2上)都满足y2一y≤1时，求实数a 的取值范围. 数学试题(C)第8页（共8页）