2026年江苏省苏北四市高三一模考试数学试题

2026届高三年级第一次调研测试 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡 上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1.己已知集合A={x|x2≤6，B={-3,-1,0,2,3},则A∩B= A.{-3,-1 B.{-1,0,2} C.{0,2,3} D.{-3,-1,0,2} 2.已知复数2=2 i'则2s A.1-i B.1+i c.-1-i D.-1+i 3.设Sn是等比数列{an}的前n项和，若S2=3a2,a1=2,则a4= A B.4 C.8 D.16 4.在对称轴为坐标轴的双曲线中，“离心率为√5”是“渐近线方程为y=±2x”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 5.已知线性相关的两个变量x,y的取值如右表所示，如果其 x3467 线性回归方程为y=14x-20,那么当x=7时的残差为 y204060m A.2 B.3 C.4 D.5 6.已知随机变量5-NB,a2),且P5≤=P5≥5)，则上+9 卡+a-0<x<a)的最小值为 A. B. C.16 D.48 高三数学试题第1页《共4页) ▣减口 Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 7.已知0为坐标原点，若椭圆E:女十 G子+31(Q>b>0)上存在三点A,B,C,使四边形 OABC为正方形，则椭圆E的离心率为 1 B. c.5 6 3 D. 3 8.已知锐角a,B满足，cosa=tanB, 1-sina L+sin=tan(6a-2p),则下列结论不可能成 cosa 立的是 A.a=30° B.a=70° C.B=50° D.B=80° 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.在(x-名)的二项展开式中，下列结论正确的是 A.常数项是60 B.各项系数之和是64 C.二项式系数最大值是20 D.不含x3的项 10.如图，已知圆柱0O2,底面半径为1，OO2=2,P为⊙O2上 一点，正方形ABCD内接于⊙O,则 02 A.BC∥平面PAD B.四棱锥P-ABCD的体积不为定值 C.四棱锥P-ABCD外接球的表面积为8π D.直线PB与平面ABCD所成角的最小值为T 13-h% n<2m且n为奇数， 1、2 11.已知数列{a,}的通项公式是an=32×(白)2，n≤2m且n为偶数，(m≥3，m,neN). 0n-2m' n>2m 设Sn为数列{an}的前n项和，下列结论正确的是 A.当m=5时，a2026=8 B.当a2o=2时，m=6 C.若存在n,使得Sn<0,则m≥16 D.不存在m,使得之a14,≤0 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知直线l:x-2y+1=0与直线)2：ax+y-1=0平行，则实数a的值为 13.已知平面向量a=(m,5)在向量b上的投影向量为(2,1)，则|a=· .已知函数f三。na,6eR且b+-I为奇函致，则不等式了化-a)+ x+1 f(x+b)>0的解集为一 高三数学试题第2页（共4页) ▣减口 Q。夸克扫描王 极速扫描，就是高效 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知函数f(x)=√5sin2ox-2sin2wx(o>0)的最小正周期为2π. (1)求o的值； (2)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,(2a-√3c)cosB=√5 bcosC, ④=1，△ABC的面积为 ,求b 2 16.（15分) 如图，在三棱锥A-BCD中，△ABD是边长为2的等边三角形，E为BD的中点， BC=√2，AC=2,∠DBC=45°. (1)证明：AE⊥BC; (2)若点F在棱CD上，二面角D-AB-F的正切值为25 ,求点F到平面ABC的 距离。 17.(15分) 现有除颜色外都相同的3个红球和3个白球，随机取3个球放入一个不透明的袋中， 记袋中红球的个数为X。·从袋中随机摸出一个球，并换入一个另一种颜色的球，经 过n次摸换，袋中的红球个数记为Xn· (1)求P(X。=0)与P(X=2); (2)求P(X,=1): (3)当X。=1时，求随机变量X,的数学期望 高三数学试题第3页（共4页) Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 18.