1.4.4 诱导公式与旋转课件-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

第一章 三角函数 1.4.4 诱导公式与旋转 回顾：根据定义可知以及终边的对称性得到了一些诱导公式，如果将角的终边旋转，又能得到什么规律呢？ 关于 x 轴对称 sin (-α) = -sin α； cos (-α) = cos α； 关于原点对称 sin (α±π) = -sin α ； cos (α±π) = -cos α； 关于 y 轴对称 sin (π-α) = sin α； cos (π-α) = -cos α. 问题1：如图，设锐角 α 的终边与单位圆交于点 P (u，v)，将终边绕点 O 沿逆时针方向旋转 得到点 P' (-v，u)，即 α + 的终边与单位圆交于点 P'，试着找出 sin α、cos α 与 sin (α + )、cos (α + ) 之间的对应关系. 由图可知，点 P 的横坐标 cos α 与 点 P' 的纵坐标 sin (α + ) 相等，即：sin (α + ) = cos α； 同理可得：cos (α + ) = -sin α . 问题2：类比问题 1 中结论，探究 sin α、cos α 与 sin (α - )、cos (α - ) 间的对应关系. sin (α + ) = cos α；cos (α + ) = -sin α . 解： 同理可得 归纳：对任意角 α，下列关系式均成立 (其中k∈Z). 通常称这些公式为正弦函数、余弦函数的诱导公式. sin(α + 2kπ) = sin α； cos(α + 2kπ) = cos α； sin(-α) = -sin α； cos(-α) = cos α sin(α±π) = -sin α； cos(α±π) = -cos α； sin(π-α) = sin α； cos(π-α) = -cos α； 思考 1：观察诱导公式中等号左右两边的正余弦符号，说说它与 有怎样的关系？ 当诱导公式左边括号内的是 的奇数倍时，等号右边的三角函数符号改变 (正弦变余弦，余弦变正弦)，如果是 的偶数倍时，等号右边的三角函数符号不变. 归纳：对任意角 α，下列关系式均成立 (其中k∈Z). sin(α + 2kπ) = sin α； cos(α + 2kπ) = cos α； sin(-α) = -sin α； cos(-α) = cos α sin(α±π) = -sin α； cos(α±π) = -cos α； sin(π-α) = sin α； cos(π-α) = -cos α； 思考 2：如果将 α 看成是锐角，则等号左边的角的象限与等号右边的符号有什么关系？同时基于上述的两个思考，说说你的发现? 奇变偶不变，符号看象限. 注：任意角 α 看成是锐角. 例1：求下列函数值. 解： (3)原式 例2：化简： 解：原式 解决化简求值问题的策略： (1) 诱导公式先行原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一； (2) 进行三角函数名称转化，保证三角函数名称最少. 解：原式 = . 1.化简： 2.化简： 解：原式 1. 本节课学习了哪些诱导公式？如何理解记忆？ 奇变偶不变 符号看象限 二看函数名称 一看角 三看式子结构 2. 利用诱导公式解决化简，求值，证明应注意哪些问题？ $