福建省部分地市2026届高中毕业班模拟测试数学试题

保密★启用前 潘笋证号 姓名 (在此卷上答题无效) 026届高中毕业班模拟测试 数学试题 2026.1 本试卷共4页，考试时间120分钟，总分150分. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的学校，班级和姓名填在答题卡上，正确粘贴条形码， 2.作答选择题时，用2B铅笔在答题卡上将对应答案的选项涂黑 3.非选择题的答案必须写在答题卡各题目的指定区域内相应位置上，不准使用铅笔和涂 改液 4.考试结束后，考生上交答题卡 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的， 1.已知集合A={x|1og2x≤1}，B={x|(x+3(x-1)<0},则AUB= A.（-3,2] B.（-3,1) C.(0,1) D.(1,2] 2.若等比数列{am}满足a2-a1=1,a5-a4=8,则a3= A.-4 B.-2 C.2 D.4 3.已知a,b均为单位向量，若a⊥(a+2b),则a与b的夹角为 A牙 B胥 c等 n牙 4.若复数z满足|z=|z-2=1,则z的虚部为 A.-1 B.0 C.1 D.2 5.将一个表面积为S的铁球熔化后重新浇俦成两个小球（熔化的铁水无损耗，无残留），则这两 个小球的表面积之和可能是 A.0.9S B.S C.1.1S D.2S n已知随机变量X,Y满足X+Y=1,若X~N(0,a2),且P(|Y<1)=0.2,则P(Y-1<2)= A.0.2 B.0.4 C.0.6 D.0.8 数学武题第1页（共4页） 7.若函数f(x)=(x+2)-ax5-bx3-cx是偶函数，则b= A.0 B.20 C.120 D.160 &设椭圆C+y a+6=1(Q>b>0)的中心为O,右顶点为A,若C上存在一点P满足P0LPA, 则C的离心率的取值范围是 A(分 B停 c停 n悟 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知一组样本数据为80,81,83,85,86,89，则 A若剔除80，则样本的极差变小 B若剔除80，则样本的平均数变小 C.若剔除83，则样本的中位数变大 D.若剔除89，则样本的方差变小 10.如图，某石凳可以看作是正四棱柱截去一个三棱锥得到的几何体，已知AB=AD=2,AE=3 BQ=1,PG=2,则 公该几何体的体积为11 B.直线PQ与EH所成的角为45 FH⊥PQ D.点G到平面DPQ的距离是点B到平面DPQ的距离的2倍 11.已知函数f(x)=sin3wx+cos3wx,w>0,则： Ax+2） Bx=0为f(x)的极小值点 C.f(x)的值域为[-1,1] D.若存在1∈R,使得x1≤x≤1+1)=fxlx∈R,则w的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.若双曲线C,=1的两条渐近线互相垂直，则m=▲ 'm2-m 数学试题第2页（共4页） 13.已知9∈(0,7)，sim(0-T)=sim20,则cos20=▲ 14.已知数列{an}满足：a1=1,a2=2,an(am+1-am-1)=2(n≥2，n∈N),则asa6=▲；记数列 侣}的前n项和为S,若S≥m,则正整数m的最大值为▲ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 为调研某地民众对于“未来低空出行”的了解情况，用简单随机抽样的方法，从该地调查了 300位市民，统计得到如下列联表： 了解 不了解 合计 女 90 60 150 男 110 40 150 合计 200 100 300 (1)根据小概率值α=0.010的独立性检验，分析对“未来低空出行”了解情况是否与性别有关； (2)在不了解未来低空出行”的100位市民中，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法抽 取5人，再从这5人中随机选取3人去智能飞行器中心实地参观，设X为女性市民的人数，求 X的分布列与期望 n(ad-bc)2 0.050 0.010 0.001 附：X2=a+bxc+aa+cb+西' Xa 3.841 6.635 10.828 16.(15分) 记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知3 ccosB=3a-bsinC. (1)求tanC; (2若D在边AB上，且CD=b,BD=1,m∠DCB=,求b, 数学试题第3页（共4页） 17.(15分) 如图，四校饿P-ABCD的底m是直角梯形，∠ABC=∠BAD-0.PC=3,AD=4,AO=2XAP, 0<λ<1. (ID当X-时，证明，BQ∥平面PCD: (2)已知平面PAD⊥平面ABCD,PA=CD=2,PD=2√3，平面OAB与平图QBC夹角的 余弦值为5.求△QBC的面积 18.(17分) 设函数f(x)=xln(a-x),a>0. (1)当a=2时，求曲线y=f(x)在点(1，f1)处的切线方程 (2)证明：f(x)存在唯一极大值点； (3)记f(x)的极大值点为xo,若存在a,使得fxo)≤a+b,求b的取值范围 19.(17分) 已知抛物线E:y2=2x,D1(1,0),k1=1,入为常数，λ>1.按照如下方式依次构造点D。 (n=2,3,…):过Dn1作斜率为k-1(kn1>0)的直线交E于An1,B-1两点，使得 ID1Am1=入|Dn1Bn-1|,令Dn为线段An-1Bm-1的垂直平分线与x轴的交点，记Da的坐 标为(xn,0). (1)求λ； (2)证明：xnk7=1; (3)设Sn为△AnBDn+1的面积，证明： 之S+1<22n+. S 数学试题第4页（共4页）2026届高中毕业班模拟测试 数学试题参考答案 12 345678 910 11 ADC BCBDB ACD BD ACD 一、j 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.答案：A 解析：易知A=(0,2],B=（-3,1),所以AUB=（-3,2].故选A. 2.答案：D 解析：4-a=g2=8,所以q=2,a,-a,=a,=1,所以4，=a,g=4,故选D. a2-a1 3.答案：C 解折：依题意，a-a+2）=+2a:b=0,解得a-b=-,所以a与b的夹角为 3 故选C. 4.答案：B 解析：方法1：设z=a+bi,则a2+b2=1,(a-2)+b2=1,解得a=1,b=0,故选B 方法2：因为在复平面内|z=1表示到原点距离为1的点，同理，|z-2=1表示到点 (2,0)距离为1的点，所以满足引zz-2=1的点为两个单位圆的公共点，结合图形可 知点的坐标为(1,0)，故选B 5.答案：C 解析：设大铁球的半径为”，两个小铁球的半径分别为，2，所以 经+经，即产=+，+=1，则<1，<1，所 3 片2+22<2r2 -9je-1 即4π2+52)>4π2=S,所以这两个球的表面积之和S满足S<S'<2S, 所以A,B,D选项错误： 取片→0，这两个球的表面积之和S'S, 取行=5=25，则这两个球的表面积之和为s=4π2r2=2S>11S, 所以存在S=1.1S,故选C. 6.答案：B 解析：依题意，P(Y<)=P(1-X<1)=P(0<X<2)=0.2,所以 P(Y-1<2)=P(1-X-1<2)=P(-2<X<2)=2P(0<X<2)=0.4,故选B. 7.答案：D 解析：依题意，x3项的系数为0，所以C23-b=0,解得b=160,故选D. 8.答案：B [x2+y2-ax=0 解析：以PA为直径的圆与椭圆有三个公共点，由了x2,y2 可得， a+6=1 高三数学第1页（共9页） -ar+62=0,解得x=a成r 1、b3 ab2 a2-b2 a22<a,即b1 所以、ab2 。<2,所以C的离心率e= 1-a 2 故选B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.答案：ACD 解析：对于选项A:原先的极差为9，删去80后极差变为8，所以A正确： 对于选项B,原先的平均数为84，删去80后平均数为84.8，所以B错误； 对于选项C:原先的中位数为84，删去83后中位数为85，所以C正确： 对于选项D:原先的均值x=84,方差2=S:删去89后，均值变为83，方差为<受 5 3； 方差变小，故D正确.故选ACD. 10.答案：BD 解析：对于选项A:截取三棱锥的体积为x1x1×2= 6 3,故该几何体的体积为 12-}-35,A选项错误 33 对于选项B:延长BQ,GP交于点C,因为EH∥BQ,CQ=CP,故∠BQP=I35°， 直线PQ与EH所成角为45°，B选项正确： 对于选项C:过P且垂直于FH的平面为平面AEGP,PQ￠平面AEGP,C选项错误： 对于D选项：由于BQ=QC,故B与C到平面DPQ的距离相等.同理，G到平面DPQ 的距离是C到平面DPQ的距离的2倍，故D选项正确.故选BD 11.答案：ACD 解析：fx+2五)=sin(or+2x)+coS(ox+2x)=simx+cosx=f),A选项正 确； f'(x)=3 wsin wxcosw((sinx-COS)),则fx)在区间[-元，乃]上的单调性如下： 在（后治.（品0，品动单调递， 在（恶己，心品，（品急单调建减 '40 04620 0 所以x=0为f(x)的极大值点，B选项错误： 因为0=品1，() ,所以f(x)的最大值为1， 因为副（烈}侣），)号，所以的最小值为1， 高三数学第2页（共9页） C选项正确； 由上可知，只需元≤1，即四≥受，所以仙的最小值为受D远项正确：故选 "w20 ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.答案：1 解析：易知C为等轴双曲线，所以m=2-m,解得m=1,故填1 13.答案： 、3 2 解析：方法1：0∈(0，引，20e(0,,所以sin(0-)=sin20>0,即0∈（任引 则有sin(0-)=sin20=sin(-20),且0-子e(0,孕，元-20e(0, 所以0-子=元-20，解得0=沿，所以c0s20=cs要=-5 6 2 方法2：因为sin(0-孕=sin20=sin[2(0-孕+罗，所以sin(0-孕)=cos2(0-孕，所以 2sin(0-孕+sin(0-孕-l=0,解得sin(0-孕=-1或sin(0-孕=7.因为0∈(0，， 所以8-晋（子孕，所以-竖<sn0-<竖，故sm0-孕=号此时， w20=-sm20-争=-20m0-孕0m0-孕=-9.放填-9 14.答案：506 解析：依题意可得an+1an-anan-1=2,即{an1an}是以a,a2=2为首项，2为公差的等 差数列，所以an+14n=2n,则有a2546=50,故填50： 因为1-04-8 则S,=1+4a+0&+…+0m-aL-1+9m+a,-a-42-0uta,-l 42 2 241 2 2 所以s-gaa--10516,下证：及s<7, 2 2 因为aa=2,则有aa=2m+2,所以22=”什，当n=2X时，22-2 an n 2k2k 则有a2=0.2=2×2× 3572k+1 a as ak 246 2k, 因为(2k-(2k+1)<(26,则2+1<，2k， 2k<2则有2)22+ 2k-12k 所以g×2×2x…×2+<2×3x4×5xx2×2+-2+ <一X一X一×一×··X (2462k12342k-12k 所以ak2<2V2k+1, 因为2k(2k+2)<(2k+1旷，则2在2±2，则有2k+2k+1.2+2 2k2k+1 2k 2k2k+1 2k+12k+2 (2462k234 =k+1, 2k2k+1 所以ak+2>2Vk+1, 高三数学第3页（共9页） 综上，2n<an<2V2n-1,所以V50<23<a6<10, 所以+-小如-小7，填6 四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分) 为调研某地民众对于“未来低空出行”的了解情况，用简单随机抽样的方法，从该地 调查了300位市民，统计得到如下列联表： 了解 不了解 合计 女 90 60 150 男 110 40 150 合计 200 100 300 (1)根据小概率值α=0.010的独立性检验，分析对“未来低空出行”了解情况是否 与性别有关： (2)在不了解“未来低空出行”的100位市民中，按性别进行分层，用分层随机抽样 的方法抽取5人，再从这5人中随机选取3人去智能飞行器中心实地参观，设X为女性市 民的人数，求X的分布列与期望. n(ad-bc) 0.050 0.010 0.001 附：X2= (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 3.841 6.635 10.828 解：(1)零假设为H。:对“未来低空出行”了解情况与性别无关联 …1分 X2= n(ad-be) 300×(90×40-60×1102 66.635， ……4分 (a+b)(c+d(a+c(b+d)200×100×150×50 根据小概率值α=0.010的独立性检验，没有充分证据推断H。不成立，因此可以认为H。成 立，即认为对“未来低空出行”了解情况与性别无关联.… …5分 (2)由题可知，不了解“未来低空出行”的100位市民中男女比例为2：3， 所以从市民中抽取的5人中，2位男性，3位女性. 。。,。。。。。。。。。。。。。。,。。。 ……7分 现在从中随机抽取3人，则女性的人数X可能为1,2,3， …8分 其中P(X=1)= 103, 93，,PX=2)=2=6s P(X=3)= 1 C …11分 所以X的分布列为： X 1 2 3 3 3 1 10 10 所以X的期望为E0=1×高+2×号+3x。