(17分) 已知⊙O。：x2+y2=4,抛物线C:y2=2x(p>0)的准线与⊙O,交于M,N两点， 且IMWF5, (1)求抛物线C的方程： (2)己知圆心在x轴上，半径为，(n∈N)的⊙On与⊙On外切，且⊙O,与抛物线C 有且仅有两个公共点。 (（i)证明：数列{}为等差数列； (ⅱ)过点O,作斜率为1的直线1，交抛物线C于A,B两点，且|AB=226, 求n的值. 19.(17分) 己知函数f(x)=(x-2)(x-a),a∈R. (1)若x=2是f(x)的极小值点，求a的取值范围； (2)若直线y=(x-2)(t>0)与曲线y=f(x)的三个交点分别为A(x,fx)》, B(x2,f(x2)》,C(,f(》,且x<x2<3,x-名=1.记y=f(x)在A, C两点处切线的斜率分别为片，，若上=，求a的值： k,7 (3)若f(x)≥-sin()当且仅当x≥2，求a的取值范围. 高三数学试题第4页（共4页) Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效2025~2026学年度第一学期高三年级期末调研测试 数学参考答案 2026.1 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 1.B2.B3.A4.D5.A6.C7.D8.C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9.AC 10.ACD 11.BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 2.5 13.5 14.(0,U3,+o) 不写苏维合和月 四、解答题：本题共5小题，共77分。 15.(1)因为f=5sim2ox-2sin2ox=5sn2or+cos2ax-1=2sin(2ar+31,、~3分 所以7-答2，则@ ……4分 （2)由)得/w=2mx+爱-1，则/④=2sm4+爱-1l, 6 所以4骨=1，号-受即4-号 ……6分 因为(2a-V5e)cosB=3bcosC,所以(2sinA-N5sinC)cosB=5 sin BeosC, 则2 sin AcosB=√5(sin BeosC+cosBsinC)=√5sin(B+C)=√3sin(π-A)=√5sinA, 因为血40，所以B=5,则 2 6 …8分 所以C=不-A-B=于则△BC为直角三角形， 因为△1Bc的面积S=bm4=5=5 所以b=1。…13分 16.(1)证明：因为△ABD是边长为2的等边三角形，E为BD的中点，所以AE⊥BD, …1分 在△BCD中，由余弦定理得CD2=BC+BD-2BC,BD·cOs∠DBC,所以CD=√2， 因为E为BD中点，所以CE=1,因为△ABD是边长为2的等边三角形，所以AE=√5， 则AE2+CE2=AC,所以AE⊥CE, …3分 又AB⊥BD,BDNCE=E,BDc平面BCD,CEc平面BCD,所以AE1平面BCD,~~y分 又因为BCC平面BCD,所以AE⊥BC …6分 (2)解法一：以向量C,ED,E所在方向建立空间直角坐标系， 则A0,0,√5)，B0,-1,0),C1,0,0),D0,1,0), 因为F在线段CD上，设F(a,1-a,0)(0sas), 则BF=(a,2-a,0),B=(01,5), 设平面ABF的法向量为片=(，，)， 则区F=0即匹+2-州=0 Ba=0,y+5=0, 数学试卷第1页，共4页 所以元=a=2,3) ……8分 a 又平面ABD的法向量为元=(0,0,0)， …9分 因为二面角D-4B-F的正切值为25 1 13a-2 所以1os<风，元牛区： a 3a-2+12 解得a-孩3（含去，所以丽=保0： 35 …1川分 设平面48C的法向量为7=，，则C=0即 x+y=0, nBm=0,y+5z=0, 取z=1,则n=(5,-5,), …13分 5 所以点F到平面BC的距离4日：所。 1 方=14 …15分 解法二：过F做FH⊥BD,垂足为H,过H做HG⊥AB,垂足为G,连接GF, 因为AE⊥平面BCD,AEC平面ABD,所以平面ABD⊥平面BCD, ……8分 平面ABD∩平面BCD=BD,所以FH⊥平面ABD,又ABc平面ABD,所以AB⊥HF, 又GHFH=H,所以B⊥平面GF,所以∠FGH是=面角D-B-F的平面角，-b分 所以F阳25 …11分 GH 5 设FH=25x,GH=5x,所以BH= 10x ,DH=2-10 =FH=25x, 所以x5, m-2-8- …13分 8 由等体积法可得点F到平面BC的距离为 …15分 14 nx0-管高 ……2分 C Px,=2)-CC …4分 C201 (2)PX=)=PX=IX=0)PX。=0)+PX=|X,=2)PX。=2) 7 …8分 （3)当X=1时，X-02,x=l3,且PX=0=号PX=2)-号 …10分 则X=-AX=X-0rX=0+AX=X-2AX=习-专+号号- …12分 务果 ==6=引X=0PX=0+K-X=2=-0+号-号 …14分 奥随机变量无的数学期胆EX)1号3号-号 …15分 数学试卷第2页，共4页 18.(1)由题知抛物线的准线方程为x=-2,又MN卡5，由垂径定理知 2 5-4(p0以则=1所以抛物线C的方程为y广=2x …3分 4 (2)设0(xn,0),则⊙0n的方程为(x-x,)2+y2= 因为⊙0，与抛物线有且仅有两个公共点，则由 x-x+y=得 y2=2x (x-x,)》2+2x-2=0,即x2+(2-2x,)x+x-=0 △=(2-2x)2-4(x2-)=0,即1-2x.+r2=0, …5分 同理当n22时有1-2x.+r,=0, 将两等式相减可得：-己=2(x。一x), ……7分 而⊙0，与⊙0外切，则有xn-x1=+”1 …8分 即有-=2+)，又rn>0,则n+r>0 则n-=2,故数列{}为等差数列 …10分 (3)因为⊙0，与抛物线有且仅有两个公共点，则由 x-2-+y=了得： y2=2x 即x2-(2+2r)x+4+4折=0，由△=0，即5=3， …12分 由数列{}为等差数列，公差为2，则=2n+1, 则x,=2+2(G+5+…+Tn)+=2n2+2n+1. …14分 斜率为1的直线1，交抛物线C于A,B两点， 由2得：-+2+=0，则a>0+%=2+2= 所以AB=21x4-x上252x,+=226,则x=181,·、、、、、。、、6分 由x,=2m2+2n+1=181,则n=9或n=-10(舍去) 综上，n=9 …17分 19.（1))=2(x-2x-a)+6x-2}2=6x-23x-2a-2),令f0)=0得x=2或x=2a+2 3 ①当20+2>2，即4>2时，列表得 3 (-0,2) 2a+2 2 3 2a+2,+o）) 3 f'(x) 0 0 f(x) 极大值 极小值 所以x=2是(x)的极大值点，不符合题意， ②当20+2=2，即a=2时， '(x)≥0恒成立，无极值点，不符合题意 3 ③当202<2，即a<2时，列表得 x (，2a+2 2a+2 3 2+2,2 3 3 2 (2,+o) f'(x) + 0 0 f(x) 极大值 极小值 所以x=2是∫(x)的极小值点，符合题意. 综上可知，a的取值范围是(-o,2) …3分 注1：实数Q的取值范围正确给2分，丕检验单调性扣1分，共3分 数学试卷第3页，共4页 (2)由1x-2）=(x-2(x-a)得x=2或x2-(a+2)x+2a-1=0, 设g(x)=x2-(a+2)x+2a-1,则g(2)=1<0,所以g(x)=0有两不等实根. 所以x=2,+3=a+2,x=2a-1, 又因为与-=1，所以x=a 2,为=0+3 …5分 2 则2a-1a+Xa+3》,即4=8a-a+1Wa+3》>0,所以1<a<3. 6分 4 所以=6)，=6号， 2 22 吃8二号-片之得或生 不台8分 注2：不依据1<a<3的范围金去a=8扣1分共5分 (3)因为f)≥-sim()当且仅当x≥2，所以f③)=3-a≥-Lsin6,则a≤3 因为f0=1-a,当a≤1时，f0)>0,不符合题意： 当1<a≤3时， …10分 ①当x≥2时，f)+sin(o)=(cx-2(x-a）+sin()≥(x-2y(x-3)+sin(m) i记h()=(r-2}'(x-3)+sin(),h)=3x2-14x+16+cos() 放编 若x≥3，h'(x)≥1+cos(x)≥0，则h(x)单调递增，所以(x)≥A(3)=0. 若2≤x<3,令m(x)=3x2-14x+16+cos(),m'(x)=6x-14-πsin(x), 令1)=6x-14-πsin(元)，1(x)=6-元2cos(r),易得(x)单调递增， 所以(2)≤t(x)<1'(3),即6-元2≤1'(x)<6+元2，则3m,∈(2,3)使1'(m,)=0,列表得： [2,m) m (m,3) t'(x) 0 1(x) 极小值 因为t(2)=-2,(3)=4,所以3m∈(2,3)使(m)=0,列表得 x [2,m) m (m,3) m'(x) 0 + m(x) 极小值 又因为m(2)=1, m(3)=0,3m∈(2,3)使mm)=0, 列表得 x [2,m) m (m,3) h'(x) 十 0 h(x) 极大值 又h(2)=0,hA3)=0,所以(x)≥0，则当x≥2时，h()≥0. …14分 ②当x<2时，同①可证h(x)<0. 综上可得，a的取值范围是1,3]· …17分 数学试卷第4页，共4页