复习篇 04 角平分线、垂直平分线的判定与性质- 2025年八年级寒假数学专题化复习与重点化预习（人教版）

04 角平分线、垂直平分线的判定与性质 【题型1】 角平分线与垂直平分线的尺规作图 【基础知识】 1 角平分线的尺规作图 已知： 求作：的平分线 作法： （1）以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点； （2）分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点; （3）画射线，射线即为所求. 2 垂直平分线的尺规作图 尺规作图：作线段的垂直平分线. 作法：以,为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于，，作直线，则直线所求直线. （5）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 【经典例题】 【例1】（2024八年级上·黑龙江·专题练习）如图，在中，是钝角． (1)画出的平分线； (2)画出边上的中线； (3)画出边上的高； (4)若，边上的高，求的面积． 【巩固练习】 1（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，在中，，观察图中尺规作图的痕迹，可知的度数为（   ） A． B． C． D． 2（2024·贵州·模拟预测）如图，在中，，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（   ） A． B． C． D． 3（24-25八年级上·青海西宁·期中）在两条公路的交叉处有两个村庄，政府想在交叉处的内部建一个加油站P，并且使加油站到村庄的距离相等且到两条公路的距离也相等．（请用圆规和无刻度的直尺找到点P，保留作图痕迹，不写作法） 【题型2】角平分线的判定与性质 【基础知识】 1 角平分线的性质 角的平分线上的点到角两边的距离相等. 如下图，若、分别是角的平分线上一点到角两边、的距离，则。 (利用全等三角形可证明) 2角平分线的判定 角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上. 如下图，若、分别是点到角两边、的距离，且， 则点在角的平分线上。 (利用全等三角形可证明) 3三角形的内心 三角形的三个内角平分线会相交于一点，该点为三角形的内心(到三角形三边距离相等)，即三角形内切圆的圆心. 如下图，、分别是角平分线，则由角平分线的性质可得，则由角平分线的判定可得点也在的平分线上. 点称为三角形的内心，到三角形的三边距离相等. 【经典例题】 【例1】（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，于点，于点，，． (1)求证：平分； (2)已知，，求的长． 【例2】（24-25八年级上·云南保山·阶段练习）如图，锐角的两条高、相交于点，且． (1)求证：； (2)求证：平分 【巩固练习】 1（24-25八年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，在中，平分，交于点D，，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2（24-25八年级上·四川南充·期中）如图，已知点是内一点，且点到三边的距离相等，若，则（   ） A． B． C． D． 3（24-25八年级上·云南昭通·期中）如图，在中，和的角平分线交于点O，，，的面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 4（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，已知分别是的外角和的平分线，连接， (1)求证：平分； (2)若，且与的面积分别是和，求的周长． 【题型3】垂直平分线的判定与性质 【基础知识】 1 垂直平分线 （1）定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线； 如下图，，且，则是线段的垂直平分线，或称中垂线. （2）性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； 如下图，若是线段的垂直平分线，点在直线上，则.（利用全等三角形可证明） （3）与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上； 如下图，若，则点在线段的垂直平分线上；（利用全等三角形可证明） 拓展：若，，则是线段的垂直平分线. 2 三角形的外心 （1）定义：三角形外接圆的圆心叫做该三角形的外心. （2）三角形三边的垂直平分线的交点是这个三角形的外心. 如下图，直线，，分别是三角形三边、和的垂直平分线，它们会交于一点，点就是三角形的外心. 【经典例题】 【例1】（24-25八年级上·云南昆明·期中）如图，在中，分别是线段的垂直平分线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·四川绵阳·期中）如图，中，平分，且平分，于E，于F． (1)判断与的数量关系，并说明理由； (2)如果，，求的长． 【巩固练习】 1（24-25八年级上·云南文山·期中）如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为， 则的周长（    ） A． B． C． D． 2（24-25八年级上·广东东莞·期中）如图，点P是的角平分线上一点，于点D，垂直平分，若，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 3（24-25八年级上·广东珠海·期中）如图，的平分线与的垂直平分线相交于点D，，，垂足分别为E、F，，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 4（17-18八年级上·山东聊城·期末）如图，在中，边的垂直平分线交边于点，连接． (1)若，的周长为18，求的长； (2)若，，求的度数． 【题型4】最短路径问题 【经典例题】 【例1】（23-24八年级上·北京西城·期中）中，，，，是的角平分线，点E、F分别是线段、线段上的动点，则的最小值是（　　） A．4 B．3 C．8 D．16 【巩固练习】 1（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图，在中，，，垂直平分，交于点，点为直线上的任意一点，则周长的最小值是（   ） A．12 B．6 C．7 D．8 2（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，直线是线段的垂直平分线，点是直线上的一个动点．若，，，则周长的最小值是（    ） A．12 B．11 C．9 D．7 【A组---基础题】 1（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，点表示三条公路，现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则仓库应建在 (    )    A．三边中线的交点上 B．三内角平分线的交点上 C．三条边高的交点上 D．三边垂直平分线的交点上 2（2024八年级上·全国·专题练习）如图，点是的角平分线上一点，，垂足为，且，点是射线上一动点，则的值可能是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 3（24-25八年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，在中，，平分交于点D，若，且，则的面积为（   ） A．24 B．26 C．30 D．52 4（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，在中，根据尺规作图的痕迹，下列四个结论中，一定正确的有①；②；③；④． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 5（24-25八年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，是线段的垂直平分线，连接，若，，则的周长为（　　） A． B． C． D． 6（24-25八年级上·湖北恩施·期中）如图所示，在中，，垂直平分，交于点D，交于点G，点P为直线上一动点，则的最小值是 ． 7（24-25八年级上·江苏常州·期中）已知：如图，在中，的平分线与的垂直平分线相交于点D． (1)用直尺和圆规在图中作出点D（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，，垂足分别是E、F．求证：． 8（24-25八年级上·吉林·期中）如图，在中，，，，点为上的点，，垂足为点，． (1)求证：为的平分线； (2)求的度数． 9（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期中）在中，点D在的平分线所在的直线上．过点D作于E，作交AC的延长线于F，且． (1)求证：点D在的垂直平分线上： (2)若，．求的长度是多少？ 【B组---提高题】 1（24-25八年级上·江西宜春·期中）如图，在中，，若，，，将折叠，使得点C恰好落在边上的点E处，折痕为，点F为上一动点，则的周长最小值为 ． 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 04 角平分线、垂直平分线的判定与性质 【题型1】 角平分线与垂直平分线的尺规作图 【基础知识】 1 角平分线的尺规作图 已知： 求作：的平分线 作法： （1）以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点； （2）分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点; （3）画射线，射线即为所求. 2 垂直平分线的尺规作图 尺规作图：作线段的垂直平分线. 作法：以,为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于，，作直线，则直线所求直线. （5）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 【经典例题】 【例1】（2024八年级上·黑龙江·专题练习）如图，在中，是钝角． (1)画出的平分线； (2)画出边上的中线； (3)画出边上的高； (4)若，边上的高，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)5 【分析】本题考查了作图—基本作图，利用中线的性质求三角形面积． （1）利用角平分线的作法作出即可； （2）作的垂直平分线交于点，连接即可； （3）利用垂线的作法作图即可； （4）先求出，再由三角形中线的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所作； （2）解：如图，作的垂直平分线交于点，连接，则为边上的中线． （3）解：如图，过点向的延长线作垂线段，垂足为，则为边上的高． ； （4）解：，高， ． 是的中线， ． 【巩固练习】 1（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，在中，，观察图中尺规作图的痕迹，可知的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了尺规作图-作垂线，解题的关键是熟练掌握基本作图，根据尺规作图的痕迹可知，再求即可． 【详解】解：由基本作图可知， ， ， 故选：． 2（2024·贵州·模拟预测）如图，在中，，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了作角平分线和角平分线的性质，全等三角形的判定及性质，熟练掌握角平分线的性质是解决问题的关键．根据尺规作图的痕迹，是的角平分线，，依据角平分线的性质，全等三角形的判定及性质逐项判断即可． 【详解】解：根据尺规作图的痕迹，是的角平分线，， ∴， ，故项正确，不符合题意， ∵是直角三角形，， ∴， ∴，故项正确，不符合题意， 在和中， ∴ ∴，故项正确，不符合题意， 根据已知条件无法得得出，故项错误，符合题意， 故选： 3（24-25八年级上·青海西宁·期中）在两条公路的交叉处有两个村庄，政府想在交叉处的内部建一个加油站P，并且使加油站到村庄的距离相等且到两条公路的距离也相等．（请用圆规和无刻度的直尺找到点P，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了应用设计与作图，正确应用角平分线的性质以及线段垂直平分线的性质是解题关键．先作出线段的垂直平分线，再作出的平分线，则与的交点P即为所求． 【详解】解：如图，点P即为所求作的点． 【题型2】角平分线的判定与性质 【基础知识】 1 角平分线的性质 角的平分线上的点到角两边的距离相等. 如下图，若、分别是角的平分线上一点到角两边、的距离，则。 (利用全等三角形可证明) 2角平分线的判定 角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上. 如下图，若、分别是点到角两边、的距离，且， 则点在角的平分线上。 (利用全等三角形可证明) 3三角形的内心 三角形的三个内角平分线会相交于一点，该点为三角形的内心(到三角形三边距离相等)，即三角形内切圆的圆心. 如下图，、分别是角平分线，则由角平分线的性质可得，则由角平分线的判定可得点也在的平分线上. 点称为三角形的内心，到三角形的三边距离相等. 【经典例题】 【例1】（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，于点，于点，，． (1)求证：平分； (2)已知，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）由于点，于点，得，由，，推导出，而，可根据“”证明，得，即可证明平分； （）由，，根据“”证明，得，则，据此即可求解； 本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，证明是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴点在的平分线上， ∴平分； （2）解：由（）得，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 【例2】（24-25八年级上·云南保山·阶段练习）如图，锐角的两条高、相交于点，且． (1)求证：； (2)求证：平分 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）证明，即可得证； （2）由（1）得，结合，即可得证． 【详解】（1）证明：∵，， ∴ 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：由（1）得， ∵，， ∴平分． 【巩固练习】 1（24-25八年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，在中，平分，交于点D，，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，求三角形的面积， 过点D作，交于点E，再根据角平分线的性质定理得出，然后根据求出，即可得出答案． 【详解】解：过点D作，交于点E， 平分，， ∴． ∵， ∴， 解得， ∴． 故选：C． 2（24-25八年级上·四川南充·期中）如图，已知点是内一点，且点到三边的距离相等，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的有关计算，三角形内角和定理的应用，由题意可知点为的三条角平分线的交点，可得，，根据三角形内角和定理求出，可得的度数，再根据三角形内角和定理求出的度数即可．正确得出点为的三条角平分线的交点是解题的关键． 【详解】解：点到三边距离相等， 点为的三条角平分线的交点， ，， ， ， ， ， 故选：D． 3（24-25八年级上·云南昭通·期中）如图，在中，和的角平分线交于点O，，，的面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键．过点作于点，于点，根据角平分线的性质得出，根据三角形面积得出，代入数据即可求解． 【详解】解：过点作于点，于点，如图， ∵平分， ∴， ∴， ∵，，的面积为， ∴． 故选：A． 4（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，已知分别是的外角和的平分线，连接， (1)求证：平分； (2)若，且与的面积分别是和，求的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）如图，过点分别作，，，由角平分线的性质可得，，进而得，再根据角平分线的判定即可求证； （）由的面积为可得，再根据可得，进而即可求解； 本题考查了角平分线的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）证明：如图，过点分别作，，，垂足分别为点， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵，， ∴点在的角平分线上， 即平分； （2）解：∵的面积为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴的周长． 【题型3】垂直平分线的判定与性质 【基础知识】 1 垂直平分线 （1）定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线； 如下图，，且，则是线段的垂直平分线，或称中垂线. （2）性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； 如下图，若是线段的垂直平分线，点在直线上，则.（利用全等三角形可证明） （3）与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上； 如下图，若，则点在线段的垂直平分线上；（利用全等三角形可证明） 拓展：若，，则是线段的垂直平分线. 2 三角形的外心 （1）定义：三角形外接圆的圆心叫做该三角形的外心. （2）三角形三边的垂直平分线的交点是这个三角形的外心. 如下图，直线，，分别是三角形三边、和的垂直平分线，它们会交于一点，点就是三角形的外心. 【经典例题】 【例1】（24-25八年级上·云南昆明·期中）如图，在中，分别是线段的垂直平分线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理等知识，由线段垂直平分线的性质得出，，由三角形内角和定理得出，等量代换可得出，再利用角的和差关系即可得出答案． 【详解】解：∵分别是线段的垂直平分线， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【例2】（24-25八年级上·四川绵阳·期中）如图，中，平分，且平分，于E，于F． (1)判断与的数量关系，并说明理由； (2)如果，，求的长． 【答案】(1)；理由见解析 (2)7 【分析】本题考查了角平分线的性质、中垂线的性质和全等三角形的判定与性质的运用，解题关键是作辅助线构造全等三角形． （1）连接，由线段垂直平分线和角平分线的性质得到和，再根据证明，从而得到结论； （2）根据证明，从而得到，设，则，根据和得到关于的方程，解方程，从而求得AE的长度． 【详解】（1）解：（1）解：，理由如下： 连接，， 平分，，， ，， 且平分， ， 在与中， ， ， ； （2）解：在和中， ， ， ， 设，则， ，，，， ，解得：， ，． 【巩固练习】 1（24-25八年级上·云南文山·期中）如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为， 则的周长（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，根据线段的垂直平分线的性质得到，再根据三角形的周长公式计算即可，熟练掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 【详解】解：∵是的垂直平分线，， ，， 的周长为， ， 的周长， 故选：． 2（24-25八年级上·广东东莞·期中）如图，点P是的角平分线上一点，于点D，垂直平分，若，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，三角形的外角的性质， 先根据角平分线的定义得，判断A；再根据垂直平分线的性质得，判断B，然后根据三角形外角的性质得，判断C，最后根据之间的关系判断D． 【详解】∵平分， ∴， ∴A正确； ∵垂直平分， ∴， ∴B正确； ∵， ∴． ∵是的外角， ∴． ∴C正确； 因为不能确定之间的关系， 所以D错误． 故选：D． 3（24-25八年级上·广东珠海·期中）如图，的平分线与的垂直平分线相交于点D，，，垂足分别为E、F，，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的性质，中垂线的性质，连接，证明，得到，证明，得到，进而得到，求解即可． 【详解】解：连接，则：， ∵，，平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选：D． 4（17-18八年级上·山东聊城·期末）如图，在中，边的垂直平分线交边于点，连接． (1)若，的周长为18，求的长； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算； （2）由对顶角相等得，根据垂直的定义得到，由（1）知，得，最后根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】（1）解： 垂直平分， ，． 又， ， ∴， 又的周长为18， ， ． （2）解：， ． 又垂直平分， ， ． 又， ∴， ∵， ， ． 【题型4】最短路径问题 【经典例题】 【例1】（23-24八年级上·北京西城·期中）中，，，，是的角平分线，点E、F分别是线段、线段上的动点，则的最小值是（　　） A．4 B．3 C．8 D．16 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线，轴对称的性质，含30度的直角三角形，垂线段最短等知识．熟练它们的性质是解题的关键． 作F关于的对称点，连接，由作图和结合已知条件分析得知：当A、E、三点共线时，即、重合时时，此时的值最小，根据含30度的直角三角形的性质定理即可求出答案． 【详解】解：如图，作F关于的对称点，连接， 则， ∵是的角平分线， ∴在上， ∴， ∴当A、E、三点共线，且即、重合时，的值最小， ∵，，， ∴ 的最小值为4， 故选：A． 【巩固练习】 1（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图，在中，，，垂直平分，交于点，点为直线上的任意一点，则周长的最小值是（   ） A．12 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称﹣最短路线问题的应用．根据题意知点B关于直线的对称点为点C，故当点P与点D重合时，的值最小，即可得到周长最小． 【详解】解：∵垂直平分， ∴点B，C关于对称． ∴当点P和点D重合时，的值最小． 此时， ∵，， 周长的最小值是， 故选：C． 2（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，直线是线段的垂直平分线，点是直线上的一个动点．若，，，则周长的最小值是（    ） A．12 B．11 C．9 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称，动点最值问题中的“将军饮马”问题，解法是：作定点关于动点轨迹的对称点，由于点关于直线的对称点为点，故当点在上时，值的最小，求出长度即可得到结论． 【详解】解：设直线交于，连接，如图所示： ∵直线是的垂直平分线， 关于直线对称，， ∴当和重合时，的值最小，最小值等于的长， 周长，且的最小值等于， ∴周长的最小值是， 故选：． 【A组---基础题】 1（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，点表示三条公路，现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则仓库应建在 (    )    A．三边中线的交点上 B．三内角平分线的交点上 C．三条边高的交点上 D．三边垂直平分线的交点上 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到两边距离相等成为解题的关键． 由它到三条公路的距离相等，即其在三条角平分线的交点上，据此即可解答． 【详解】解：A．三角形中线的交点为三角形的重心，到顶点的距离是到对边中点的2倍，不符合题意； B．三角形角平分线的交点为三角形的内心，到各边距离相等，符合题意； C．三角形高的交点为垂心，不符合题意； D．三角形三边垂直平分线的交点到三角形的各顶点距离相等，不符合题意． 故选B． 2（2024八年级上·全国·专题练习）如图，点是的角平分线上一点，，垂足为，且，点是射线上一动点，则的值可能是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键．根据点到直线垂线段最短可得当时，的值最小，然后根据角平分线的性质定理可求解的最小值． 