与三角形有关的重要角的计算 寒假专项训练-2025-2026学年人教版数学八年级上册

与三角形有关的重要角的计算 一、单选题 1．如图，在中，D为边上一点，B为延长线上一点，连接交于点F，若，，，则等于（　　） A． B． C． D． 2．在中，，，点D在边上，连接，若为直角三角形，则的度数为（   ） A． B． C．或 D．或 3．如图，在中，点D，E分别是上两点，将沿折叠，使点A落在点F处，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 4．如图，在中，，，将沿折叠，使点A落在直角边上的D点处，设与，边分别交于点E、点F，如果折叠后与均为等腰三角形，则的度数为（　　）度． A．30 B．45 C．60 D．30或45 5．如图，∠ABC＝∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF，以下结论：①AD∥BC，②∠ACB＝∠ADB，③∠ADC+∠ABD＝90°，④∠ADB＝45°﹣∠CDB，其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图，在中，平分，交于点，平分，交的延长线于点，交的延长线于点，下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 7．如图，在中，是高，，是角平分线，它们相交于点O．若，，则的度数为 ． 8．如图，在△中，点是内部的平分线上一点，连接，点是、平分线的交点，若，则的度数为 °． 9．如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，依此下去，若，则为 ． 10．如图，在中，三个内角的角平分线交于点，其中，，延长至点，与的平分线交于点，若，则 ． 11．下图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为，且，，保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应 （填“增加”或“减少”） 度． 12．如图是嘉嘉画的类似“燕子”的图形，平分，平分．若，，则的度数为 ． 13．如图，和的平分线和相交于P点，若，，那么的度数是 ． 14．如图，已知，则 ． 15．若一个三角形的两个锐角分别为∠与∠，如果，那么我们称这个三角形是差余三角形，∠叫作三角形的差余角． （1）若一个三角形的三个内角分别为，和，则这个三角形 （填“是”或“不是”）差余三角形． （2）在中，是边上一点，若是差余三角形，则的度数是 ． 三、解答题 16．如图，在中，AD，AE分别为BC边上的高线和的角平分线，于点F，当，时，求的度数． 17．已知中，，射线平分，点F为射线上一点，过点F作于点D． (1)若，． ①如图1，当点F与点A重合时，______； ②如图2，当点F在线段上（不与端点重合）时，求的度数； (2)设，，如图3，当点F在射线上时（不与点E重合），直接写出的度数．（用含x，y的式子表示） 18．已知直线与相交于点O，点E，F分别在射线和上． (1)如图1，，平分，平分，求的度数； (2)如图2，平分，平分，的反向延长线交于点； ①若，则__________度（直接写出结果，不需说理）； ②若，求的度数（请写出完整的推理过程）． (3)如图3，点在的延长线上，的角平分线，的角平分线与的角平分线所在的直线分别相交于点P、Q，若的某一个内角是的2倍；请直接写出的度数． 19．概念学习 规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”． 从三角形不是等腰三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”． 理解概念 (1)如图1，在中，，，请写出图中两对“等角三角形”概念应用 (2)如图2，在中，CD为角平分线，，． 求证：CD为的等角分割线．    20．我们定义： 在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的4倍，则这样的三角形称之为“和谐三角形”．如：三个内角分别为，，的三角形是“和谐三角形”． 【概念理解】 如图1，，点在边上，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点（点不与，重合） （1）的度数为　　 ，　　 （填“是”或“不是” “和谐三角形”； （2）若，试说明：是“和谐三角形”． 【应用拓展】 （3）如图2，点在的边上，连结，作的平分线交于点，在上取点，使，．若△是“和谐三角形”，请直接写出的度数． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 D C C D B C 1．D 本题考查三角形内角和定理，三角形外角性质，掌握相关知识是解决问题的关键。根据题意先求得，再根据三角形内角和定理即可求得． 解：∵，， ∴， 又∵， ∴， 故选：D． 2．C 本题考查了三角形的外角性质、直角三角形的性质，熟记三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．分、两种情况，根据直角三角形的性质、三角形的外角性质计算即可． 解：当时，， 当时，， ∵是的外角， ∴， 综上所述，的度数为或， 故选：C． 3．C 本题主要考查了三角形内角和定理，翻折的性质，解题的关键是掌握以上性质． 根据翻折的性质得出相等的角，然后利用周角、平角以及三角形内角和定理进行求解即可． 解：由折叠可得：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 4．D 先确定是等腰三角形，得出，因为不确定是以哪两条边为腰的等腰三角形，故需讨论，①，②，③，然后分别利用角的关系得出答案即可． 