角平分线 寒假专项训练-2025-2026学年人教版数学八年级上册

角平分线 一、单选题 1．如图，是中的平分线，交于点E，交于点F．若，，，则的长为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 2．如图；平分，于点F，点D在上，于点H，若，，，则的长为（   ） A． B．5 C．7 D． 3．如图，在四边形中，，，．按下列步骤作图：①以点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交、于、两点；②分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点；③作射线交于点，则的长为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 4．如图，点到、、的距离恰好相等，则点的位置：①在的平分线上；②在的平分线上；③在的平分线上；④恰好是、、三条平分线的交点．上述结论中，正确的个数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 5．如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，，，则下列结论中正确的个数（    ） ①平分；②；③；④． A．个 B．个 C．个 D．个 6．如图，的三边、、的长分别为、、，三角形的三条角平分线将分为三个三角形，若的面积为，则的面积为（    ）． A． B． C． D． 7．如图，在中，平分交于点P，作，垂足分别为R、S，若，则下列四个结论：①；②；③；④．其中结论正确的序号有（　　） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 二、填空题 8．如图，在中，是角平分线，是中线，，交于点F，若的面积是22，，则 ． 9．如图，，点在上，于点，于点．若，则的长为 ． 10．如图，中，，①以A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交、于点E、F，②分别以E、F为圆心，以大于线段为半径画弧，两弧交于点P，③作射线交于点D．若，则 ． 11．图，是的角平分线，于点E，于点F，若，，则的面积为 ． 12．如图，，和分别平分和，过点P，且与垂直，垂足为A，交于点D若，则点P到的距离是 ． 13．如图，中，和的外角平分线、交于点P，于点E，若的周长为12，，，则 ． 三、解答题 14．在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O， （1）若∠ABC=60°，∠ACB=40°，求∠BOC的度数； （2）若∠ABC=60°，OB=4，且△ABC的周长为16，求△ABC的面积 15．如图，在中，，点D在上，连接，并延长至点E，连接，使． (1)作的平分线，交于点F（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，连接，求证：． 16．如图，的平分线与的平分线相交于点D，连接AD．求证：AD是的平分线． 17．如图，在中，，平分交于点D，，垂足为E，，求证：平分． 18．已知中，平分，交于点，平分，交于点D，与交于点． (1)如图1．求证：； (2)如图2，连接，求证：平分． 19．如图，中，点D在边上，的平分线交于点E，过点E作，垂足为F，且，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，且，求的面积． 20．如图，，两点分别在射线，上，点在的内部，且，，，垂足分别为，，且． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 21．如图，，的平分线与的外角平分线交于点，过点作于． (1)如图1，若，求的度数． (2)如图2，连，求证：平分． (3)如图3，若周长为20，求的长． 22．如图，点D是外一点，连接，，过点C作，垂足为E．，，，的面积为14． (1)求证：是的平分线． (2)若，求证：． 23．阅读以下材料，并解决问题 定义：如图1，射线在的内部，图中共有3个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“巧分线”． (1)如图2，，判断射线是不是的“巧分线”，并说明理由． (2)以下说法正确的是____________（请填出所有正确的序号） ①一个角的平分线是这个角的“巧分线”； ②一个角的“巧分线”是这个角的平分线； ③一个角的“巧分线”的个数不唯一． (3)如图3，已知，射线是的“巧分线”，且． 求作的一条巧分线（不与重合），并直接用含的代数式表示．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 B D C D C B A 1．B 本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 由角平分线的性质可得，，由题意知，计算求解即可． 解：∵是的平分线，，， ∴， ∵， ∴， ∴ 解得，． 故选：B． 2．D 本题考查了角平分线的性质，熟记角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 作，根据角平分线的性质求出，根据三角形的面积公式计算，得到答案． 解：作于， 平分， ， ， ， 解得，， 故选：D． 3．C 本题考查了角平分线的尺规作图和平行线的性质以及等腰三角形的判定等知识．根据题意可得：平分，即，根据平行线的性质结合等腰三角形的判定可得，进一步即可求解． 解：根据题意可得：平分，即， 故选：C． 4．D 利用角平分线的判定定理分析．由已知点P到BE，BD，AC的距离恰好相等进行思考，首先到到两边距离相等，得出结论，然后另外两边再得结论，如此这样，答案可得． ∵点P到BE，BD的距离相等，∴点P在∠B的平分线上，故①正确； ∵点P到BD、AC的距离相等，∴点P在∠DAC的平分线上，故②正确； ∵点P到BE、AC的距离相等，∴点P在∠ECA的平分线上，故③正确； ∵点P到BE、BD、AC的距离都相等，∴恰好是∠B、∠DAC、∠ECA三条平分线的交点，故④正确； 综上可得①②③④都正确． 故选：D． 本题主要考查了角平分线的判定定理：到角的两边距离相等的点在角的平分线上．做题时，可分别处理，逐个验证． 5．C 本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．过点作于，由角平分线的性质定理可得，即可判断①；证明（），得出，同理可得（），从而得出，进而可得，即可判断②；由角平分线的定义可以判断③；由全等三角形的性质可以判断④； 解：①过点作于， ∵平分，平分， ，，， ∴，， ∴， ∴平分，故①正确； ②∵，， ∴， ∴， 在和中， ∴（）， ∴， 同理可得：（）， ∴， ∴， ∴， ∵不一定等于， 故②错误； ③∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴，③正确； ④由②可知（）， （）， ∴，， ∴，④正确， 故选：C． 6．B 本题考查了角平分线的性质，三角形面积，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题关键． 过点作、、的垂线，垂足分别为，由角平分线的性质得到，再根据三角形面积公式求解即可． 解：如图，过点作、、的垂线，垂足分别为， ∵是的三条角平分线， ∴． ∵的面积为，， ∴， ∴． ∵，， ∴， ， ， ， ， ． 故选：B． 7．A 本题考查全等三角形的判定，角平分线定义及角平分线的性质定理，关键是由证明． 由角平分线定义得到，由垂直的定义推出，而，由证明，推出，由等腰三角形的性质推出，又，得到，推出，由条件得不到． 解：∵平分交于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故①②符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故③符合题意， 已知，但不能确定与，与的数量关系， ∴由条件不足，不能得到，故④不符合题意． ∴其中结论正确的序号有①②③． 故选：A． 8．6 本题考查角平分线的性质，三角形的中线与面积，掌握知识点是解题的关键． 过点F作于点M，于点N，先推导出，，由，得到，继而推导出，得到，则，即可解答． 解：过点F作于点M，于点N，如图 ∵是中线，的面积是22， ∴，， ∵， ∴， ∵是角平分线，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：6． 9．7 本题主要考查角平分线的性质．此题由两角相等可以确定是角的平分线，利用角平分线的性质即可得解． 解：∵， ∴是的平分线， 又∵于点，于点． ∴， ∵， ∴， 故答案为：7． 10． 本题考查了角平分线的有关计算，三角形内角和定理． 根据三角形内角和定理得到，由作图可知平分，即可求出的度数． 解：∵，， ∴， 由作图可知平分， 即． 故答案为：． 11．21 本题考查角平分线的性质，根据角平分线的性质可得，再根据求解即可． 解：∵平分，，，， ∴， ∵． 故答案为：21． 12．8 本题考查了角平分线的性质，利用角平分线的性质，得到点P到、、的距离相等，再结合的长度求出点P到的距离． 解：如图，过点P作于点E， ∵，， ∴， ∵和分别平分和， ∴，， ∴， ∵, ∴， ∴， 故答案为：8． 13．6 本题考查的知识点是三角形的面积、角平分线的性质．先分别作于F、于G，并连接，再根据角平分线的性质证出，再根据三角形面积公式和已知条件求出、的长，然后根据三角形面积公式求出，最后根据求出即可得出答案． 解：如图，作于F，于G，连结， ∵是的外角平分线，，， ∴， 同理，， ∴， ∵， ∴， ∵的周长为，即， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14．（1）∠COB=130°；（2）16. （1）利用角平分线的定义及三角形内角和即可得出答案； （2）过O作OD⊥BC于D点，连接AO, 通过O为角平分线的交点，得出点O到三边的距离相等，利用特殊角的三角函数值求出距离，然后利用和周长即可得出答案. （1）解：∵BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB ∵∠ABC=60°，∠ACB=40° ∴∠OBC=30°,20° （2）过O作OD⊥BC于D点，连接AO ∵O为角平分线的交点 ∴点O到三边的距离相等 又∵∠ABC=60°，OB=4 ∴∠OBD=30°，OD=2 即点O到三边的距离都等于2 ∴ 又∵△ABC的周长为16 ∴ 本题主要考查角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键. 15．(1)见解析 (2)见解析 本题考查了基本作图—角平分线，角平分线定义，全等三角形的判定与性质，等边对等角，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据角平分线的作法作出即可； （2）由，，得到，根据角平分线的定义可得，再利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得． （1）解：如图，即为所求， （2）证明：连接， 由条件可知， 是的平分线， ， 在和中， ， ， ， ， ． 16．见解析 本题主要考查了角平分线的性质定理与判定定理，正确作出辅助线是解题的关键． 根据常见辅助线作法“见角平分线作垂线”可过点作，，，利用角平分线的性质定理得到线段相等关系，再根据角平分线的判定定理即可证明是的平分线． 证明：如图，过点作，，，垂足分别为． 平分， ． 又平分， ， ， 是的平分线． 17．见解析 本题考查角平分线性质定理，熟练掌握角平分线定理是解题的关键． 过点D作于点F，根据证得，进而证得，根据角平分线定理证明即可． 证明：如图，过点D作于点F， ∵，是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴平分． 18．(1)见解析 (2)见解析 此题考查了与角平分线有关的三角形内角和问题，角平分线的性质和判定，熟练掌握角平分线的性质和判定是关键． （1）根据角平分线和三角形内角和定理得到，，即可得到结论； （2）过作于点，作于点，作于点，根据角平分线的性质得到，，则．根据角平分线的判定即可得到结论． （1）证明：平分，平分， 设，， ，， ； （2） 证明：过作于点，作于点，作于点， 平分， ， 平分， ， ． 平分． 19．(1) (2)见解析 (3)9 本题主要考查了三角形外角的性质定理，垂直的定义，角平分线的判定定理和性质定理，三角形的面积公式等知识点，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据垂直得到，利用三角形外角的性质得到，再根据，即可求出的度数； （2）过点E作，根据角平分线的性质得到，进而得到，再根据角平分线的判定定理即可证明结论； （3）根据三角形的面积公式求出，再根据三角形的面积公式计算，即可求出的面积． （1）解：∵， ∴（垂直的定义）， ∵， ∴， ∵， ∴， 则的度数为； （2）证明：过点E作交于点G，交于点H， ∵， ∴由（1）可知，， ∴平分， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴（等量代换）， ∵， ∴平分； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 所以的面积为9． 20．(1)见解析 (2) 本题主要考查了角平分线的判定与性质、全等三角形的判定与性质． (1)利用可证，根据全等三角形的性质可证，根据到角两边距离相等的点在角平分线上可证结论成立； (2)根据全等三角形的性质可知，根据线段之间的关系可以求出，利用可证，根据全等三角形的性质可知，根据线段之间的关系可得的长度． （1）证明：，， ， 在和中，， ， ， 平分； （2）解：，， ， ， ， 在和中，， ， ， ． 21．(1) (2)见解析 (3) （1）由角平分线的定义得到，，再由三角形外角的性质可得到，进而可得，据此可得答案； （2）过点作于，于，由角平分线的性质证明，则由角平分线的判定定理可得证明平分； （3）证明可得，同理，，再根据线段的和差关系和三角形周长公式可得，据此可求出的长， （1）解：∵的平分线与的外角平分线交于点， ，， ∵， ∴， ∴， ， ； （2）证明：如图2，过点作于，于， ，平分，平分， ，， ， 平分； （3）解：如图2，由（2）知：， 在和中， ， ∴， ， 同理得：，， ∵的周长为20， ∴， ， ， ，即：． 本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，三角形外角的性质，角平分线的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键． 22．(1)见解析 (2)见解析 本题主要考查了角平分线的判定，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角形面积的计算，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． （1）延长，过点C作于点F，根据的面积为14，，求出，得出，根据角平分线的判定，得出结论即可； （2）在上取点G，使，根据勾股定理和垂直平分线性质求出，证明，得出． （1）证明：过点C作交延长线于点F，如图所示： ∵的面积为14，， ∴， ∴， ∵，， ∴是的平分线． （2）解：在上取点G，使，连接， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴为的垂直平分线， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 23．(1)射线是的“巧分线”，理由如下见解析 (2)①③ (3)图见解析，理由见解析 本题考查角的”巧分线”的定义及应用，解题的关键是紧扣”巧分线”的定义（一个角的度数是另一个角的两倍）分析角之间的关系． ①根据”巧分线”的定义，计算相关角的度数并判断； ②结合”巧分线”和角平分线的定义，逐一分析选项； ③根据”巧分线”的定义画出射线，并推导的表达式． （1）解：射线是的“巧分线”，理由如下： ， ． ，符合“巧分线”的定义， 射线是的“巧分线”； （2）解：①角的平分线会将角分成两个相等的角，此时“一个角（原角）是另一个角（平分后的角）的两倍”，符合“巧分线”定义，故①正确； ②“巧分线”只需满足一个角是另一个角的两倍，不一定平分角（如被分成和），故②错误； ③一个角的“巧分线”可能有多种分法（如的角可以分成和，或和），个数不唯一，故③正确． 故答案为：①③； （3）解：分两种情况： ①如图，是的一条巧分线，此时是的角平分线， ∵射线是的“巧分线”， ∴， ∴， ∴； ②如图，是的一条巧分线，此时是的角平分线， ∵射线是的“巧分线”， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上，或． 学科网（北京）股份有限公司 $