【详解】解：当时，的值最小， ，点P是的角平分线上一点，， ， ， ， 即， 故选：D． 3（24-25八年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，在中，，平分交于点D，若，且，则的面积为（   ） A．24 B．26 C．30 D．52 【答案】B 【分析】过点D作于点E，根据角平分线的性质可得，再根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：如图，过点D作于点E， ∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴的面积为． 故选：B 4（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，在中，根据尺规作图的痕迹，下列四个结论中，一定正确的有①；②；③；④． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题主要考查了尺规作图，线段垂直平分线的性质，角平分线的定义， 根据作图痕迹可知，作了的垂直平分线，作了的平分线，两线交于点F，然后根据线段垂直平分线的性质和角平分线定义得，，再根据等边对等角得，接下来可得，即可得出答案． 【详解】解：根据作图痕迹可知，是的垂直平分线，平分， ∴，， ∴， ∴． 所以②③④正确，不能确定和的关系． 故选：B． 5（24-25八年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，是线段的垂直平分线，连接，若，，则的周长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．根据线段的垂直平分线的性质得到，，结合图形计算，得到答案． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴，，， ∵，， ∴，， ∴的周长为， 故选：C． 6（24-25八年级上·湖北恩施·期中）如图所示，在中，，垂直平分，交于点D，交于点G，点P为直线上一动点，则的最小值是 ． 【答案】8 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，轴对称-最短路线问题的应用，解题的关键是找出符合条件的点P的位置．连结，根据垂直平分线的性质，可得，所以，当点P在点D处时，的值最小，最小值为的长，即可得到答案． 【详解】连结， 垂直平分， ， ， 当点P在点D处时，的值最小，最小值为的长， 所以的最小值是8． 故答案为: 8． 7（24-25八年级上·江苏常州·期中）已知：如图，在中，的平分线与的垂直平分线相交于点D． (1)用直尺和圆规在图中作出点D（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，，垂足分别是E、F．求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了尺规作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是： （1）根据题意，作出的平分线和线段的垂直平分线，即可求解； （2）根据角平分线的性质可得出，根据线段垂直平分线的性质可得出，根据证明，即可得出结论． 【详解】（1）解∶如图，点D即为所求， （2）证明：连接，， 由作图知：平分，点D在的垂直平分线上， ∵，， ∴， ∵点D在的垂直平分线上， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 8（24-25八年级上·吉林·期中）如图，在中，，，，点为上的点，，垂足为点，． (1)求证：为的平分线； (2)求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由垂线的定义可得，由已知条件及角平分线的判定定理即可得出结论； （2）利用可证得，于是可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，由三角形角平分线的定义可得，然后由三角形外角的性质即可求出的度数． 【详解】（1）证明：， ，           ， 又， 为的平分线； （2）解：， ， ， ， ， ，， ， ， ， 由（1）可得：为的平分线， ， ． 【点睛】本题主要考查了垂线的定义，角平分线的判定定理，全等三角形的判定与性质，直角三角形的两个锐角互余，三角形角平分线的定义，三角形外角的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质及角平分线的判定定理是解题的关键． 9（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期中）在中，点D在的平分线所在的直线上．过点D作于E，作交AC的延长线于F，且． (1)求证：点D在的垂直平分线上： (2)若，．求的长度是多少？ 【答案】(1)证明见解析 (2)1 【分析】（1）连接，，先由角平分线的性质就可以得出，再证明就可以得出结论； （2）由条件可以得出就可以得出，进而就可以求出结论． 【详解】（1）证明：连接，， ∵点D在的平分线所在的直线上，过点D作于E，作交的延长线于F， ， 在和中， ， ， ， ∴点D在的垂直平分线上； （2）解：∵， ∴， 在和中， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】此题考查角平分线的性质的运用，线段垂直平分线的判定，全等三角形的判定与性质的运用，证明三角形全等是关键． 【B组---提高题】 1（24-25八年级上·江西宜春·期中）如图，在中，，若，，，将折叠，使得点C恰好落在边上的点E处，折痕为，点F为上一动点，则的周长最小值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了折叠性质，轴对称-最短路线问题，连接，，根据折叠得出C和E关于对称，，当F和D重合时，的值最小，即可此时的周长最小，最小值是，先求出长，代入求出即可． 【详解】解：连接，， ∵沿折叠C和E重合， ∴，，， ∴，垂直平分， ∴C和E关于对称， ∴，， ∴的周长， ∴当F和D重合时，的值最小，此时的周长最小，最小值是． 故答案为：6． 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$