-号 ×105 …13分 16.(15分) 记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知3 ccos B=3a-bsinC. (l)求anC: (2)若D在边AB上，且CD=b,BD=1,tan∠DCB=三，求b. 3 解法一：(1)由正弦定理得3 sin Ccos B=3sinA-sin BsinC,…1分 因为A=π-(B+C),所以3 sin Ccos B=3sin(B+C)-sin Bsin C,.…2分 3sin Ccos B=3sin BcosC+3cos BsinC-sin BsinC, 所以3 sin Bc0sC-sinBsinC=0,4分 高三数学第4页（共9页） 因为B∈(0，π)，所以sinB≠0， 所以3cosC-sinC=0,所以tanC=3, 6分 (2)tanC=-tan(d+B)=_tan4+tan B 3,…………………7分 1-tan Atan B 依题意， ∠CDA=A,则tan∠DCB=tan(A-B) 1 3 即 tan A-tan B 1 1+tanAtan B 3 …9分 tan A=2 解得 tan A=- tan B=1' 或 2(舍去) …11分 tan B=-1 所以snB= …12分 2 因为mDCB-号·所以sn∠CB= …13分 10 在△BCD中，由正弦定理可得， BD CD sin∠DCB sin B 所以b=CD=V5 15分 解法二：(1)由余弦定理得3c(a+c--3a-bsnC,。 …1分 2ac 化简得3(a2+b2-c2)=absinC, …3分 所以sinC= 3(a2+b2-c2) =3cosC, …5分 2ab 所以tanC=3… 6分 (2)依题意，∠ACD=∠ACB-∠DCB,且∠ACD=元-2A, 3、1 tan∠ACD=tan(∠ACB-∠DCB)=-3-4 1+3x13 …7分 3 所以ian∠ACD=tan(元-2A0=-tan2A=2tanA-4 tan2 4-13' 解得an4=2,anA=,又A为镜角，所以n有=2， 9分 tan A+tan B 因为tanC=-tan(A+B)= =3 …10分 1-tan Atan B 所以tanB=l, …11分 所以sinB= √2 …12分 因为am∠DCB=行所以sn∠DCB= …13分 10 在△BCD中，由正弦定理可得， BD CD sin∠DCB sin B 所以b=CD=5 ………15分 17.(15分) 如图，四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形， ∠ABC=∠BAD=90°，BC=3,AD=4,AQ=1AP,0<1<1. 高三数学第5页（共9页） (1)当1=}时，证明：BQ∥平面PCD: 4 (2)己知平面PAD⊥平面ABCD,PA=CD=2,PD=2√5，平面QAB与平面QBC 夹角的余弦值为 ,求△QBC的面积 5 解：(1)过Q作QR∥AD交AD于R. 当1=时，P0=3PA,所以QR=3AD 4 4 因为∠ABC=∠BAD=90°，所以BC∥AD,从而BC=3AD=QR 4 故四边形BCRQ是平行四边形，BQ∥CR, …*…4分 由于BQ丈平面PCD,CRc平面PCD, 所以BQ∥平面PCD.… y尽5分 (2)由已知得AB=VCD2-(AD-BCy=V5 因为AP2+PD2=AD2,所以PA⊥PD.… …℃…6分 因为平面PAD⊥平面ABCD,在平面PAD上过A作AD的垂线AH,则AH⊥平面ABCD, 以A为原点，AB的方向为x轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系A-2· B(V5,0,0),C(5,3,0),D(0,4,0),P(0,1,V3),Q(0,,V3).…7分 设平面QAB的法向量为m=(x,,). m0080令5，谷m三08D 由 得 …8分 m·AB=0 设平面QBC的法向量为n=(x2,2,2). 由 n-0B=0得、5x--5,=0,令=1，得n=(0,). 得 …10分 nBC=0 32=0 1 则cos(m,n)= …11分 2W22+1 5 解得元=一2 1 (舍去)，1= :12分 2 解法：因此QB=5-5), 21 BC=(0,3,0) 2 所以点Q到BC的距离h= BO·BC 115 …14分 LBC 2 所以△OBC的面积为1BC1h=3⑤ …15分 OB.BC 1 (cos∠QBC= IOBBC4' △O6C的面积为)1QB-BC1sin∠QBC-3M 4 解法二：在平面PAD上，过Q作AD的垂线交AD于E, 因为平面PAD∩平面ABCD=AD,所以QE⊥AD, 在平面ABCD上，过E作BC的垂线交BC于F,连接QF, 因为QE⊥BC,EF⊥BC,EF∩QE=E,所以BC⊥平面QEF,所以BC⊥QF,13分 因为片所以QE=5,所以Qr=Qe+B原0c+4B …14分 2 2 高三数学第6页（共9页） 所以△OBC的面积为BCQF=35 …15分 2 18.(17分) 设函数f(x)=xn(a-x),a>0. (1)当a=2时，求曲线y=f(x)在点(1，f)处的切线方程： (2)证明：∫(x)存在唯一极大值点： (3)记f(x)的极大值点为，若存在a,使得f(x。)≤a+b,求b的取值范围. 解当a=2时，f因=h(e-刘，fe)=n2-到2 …1分 所以f()）=0,f'(=-1,… …3分 所以y=∫(x)在点(1，f()处的切线方程为y=-x+1…4分 (2)f()的定义域为(-0，a),f'(x)=n(a-x)-x …5分 a-x 设8f闭=na-小g产则g(a)= a x-2a<0, a-x(a-x)}2(a-x2 …6分 所以g(x在(-0，a上单调递减，… …7分 又8a-日=-oe<0,8)-=ha+l* 0*7>0, 所以布在唯-的%(1a-月使得f)=0, 当x∈(-o,x)时"(x)>0,当x∈(x,a)时f'(x)<0,…9分 所以f(x)在(-oo,)单调递增，在(x,a)单调递减， 所以∫(x)存在唯一的极大值点；… …10分 (3)由(2)可得fx()=f()=xln(a-),且n(a-)= …11分 a-xo 令a-x=1>0,则1nt=a-l,即a=lnt+t, 所以f(x)-a=(a-t)lnt-a=tln2t-tlnt-t,令h()=tln2t-tlnt-t,…12分 依题意，存在a,使得f(xo)-a≤b，即hn()≤b, h'(t)=In2t+Int-2=(Int-1)(Int+2), 令h(t)>0,解得0<t<e2或t>e,令h(t)<0,解得e2<t<e, 所以h()在(0，e2),(e,+o)上单调递增，在(e2,e)上单调递减， …14分 当e@财、40=-h-小=--《2--}0-6 分 又h(e)=-e,则hm()=h(e)=-e,此时a=2e,x=e 所以b的取值范围是[-，+o)…… 17分 高三数学第7页（共9页） 19.(17分) 已知抛物线E:y2=2x,D(1,0),k=1,1为常数，2>1.按照如下方式依次构造 点Dn(n=2,3）:过Dn-1作斜率为kn1(化n1>0)的直线交E于An1,Bn1两点，使得 |Dn-1An-1=|Dn1Bn1I,令Dn为线段An-Bn1的垂直平分线与x轴的交点，记Dn的坐标为 (xn,0). (1)求2： (2)证明：x,k2=1: (3)设Sn为△4B D1的面积，证明： 受inw 解：(1)设A(a,C),B,(b,d1),易知直线AB的方程为x=y+1,…1分 联立广=2，可得-2y-2=0,解得G=1+5,d=1-5, …2分 x=y+1, 所以2=D4-S-1+5=2+5 …4分 IDBI ldl 3-1 (2)设直线4，B,的方程为x=’+x,(k,>0),A,a,c),B,（6,d), k。 y2=2x 联立 x=y+x 可得kny2-2y-2knxn=0, k 由韦达定理可得，0，+d,=友，c.d,=-2x …5分 ID,4l=lcl-ca=元， A 由D,s.dd, ……6分 因为+4)=2-(a+3=-2, M …8分 cnd 2 所以。=-2’化简得x=1, -2x 所以neN,x,k为定值1 9分 （3)设4B,的中点为M,则M,巴+色，十d),由(2)可知，k,= 2 2 ,则Mn(2xnVn), 所以ABn的垂直平分线方程为y=-V,x+2√，x。+V, 所以Dn1(2xn十l,0),即xnt1=2xn+1,…11分 所以x1+1=2(xn+1),即{xn+1}是以x+1=2为首项，公比为2的等比数列， 解得Xn=2”-1, …12分 因为1c,-d,= 4+8kx=23 则S=Sa+Ssa.-DDHG-d化，-W5=22-j, .…13分 高三数学第8页（共9页） 所以=22 2m- 1=221+ 1 =22+ +2'-1 1V2(2-1) 1 1+1+ 因为 5<20-D1+1 ……15分 2 42-1) 因为2六产2宁 1 1 2 所以2号225.0+-25m2 、 2) 2迈n+迈…17分 台S,台 1 2 高三数学第9页（共9页）