专题01 三角形的证明及其应用相关压轴题（最值折叠综合动点4类32道）（期末真题汇编，江西专用）八年级数学下学期

专题01 三角形的证明及其应用相关压轴题 （最值折叠综合动点4类32道） 4大高频考点概览 考点01最值问题 考点02折叠问题 考点03综合问题 考点04 动点问题 ( 地 城 考点 01 最值问题 ) 1．(24-25八下·江西宜春丰城第九中学·期末)如图，在中，，，，是边上一点且，点，分别是边，上的动点，则的最小值为（   ） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 【答案】B 【详解】解：作点D关于的对称点G， 则， ∴， 过G作于F交于E， 当三点共线，且时，取得最小值， 此时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为2.5， 故选：B．    2．(24-25八下·江西景德镇乐平·期末)如图，在中，，，，为边的垂直平分线，点为直线上一动点，则的周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】江西省景德镇市乐平市2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试卷 【详解】解：如图，连接， ∵为边的垂直平分线， ∴， 由的周长为， ∴当三点共线，的周长最小值为， 故选：． 3．(24-25八下·江西南昌·期末)如图，直线是的边的垂直平分线，为垂足，是直线上任意一点，且，，，则的周长的最小值为（    ） A．8 B．10 C．15 D．17 【答案】D 【详解】解：如图，连接， 直线是的垂直平分线，是直线上任意一点， ， ， 当点是与直线的交点时，，即的值最小， ，， 的周长的最小值为：． 故选：D． 4．(24-25八下·江西景德镇乐平·期末)如图，在中，，点P为上任意一点，连结，以为邻边作平行四边形，连结，则的最小值为（  ） A． B． C．8 D．4 【答案】A 【详解】解：设与交于点O，作于．如图所示： 在中，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 当P与重合时，的值最小，则的值最小， ∴的最小值． 故选：A． 5．(24-25八下·江西宜春·期末)如图，在△ABC中，DE是边AC的垂直平分线，交AC于点D，交AB于点E，点P是直线DE上的一个动点，若AB=5，则PB+PC的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【详解】解：如图所示，连接AP， ∵DE是AC的垂直平分线， ∴AP=PC， ∴PB+PC=PA+PB， ∴要使PB+PC最小，则PA+PB最小， ∴当P、A、B三点共线，即P与E重合时，PA+PB有最小值，最小值为AB， ∵AB=5， ∴PB+PC的最小值为5， 故选A． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质是解题的关键． 6．(24-25八下·江西上饶万年县·期末)如图，点是的平分线上一点，过点作，垂足为点．若，点是上任意一点，则的最小值为______． 【答案】3 【详解】解：如图，作交于点D， 垂线段最短， 当时，最短， 是的平分线，， ， ， ， 即长度最小为3， 故答案为：3． 7．(24-25八下·江西赣州·期末)如图，在面积为12的中，，，于点D，直线垂直平分交于点E，交于点F，P为直线上一动点，则周长的最小值为__________． 【答案】7 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∵P为直线上一动点， ∴， ∴， ∴， ∴周长的最小值为7． 故答案为：7． 8．(24-25八下·江西景德镇·期末)在中，，，点P为边上一动点，连接，以为边作，则的最小值为______． 【答案】3 【详解】解：如图所示，设交于O，过点O作于D， ∵在中，，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， 在中，， 由垂线段最短可知，当点P与点D重合时，有最小值，即此时有最小值，最小值为， 故答案为：3． ( 地 城 考点 0 2 折叠问题 ) 9．(24-25八下·江西赣州上犹县·期末)如图，中，，沿折叠，使点B恰好落在边上的点E处，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：在中，，， ∴， 由折叠的性质可得：， ∴． 故选：C． 10．(24-25八下·江西抚州·期末)如图，在中，，，D是边上的定点，E是上的动点，沿折叠，点C落在点F处．当与的一边平行时，的度数是_______． 【答案】或或 【详解】解：， ， 由折叠的性质得， ， 当与的一边平行，有以下两种情况： ①当时（如图），， ， ， ， ； ②当时，又有两种情况： （i）点F在上方时（如图）， ， ， ， ， ； （ⅱ）当点F在下方时（如图）． 设， ， ， ， ． ， ， 解得， ． 综上所述，符合题意的的度数是或或． 11．(24-25八下·江西赣州崇义县·期末)如图，在中，，，点D，E分别在边，上，若沿直线折叠，点A恰好与点B重合，且，则_____ ． 【答案】9 【详解】解：根据题意得：， ∴， ∴， 由折叠可知， ，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：9． 12．(24-25八下·江西南昌一中教育集团·期末)如图，△中，，将△沿折叠，使得点B落在边上的点F处，若，，则 ______度． 【答案】 【详解】解：设，则， 由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∵，， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 13．(24-25八下·江西南昌外国语·期末)如图，在的纸片中，，，点D在边上，以AD为折痕将折叠得到，与边交于点E．若为直角三角形，则的大小是___________． 【答案】或 【详解】解：根据题意，当是直角三角形时，分两种情况讨论： ①当时，如图1， 由翻折的性质可知， ∴， 又∵， ∴， ∴ ②当时，如图2， ∴， ∴， 综上所述，的大小为或； 故答案为：或． 14．(24-25八下·江西赣州蓉江新区·期末)如图，把延翻折得到，若，则______． 【答案】60 【详解】解：∵， ∴， ∴， 由翻折可得， ∴， 故答案为：60． 15．(24-25八下·江西萍乡·期末)如图，点，分别在等边的边、上，将沿直线翻折，使点落在处，，分别交边于点，，若，则的度数为______．    【答案】/度 【详解】解：∵将沿直线翻折，使点落在处，，分别交边于点，， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴ ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，折叠的性质，等边三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 16．(24-25八下·江西省上饶市·期末)如图，在三角形纸片中，，将三角形纸片折叠，使点的对应点落在上，折痕与分别相交于点、，当为等腰三角形时，的长为______． 【答案】3或6或 【详解】解：∵， ∴， 如图：时 ∴折叠 ∴， ∴是直角三角形的斜边上的中点， ∴， 此时点与重合， ∵折叠， ∴； 如图：时 ∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴此时点与点重合， 即； 如图：时 ∵， ∴， ∵折叠， ∴， 则， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ， 即， 解得， 综上：当为等腰三角形时，的长为3或6或， 故答案为：3或6或， ( 地 城 考点 0 3 综合问题 ) 17．(24-25八下·江西宜春第三中学·期末)如图，为等边三角形，于点R，于点S，，，则下列结论：①P在的平分线上；②；③；④．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：是等边三角形，，，且， 在的平分线上，故①正确； ∵， ∴， 由①得：， ∴， ∴，故②正确； ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴，故④正确； ， ∵，，， ， ， ∵，， ∴，故③正确； 故选：D． 18．(24-25八下·江西赣州寻乌县·期末)如图，，，，分别平分的内角，外角，外角．以下结论：①；②；③；④和都是等腰三角形．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：①∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，故①正确； ②∵， ∴， ∵平分，， ∴，即，故②正确； ③∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故③正确； ④∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 故④正确， 综上，正确的有①②③④，共4个， 故选：D． 19．(24-25八下·江西抚州·期末)如图，中，，，的平分线交于点F，平分，给出下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（    ）个．    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，①正确； ∵是的平分线， ∴， ∵，，， ∴， ∴，②正确； 若，则， ∵， ∴，而不一定等于，则③错误； ∵是的平分线，， ∴，， 在与中，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴，④正确； ∵，，而不一定等于， ∴不一定等于，⑤错误； 综上，正确的结论有3个， 故选：B． 