寒假复习巩固题（三）-2025-2026学年八年级上学期人教版数学

寒假复习巩固试题（三） 一、单选题 1．下列两图形成轴对称的是（ ） A． B． C． D． 2．分式方程的解是（  ） A． B．= C．= D． 3．若，计算的结果是（    ） A． B． C． D． 4．等腰三角形的一个外角是110°，则底角为（　　） A．70°或40° B．55°或70° C．55° D．70° 5．如图，点是的边上任意一点．下面是“过点作”的尺规作图过程：①以点为圆心，适当的长为半径画弧，分别交，于点，；②以点为圆心，线段的长为半径画弧，交于点；③以点为圆心，线段的长为半径画弧，交前弧于点，作直线，则即为所求． 上述方法通过判定得到，进而得到，其中判定的依据是（   ） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 6．如图，已知，，以点为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交，于点，，再以点为圆心，以长为半径画弧，交弧①于点，画射线．则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．如图，依次输入数x，y，经过“数值转换机”后会输出新数．若依次输入数a，b，输出的新数是0；若依次输入数b，a，输出的新数是．则a，b的值分别为（   ） A．2，1 B．1，2 C．2，3 D．3，2 8．如图，，的垂直平分线交于D，连接，若，则（   ）． A． B． C． D． 9．如图，中，，则x的值为（    ） A．1 B．3 C．2 D．2.5 10．如图，已知点、、在同一条直线上且与都是等边三角形，下列结论中，正确的是（    ） ①；②；③；④． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题 11．通电瞬间，导线中的电流以接近光速形成，但其中自由电子定向移动的平均速度大约只有，比蜗牛爬行的速度还慢．将数据“0.000074”用科学记数法表示为 ． 12．在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标是 ． 13．如图，在与中，点F在上，，，，，，则的度数为 ． 14．若是一个完全平方式，则的值为 ． 15．某网店用5000元购进一批新品种草莓进行试销，由于销售状况良好，网店又用11000元再次购进该品种草莓，但第二次的进货价比试销时的进货价每千克多了0.5元，第二次购进的草莓数量是试销时的2倍，则试销时该品种草莓的进货价是每千克 元． 16．如图，在中，，，点在边上，且．，分别是边，上的动点，当最小时，，则的长为 ． 17．当我们利用两种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式．例如：由图1可得等式：． （1）由图2可得等式： ； （2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知且，则 ． 三、解答题 18．先化简，再求值： (1)，其中 (2)，其中从中选择一个适当的数． 19．（1）分解因式：； （2）解方程：． 20．如图，在8×8的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一格点（即三角形的顶点都在格点上）． (1)在图中作出关于直线l对称的；（要求点A与，点B与，点C与分别对应） (2)若有一格点P到点A，B的距离相等，则网格中满足条件的点P有______个； (3)在直线l上找到一点Q，使的值最小（保留作图痕迹）． 21．如图，，点在上． (1)求作：内部一点P，使点P到的两边、的距离相等，且；（不要求写出作法和证明，但要求保留作图痕迹） (2)若上题中的点P到的距离是，则的长是____________． 22．某学校准备购买甲、乙两种图书，甲种图书每本的单价比乙种图书每本的单价多20元，用2000元购买甲种图书和用1200元购买乙种图书的数量相同．求甲、乙两种图书每本的进价各是多少元？（请提供两种不同的方法） 23．如图，锐角中，点E是边上一点，，于点D，与交于点G． (1)求证为等腰三角形； (2)若，G为中点，求的长． 24．我们知道，“整式乘法”与“因式分解”是方向相反的变形．类似的，“几个分式相加”与“将一个分式化成几个分式之和的形式”也是方向相反的变形，我们称这种与“几个分式相加”方向相反的变形为“分式分解”． 例如，将分式分解：． (1)将分式分解的结果为________； (2)若可以分式分解为（其中，，是常数），则________，________； (3)当时，判断与的大小关系，并证明． 25．问题背景：我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．即：如图，在中，，，则：． 探究结论：小明同学对以上结论作了进一步研究． (1)如图1，连接边上中线，由于，易得结论：为等边三角形；与之间的数量关系为 ． (2)如图2，为中点，点是边上任意一点，连接，作等边，且点在的内部，连接．试探究线段与之间的数量关系，写出你的猜想并加以证明． (3)当点为边延长线上任意一点时，在(2)条件的基础上，线段与之间存在怎样的数量关系？请直接写出你的结论 ． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C B B A C C C B B 1．D 本题考查的知识点是两图形成轴对称的定义，解题关键是熟练掌握某两个图形沿着一条直线对折，能够完全重合，则称这两个图形关于这条直线形成轴对称． 根据两图形成轴对称的定义对选项进行逐一判断即可． 解：选项，两图形大小不相等，不能完全重合，不符合两图形成轴对称的定义，不符合题意； 选项，两图形大小不相等，形状不相同，不能完全重合，不符合两图形成轴对称的定义，不符合题意； 选项，两图形大小不相等，形状不相同，不能完全重合，不符合两图形成轴对称的定义，不符合题意； 选项，能找到直线使两图形完全重合，符合定义，符合题意． 故选：． 2．C 本题考查的知识点是解分式方程，解题关键是熟练掌握解分式方程． 通过两边同乘 消除分母，然后求解即可，注意验证是否为分式方程的解． 解：， 两边同乘，得， 去括号得， 移项得， 即， 解得． 经验证，是分式方程的解． 故选：． 3．B 本题考查的知识点是同底数幂乘法的逆用、积的乘方的逆用、运用平方差公式进行运算，解题关键是熟练掌握相关运算． 通过同底数幂乘法的逆用、积的乘方的逆用、平方差公式简化表达式，将原式化为与相关的形式． 解：， ， ， ， 又， 原式． 故选：． 4．B 由于外角大于，故应分两种情况：当这个角是底角时和当这个角是顶角时． 解：（1）的外角的顶点为顶角顶点， 则底角， （2）的外角的顶点为底角顶点， 则底角． 故选： 本题考查了等腰三角形的性质：两底角相等，以及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键． 5．A 本题考查尺规作图-作一个角等于一个角、全等三角形的判定，根据作图痕迹和全等三角形的判定可得结论． 解：由作图痕迹，得，， ∴， 故选：A． 6．C 本题考查了角的和差、尺规作一个角等于已知角，熟练掌握尺规作一个角等于已知角的方法是解题关键．先根据角的和差可得，再根据尺规作一个角等于已知角可得，由此即可得． 解：∵，， ∴， 由作图可知，， 故选：C． 7．C 本题考查整式混合运算，解二元一次方程组，正确建立a，b的方程组是解题的关键． 先化简得，再根据输入数a，b，输出的新数是0；若依次输入数b，a，输出的新数是，得，解之即可求解． 解： 由题意，得， 解得：， ∴a，b的值分别为2，3． 故选：C． 8．C 本题主要考查了直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识点，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 由直角三角形的性质可得，由线段垂直平分线的性质可得，进而得到，再根据角的和差求解即可． 解：∵，， ∴， ∵为的垂直平分线， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 9．B 本题考查全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的判定方法是解题的关键． 首先判断出，再结合，，可判断，得出，从而根据，得出方程解出即可． ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，且， ∴， 解得， ∴x的值是3． 故选：B． 10．B 本题考查等边三角形的性质和判定、全等三角形的判定与性质、平行线的判定，掌握相关知识是解决问题的关键．可证明，，结合与是等边三角形，逐一分析每个结论是否正确． 解：∵和都是等边三角形， ∴，，． ∴， 即， 在和中， ， ∴ ， ∴，结论①正确． 由得， ∵， ∴， ∴，结论②正确． 由得， ， ， ， 在和中， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 结论③正确； ， ， ， ∵， ， ， 若， 则， 显然不成立， 不正确， 故结论④错误． 故选：B． 11． 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 解：， 故答案为：． 12． 本题主要考查对称点的坐标之间的关系，根据在平面直角坐标系中，关于x轴对称的两点的横坐标一样，纵坐标互为相反数即可求解． 在平面直角坐标系中，关于x轴对称的两点的横坐标一样，纵坐标互为相反数， 则点关于轴的对称点的坐标是． 故答案为：． 13． 本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解． 解：∵，，， ∴， ∴， ∴，即， ∵，， ∴． 故答案为：． 14． 本题考查完全平方公式，根据完全平方式的结构特征即可求解． 解：是完全平方式，二次项为，常数项为， 必为的形式，展开得， ， 解得， 故答案为：． 15．5 本题考查了分式方程的应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键．设试销时该品种草莓的进货价是每千克元，则第二次进货价为元，根据题意列出分式方程求解． 解：设试销时该品种草莓的进货价是每千克元，则第二次的进货价为元， 由题意得，， 解得：，     经检验，是原分式方程的解，且符合题意． 答：试销时该品种草莓的进货价是每千克5元． 故答案为：5． 16． 本题考查了最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 作点D关于的对称点，过点作交于点E，交于F，此时，根据垂线段最短，的最小时，利用含角的直角三角形的性质求解即可． 解：作点D关于的对称点，过点作交于点E，交于F，如图所示： 此时， 根据垂线段最短，的最小时， 在中，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 17． 2 （1）方法一：直接利用正方形的面积公式可求出图形的面积；方法二：利用图形的面积等于9部分的面积之和，根据方法一和方法二的结果相等建立等式即可得； （2）先将已知等式利用完全平方公式、整式的乘法法则变形为，再利用（1）的结论可得，从而可得，由此即可得出答案． 解：（1）方法一：图形的面积为， 方法二：图形的面积为， 则由图2可得等式为， 故答案为：； （2）， ， ， 利用（1）的结论得：， ， ，即， ， ， 故答案为：2． 本题考查了完全平方公式与图形面积、整式乘法的应用，熟练掌握完全平方公式和整式的运算法则是解题关键． 18．(1)，0 (2)，当时，原式（或当时，原式） 本题主要考查整式的四则运算和分式的化简求值，熟练掌握乘法公式和运算法则是解答本题的关键． （1）原式先计算括号内的，再计算除法，得最简结果后，再代入进行计算即可； （2）原式先计算括号内的，再把除法转换为乘法，分子与分母分解因式后约分，得最简结果后，再选择一个适当的值代入进行计算即可． （1）解： ， 当，时，原式． （2）解： ． 由题意得，不能取 所以，当时，原式（或当时，原式） 19．（1）；（2）方程无解 本题考查了解分式方程，提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意解分式方程必须检验，掌握因式分解以及解分式方程的方法是解题的关键． （1）先提公因式，然后再利用完全平方公式继续分解即可； （2）按照解分式方程的步骤进行计算即可解答． （1）解： ． （2）解：， 方程两边同时乘以，得， 去括号得， 移项、合并同类项得， 解得：， 检验：当时，， ∴该分式方程无解． 20．(1)见图，即为所求 (2)4 (3)见图，点Q即为所求 本题考查作图-轴对称变换、轴对称-最短路线问题、线段垂直平分线的性质，熟练掌握轴对称的性质以及线段垂直平分线的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）利用网格，作线段的垂直平分线，所经过的格点即为满足条件的点P的位置； （3）连接，交直线l于点Q，连接，此时的值最小． （1）解：如图，即为所求． （2）解：由图可知，，，，满足到点A，B的距离相等， ∴网格中满足条件的点P有4个． 故答案为：4． （3）如图，点Q即为所求． 21．(1)见解析 (2)8 （1）直接利用角平分线的性质和线段垂直平分线的性质作图得出答案． （2）直接利用含角的直角三角形的性质，即可得到的长，即可得到的长． （1）解：如图所示，点P即为所求； （2）解：∵平分，点P到的距离是， ∴， ∴中，， ∵， ∴， 故答案为：8． 22．甲图书的单价为50元，乙两种图书的单价为30元 本题考查的是分式方程的应用，方法1：设甲种图书每本x元，则乙种图书每本元，根据用2000元购买甲种图书和用1200元购买乙种图书的数量相同列出方程求解即可；方法2：根据甲种图书每本的单价比乙种图书每本的单价多20元列出方程求解即可． 解：解法一：设甲种图书每本x元，则乙种图书每本元，根据题意得， ， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 所以， 答：甲图书的单价为50元，乙两种图书的单价为30元； 解法二：设购进甲乙两种图书为y本，根据题意得， ， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， ， 答：甲图书的单价为50元，乙两种图书的单价为30元． 23．(1)见解析 (2) 本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质是关键． （1）利用等角的余角相等和对顶角相等可得，继而证明为等腰三角形即可； （2）作，垂足为点H，证明，结合等腰三角形三线合一的性质可得，继而得到长． （1）证明：∵于点D， ∴和都是直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （2）解：如图，作，垂足为点H， ∵G为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 24．(1) (2)，； (3) 本题主要考查了分式的加减运算、解二元一次方程组，解决本题的关键是根据分式的性质进行计算，利用求差法比较分式的大小． （1）仿照题干提供的解题思路分解分式； （2）根据分式的性质进行计算，可得，根据可以分式分解为，可得，从而得关于关于、的二元一次方程组，解方程组即可求出、的值； （3）根据分式的性质进行计算可得：，因为，可得：，从而可知． （1）解： ； （2）解： ， 可以分式分解为， ， ， 解得：， 故答案为：，； （3）解：， 证明： ， ， ，， ， ， ， ． 25．(1) (2) (3) 本题考查了等边三角形的性质和判定，含度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识； （1）根据中线的性质，以及含度角的直角三角形的性质，即可求解； （2）结论：．证明即可得出，；进而即可求解； （3）当点为边延长线上任意一点时，，同（2）的方法证明即可求解． （1）如图1中， ， ，． 是的中线， ， ， 是等边三角形， ， ． 故答案为：． （2）结论：． 理由：如图中，是中线，连接． ，都是等边三角形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ． （3）当点为边延长线上任意一点时，．理由如下： 连接，如图③，是中线，连接． ，都是等边三角形， ，，， ，即， 则， ， ， ， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $