寒假练习二 角形的中线、角平分线、高2025-2026学年人教版数学八年级上册

人教版八年级数学上册专题练习（二）三角形的中线、角平分线、高 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列关于三角形中线的说法中，正确的是（ ）。 A. 中线是连接三角形一个顶点和它对边中点的直线 B. 三角形的三条中线一定都在三角形内部 C. 三角形的中线就是它的角平分线 D. 三角形的任意一条中线都能将它分成面积相等的两部分 2. 如果一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ）。 A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形 3. 如图（示意图），在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，∠B=70°，∠C=30°，则∠BAD的度数是（ ）。 A. 30° B. 40° C. 45°D. 50° 4. 在△ABC中，AD是BC边上的中线，AB=6cm，AC=8cm，则△ABD和△ACD的周长之差可能是（ ）。 A. 2cm B. 4cm C. 6cm D. 8cm 5. 到三角形三边距离相等的点是三角形（ ）的交点。 A. 三条中线 B. 三条高 C. 三条角平分线 D. 三边的垂直平分线 6. 在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，则图中与∠A互余的角有（ ）。 A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 7. 【概念辨析】下列说法错误的是（ ）。 A. 三角形的角平分线是射线 B. 三角形的中线是线段 C. 三角形的高是线段 D. 钝角三角形有两条高在三角形外部 8. 在△ABC中，点D是BC边的中点，点E是AD的中点，连接BE并延长交AC于点F。若△ABC的面积为24，则△AEF的面积为（ ）。 A. 2 B. 3 C. 4 A. D. 6 二、填空题（每空3分，共24分） 9. 在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的 。 10. 三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的  。 11. 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的  。 12. 三角形的三条中线交于一点，这一点叫做三角形的  。 13. 已知AD是△ABC的中线，AB=10cm，△ABD的周长比△ADC的周长多2cm，则AC=  cm。 14. 在△ABC中，∠A=80°，BI、CI分别平分∠ABC和∠ACB，则∠BIC=  度。 15. 如果一个三角形的三条高的交点在这个三角形的内部，那么这个三角形是  角三角形。 16. 在直角三角形中，两条直角边的长度分别为6和8，则斜边上的高为  。 三、解答题（共52分） 17. （8分）如图，在△ABC中,AD是高,BE是角平分线,AF是△ABC的中线.已知∠BAC =72°,∠ABE =24°。 (1)求∠DAC的度数; (2)若AB =12cm,△ABF和△AFC的周长差是4cm,求AC 的长。 18. （10分）在△ABC中，AD是BC边上的中线。 （1）若△ABD的周长为15，△ADC的周长为12，AB=7，求AC的长。 （2）若△ABC的面积为24，求△ABD的面积。 19. （10分）探究三角形角平分线的夹角问题。 （1）如图，在△ABC中，BI、CI分别平分∠ABC和∠ACB。若∠A=α，请用含α的式子表示∠BIC。 （2）如图2，在△ABC中，BD、CD分别是△ABC的一个内角和一个外角的平分线。若∠A=α，请用含α的式子表示∠BDC。 20. （12分）【综合推理】已知：在△ABC中，AD是BC边上的中线，BE是AC边上的高，AD与BE相交于点F，且AD=BD。 （1）试判断△ABD的形状，并说明理由。 （2）若∠C=70°，求∠AFE的度数。 （3）连接CF并延长交AB于点G，试判断CG与AB的位置关系，并说明理由。 21. （12分）【面积法与等积变换】如图，在△ABC中，D、E、F分别为BC、AD、CE的中点。 （1）若S△ABC = 16，则S△ABD = ______； （2）S△BEF = ______； （3）若S△BEF = 2，则S△ABC = ______； （4）拓展：在△ABC中，用直尺和圆规作出一条中线AD，然后利用中线性质，不通过计算，说明“三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分”。（写出主要步骤或思路） 专题练习（二）参考答案与解析 一、选择题 1. D 【解析】A：中线是线段，不是直线；B：直角三角形的三条高不都在内部；C：中线与角平分线是两种不同的线段，一般情况不重合；D：正确，因为等底同高。 2. B 【解析】直角三角形的两条直角边上的高恰好是另一条直角边，交点即为直角顶点。 3. B 【解析】∠BAC=180°-70°-30°=80°，AD平分∠BAC，∠BAD=40°。 4. A 【解析】△ABD周长=AB+BD+AD，△ACD周长=AC+CD+AD。∵BD=CD，∴两者之差=|AB-AC|=|6-8|=2cm。 5. C 【解析】角平分线上的点到角两边的距离相等。 6. C 【解析】在Rt△ABC中，∠A+∠B=90°；在Rt△ADC中，∠A+∠ACD=90°。故与∠A互余的角有∠B和∠ACD，共2个。 7. A 【解析】三角形的角平分线是线段，因为它在三角形内部，两端点分别是顶点和对边上的交点。 8. B 【解析】过D作DG∥BF交AC于G，可得AF=FG=GC，S△AEF=S△AEC=3。 二、填空题 9. 中线 10. 角平分线 11. 高（或高线） 12. 重心 13. 8 【解析】C△ABD-C△ADC=(AB+BD+AD)-(AC+CD+AD)=AB-AC=2，故AC=AB-2=8cm。 14. 130 【解析】∠BIC=90°+∠A=90°+40°=130°。 15. 锐 16. 4.8 【解析】 面积法：×6×8=×10×h，得h=4.8。 三、解答题 17. 18. 解：（1）∵AD是中线，∴BD=CD。 C△ABD=AB+BD+AD=15，C△ADC=AC+CD+AD=12。 两式相减得：(AB+BD+AD)-(AC+CD+AD)=AB-AC=3。 ∵AB=7，∴AC=4。 …（5分） （2）∵AD是中线，∴S△ABD=S△ADC=S△ABC=12。 …（5分） 19. 解：（1）在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-α。 ∵BI、CI平分∠ABC和∠ACB， ∴∠IBC+∠ICB= (∠ABC+∠ACB)=90°-。 在△BIC中，∠BIC=180°-(∠IBC+∠ICB)=180°-(90°-)=90°+。 …（5分） （2）设∠ABC的外角为∠CBM，BD平分∠ABC，CD平分∠CBM。 则∠ABD=∠ABC，∠CBD=∠CBM。 ∵∠CBM=180°-∠ABC， ∴∠CBD= (180°-∠ABC)=90°-∠ABC。 在△BCD中，∠BDC=180°-∠CBD-∠BCD。 20. 解：（1）△ABD是等腰三角形。 理由：∵AD=BD，∴∠BAD=∠ABD。 又AD是中线，∴BD=DC。 但不能推出AB=AD，故△ABD是等腰三角形（AD=BD）。 …（4分） （2）∵AD=BD，∴∠BAD=∠ABD。 设∠BAD=∠ABD=x，则∠ADC=∠BAD+∠ABD=2x（外角定理）。 ∵AD=DC（由AD是中线且AD=BD=DC），∴∠DAC=∠C=70°。 在△ADC中，∠ADC+∠DAC+∠C=180°，即2x+70°+70°=180°，解得x=20°。 ∵BE是高，∴∠BEC=90°。 在Rt△BEC中，∠EBC=90°-∠C=20°。 在△BDF中，∠AFE=∠FBD+∠FDB=20°+2x=20°+40°=60°。 …（4分） （3）CG⊥AB。 由AD=BD=DC，得∠BAC=90°（直径所对圆周角），∴AB⊥AC。 又F为重心，CG过F，故CG⊥AB。 …（4分） 21. 解：（1）S△ABD=S△ABC=8。 …（3分） （2）S△BEF=S△ABD=2；或S△BEF=S△BEC=×S△ABC=2。 …（3分） （3）S△ABC=16。 …（3分） （4）步骤：①用直尺作BC边中点D；②连接AD，AD即为中线；③分别作△ABD和△ADC中AD边上的高，由D为中点可知两高相等；④根据面积公式S=×底×高，两三角形同底等高，故面积相等。 …（3分） 2/2 学科网（北京）股份有限公司 $