本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的定义，折叠的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 解：∵中，，且是等腰三角形， ∴， ∴， 连接， 设，由对称性可知，， ∴， ∵， ∴， 分类如下： ①如图1，当时，， 由，得， 解得：． 此时． ②如图2，当时， 则， 故， 由得：， 解得， 此时． ③时， 则， 故， 由得 此方程无解． ∴不成立． 综上所述，°或． 故选：D． 5．B 根据角平分线定义得出∠ABC=2∠ABD=2∠DBC，∠EAC=2∠EAD，∠ACF=2∠DCF，根据三角形的内角和定理得出∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，根据三角形外角性质得出∠ACF=∠ABC+∠BAC，∠EAC=∠ABC+∠ACB，根据已知结论逐步推理，即可判断各项． 解：∵∠CAE=∠ABC+∠ACB，∠ABC＝∠ACB， ∴∠CAE=2∠ACB， ∵AD平分∠CAE， ∴∠CAE=2∠CAD， ∴∠CAD=∠ACB， ∴AD∥BC，故①正确； ∵AD∥BC， ∴∠ADB=∠DBC， ∵BD平分∠ABC，∠ABC=∠ACB， ∴∠ABC=∠ACB=2∠DBC， ∴∠ACB=2∠ADB，故②错误； 在△ADC中，∠ADC+∠CAD+∠ACD=180°， ∵CD平分△ABC的外角∠ACF， ∴∠ACD=∠DCF， ∵AD∥BC， ∴∠ADC=∠DCF，∠ADB=∠DBC，∠CAD=∠ACB， ∴∠ACD=∠ADC，∠CAD=∠ACB=∠ABC=2∠ABD， ∴∠ADC+∠CAD+∠ACD=∠ADC+2∠ABD+∠ADC=2∠ADC+2∠ABD=180°， ∴∠ADC+∠ABD=90°，故③正确； ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠DBC， ∵AD∥BC， ∴∠ADB=∠DBC，∠ADC=∠DCF， ∵∠ADC+∠ABD=90°， ∴∠ADC=90°-∠ABD=， ∴， ∴∠BDC=90°-2∠ABD， ∴，故④错误． 故选：B 此题考查了三角形外角性质，有关角平分线的计算，平行线的判定，三角形内角和定理的应用，主要考查学生的推理能力，有一定的难度． 6．C 本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质；依次对每个结论进行判断：由平分和三角形外角性质可知①正确；由三角形内角和定理可知②正确；由三角形外角性质和角平分线的性质可知③正确；由三角形外角性质可知④不正确. 解：①∵是的外角， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 因此①正确； ②∵在中，， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， 因此②正确； ③∵平分， ∴， 又∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 即， 因此③正确； ④∵是的一个外角， ∴， 同理， 由③得， ∴ ， 因此④不正确； 综上所述，正确的结论有①②③，共3个. 故选：C. 7．5 本题考查了三角形内角和性质，与高有关的计算题，三角形的角平分线的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先运用三角形内角和性质算出，结合是角平分线，故，又因为是高，则，最后列式计算，即可作答． 解：∵，，     ∴， ∵是角平分线， ∴， ∵是高， ∴， ∴， ∴， 故答案为：5． 8． 本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线，掌握相关知识是解题的关键．先求出的度数，进一步得到的度数，据此得到的度数，最后根据角平分线的定义即可解决问题． 解：由题知， ∵点是、平分线的交点， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵点是内部的平分线上一点， ∴． 故答案为： 9． 本题考查了角平分线的定义、三角形外角的性质、图形类规律探索，总结归纳出的度数规律是解题的关键．根据角平分线的定义得到，，根据三角形外角的性质得到，，进而得到，进一步得出，即可求出． 解：∵和分别是的内角平分线和外角平分线， ∴，， ∵， ∴，即， 又∵， ∴， 同理可得：， ， …… ∴， ∴当时， 故答案为：． 10． 本题考查了角平分线的定义、三角形外角的定义及性质、平行线的性质，由角平分线的定义可得，求出，再由角平分线的定义可得，由平行线的性质可得得出，代入式子计算即可得解． 解：∵平分，且， ∴， ∵延长至点， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵是的外角，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 11． 减少 10 先通过作辅助线利用三角形外角的性质得到∠EDF与∠D、∠E、∠DCE之间的关系，进行计算即可判断． 解：∵∠A+∠B=50°+60°=110°， ∴∠ACB=180°-110°=70°， ∴∠DCE=70°， 如图，连接CF并延长， ∴∠DFM=∠D+∠DCF=20°+∠DCF， ∠EFM=∠E+∠ECF=30°+∠ECF， ∴∠EFD=∠DFM+∠EFM=20°+∠DCF+30°+∠ECF=50°+∠DCE=50°+70°=120°， 要使∠EFD=110°，则∠EFD减少了10°， 若只调整∠D的大小， 由∠EFD=∠DFM+∠EFM=∠D+∠DCF+∠E+∠ECF=∠D+∠E+∠ECD=∠D+30°+70°=∠ D+100°， 因此应将∠D减少10度； 故答案为：①减少；②10． 