第1章三角形的证明 自主学习单元达标测试题 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

2025-2026学年北师大版八年级数学下册《第1章三角形的证明》 自主学习单元达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1.下列各命题的逆命题不成立的是() A.三边对应相等的两个三角形全等B.等边三角形是锐角三角形 C.同位角相等，两直线平行 D.到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上 2.满足下列条件的△ABC,不是直角三角形的是() A.AC2+BC2=AB2 B.AC:BC:AB=3:4:5 C.∠C=∠A+∠B D.∠A:∠B:∠C=9:12:15 3.已知等腰三角形中一个内角的度数为50·，则该等腰三角形底角的度数为() A.50° B.50°或65° C.650 D.55°或65 4.如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交AC,AB于点D,E,AE=2cm, △BDC的周长为7cm,则△ABC的周长是() A.7cm B.9cm C.11cm D.13cm 5.如图，在四边形ABCD中，∠A=35°，∠C=25°，∠D=50°，则∠1的度数为() B A.70 B.100° C.110° D.130° 6.如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线0M与边AC的垂直平分线0N交于点O,这 两条垂直平分线分别交BC于点D、E,己知△ADE的周长为14cm,分别连接0A、OB、 0C,若△0BC的周长为29cm,则0A的长为()cm. A.6.5 B.7.5 C.15 D.43 7.如图，等边三角形ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，E、F分别是ACAD边上的动 点.当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为() A.15° B.25o C.30o D.45° 8.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4,点D在线段AB上运动，以CD 为边在左侧作等腰Rt△CDE,使∠DCE=90°，取AC的中点F,连接EF,当EF的值 最小时，BD的长为() D A.2y2 B.2 c.5 .2 二、填空题（满分24分） 9.利用反证法证明命题“同一平面内，平行于同一直线的两条直线平行”，第一步应该假 设：一 10.△ABC的一个外角等于120°，且∠A=∠B,则∠A的度数为 11.如图，0P平分∠A0B,∠A0P=15°，PCOA,PD=4,PD⊥0A,垂足为D, 则0C= B D 12.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠DBC与∠ECB是△ABC的两个外角， BF平分∠DBC,交∠ECB的平分线于点F,连接AF,交BC于点G.若∠ABC=50°， 则∠AGC=一°. 13.如图，△ABC中，∠ACB=90°，CP平分∠ACB,BP平分∠ABC, ∠ABP=15°，过点P作MNI‖BC,分别交AC、AB于M、N,设AB=12,则 △AMN周长是」 A B 14.如图，在△ABC中，AB,AC的垂直平分线与BC分别交于D,E,∠BAC=115°， 则∠DAE= 15.如图，△ABC中，∠C=90°，角平分线AD、BE相交于I,AI=3ID,AE=m, BD=n,则AB=一·（用含m、n的式子表示） B 16.如图，△ABC是等边三角形，点D在AC右侧，∠ADB=60°，连接DC,过点B作BE⊥DC 交DC的延长线于点E,若AD=5,DC=2,则CE的长为 三、解答题（满分72分） 17.为了解决市民的“菜篮子”问题，政府准备在S区建立一个蔬菜配送中心E,A、B两个蔬 菜基地向配送中心供应新鲜的蔬菜，再由配送中心通过m和两条高速公路送到市区菜场， 要使这个配送中心到蔬菜基地的距离相等，同时到两条公路的距离也相等，这个蔬菜配送中 心应该建于何处？在图上标出配送中心的位置.（保留作图痕迹，不写作法，要写答句） B m 18.如图，AD与BC相交于点O,AB=CD,∠A=∠C,BE=DE (1)求证：△AB0兰△CD0: (2)求证：OE垂直平分BD, 19.如图，△ABC为等腰三角形，AC=BC,△BDC和△ACE分别为等边三角形， AE与BD相交于点F,连接CF并延长，交AB于点G (1)求证：G是AB的中点： (2)若AC平分∠DCG,求∠BAE的度数 20.如图，己知AC⊥BC,AD⊥DB,E为AB的中点. C 图1 图2 (1)如图1，求证：△ECD是等腰三角形 (2)如图2，CD与AB交于点F,若AC=BC,CE=4,BF=1,求CD的长 21.如图，AD是△ABC(AB>AC)的角平分线，延长AD到点E,使DE=AD,点F 在BC的延长线上，且DF=BD,连接EF. 图1 图2 (1)求证：∠E=∠EAC (2)在BC的下方作∠FDG=∠ADC,∠DFG=∠ACB,如图2所示.用等式表示线段FG与 AB的数量关系，并证明. 22.如图1,0C平分∠A0B,点D,点E分别在射线0A,OB上，且 ∠DCE+4=90°，CF⊥0B垂足为点F. A A 图1 图2 图3 (1)求证：∠0CD=∠ECF; (2)如图2，以CE为对称轴，将射线CD翻折，交OB于点G ①求证：CD=CG; ②如图3，连接DE,直接用等式表示线段DO,DE,E0,OF之间的数量关系 23.如图，△ABC是等腰直角三角形，AB=BC,直角顶点B在x轴上，一锐角顶点C在 y轴上. 图1 图2 图3 (1)如图1，若点B的坐标是（一2,0），点A的坐标是(3,2)，则点C的坐标为 (2)如图2，若y轴恰好平分∠ACB,AB与V轴交于点D,过点A作AE⊥y轴于点E,问CD与 AE有怎样的数量关系？并说明理由. (3)如图3，直角边BC的两个端点在两坐标轴上滑动，使点A在第二象限内，过点A作 AF1y轴于点F,在滑动的过程中，为定值，求出这个定值. 参考答案 1.解：A.原命题：三边对应相等的两个三角形全等；逆命题：全等三角形的三边对应相 等，因为全等三角形的对应边相等，所以逆命题成立，故A不符合题意： B.原命题：等边三角形是锐角三角形；逆命题：锐角三角形是等边三角形；因为锐角三角 形不一定三边相等（如三边不等的锐角三角形），所以逆命题不成立，故B符合题意； C.原命题：同位角相等，两直线平行；逆命题：两直线平行，同位角相等；逆命题成立， 故C不符合题意； D.原命题：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上；逆命题：在线段垂直平分线 上的点到线段两端距离相等；逆命题成立，故D不符合题意. 故选：B. 2.解：A.AC2+BC2=AB2由勾股定理逆定理，△ABC是直角三角形，∠C=90°. B.AC=3k,BC=4k,AB=5k,AC2+BC2=9k2+16k2=25k2, AB2=25k2, ·AC2+BC2=AB2,△ABC是直角三角形，∠C=90°. C.∠C=∠A+∠B,又∠A+∠B+∠C=180°， :2∠C=180°，∠C=90°，△ABC是直角三角形. D.设∠A=9x,∠B=12x,∠C=15X,则9x+12x+15x=36x=180°，X=5°， :∠C=75°≠90°，△ABC不是直角三角形. :不是直角三角形的是D. 故选：D. 3.解：分两种情况： 当等腰三角形的顶角为50°时，则底角的度数为=专×(180°一50)=65°； 当等腰三角形的底角为50°时，则底角的度数为50°， 综上所述，该等腰三角形的底角度数为50°或65°， 故选：B. 4.解：：DE是边BA的垂直平分线， ÷DA=DB,AE=BE=2cm, :△BDC的周长为7cm, :BD+DC+CB=7cm, ·DA+DC+CB=7cm, 即AC+CB=7cm, 又：BA=AE+BE =2+2 =4cm, .BA+AC+CB =4+7 =11cm, ÷△ABC的周长是11cm. 故选：C 5.解：如图，延长AB交CD于点E B D E :在△ADE中，∠BEC是外角， ∴∠BEC=∠A+∠D=35°+50°=85°. :在△BEC中，∠1是外角， ∠1=∠BEC+∠C=85°+25°=110°. 故选：C 6.解：：OM是AB的垂直平分线，ON是AC的垂直平分线， :.DA=DB,EA=EC,0A=0B,0A=OC, .0B=0C=0A, :△ADE的周长为14cm, :DA+DE+EA=14cm :BC=DB+DE+EC=14cm, :△OBC的周长为29cm, ∴.0B+0C+BC=29cm, .20A+14=29cm, .0A=7.5cm 故选：B 7.解：过点B作BE⊥AC交AD于点F,连接CF, B4 等边三角形ABC的边长为4，AD是BC边上的中线， ·AD垂直平分BC, :BF=CF .EF+CF=EF+BF≥BE .当BE⊥AC时，EF+CF取得最小值 :等边三角形ABC的边长为4， .AE=EC=2, :AF=FC, .∠FAC=∠FCA, :AD是BC边上的中线， ∴∠BAD=∠CAD=30°， .∠ECF=30o. 故选：C 8.解：如图，连接AB, D B :△CDE是等腰直角三角形，∠ACB=90°，∠DCE=90°， .CD=CE,∠ACB=∠DCE .∠CAB=∠CBA=45°，∠ACB-∠DCA=∠DCE-∠DCA ∴∠ACE=∠BCD .AC=BC,CD=CE .△ACE≌△BCD(SAS ∠CAE=∠CBD=45°，AE=BD ∴∠DAE=DAC+∠CAE=90° ·AE⊥AB ·.点E在过点A且垂直于AB的直线上运动 当EF⊥AE时，EF最短，则∠AEF=90°， :∠CAE=45° ·∠AFE=∠CAE=45° ·AE=EF :AC=4,点F为AC中点 .AF=AC=2 .AF2=AE2+EF2=2AE2 :BD=AB=号AF=2 故选：D. 9.解：由原命题“同一平面内，平行于同一直线的两条直线平行”的结论是“两条直线互相平 行”， 因此反证法第一步应假设结论不成立，即“这两条直线不平行”， 故答案为：这两条直线不平行. 10.解：分两种情况讨论： ①当该外角为∠C的邻补角时，∠A+∠B=120°， 又：∠A=∠B, :2∠A=120°，解得∠A=60°； ②当该外角为∠A(或∠B)的邻补角时，∠A=180°-120°=60°： 综上，∠A的度数为60°. 故答案为：60°. 11.解：如图，过点P作PE⊥OB于点E,