20．(24-25八下·江西赣州·期末)如图，C为线段上一动点（不与点A、E重合），在同侧分别作等边三角形和等边三角形，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接．下列结论：①；②；③；④；⑤；⑥连接，平分；⑦为等边三角形．其中正确的有（　　）    A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】C 【详解】解：∵、是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴，故①④正确； ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴，故②③⑦正确； ∵， ∴，故⑤错误， 作，，    ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴平分，故⑥正确， ∴正确的有6个，故C正确． 故选：C． 21．(24-25八下·江西九江·期末)如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形，下列结论中：①AB⊥AC；②四边形AEFD是平行四边形；③∠DFE＝135°；④S四边形AEFD＝20．正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：，，，， ， 是直角三角形，， ，故①正确； ，都是等边三角形， ， ， 和都是等边三角形， ，，， ， 在与中， ， ， ， 同理可证：， ， 四边形是平行四边形，故②正确； ，故③错误； 过作于，如图所示： 则， 四边形是平行四边形， ， ， ，故④错误； 正确的个数是2个， 故选：B． 22．(24-25八下·江西南昌南昌县·期末)如图，已知： ，，现有下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：， ∴ ， 在和中， ，故①正确； ，，故③正确； ， ， ， ，故②正确； 延长交于F， ， ， ，故④正确； 故选：D． 23．(24-25八下·江西九江部分学校·期末)如图，中，，， ，，垂足分别是下列结论：①平分；②平分；③；④上的点到两边距离相等．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【来源】江西省九江部分学校2024-2025学年八年级下学期期末数学试题 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 由，推出平分；得到上的点到两边距离相等；由，可推出，得到，，即可得到答案． 【详解】解：，， 平分， 故结论①正确； 上的点到两边距离相等， 故结论④正确； ，， ， 在和中， ， ，， 平分 故结论②③正确； 综上所述，结论正确的有个， 故选：D． 24．(24-25八下·江西上饶婺源县·期末)如图，点是等腰直角腰上的中点，，关于对称，且交于，交于，连接，，下列说法：①；②；③；④，正确的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：如图，连接，    ∵B、关于对称， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，即，故②正确； 由，可得，故③正确； ∵， ∴与不全等， ∴， ∴，故④错误； 假设，则， 又∵， ∴，这与矛盾， ∴假设不成立， ∴ 故选B． ( 地 城 考点 0 4 动点问题 ) 25．(24-25八下·江西吉安泰和县·期末)如图，在中，，是高，点是边上的动点，，． (1)求，的长； (2)直接写出是等腰三角形时，的长． 【答案】(1)， (2)或或 【来源】江西省吉安市泰和县2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题 【分析】本题考查了勾股定理，面积法，等腰三角形的性质，能根据等腰三角形的腰不同进行分类讨论是解题的关键． （1）由勾股定理得，由三角形面积得，即可求解； （2）分类讨论：当时，当时，当时，结合勾股定理等，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得 ， ， ， 解得：． （2）解：当时， ， ， ， ， ， ； 当时， ， ； 当时， ， ， ， ， ； 综上所述：的长为或或． 26．(24-25八下·江西上饶铅山县·期末)如图，在中，，，，动点、同时从、两点出发，分别在、边上匀速移动，点的运动速度为，点的运动速度为，当点到达点时，、两点同时停止运动，设点的运动时间为． (1)当t为何值时，为等边三角形？ (2)当t为何值时，为直角三角形？ 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）解：∵在中， ，， ∴， ∵，点的运动速度为， ∴， ∵点的运动时间为， ∴，， ∴， 当时，为等边三角形， 即， 解得：； ∴当时，为等边三角形； （2）解：若为直角三角形， ①当时， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：； ②当时， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：； 综上所述，当或时，为直角三角形． 27．(24-25八下·江西南昌·期末)在中，，点D、E分别是边、上的点，点P是一动点，设，，． (1)如图1，若点P在线段上，且，求的度数； (2)若点P在线段延长线上，请借助图2和图3，分别探究、与之间的关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)由图2可得，由图3可得，理由见解析 【详解】（1）解：根据图1可得：，， ∴， ∵， ∴，， 即； （2）解：由图2得，由图3得，理由如下： 如图2，设交于点， ∵，， ∴； 如图3，设交于点， ∵，， ∴； 28．(24-25八下·江西吉安永丰县·期末)已知中，为边上的高，动点P从点A出发，沿着的三条边逆时针走一圈回到A点，速度为，设运动时间为． (1)求的长； (2)t为何值时，是以为腰的等腰三角形？ 【答案】(1) (2)8.4或9或9.5 【详解】（1）解： ，，， ， ， 为边上的高， ， ； （2）解：当点在上，时， 在中，， 分两种情况：①当时，如图1， 由勾股定理，得 ，为边上的高， ， 则； ②当时，如图2，作于， 则，， 由勾股定理得，， 则； ③当时，如图3， ； 故当、9、9.5时，为等腰三角形． 29．(24-25八下·江西宜春高安·期末)如图：已知在等腰中，，点为左侧一动点，点在的延长线上，交于点，且．    (1)求证：； (2)请你判断是否平分，并证明你的结论； (3)若在点运动的过程中，始终有，在此过程中，请你判断的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)平分，证明见解析； (3)的度数不变， 【详解】（1）证明：，， ； （2）平分 证明：如图，过点A作于点，作于点．    则． 在和中， ， ． ， 平分； （3）的度数不变，， 如图，在上截取，连接．    ． ， ， ， ，即是等边三角形， ， ， ． 30．(24-25八下·江西上饶鄱阳县四十里街友谊联考·期末)【综合与实践】 如图，在数学活动课上，小明同学将等边三角形纸片与等腰直角三角形拼接在一起，并作了如下探究： 【初步感知】 （1）如图1，连接，求证：平分； 【深入探究】 （2）如图2，作的角平分线，连接，小明认为，会平分，请判断小明的想法对不对，并说明理由； 【拓展提升】 （3）在第（2）问的基础上，M，N分别为，上的动点，当的值最小时，猜想，，三条线段之间的数量关系，并给予证明． 【答案】（1）见解析；（2）小明的想法是对的，会平分，理由见解析；（3），证明见解析 【详解】（1）证明：等边三角形与等腰直角三角形中，， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）小明的想法是对的，理由如下： 如图，延长到点，使得， 等边三角形与等腰直角三角形中，， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴会平分； （3），证明如下： 延长到点，使得，过点G作于点H，连接， 由（2）知平分，则， ∵，， ∴， ∴， 当三点共线，且两点重合时，的值最小，最小值为的长， 如图， 此时，， ∵， ∴， ∴，即． 31．(24-25八下·江西宜春·期末)如图，在中，边的垂直平分线交于点D，若， (1)求的长； (2)若点P是直线上的动点，直接写出的最小值为_________． 【答案】(1)9 (2)9 【详解】（1）解：∵， ∴ ∵边的垂直平分线交于点D， ∴， ∴ ∴ 在中， ∴ ∴ （2）解：如图， 取点关于直线的对称点，即点；连接两点，与直线交于点， 根据两点之间线段最短 则即为的最小值，最小值为9 32．(24-25八下·江西赣州定南县·期末)如图1，已知等边ABC边长为4cm，点P、Q分别是边AB、BC上的动点，点P、Q分别从点A、B同时出发，且它们的速度都为1cm/s．连接AQ、CP交于点M． (1)求证：ABQ≌CAP； (2)在整个运动过程中，∠CMQ会发生变化吗？若变化，则说明理由；若不变，求出它的度数． (3)连接PQ，何时PBQ是直角三角形？ (4)如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交于点M，求∠CMQ的度数． 【答案】(1)见解析 (2)不变，∠CMQ =60° (3)第秒或第秒 (4)120° 【详解】（1）解：在等边△ABC中， ∵AB=AC，∠B=∠CAP=60°， 又∵点A、B同时出发，且它们的速度都为1cm/s， ∴AP=BQ， ∴△ABQ≌△CAP（SAS）． （2）解：不变，∠CMQ =60°．理由如下： 由（1）得△ABQ≌△CAP， ∴∠BAQ=∠ACP， ∴∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60°． （3）解：设运动时间为t秒，则AP=BQ=t，PB=4﹣t ①当∠PQB=90°时， ∵∠B=60°， ∴∠BPQ=30°． ∴BQ=PB，即， 解得； ②当∠BPQ=90°时， ∵∠B=60°， ∴∠PQB=30°． ∴PB=BQ，即， 解得； ∴当点 P、Q 运动到第秒或第秒时，△PBQ为直角三角形． （4）解：∵在等边三角形中，AB=AC，∠ABQ=∠CAP=60°， ∴∠PBC=∠ACQ=120°， ∵点A、B同时出发，且它们的速度都为1cm/s， ∴AP=BQ， ∴， ∴BP=CQ， 在△PBC和△QCA中， ， ∴△PBC≌△QCA（SAS）． ∴∠BPC=∠MQC， ∵∠PCB=∠MCQ， ∴∠CMQ=∠PBC=120°． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 三角形的证明及其应用相关压轴题 （最值折叠综合动点4类32道） 4大高频考点概览 考点01最值问题 考点02折叠问题 考点03综合问题 考点04 动点问题 ( 地 城 考点 01 最值问题 ) 1．(24-25八下·江西宜春丰城第九中学·期末)如图，在中，，，，是边上一点且，点，分别是边，上的动点，则的最小值为（   ） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 2．(24-25八下·江西景德镇乐平·期末)如图，在中，，，，为边的垂直平分线，点为直线上一动点，则的周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．(24-25八下·江西南昌·期末)如图，直线是的边的垂直平分线，为垂足，是直线上任意一点，且，，，则的周长的最小值为（    ） A．8 B．10 C．15 D．17 4．(24-25八下·江西景德镇乐平·期末)如图，在中，，点P为上任意一点，连结，以为邻边作平行四边形，连结，则的最小值为（  ） A． B． C．8 D．4 5．(24-25八下·江西宜春·期末)如图，在△ABC中，DE是边AC的垂直平分线，交AC于点D，交AB于点E，点P是直线DE上的一个动点，若AB=5，则PB+PC的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 6．(24-25八下·江西上饶万年县·期末)如图，点是的平分线上一点，过点作，垂足为点．若，点是上任意一点，则的最小值为______． 7．(24-25八下·江西赣州·期末)如图，在面积为12的中，，，于点D，直线垂直平分交于点E，交于点F，P为直线上一动点，则周长的最小值为__________． 8．(24-25八下·江西景德镇·期末)在中，，，点P为边上一动点，连接，以为边作，则的最小值为______． ( 地 城 考点 0 2 折叠问题 ) 9．(24-25八下·江西赣州上犹县·期末)如图，中，，沿折叠，使点B恰好落在边上的点E处，若，则等于（   ） A． B． C． D． 10．(24-25八下·江西抚州·期末)如图，在中，，，D是边上的定点，E是上的动点，沿折叠，点C落在点F处．当与的一边平行时，的度数是_______． 11．(24-25八下·江西赣州崇义县·期末)如图，在中，，，点D，E分别在边，上，若沿直线折叠，点A恰好与点B重合，且，则_____ ． 12．(24-25八下·江西南昌一中教育集团·期末)如图，△中，，将△沿折叠，使得点B落在边上的点F处，若，，则 ______度． 13．(24-25八下·江西南昌外国语·期末)如图，在的纸片中，，，点D在边上，以AD为折痕将折叠得到，与边交于点E．若为直角三角形，则的大小是___________． 14．(24-25八下·江西赣州蓉江新区·期末)如图，把延翻折得到，若，则______． 15．(24-25八下·江西萍乡·期末)如图，点，分别在等边的边、上，将沿直线翻折，使点落在处，，分别交边于点，，若，则的度数为______．    16．(24-25八下·江西省上饶市·期末)如图，在三角形纸片中，，将三角形纸片折叠，使点的对应点落在上，折痕与分别相交于点、，当为等腰三角形时，的长为______． ( 地 城 考点 0 3 综合问题 ) 17．(24-25八下·江西宜春第三中学·期末)如图，为等边三角形，于点R，于点S，，，则下列结论：①P在的平分线上；②；③；④．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 18．(24-25八下·江西赣州寻乌县·期末)如图，，，，分别平分的内角，外角，外角．