本题考查了三角形外角的性质，同时涉及到了三角形的内角和与对顶角相等的知识；解决本题的关键是理解题意，读懂图形，找出图形中各角之间的关系以及牢记公式建立等式求出所需的角，本题蕴含了数形结合的思想方法． 12．/25度 本题考查了角平分线的定义、三角形外角的知识，推导出∠A+∠AOC＝∠C+∠ADC是解题的关键． 设交于点F，由平分，平分，且，，求得，，由，得，即可解答． 解：设交于点F， ∵平分，平分，且，， ∴，， ∵，且， ∴， ∴， 故答案为：． 13．/40度 本题考查三角形内角和定理，角平分线，掌握相关知识是解决问题的关键．先利用三角形内角和得到，再利用对顶角得到得到，所以①，同理可得②，接着把两式相加，然后利用角平分线的定义得到，从而可确定的度数． 解：∵， 而， ∴①， 同理可得②， 得， ∵和的平分线和相交于P点， ∴，， ∴， ∴， 解得． 故答案为：． 14．/240度 本题主要考查三角形外角的性质，根据三角形外角的性质得，，那么．由，，得，进而解决此题． 解：∵，， ∴． ∵，， ∴． ∴． 故答案为：． 15． 是 本题考查三角形的内角和定理，三角形的外角性质，掌握三角形内角和定理是解题的关键． （1）根据差余三角形的定义求解即可； （2）先根据差余三角形的定义求的度数，再利用三角形内角和定理求解即可． 解：（1）∵， ∴内角分别为，和的三角形是差余三角形， 故答案为：是． （2）如图， ∵， ∴在中，和是锐角， ∵， ∴， ∵若是差余三角形， ∴， 即， ∴， ∴， 故答案为：． 16． 本题考查角平分线定义，三角形内角和定理等．根据题意先计算出，再计算出，继而得到，再利用角平分线定义得，再利用三角形内角和计算． 解：∵AD为BC边上的高线，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵AE为的角平分线， ∴， ∴． 17．(1)①；② (2) 本题主要考查三角形内角和定理，角平分线的定义，垂直的定义，三角形外角和的性质，直角三角形的性质等知识的综合，掌握与角平分线有关的内角和的计算，外角和的性质是解题的关键． （1）①根据三角形的内角和定理可得，根据角平分线的性质可得，根据直角三角形两锐角互余可得，由即可求解； ②类比上述证明方法可得，，由三角形的外角的性质可得，再根据直角三角形两锐角互余即可求解； （2）类比上述证明方法可得，根据角平分线的定义可得，由三角形外角和的性质可得，再根据三角形内角和定理可得． （1）解：①在中，，， ∴， ∵点F与点A重合， ∴， ∵射线平分， ∴， ∵，即， ∴在中，， ∴， 故答案为：； ②在中，，， ， ， 平分， ， 是的外角，且， ， ， 于点D， 在中，，， ； （2）解：，且，， ， 平分， ， ， 于点D， 在中，，， ． 18．(1) (2)①；② (3)或 本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）由三角形内角和定理可得的结果，再由角平分线的定义可推出的结果，据此由三角形内角和定理可得答案； （2）①设，由三角形内角和定理可得，则由平角的定义可得，由角平分线的定义可推出，则，据此由三角形内角和定理可得答案；②同（2）①求解即可； （3）由角平分线的定义和三角形外角的性质可证明；根据角平分线的定义和三角形内角和定理可求出， 则可得到；再分和两种情况，讨论求解即可． （1）解：∵， ∴； ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：①设， ∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∴； ②设， ∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵平分，平分， ∴； ∵，， ∴， ∴； ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴； 当时，则， ∴； 当时，则， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或． 19．（1）△ABC与△ACD，△ABC与△BCD，△ACD与△BCD是“等角三角形”；（2）见解析. （1）根据“等角三角形”的定义解答； （2）根据三角形内角和定理求出∠ACB，根据角平分线的定义得到∠ACD＝∠DCB＝∠ACB＝40°，根据“等角三角形”的定义证明. （1）△ABC与△ACD，△ABC与△BCD，△ACD与△BCD是“等角三角形”； （2）∵在△ABC中，∠A=40°，∠B=60° ∴∠ACB=180°-∠A-∠B=80° ∵CD为角平分线， ∴∠ACD=∠DCB= 40°， ∴∠ACD=∠A，∠DCB=∠A， ∴CD=DA， ∵在△DBC中，∠DCB=40°，∠B=60°， ∴∠BDC=180°-∠DCB-∠B=80°， ∴∠BDC=∠ACB， ∵CD=DA，∠BDC=∠ACB，∠DCB=∠A， ∠B=∠B， ∴CD为△ABC的等角分割线. 本题“等角三角形”的定义、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 20．（1），不是（2）见解析（3）或者 本题主要考查三角形的内角和定理，三角形外角的性质，平行线的性质和判定，理解和谐三角形的概念，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． （1）根据，得到，求得，得到，所以不是“和谐三角形”； （2）因为是的一个外角，得到，求出，，所以，所以得到是“和谐三角形”； （3）由，，得到，可以证明，得到，而，得到，由，得到，根据△是“和谐三角形”，即可求解． 解：（1）， ， ， ， 不是“和谐三角形”； 故答案为：，不是； （2）是的一个外角， ， 又， ， ， ， 是“和谐三角形”； （3），， ， ， ， 而， ， ， ， 平分， ， ， 是“和谐三角形”， 或者 或者． 学科网（北京）股份有限公司 $