寒假复习巩固题（六）-2025-2026学年人教版数学八年级上册

寒假复习巩固试题（六） 一、单选题 1．下列四个表示数或式子关系的符号中，可以看作轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．下列长度的三条线段能组成三角形的是（    ） A． B． C． D． 3．物理课上，某同学做探究平面镜成像特点的实验，如图放置平面镜，若蜡烛火焰上点S在平面直角坐标系中的坐标为，则眼睛看到的镜像的坐标是（    ） A． B． C． D． 4．如图，用一根细绳将一块质地均匀的三角形薄板悬挂在支架上，发现三角形薄板正好保持水平，则三角形上的悬挂点应是（    ） A．三角形三条中线的交点 B．三角形三条内角平分线的交点 C．三角形三条高线的交点 D．三角形三边垂直平分线的交点 5．化简结果是（    ） A． B． C． D． 6．下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 7．如果将一副三角板按如图方式叠放，那么等于（   ） A． B． C． D． 8．“油纸伞”承载着千年匠心与东方美学，其伞架结构精巧，蕴含着丰富的几何智慧．如图是油纸伞的展开示意图，，则的依据是（    ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，平分，，则点到的距离是（    ） A． B． C． D． 10．已知分式满足下列表格中的信息，则分式有可能是（    ） 的值 的值 无意义 A． B． C． D． 11．如图，在中，，垂直平分，若，，则的长度为(   ) A．6 B．7 C．8 D．9 12．如图，把一张长方形纸片沿对角线折叠，使得点C落在点E处，交于点F，若，则的面积是（    ） A．30 B． C．78 D． 二、填空题 13．已知点与点关于轴对称，则的值为 ． 14．如图，将一角折叠，若，则 ． 15．如图，是等边三角形，点是边上任意一点，于点，于点．若，则 ． 16．已知，则 ． 17．一个三角形的三边为3，6，，另一个三角形的三边为，3，7，若这两个三角形全等，则 ． 18．如图，在中，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是 ． 三、解答题 19．（1）计算：． （2）因式分解：． 20．如图，已知点在同一直线上，．求证： 21．在平面直角坐标系中的位置如图所示．，，三点都在格点上． (1)画出关于轴对称的，点的对应点分别为； (2)点的坐标为_____________________； (3)的面积为___________________． 22．先化简，再求值：，其中． 23．某文化科技有限公司为了配合“活力大湾区”宣传活动，共推出和两款文创产品，已知每个产品的成本比每个产品的成本便宜18元，该公司用24000元制作产品的数量和用60000元制作的产品数量相同．求生产产品的成本为每个多少元？ 24．对于任意有理数，定义一种新运算例如，先化简，再求值，其中满足方程． 25．如图，在中，，，点为边上一点，连接，过点作，与的延长线交于点，与的延长线交于点． (1)与的数量关系为___________． (2)尺规作图：在边上截取，过点作，垂足为． (3)在（2）的条件下，在上截取，连接，求证：． 26．在中，为的延长线上一点，为线段的垂直平分线的交点，连接． (1)如图1，的长为___________． (2)如图2，连接，请判断的形状，并说明理由． (3)如图3，过点作直线，使得，为直线上的一个动点，求的最大值． 27．【阅读材料】如果三个实数、、使得关于的分式方程的解和分式方程的解互为倒数，那么我们称实数对是该组方程的一个“的伴生数对”．例如：取，，，分式方程的解为，而分式方程的解为，所以是该组方程的一个“的伴生数对”；又如：取，分式方程的解为，而分式方程的解为，所以是该组方程的一个“的伴生数对”． 【解决问题】 (1)下列实数对是关于的分式方程和分式方程的“的伴生数对”的有___________（填序号）； ①        ②        ③ (2)若实数对是关于的分式方程和分式方程的“的伴生数对”，求的值； (3)若整数对是关于的分式方程和分式方程的“的伴生数对”，且满足（为整数），求整数的值． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B D A B A C A C B 题号 11 12 答案 D C 1．C 本题考查轴对称图形的识别，解题关键是抓住轴对称图形是指将一个图形沿着某条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，根据轴对称图形的概念进行判断即可． 解：A、不是轴对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意； 故选：C． 2．B 根据构成三角形三边长的数量关系即可求解，即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，由此即可求解． 解：、∵， ∴不能构成三角形，不符合题意； 、∵，即， ∴能构成三角形，符合题意； 、∵， ∴不能构成三角形，不符合题意； 、∵， ∴不能构成三角形，不符合题意； 故选：． 本题主要考查构成三角形的三边的数量关系，掌握其判定方法是解题的关键． 3．