寒假复习巩固自测试题（一） 2025-2026学年 人教版数学八年级上册

寒假复习巩固自测试题（一） 2025-2026学年上学期 初中数学人教版（2024）八年级上册 一、单选题 1．下列“数字”图形中，有且仅有一条对称轴的是（    ） A． B． C． D． 2．若分式有意义，则需满足的条件是（    ） A．且 B． C． D． 3．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 4．若，则（    ） A． B． C．3 D．6 5．如图，在中，，的外角，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在△ABC和△DCB中，AC与BD相交于点O，下列四组条件中，不能证明△ABC≌△DCB的是（　　） A．AB＝DC，AC＝DB B．AB＝DC，∠ABC＝∠DCB C．BO＝CO，∠A＝∠D D．∠ABD＝∠DCA，∠A＝∠D 7．如图，折叠直角三角形纸片的直角，使点C落在AB上的点E处，已知BC=24，∠B=30°，则DE的长是（ ） A．12 B．10 C．8 D．6 8．如图，中边的垂直平分线分别交、于点D、E，，的周长为，则的周长是（　　）    A．10cm B．12cm C．15cm D．17cm 9．下列运算正确的是（    ） ①②③④⑤ A．①②③ B．①③⑤ C．②③④ D．②④⑤ 10．多项式是完全平方式，则的值为（   ） A． B． C． D． 11．“某学校改造过程中整修门口的道路，但是在实际施工时，……，求实际每天整修道路多少米？”在这个题目中，若设实际每天整修道路，可得方程，则题目中用“……”表示的条件应是（　　） A．每天比原计划多修，结果延期10天完成 B．每天比原计划多修，结果提前10天完成 C．每天比原计划少修，结果延期10天完成 D．每天比原计划少修，结果提前10天完成 12．如图，已知的内角，分别作内角与外角的平分线，两条平分线交于点，得；和的平分线交于点，得；……以此类推得到，则的度数是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 13．若，，则的值是 ． 14．分解因式： ． 15．如图，在中，是边的垂直平分线，交于、交于，连接．若，且的周长为，的周长为，则 ．    16．如图，将直角三角形纸片ABC进行折叠，使直角顶点A落在斜边BC上的点E处，并使折痕经过点C，得到折痕CD．若∠CDE=70°，则∠B= °． 17．如图，在中，，，，分别是，上两个动点，且，当与的和最小时，点到边的距离为 ． 三、解答题 18．（1）计算：； （2）解方程：． 19．先化简，再求值：，其中． 20．在平面直角坐标系中，． (1)在图中作关于轴对称的； (2)在（1）中，点是边上一点，其对应点为，则_____； (3)如果要使以为顶点的三角形与全等，直接写出所有符合条件的点的坐标．（点与点不重合） 21．如图，在中，，分别是的中线和高，是的角平分线． (1)若，，求的度数． (2)若的面积为，，求的长． 22．如图，在中，点在上，点在上，，，与相交于点． (1)证明：． (2)证明：是等腰三角形． 23．如图，在中，，，垂直于直线，垂足为点． (1)求作的角平分线，交于点E；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明） (2)连接，请补全图形，若，求证：平分． 24．随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升．某健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求．据了解，甲型健身器材的单价比乙型健身器材的单价低300元，用50000元购买甲型健身器材的数量和用56000元购买乙型健身器材的数量相同． (1)求甲、乙两种型号的健身器材的单价各是多少元． (2)该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共15台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材购买数量的2倍，购买甲型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 25．如图1，在中，为锐角，点为射线上一动点，连接，以为一边， A点为直角顶点，且在的右侧作等腰，连接． (1)如果，，解答下面问题： ①如图1，当点在线段上时（与点不重合），线段，之间的位置关系为 ，数量关系为 ． ②如图2，当点在线段的延长线上时，①中的结论是否仍然成立？请说明理由． (2)如图3，如果，，当，且时，若，求的面积． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B A B C D C C B C 题号 11 12 答案 B D 1．A A轴对称图形，一条对称轴；B不是轴对称图形；C是轴对称图形，有两条对称轴；D是轴对称图形，有两条对称轴. 故选A. 考点：轴对称图形. 2．B 本题考查了分式有意义的条件．分式有意义的条件是分母不为零，因此只需考虑分母． 解：∵分式有意义的条件是分母， ∴， ∴． 故选：B． 3．A 本题考查了分式的加法运算．通过观察分母和互为相反数，将第二个分式变形进行减法运算，再化简即可． 解：， 故选：A． 4．B 本题考查了分式的化简求值，将分式化简后代入求值，即可求解． 解： 当时，原式 故选：B． 5．C 本题考查了等边对等角，三角形的外角的性质，根据等边对等角可得∠A=∠B，进而根据三角形的外角的性质，即可求解． 解：， ， ， ． 故选：C． 6．D 根据全等三角形的判定定理，逐一判断选项，即可得到结论． ∵AB＝DC，AC＝BD，BC＝CB， ∴△ABC≌△DCB（SSS）， 故A选项正确； ∵AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，BC＝CB， ∴△ABC≌△DCB（SAS）， 故B选项正确； ∵BO＝CO， ∴∠ACB＝∠DBC， ∵BC＝CB，∠A＝∠D ∴△ABC≌△DCB（AAS）， 故C选项正确； ∵∠ABD＝∠DCA，∠A＝∠D，BC＝CB， 不能证明△ABC≌△DCB， 故D选项错误； 故选：D． 7．C 由折叠的性质可知；DC=DE，∠DEA=∠C=90°，在Rt△BED中，∠B=30°，故此BD=2ED，从而得到BC=3BC，于是可求得DE=8． 解：由折叠的性质可知；DC=DE，∠DEA=∠C=90°， ∵∠BED+∠DEA=180°， ∴∠BED=90°． 又∵∠B=30°， ∴BD=2DE． ∴BC=3ED=24． ∴DE=8． 故答案为8． 本题考查的是翻折的性质、含30°锐角的直角三角形的性质，根据题意得出BC=3DE是解题的关键． 8．C 根据线段垂直平分线的性质，即可求得，，又由的周长为，即可求得的值，继而求得的周长． 解：中，边的垂直平分线分别交、于点、，， ，， 的周长为， ， 的周长为：． 故选：C． 此题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的周长等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型． 9．B 本题考查指数运算规则，包括同底数幂相乘、幂的乘方、负整数指数幂、同底数幂相除和零指数等性质． 解：∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ∴①正确； ∵幂的乘方，底数不变，指数相乘， ∴②错误； ∵负指数定义，（）， ∴③正确； ∵同底数幂相除，底数不变，指数相减， ∴④错误； ∵零指数定义，任何非零数的零次幂等于1， ∴⑤正确． 综上，①③⑤正确， 故选：B． 10．C 此题考查了完全平方公式．利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m的值． 解： ∴， ∴. 故选：C． 11．B 本题主要考查分式的实际运用．根据设实际每天整修道路，可得表示的含义，由此可得，表示的含义，由此即可求解． 解：设实际每天整修道路，则表示：实际施工时，每天比原计划多修， ∵方程， 其中表示原计划施工所需时间，表示实际施工所需时间， ∴原方程所选用的等量关系为实际施工比原计划提前10天完成． 故选：B． 12．D 根据角平分线的定义可得，，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，，整理即可求出的度数，同理求出，可以发现后一个角等于前一个角的，根据此规律即可得解．本题考查的是三角形的外角性质，角平分线的定义，熟知三角形的外角的性质是解答此题的关键． 解：∵是的平分线，是的平分线， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； 同理可得， ∴， ∴， 故选：D． 13．6 本题考查了同底数幂的乘法，利用同底数幂的乘法运算法则，将转化为，再代入已知值计算． 解：原式， ∵，， ∴． 故答案为：6． 14． 本题考查了因式分解，熟练掌握知识点是解题的关键．先提公因式y，再利用平方差公式因式分解即可． 解：原式=， 故答案为：． 15． 本题主要考查了线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．根据线段垂直平分线的性质可得，，然后根据和的周长求出长，即可求解． 解：∵是边的垂直平分线， ∴，， ∵的周长为， ∴， ∵的周长为， 即， ∴， ∴． 故答案为：． 16．50 根据折叠的性质求得∠CDE=∠CDA=70°，得到∠BDE=40°，再利用余角的性质即可求解． 解：根据折叠的性质得：∠CDE=∠CDA=70°，∠CED=∠A=90°， ∴∠BDE=180°-70°-70°=40°，∠BED=180°-90°=90°， ∴∠B=180°-90°-40°=50°， 故答案为：50． 本题考查翻折变换，三角形内角和定理等知识，关键是根据翻折前后对应角相等，利用三角形内角和定理求解即可． 17． 通过构造平行线，取中点，利用全等三角形将转化为，从而把的最小值问题转化为的最小值问题；根据两点之间线段最短，当共线时和最小，此时点与重合；最后计算到的距离即为所求． 解：如图，过点作平行于，取的中点，连接并延长交于，连接，过作垂直于， ∵，，为中点， ， 在中，， ∴， ， ， 又，， ， ， ，， ， ， ， 当，，共线时，最小，此时与重合， 故点到的距离即为， 故答案为：． 本题主要考查了全等三角形的判定与性质、线段中点的性质、含角的直角三角形的性质，熟练掌握构造全等三角形转化线段和的方法是解题的关键． 18． （1） （2）无解 本题考查了分式方程以及整式乘法，平方差公式，正确计算是解题关键． （1）利用平方差公式计算即可； （2）先去分母化为整式方程，再解整式方程并检验即可． 解：（1）原式 ； （2）， ， 两边同乘以，得， 解得， 经检验，时，，则是分式方程的增根， ∴原分式方程无解. 19． ，6 本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．根据分式的加法进行计算，然后将字母的值代入即可求解． 解： ； 当时，原式． 20．(1)见详解 (2)4 (3)或或 本题考查坐标与图形．熟练掌握轴对称的画法，全等三角形的性质，是解题的关键． （1）找到关于y轴的对称点，再进行连线，即可得到； （2）利用关于轴对称求出、，直接进行计算即可； （3）画出与全等的以B，C，D为顶点的三角形，根据图形确定点D的坐标即可． （1）解：如图所示，即为所求； （2）解：点关于轴对称点为， 所以,， 则， 故答案为：4； （3）解：如图，共有3个以B，C，D为顶点的三角形与全等， 由图可知：； ∴以B，C，D为顶点的三角形与全等时，点坐标为：或或． 21．(1) (2)8 本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形的中线，高以及角平分线，解题的关键是熟练掌握相关性质． （1）由三角形外角的性质可得，，得到，根据角平分线的定义可得，，再根据为高可得，再根据三角形内角和定理即可求解； （2）由是中线可得，再根据面积求解即可． （1）解：由三角形外角的性质可得，， ∴， 平分， ， 为高， ， ； （2）解：∵是中线， ∴，即， 则，解得． 22．(1)见解析 (2)见解析 本题主要考查了全等三角形的判定、全等三角形的性质、等边对等角、等腰三角形的判定等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）直接利用即可证明结论； （2）由全等三角形的性质可得，由等边对等角可得，进而得到，由等角对等边可得即可证明结论． （1）证明：在和中， ， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 23．(1)见解析 (2)见解析 本题考查了等腰三角形三线合一，尺规作图作垂直平分线，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，角平分线的判定定理． （1）根据等腰三角形三线合一可知，作的角平分线，即作的垂直平分线； （2）过点E作交于N，过点E作交延长线于M，由作图可知E为中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，根据等角的补角相等得到，证明，得到，即可证明平分． （1）解：如图，点E即为所求； （2）解：如图，过点E作交于N，过点E作交延长线于M， ∵在中，，是的角平分线， ∴E为中点， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴平分． 24．(1)甲型健身器材的单价为2500元，乙型健身器材的单价为2800元 (2)购买甲型健身器材10台时采购费用最少，最少采购费用为39000元 本题主要考查了运用分式方程解应用题，不等式的应用，一次函数的性质应用，熟练掌握相应知识是解题的关键． （1）设甲型健身器材价格为元，则乙型健身器材的价格为元，根据题意，得，解方程即可． （2）设甲型健身器材买了台，则购买乙型健身器材数量为台，且，根据题意，得，解答即可． （1）解：设甲型健身器材的单价为元，则乙型健身器材的单价为元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解， 此时． 答：甲型健身器材价格为2500元，则乙型健身器材的价格为2800元． （2）解：设甲型健身器材买了台，则购买乙型健身器材数量为台， 且，即，且为非负整数， 根据题意，得， 由，得随的增大而减小， ∴当时，取得最小值，最小值为， ∴购买甲型健身器材10台时采购费用最少，最少采购费用为39000元． 25．(1)①；；②结论仍然成立，理由见解析 (2)16 本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握“手拉手模型”，并会通过辅助线构造模型是解题的关键． （1）①先证，再证，则可得，，进而可得；②结论仍然成立，方法同①即可证明； （2）过点作，交于点，构造等腰直角三角形，再同（1）中方法证明得到，利用含30度角的直角三角形的性质求出的长，过点A作于G，则都是等腰直角三角形，据此求出的长即可得到答案． （1）解：∵是以A点为直角顶点的等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：；； ②结论仍然成立，理由如下： ∵是以A点为直角顶点的等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴结论仍然成立； （2）解：∵，且， ∴； 如图所示，过点作，交于点， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵是以A点为直角顶点的等腰直角三角形， ∴，， ∴， ， ∴， 即， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 如图所示，过点A作于G，则都是等腰直角三角形， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $