2025-2026学年佛山市普通高中教学质量检测（一）高三数学

2025~2026学年佛山市普通高中教学质量检测（一) 高三数学 2026.1 本试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120.分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必要填涂答题卷上的有关项目。 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动， 先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效。 4.请考生保持答题卷的整洁考试结束后，将答题卷交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合A={2,3,5},B={2,5,8,则AUB= A.{3} B.{8 c.{2,5} D.{2,3,5,8} 2.已知复数z=1-2i,则z·z= A.-3-41 B.-3+41 C.5 D、5 3.设等差数列{an}的前n项和为Sn.若S3=15,So=120,则a,= A.12 B.15 C.18 D.21 4..已知非零向量a,b,c满足3a+4b+5c=0,4==,则ab= B.-1 c.0 D. 5,已知a=l1og元，b=1o8,5,c=),则 A.a<b<c B.a<c<b C.b<c<a c<b<a 6.已知△4BC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且面积S满足2S=a2-(b-c2,则tan= 2 3 c.3 D.2 7.圆O:x2+y2=4和圆O2:x2+y2+6x+8y+9=0的两条公切线的交点坐标为 A.(1,2) B.（2,3) (3,4) D.（4,5) 8.下列曲线中，与曲线y=x-3x交点个数最多的是 A.y=-2x B.+=2 C.y2=4 D.y=x2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.对相同的样本数据选取不同的组距（每组为左闭右开区间）画出如图1、图2所示的频率分布直方图，其 中图2的部分信息丢失，由频率分布直方图的信息对总体进行估计，则 颜率 频率 组距 组距 0.15 0.15 0.05 0.05 12 24681012 图1 图2 A.图2中[4,6)的频率为0.3 B.图2众数的估计值唯一 C.图1与图2中位数的估计值相同 D.图1与图2平均数的估计值相同 10.在棱长为2的正方体ABCD-AB,C,D,中，点M为侧面ADDA,内一点（包含边界），则 A.三棱锥B-MCB,的体积为定值 B.BM+MC的最小值为5 C.若BD⊥CM,则M的轨迹长度为2√2 D.三棱锥M一BCB外接球的体积存在最大值与最小值 11.已知函数f(x)的定义域为R,对任意正实数t,函数y=f(x+t)-f(x)在R上单调递增，则 A.f(0)<f(2) B.2f9<f孕+f2) C.若f(1)=1,f(2026)=2026,则f(10)<10 D.登r0<1013[r0+/(2026] 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.(2√+)°的展开式的常数项为一 13.若函数f(x)=si山ox(w>0)在区间[元，3元]上至少有2个零点，则w的最小值是 已知P,2是稀圆E名+片1(Q>b>0)上关于原点O对称的两点，F是E的右焦点，PF的题 线交E于点R,∠OFR=60°，3F时=5R时，则E的离心率为 2025~2026学年佛山市普通高中教学质量检测（一）高三数学试题第2页（共4页) 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2+c2”(c为常数，且c≠-2. (1)求{an}的通项公式： (2)若a,=2,令b,=1,求数列{b,b}的前n项和工 log2an 16.(15分) 如图，三棱柱ABC-A,B,C中，平面BB,CC⊥平面ACC,A,BC=AC=2CC=2,∠BCC=120°， M为AC的中点. (1)证明：B,C∥平面ABM: (2)证明：平面ABM⊥平面ACCA: (3)若∠CAA=60°，求直线AB与平面ABM所成角的正弦值， 17.(15分) 某款AI(人工智能)机器人进行射门游戏，射中得1分，未射中得-1分，当累计得分X达到2分或-2分 时游戏结束，否则游戏将一直进行下去，X=2时获胜，X=-2时落败，已知该款AI机器人射门的命中率为 a(号≤a<1),各次射门相互独立 (1)求机器人恰好射门4次后获胜的概率； (2)A表示“机器人射门n次，游戏仍未结束”， (i)若a=克求P心4A)和Pwlu)(keN: ()若P心n:l4)-号(keN),求游戏结束时X的数学期望， 20252026学年佛山市普通高中教学所量检测（一）高三数学试题第3页（共4页） 18.(17分) 已知函数f(闪=nx-a+(a≠0). x-1 (1)讨论f(x)的单调性： (2)若f(x)存在两个极值点x,,求f(x)+f(x2): (3)若f(x)存在两个零点为，x4,在A(,0),B(x4,0)处分别作曲线y=f(x)的两条切线，2， 证明：1与l2的交点在y轴上. 19.(17分) 已知点42，B2.双酯线C:芹卡-1(a>0b>0)的一条断近袋方程是y=,直线 被C截得的弦长为2√3. (1)求C的方程. (2)已知P,Q是C的右支上不同的两点，且存在实数入，使得AP=入AQ. (i)若点D满足PD=1DO,求证：点D总在某定直线上. (ⅱ)若直线PB与C的另一个交点为R(异于2)，求证：直线OR过定点，并求出该定点的坐标.2025~2026学年佛山市普通高中教学质量检测（一） 高三数学试题参考答案与评分标准 2026.1 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 题号 1 2 3 4 5 6 > 8 答案 D D B C C A C B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 题号 9 10 11 答案 AC ACD BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.240: 13. 2 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.【解析】(1)当n=1时，a1=S=4+2c,……1分 当n22时，an=Sn-Sn=(2+1-2”）+c2”-2"-）=2”+c2" …3分 4+2c,n=1 经验证，因为c≠-2，所以a,=4+2c不满足上式，所以a, …6分 (2+c)2-,n≥2 (2)a2=(2+C）2=2,解得C=-1,…7分 [2,n=1 1,n=1 a, 所以b= …8分 2"-,n≥2 ,n≥2 (n-1 bh,=1,当n22时，b.hn-nn-1n 11 …11分 君=6*a-城+的11-日分兮+2日 n-1 n n 当n1时，T=1也满足上式，所以，对任意的EN,工=2-1 …………13分 16.【解析】(1)连接B,A,设B,A∩BA=N,由三棱柱的性质得四边形ABB,A为平行四边形， 则N为B,A的中点，…1分 B 又M为AC的中点，所以MNI∥B,C, …2分 因为MNC平面ABM,B,C丈平面ABM,…3分 C 所以B,C∥平面ABM.…4分 (2)由题意可得B,C1=BC=2,∠B,CC=60°， 在△B,CC中，由余弦定理得B,C2=CC2+CB-2CC.C B cos∠60°=3，所以B,C=V5,5分 由勾股定理得B,C⊥CC,…。 …6分 又平面BB,CC⊥平面ACC,A,平面BB,CC∩平面ACC,A=CC,B,CC平面BB,CC, 高三数学试题第1页共4页 所以B,C⊥平面ACC,A.… …7分 又MN/B,C,所以MN⊥平面ACCA.… …8分 又MNC平面ABM,所以平面ABM⊥平面ACC,A;…9分 (3)连接AC,则△B,CC兰△ACC,所以CC⊥CA,…10分 R 以C为原点，建立空间直角坐标系C-yz,如图所示，… …11分 则c000.4.a0,k5-10.a0-15.w5o, 51 B=(5.0,5),BA=65,1-5),M4=(20)12分 1 n.MA=0 设平面ABM的法向量为n=(x,y,z),则 y=0 n.BA=0 即}2x+ V3x+y-√3z=0 令x=1,得n=1,-V3,0), …13分 设直线AB与平面ABM所成角为O, AB.n 则sinO=cos<AB,n>= ……14分 ABn 1√3+3V1+3 所以直线AB与平面4BM所成角的正弦值为 A …15分 17.【解析】(1)恰好射门4次后获胜等价于前两次射门1次命中，1次未命中，后两次射门都命中，所以恰好 射门4次后获胜的概率P=Ca(1-a)×ax2=2(1-a)a3. …4分 ②(i)当第2次射门的结果与第1次不同游戏未结束，P(44)= 若Ak41发生，则2k+1次射门后X=1或X=-1,设事件B=“进行2k+1次射门后X=-1”, 则P(A,k2B)=a,P(4k+2B)=1-a,6分 由全概率公式得P(A2lAk)=P(B)P(A,+2B)+P(B)P(A,+2B) =P(Ba+(1-P(B)0-a)= ,…8分 (i)若4：发生，则2k次射门后X=0,P(424)=Ca(1-a)=号 解得必气子或舍去)…10分一 X所有可能的取值是-2和2，考虑前2次射门，若2次都射中或都未射中，游戏结束：若1次命中，1次未 中，相当于重新开始， a 4 因此P(X=2)=a2+C2a(1-a)P(X=2),解得P(X=2)= 2a2-2a+15' PX=-2)=(1-a+Ca(1-a)PX=-2),解得PX=-2)=g-20+1=1 2a2-2a+151 …14分 所以X的分布列为 高三数学试题第2页共4页 X -2 2 ò 1 4 5 5 则E(0=(-2x写+2 6 5 …15分 5 2a 18.【解析】(1)f(x)的定义域为(0，)UL,+oo),f(x)=二+ (x-1)2+2ax …2分 (x-1)2 x(x-1)2 当a>0时，f(x)>0,此时f(x)在(0，)，(1，+oo)单调递增： …3分 当a<0时，设g(x)=(x-1)2+2ax=x2+(2a-2)x+1, 则△=(2a-2)2-4=4a(a-2)>0,设g(x)=0的两根分别为x,x2(x<x2) 由韦达定理得x+x2=2-2a>0,xx=1,所以x,x2均为正数， …4分 由f(x)>0,得0<x<x或x>x2,由f(x)<0,得x<x<1或1<x<x2, ……5分 此时f(x)在(0，x),(x2,+o)单调递增，在(x,1),(1,x2)单调递减. 综上，当a>0时，f(x)在(0,1)，(L,+oo)单调递增： 当a<0时，f(x)在(0，x),(x2,+o)单调递增，在(x,1),(1,x2)单调递减. …6分 (2)由(1)得，此时xx2=1,f(x)+f(x2)=f(x)+f(二) ………7分 a2+1 nx-ax+D+lnL方=nx+ln3 1a(x+1),a(x+1) =0 …8分 x-1 nx工-1/ x-1 x-1 (3)由(1)可得，当a<0时，x,x2分别为f(x)的极大值点与极小值点，且0<x<1<x2,…9分 圆c)=nx+之0,0闲=nx-了 x-17 一a+>0,所以f0)无零点：…10分 当a>0时，f(x)在(0,1)单调递增，且x→0时，f(x)→o0,x→1时，f(x)→+0，…11分 所以f(x)在(0,1)存在唯一零点x,同理可得f(x)在(L,+o∞)存在唯一零点x4,…12分 a(+D 又f(-)=ln X4 =-Inx+ a+D=-f0x,)=0,且0<1<1， 11 1-x4 1 所以x3= ,即x3x4=1. …13分 直线（的方程为y=f(x)(x-x)= 1 2a （x-x3) …14分 令x=0,得l与y轴的交点为 0-1 同理l2与y轴的交点为0，-1- 2axs …15分 (3-1)2 (x4-1)2 1 2a 由x3x4=1,得-1- 2axs =-1- =-1 2ax3 …16分 (x4-1)2 (1-102 (x-1)21 X 所以l与L2的交点在y轴上. …17分 高三数学试题第3页共4页 19.【解析】(1)依题意，a=b.… …1分 因为直线AB方程为x=2,且双曲线C关于x轴对称，所以AB与C的两个交点为2，±V3)…2分 因此4-3=1，解得a2=1,… …3分 所以双曲线C的方程为x2-y2=1. …4分 (2)(i)设P(x,y),(x2,2),D(xo,yo) 由P-A40得G-2y-3)=,-2为-3引，即5-2=-2) ………5分 y-3=02-3) 依题意，显然元1，所以2=-，3=-坐…06分 1-2 1- 又P(x,),(,)在x2-y2=1上，所以x2-=1,…②x号-=1，…③ ②-x@得-25（化+x）---0+)=14 1-元 1-λ 1-元 代入①得2x+x)-30+元，)=1+元，显然元≠-，故2x+5-3x+必=1,8分 1+元 1+ 由PD=1D0得(，-，6-y)=2-,4-0,即=1+元 x1+元x2 %=上+ ,…9分 1+2 所以2x。-3y。=1,即点D总在某定直线上，且该定直线的方程为2x-3y=1.…10分 (i)依题意x≠2且为≠3，设k,,由(10知2-当-3=元， x2-2y2-3 进一步可知， x-2=4-32x-3y-l④ -2h-32x-3y2- …11分 同理可得-2=2x-1 …⑤ …12分 x-2y⅓-12x-y-1 对@用比例的性质得23-1-2-2)-0y-3》_2-y-」 …⑥ …13分 2x2-3y2-12(x2-2)-0%2-3)2x2-y2-1 对⑤用比例的性质得一 2x-y-1-2(x-2)-3y-1)_2x-3y-1 …⑦ …14分 2x-3-12(x-2)-3y-1)2x-3y-1 由@⑦消法x,得25-少-1_25-32-1 …15分 2x-⅓-12x-3y-1 再由比例的性质得 2x2-当-1_2x2-3y2-1_(2x2--0-(2x-3y-D=五 2x3-⅓-12x-3y-1(2x-y-1)-(2x-3y3-1)⅓ 2x2-2-1_2x32-3y2-1_3(2x2-y2-1)-(2x2-3y2-)_2x2-1 2x--12x-3y-13(2x-为-1)-(2x-3y-1)2x-1 故女新引即片-片，这表明置线0注定点公0 …17分 y2x3-11 1 -22 其它解法若正确同等给分。 高三数学试题第4页共4页