D 本题考查了关于轴对称的点的坐标特点，根据题意得出点与点关于轴对称，再根据关于轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同解答即可，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． 解：由题意得，点与点关于轴对称， 火焰顶部点的坐标是， 眼睛看到的镜像点的坐标是． 故选：D． 4．A 本题主要考查了三角形的重心，悬挂点应是三角形的重心，三条中线的交点就是三角形的重心，据此即可作答，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：用一根细绳将一块质地均匀的三角形薄板悬挂在支架上，发现三角形薄板正好保持水平，则三角形上的悬挂点应是三角形的重心，即三角形三条中线的交点， 故选：． 5．B 本题考查了分式的化简，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 分子利用平方差公式因式分解，再与分母约分即可简化． 解：， 故选：B． 6．A 本题主要考查了关于幂的运算，根据关于幂的运算法则分别计算出各项正确结果，根据计算结果判断正误． 解：A选项：根据乘方的定义可知，故A选项正确； B选项：根据同底数的乘法法则可知，故B选项错误； C选项：根据幂的乘方运算法则可知，故C选项错误； D选项：根据积的乘方的法则可知，故D选项错误． 故选：A． 7．C 本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的外角等于不相邻的两个内角的和是解题的关键．根据三角形外角的性质求解即可． 解：如图，由三角板可知，， ， ， 故选：C．     8．A 本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键． 根据全等三角形的判定定理以及图形，分析求解，即可解题． 解：，， 的依据是“”， 故选：A． 9．C 本题主要考查了角平分线的性质，根据角平分线到角两边的距离相等，可知点到的距离是线段的长度． 解：如下图所示，过点作， 平分，， ， 点到的距离是. 故选：C． 10．B 本题主要考查了分式无意义的条件，根据当时分式无意义，可知当时，分母为． 解：A选项：分式的分母为，当时，分式有意义，故A选项不符合题意； B选项：分式的分母为，当时，分式无意义， 当时，， 当时，， 当时，， 故B选项符合题意； C选项：分式的分母为，当时，分式有意义，故C选项不符合题意； D选项：分式的分母为，当时，分式有意义，故D选项不符合题意． 故选：B． 11．D 本题考查了垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质．根据含30度角的直角三角形的性质得出，求得，进而根据垂直平分线的性质得出，根据，即可求解． 解：∵在中，，，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， 故选：D． 12．C 本题主要考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，折叠的性质，证明是解题的关键． 由折叠的性质可得，再由长方形的性质可得，从而得到，进而得到，即可求解． 解：由折叠的性质得：，     ∵四边形是长方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 故选：C 13．1 根据关于x轴对称的点的坐标特征，横坐标相等，纵坐标互为相反数，列出方程求解a和b的值，再计算． 本题考查了轴对称的坐标特点，熟练掌握特点是解题的关键． 解：∵点与点关于轴对称， ∴， ∴， 故答案为：1． 14．/144度 本题考查了折叠的性质，平角以及三角形内角和定理，掌握折叠的性质是解题关键．由翻折的性质可知，，，，求出的大小，再利用三角形内角和定理即可求解． 解：由翻折的性质可知，，，， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 15．5 本题考查了含30度角的直角三角形以及等边三角形的性质，解答本题的关键是掌握直角三角形中，30度角所对直角边等于斜边的一半．设，则，利用等边三角形的性质以及含30度角的直角三角形的性质即可求解． 解：∵是等边三角形，， ∴，， 设，则， ∵，． ∴， ∴，， ∴． 故答案为：5． 16．4 本题考查了同底数幂的除法法则．根据同底数幂的除法法则，将代入，进行计算，即可作答． 解：∵， ∴， 故答案为：4． 17．1 本题主要考查了全等三角形的性质，两个三角形全等，则对应边相等．通过比较两个三角形的各边长度，从而求出x和y的值，则可得到答案． 解：由全等三角形的性质可得， ∴， 故答案为：1． 18． 由等腰三角形的三线合一可得出垂直平分，过点B作于点Q，交于点P，则此时取最小值，最小值为的长，在中，利用面积法可求出的长度，此题得解．本题考查了垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的三线合一，等面积法，垂线段最短，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 解：∵是的平分线， ∴垂直平分， ∴． 过点B作于点Q，交于点P，如图所示． 则此时取最小值，最小值为的长， ∵ ∴． 故答案为：9.6． 19． （1）； （2）． 本题主要考查了实数的混合运算、负整数幂、零次幂、因式分解，掌握相关知识是解题的关键． （1）先计算负整数幂、零次幂，再计算加减即可； （2）通过提取公因式，再运用平方差公式因式分解即可． 解：（1） ； （2） ． 20．见解析 此题考查了全等三角形的判定和性质．证明，即可证明． 证明：∵点在同一直线上，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 21．(1)作图见解析 (2) (3) 本题考查作图—轴对称变换，三角形的面积，解题的关键是掌握轴对称变换的性质． （1）利用轴对称变换的性质分别作出的对应点，再顺次连接即可； （2）根据（1）的作图结果即可得出的坐标； （3）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的两个三角形面积即可． （1）解：如图，即为所作； （2）如上图所示，的坐标为， 故答案为：； （3）∵， ∴的面积为， 故答案为：． 22．，1 本题考查了整式的混合运算（多项式除以单项式、平方差公式）及代数式求值，解题的关键是正确运用运算法则化简代数式． 先对多项式除以单项式展开运算，再用平方差公式展开另一部分，合并同类项化简代数式，最后代入、的值计算． 解：原式 ． 当，时， 原式． 答：化简结果为，代数式的值为． 23． 12 本题主要考查了分式方程的应用，设产品的成本为每个元，则每个产品的成本元，根据用24000元制作产品的数量和用60000元制作的产品数量相同，列分式方程求解即可． 解：设生产产品的成本为每个元，则每个产品的成本元， 根据题意可得：， 解方程得：， 经检验，是分式方程的解， ∴， 答：每个产品的成本12元． 24．， 本题考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算法则． 先根据新定义得到，然后化简，再解方程，将求出的值代入化简后的代数式求解即可． 解：由题意得， ， ， 解得 ∴原式 25．(1) (2)作图见解析 (3)证明见解析 （1）根据直角三角形两锐角互余得，再根据等角对等边可得结论； （2）以点为圆心，以为半径画弧交于点，以点为圆心，以任意长为半径画弧交于点、，然后分别以点、为圆心，以大于为半径在左侧各画一条弧交于点，再作直线即可； （3）分两种情况：当点在点的右侧；当点在点的左侧，分别画图，根据全等三角形的判定进行证明即可． （1）解：∵在中，，， ∴， ∴， 即与的数量关系为， 故答案为：； （2）解：根据题意作图，如图所示： （3）证明：当点在点的右侧，如图， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 由（1）知：， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 当点在点的左侧，如图， 由前面过程可知：， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 综上所述，． 本题考查尺规作图（作一条线段等于已知线段，过一点作已知直线的垂线），等角对等边，全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余等知识点，掌握尺规作图、全等三角形的判定与性质是解题的关键． 26．(1)4 (2)为等边三角形，理由见解析 (3)的最大值为4 （1）利用含的直角三角形的性质求解即可； （2）利用线段的垂直平分线的性质证明，再利用三角形内角和定理和四边形内角和定理求出，进而即可推出为等边三角形； （3）作点关于直线的对称点，连接．当点在的延长线上时，的值最大，此时，再利用全等三角形的性质证明，进而即可求解． （1）解：在中，， ∴， ∴， 故答案为：4； （2）解：为等边三角形，理由如下， 点为线段的垂直平分线的交点， ， ． ， ， ， ， ， 又∵， 为等边三角形； （3）解：连接，由（2）得，为等边三角形， ，， 如图，作点关于直线的对称点，连接． ， ，则点在的延长线上时，的值最大，此时． ，， ， ． ， ， ， ， ． ， 是等边三角形， ，， ． ， ． ， ， ． 本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质和含的直角三角形的性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用轴对称解决最短问题． 27．(1)① (2)或 (3)或 本题考查了分式方程的解、新定义下的实数运算、因式分解与构建二元一次方程组求解，根据“伴生数对” 的定义推导出的关系式是解题的关键． （1）分别求出两个分式方程的解，根据“伴生数对”定义得出这两个解乘积为，整理得，代入后逐一验证即可； （2）“的伴生数对”代入，得到关于的方程并求解即可； （3）先由“伴生数对”定义得到，代入，再转化为平方差形式，最后通过整数因数分解求解整数． （1）解：解方程得，解方程得， ∵是该组方程的一个“的伴生数对”， 则两个分式方程的解互为倒数， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ①∵， ∴是“的伴生数对”； ②∵， ∴不是“的伴生数对”； ③∵， ∴不是“的伴生数对”； 故答案为：①； （2）解：∵是 “的伴生数对”， ∴， 解得或； （3）解：是“的伴生数对”， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的整数因数对为，，，， ∴分为以下四种情况讨论： ①，解得； ②，解得； ③，解得； ④，解得； 综上，整数的值为或． 学科网（北京）股份有限公司 $