以下结论：①；②；③；④和都是等腰三角形．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 19．(24-25八下·江西抚州·期末)如图，中，，，的平分线交于点F，平分，给出下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（    ）个．    A．2 B．3 C．4 D．5 20．(24-25八下·江西赣州·期末)如图，C为线段上一动点（不与点A、E重合），在同侧分别作等边三角形和等边三角形，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接．下列结论：①；②；③；④；⑤；⑥连接，平分；⑦为等边三角形．其中正确的有（　　）    A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 21．(24-25八下·江西九江·期末)如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形，下列结论中：①AB⊥AC；②四边形AEFD是平行四边形；③∠DFE＝135°；④S四边形AEFD＝20．正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 22．(24-25八下·江西南昌南昌县·期末)如图，已知： ，，现有下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 23．(24-25八下·江西九江部分学校·期末)如图，中，，， ，，垂足分别是下列结论：①平分；②平分；③；④上的点到两边距离相等．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 24．(24-25八下·江西上饶婺源县·期末)如图，点是等腰直角腰上的中点，，关于对称，且交于，交于，连接，，下列说法：①；②；③；④，正确的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 ( 地 城 考点 0 4 动点问题 ) 25．(24-25八下·江西吉安泰和县·期末)如图，在中，，是高，点是边上的动点，，． (1)求，的长； (2)直接写出是等腰三角形时，的长． 26．(24-25八下·江西上饶铅山县·期末)如图，在中，，，，动点、同时从、两点出发，分别在、边上匀速移动，点的运动速度为，点的运动速度为，当点到达点时，、两点同时停止运动，设点的运动时间为． (1)当t为何值时，为等边三角形？ (2)当t为何值时，为直角三角形？ 27．(24-25八下·江西南昌·期末)在中，，点D、E分别是边、上的点，点P是一动点，设，，． (1)如图1，若点P在线段上，且，求的度数； (2)若点P在线段延长线上，请借助图2和图3，分别探究、与之间的关系，并说明理由． 28．(24-25八下·江西吉安永丰县·期末)已知中，为边上的高，动点P从点A出发，沿着的三条边逆时针走一圈回到A点，速度为，设运动时间为． (1)求的长； (2)t为何值时，是以为腰的等腰三角形？ 29．(24-25八下·江西宜春高安·期末)如图：已知在等腰中，，点为左侧一动点，点在的延长线上，交于点，且．    (1)求证：； (2)请你判断是否平分，并证明你的结论； (3)若在点运动的过程中，始终有，在此过程中，请你判断的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数． 30．(24-25八下·江西上饶鄱阳县四十里街友谊联考·期末)【综合与实践】 如图，在数学活动课上，小明同学将等边三角形纸片与等腰直角三角形拼接在一起，并作了如下探究： 【初步感知】 （1）如图1，连接，求证：平分； 【深入探究】 （2）如图2，作的角平分线，连接，小明认为，会平分，请判断小明的想法对不对，并说明理由； 【拓展提升】 （3）在第（2）问的基础上，M，N分别为，上的动点，当的值最小时，猜想，，三条线段之间的数量关系，并给予证明． 31．(24-25八下·江西宜春·期末)如图，在中，边的垂直平分线交于点D，若， (1)求的长； (2)若点P是直线上的动点，直接写出的最小值为_________． 32．(24-25八下·江西赣州定南县·期末)如图1，已知等边ABC边长为4cm，点P、Q分别是边AB、BC上的动点，点P、Q分别从点A、B同时出发，且它们的速度都为1cm/s．连接AQ、CP交于点M． (1)求证：ABQ≌CAP； (2)在整个运动过程中，∠CMQ会发生变化吗？若变化，则说明理由；若不变，求出它的度数． (3)连接PQ，何时PBQ是直角三角形？ (4)如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交于点M，求∠CMQ的度数． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $