15.3.2 等边三角形 寒假专项训练-2025-2026学年上学期初中数学人教版八年级上册

等边三角形 一、单选题 1．如图，已知与都是等边三角形，点B、C、D在同一条直线上，与相交于点G，与相交于点F，与相交于点H，连接．给出下列结论：①；②；③；④是等边三角形．其中正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，两个完全一样的含角的三角板，分别记作和．现将两个三角板重叠在一起，较长直角边的中点为，绕中点转动上面的三角板，使其直角顶点恰好落在三角板的斜边上．当时，则此时的长是（   ） A．6 B．8 C．9 D．10 3．如图，是等边三角形，点D是边上任意一点，于点E，于点F．若，则为（　　） A．4 B．5 C．6 D．3 4．如图，在中，，，于D，E是线段AD上一点，F是边上一点，且满足，G是的中点，连接．则下列四个结论①；②；③；④当时， ．其中正确的有（   ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 二、填空题 5．如图，对于，若存在点分别在上，使得，则称为的“反射三角形”．下列关于“反射三角形”的说法中，①若的“反射三角形”存在，则必为锐角三角形；②等边三角形的“反射三角形”必为等边三角形；③直角三角形的“反射三角形”必为直角三角形；④等腰三角形的“反射三角形”必为等腰三角形，正确的是 ． 6．如图，中，，等边三角形的三个顶点分别落在，上，若，则的长为 ． 7．如图，在锐角三角形外作等边三角形和等边三角形，则的大小为 ． 8．如图，等边三角形中，，平分，平分，经过点O，且与相交于点M，N，，则 ． 9．如图，在中，，D是线段上一点，连接，在线段上分别取两点E，F，连接，若，，则的长为 三、解答题 10．新定义：共顶点的两个三角形，，若，，且，我们称与互为“顶补三角形”．已知是的中线． (1)如图1，若为等边三角形时，求证：； (2)如图2，若为任意三角形时，上述结论是否仍然成立？请说明理由． 11．【模型感知】 （1）如图①，和都是等边三角形，求证：； 【模型应用】 （2）已知，点F在直线上，以为边在直线上方作等边三角形，过点E作于点D．如图②，若点F在点B右侧，求证：． 12．如图1，△ABC是边长为6cm的等边三角形，点P，Q分别从顶点A，B同时出发，沿线段AB，BC运动，且它们的速度都为1厘米/秒．当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（秒）． (1)当运动时间为t秒时，BQ的长为　 　厘米，BP的长为　 　厘米．（用含t的式子表示） (2)当t为何值时，△PBQ是直角三角形； (3)如图2，连接AQ、CP，相交于点M，则点P，Q在运动的过程中，∠CMQ会变化吗？若变化，则说明理由；若不变，请直接写出它的度数． 13．如图，是边长为6的等边三角形，P是边上一动点，由点A向点C运动（与A，C不重合），Q是延长线上一点，与点P同时以相同的速度由点B向延长线方向运动（点Q不与点B重合），过点P作于点E，连接交于点D． (1)若设，则 ；（用含x的式子表示） (2)当时，求 ； (3)在运动过程中，线段的长是否发生变化？如果不变，求出线段的长；如果变化，请说明理由 ． 14．如图，在中，，，在边上取点D，连接，使．以为一边作等边，且使点E与点B位于直线的同侧，． (1)求的度数； (2)点F在上，连接，，请判断是否是等边三角形，并说明理由． 15．如图，在中，，于点D，E是上一点，连接，与相交于点O，连接，，且． (1)求证：垂直平分； (2)若，求证：平分； (3)若，求证：是等边三角形． 16．如图，在四边形中，，平分，于点M，于点N，连接． (1)证明：； (2)若，证明：是等边三角形． 17．如图，是正三角形，是等腰三角形，，，以D为顶点作一个角，角的两边分别交边于M、N两点，连接．    (1)探究之间的关系，并说明理由． (2)若的边长为2，求的周长． 18．如图，点是内一点，是外的一点，，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； (3)探究：当为多少度时，是等腰三角形． 19．如图1，，与相交于点，． (1)如图1，求证：垂直平分； (2)如图2，在图1的基础上，过点作交的延长线于点，如果，求证：是等边三角形； 参考答案 题号 1 2 3 4 答案 D B B D 1．D 本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，利用等边三角形的性质得出条件，可证明：，可判断①正确；利用得出，利用8字形可得，可判断②正确；证明，得，可判断③正确；由和，根据“有一个角是的三角形是等边三角形可得是等边三角形，可判断④正确，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 解：∵和是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴，故①正确； ∵， ∴． ∵， ∴，故②正确； 在和中， ， ∴， ∴，；故③正确； ∵，， ∴是等边三角形；故④正确． 故选：D． 2．B 本题考查直角三角形的性质、等腰三角形的性质、旋转的性质，熟练掌握含角的直角三角形的性质是解题的关键． 连接，根据得到、，进而得到，根据得到，进而得到，从而得到，据此解答即可． 解：如图：连接， 、 故选：B． 3．B 本题考查了等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，设，则，利用等边三角形的性质以及含30度角的直角三角形的性质即可求解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 解：设， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵于点E，于点F． ∴，， ∴，， ∴． 故选：B． 4．D 本题考查等边三角形的性质及等腰三角形的性质，熟练掌握三角形的性质是解题的关键． 根据等边三角形的性质可以判断①③正确，根据三角形的内角和是，结合角之间的关系判断②④即可． 解：，， 是等边三角形， ∵， ， 因此①正确； 连接，如图所示： ，， 是的垂直平分线， ， ， ， ， 在中， ， 在中， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 因此②正确； 是等边三角形， ， ， ，即， ， ， 因此③正确； 当时，， ， ， ， ， ， ， 因此④正确； 综上，正确的有①②③④． 故选：D． 5．①②④ 本题主要考查了“反射三角形”，属于新定义问题，还涉及到三角形内角和定理，等腰及等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，读懂题意，合理利用三角形内角和定理是解决问题的关键．根据反射三角形的定义及三角形内角和定理求出，再逐个判断即可． 解：， 当时，， 钝角三角形或直角三角形不存在反射三角形， 只有锐角三角形存在反射三角形， 故①正确，符合题意； 当是等边三角形时，， 是等边三角形， 故②正确，符合题意； 当时，， 直角三角形不存在反射三角形 故③错误，不符合题意； 当是等腰三角形时，假设， 等腰三角形的“反射三角形”必为等腰三角形， 故④正确，符合题意； 故选：①②④． 6．14 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，含角直角三角形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质是解题的关键． 过D点作于点G，则，先证明，可得，从而得到，再由直角三角形的性质可得，，从而得到的长，即可求解． 解：过D点作于点G，则， 在中，，， ∴，， ∵为等边三角形， ∴，， ∴ ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 故答案为：14． 7．/120度 本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，根据等边三角形的性质得到，，，则，再根据三角形全等的判定方法可证得，根据全等的性质得出，然后根据三角形的外角性质解答即可． 解：∵和是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 8．4 连接，延长交于D，由等边三角形的性质推出，，由角平分线定义得到，推出，因此点O、A在的垂直平分线上，由等边三角形的性质得到，由含30度角的直角三角形的性质得到，判定，得到，同理：，即可求出的长． 解：连接，延长交于D， ∵为等边三角形， ∴，， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴点O、A在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴． 故答案为：4． 本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，含30度角的直角三角形，关键是由含30度角的直角三角形的性质推出，． 9． 本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键；由题意易得为等边三角形，再证明，则． 解：∵, ∴为等边三角形， ∴， ∵，, ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：5 10．(1)见解析 (2)结论仍然成立，见解析 本题是四边形综合题，考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． （1）由等边三角形的性质可得，，由互为“顶补三角形”定义可得，，由等腰三角形和直角三角形的性质可求； （2）延长到G，使，连接，，由题意可证四边形是平行四边形，可得，，得出，由互为“顶补三角形”定义可得，，，可证，即． （1）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵与互为“顶补三角形”， ∴，， ∵，是中线， ∴， ∴ ∴ （2）结论仍然成立，理由如下： 如图，延长到G，使，连接，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵与互为“顶补三角形”， ∴，，， ∴，，且， ∴， ∴． 11．（1）见解析；（2）见解析 本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据等边三角形的性质得出相等的角和边，证明即可得出结论； （2）在射线上截取，连接，,得出是等边三角形，证明，得出对应角相等，再根据含角的直角三角形的性质进行求解即可． （1）证明：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴（全等三角形对应边相等）； （2）如图，在射线上截取，连接，, ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴（全等三角形对应边相等），（全等三角形对应角相等）， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 12．(1)t，（6﹣t）； (2)2或4； (3)△CMQ不会变化，始终是60°，理由见解析 （1）根据点P、Q的速度都为1厘米/秒．得到BQ＝t厘米，AP＝t厘米，则BP=AB-AP=（6-t）厘米； （2）分当∠PQB＝90°时和当∠BPQ＝90°时，两种情况讨论求解即可； （3）只需要证明△ABQ≌△CAP得到∠BAQ＝∠ACP，则∠CMQ＝∠ACP+∠CAM＝∠BAQ+∠CAM＝∠BAC＝60°，即∠CMQ不会变化． （1）解：∵点P、Q的速度都为1厘米/秒． ∴BQ＝t厘米，AP＝t厘米， ∴BP=AB-AP=（6-t）厘米， 故答案为：t，（6﹣t）； （2）解：由题意得：AP＝BQ＝t厘米，BP=AB-AP=（6-t）厘米， ①如图1，当∠PQB＝90°时， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝60°， ∴∠BPQ＝30°， ∴PB＝2BQ，得6﹣t＝2t， 解得，t＝2， ②如图2，当∠BPQ＝90°时， ∵∠B＝60°， ∴∠BQP＝30°， ∴BQ＝2BP，得t＝2（6﹣t）， 解得，t=4， ∴当第2秒或第4秒时，△PBQ为直角三角形； （3）解：∠CMQ不变，理由如下： ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC，∠ABC=∠CAB=60°， 在△ABQ与△CAP中， ， ∴△ABQ≌△CAP（SAS）， ∴∠BAQ＝∠ACP， ∴∠CMQ＝∠ACP+∠CAM＝∠BAQ+∠CAM＝∠BAC＝60°， ∴∠CMQ不会变化． 本题主要考查了等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定等等，熟知等边三角形的性质是解题的关键． 13．(1) (2)8 (3)线段的长不发生变化，始终等于3，理由见详解 本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据等边三角形性质得，，再根据即可得出的长； （2）依题意得设，则，，由三角形内角和定理得，则是直角三角形，进而得，则，由此解出，继而可得的长； （3）过点P作，交于点H，则，，，由此得是等边三角形，则，，由此证明和全等得，则，然后根据得． （1）解：∵是边长为6的等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：依题意得：， 当时，设， ∴，， 在中，， ∴是直角三角形， ∴， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：8； （3）解：线段的长不发生变化，始终等于3，理由如下： 过点P作，交于点H，如图所示： ∴，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵于点E， ∴， ∴， 又， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 故答案为：线段的长不发生变化，始终等于3． 14．(1) (2)是等边三角形，理由见解析 本题考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）结合等边三角形的性质求出，根据等腰三角形的性质求出，再根据平角定义求解即可； （2）结合（1）求出，再根据“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”求解即可． （1）解：在等边中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：是等边三角形．理由如下： 由（1）可得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 15．(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 本题考查了线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质、角平分线的判定定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）证出，由线段垂直平分线的判定可得出结论； （2）由角平分线的判定可得出结论； （3）证出，．由（1）知垂直平分，则，由等边三角形的判定可得出结论． （1）证明：∵， ∴． ∵，点A，O在上， ∴垂直平分； （2）∵， ∴． 又∵，， 即，， ∴平分； （3）由（1）知． ∵， ∴是等边三角形， ∴，． 由（1）知垂直平分， ∴E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 16．(1)见解析 (2)见解析 （1）根据平行线的性质得到，根据角平分线定义得到 即可证明，从而证明； （2）根据直角三角形的性质求出，，，得到，即可证明是等边三角形． （1）证明：∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵于点M， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 本题考查了等腰三角形、等边三角形的判定、平行线的性质、直角三角形的性质等知识，熟知相关知识并根据题意灵活应用是解题的关键． 17．(1)；理由见解析 (2)4 （1）如图：延长至E，使得并连接，构造全等三角形，找到，再进一步证明，进而得到； （2）利用（1）中结论，将的周长转化为的和解答即可． （1）解：．理由如下： 如图：延长至E，使得并连接，    ∵是正三角形，是等腰三角形， ∴， 又∵，且， ∴， ∴， ∴， 在与中，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∵， 在与中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴． （2）解：∵为等边三角形， ∴， 利用（1）中的结论得出：， 的周长， ， ， ， ， ． 本题主要考查了等边三角形、等腰三角形的性质、全等三角形得判定与性质等知识点，正确作出辅助线、构造全等三角形是解答本题的关键． 18．(1)见解析 (2)是直角三角形，理由见解析 (3)当等于或或时，是等腰三角形 本题考查了全等三角形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定等知识. ()根据全等三角形的性质得到，再证明，即可证明是等边三角形； ()先求出，根据全等的性质得到，即可求出，从而得到是直角三角形； ()分别表示出，，，分①，②，③三种情况讨论即可求解. （1）证明：∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （2）解：是直角三角形，理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （3）解：由题意得：，， ∴； ①若，则，即， ∴； ②若，则，即， ∴； ③若，则，即， ∴； 综上，当等于或或时，是等腰三角形． 19．(1)见解析 (2)见解析 本题主要考查了等腰三角形的性质和判定、线段垂直平分线的判定、三角形外角的性质、直角三角形的性质以及等边三角形的判定． （1）根据等角对等边可求，，再运用垂直平分线的判定定理和两点确定一条直线即可证明垂直平分． （2）根据等腰三角形性质和三角形外角性质可知，再通过平行线性质和直角三角形性质可求，利用三角形内角和求，最后通过等边三角形的判定定理即可求证． （1）证明：，， ，， 在的垂直平分线上，， 在的垂直平分线上， 垂直平分． （2）证明：设， ， ， 是的外角， ， 由（1）得，， ， ， ， ， ， ， 即解得， ， 又， 是等边三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $